精品解析：广东省广州市禺山高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

2024-2025学年第二学期高一期中数学学科试卷 命题人：龚泽南 审题人：何远清 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合P=，，则PQ=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集定义求解. 【详解】 故选：B 【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式将角度转换成锐角再计算即可. 【详解】. 故选：A 3 已知，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求向量的坐标，再求其模. 【详解】因为 所以 故选：C. 4. 已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于（ ） A. B. 1 C. 17 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】由题意确定对称轴为，进而得到，即可求解. 【详解】由题意可知二次函数对称轴为：，即， 解得：， 所以， 故选：D 5. 在中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】因为所以. 故选：C. 6. 若的面积为，，，则边的长度等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由面积公式得，再由余弦定理得． 【详解】解：∵的面积为，，， ∴由正弦定理的面积公式，得，即，解之得， 由余弦定理，得， ∴（舍负）， 故选：C． 7. 如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据记正方体的另一个顶点为C，设的中点为，可证，结合平行关系分析判断ABC；对于D：根据线面垂直的性质定理和性质定理可证平面，即可得结果. 【详解】如图，记正方体的另一个顶点为C，连接，交于点O， 设的中点为，连接， 因为Q，D为的中点，则， 又因为交于同一点， 即与均不平行，故A，B错误； 对于选项D：若平面， 且平面，平面平面，可得， 这与与不平行相矛盾，假设不成立，故D错误； 对于选项C：因为为正方形，则， 且M，N为所在棱的中点，则，可得， 又因为平面，且平面，可得， 且，平面，所以平面， 由平面，所以，故C正确； 故选：C. 8. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算可得，进而根据可得，结合垂线的定义即可求解. 【详解】由 ， 则，即， 故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. z在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先求解z的值，再根据复数的相关定义逐个计算判断即可 【详解】由可得 对A，z的虚部为，故A错误； 对B，z在复平面内对应的点位于第四象限，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误； 故选：BC 10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 最小值是2 B. 是奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】取特值代入排除A项，利用函数的奇偶性定义判断B项；利用函数的单调性定义判断C，D两项. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，因函数的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数，B正确； 对于C，任取，， 因，故，即在上单调递减，故C正确； 对于D，任取，， 因，故，即在上单调递增，故D正确. 故选：BCD. 11. 在中，角的对边分别是，若，，则（ ） A. 面积的最大值为 B. 周长的最大值为6 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由余弦定理得出，结合求出可判断A；结合可判断B；利用以及可判断C；令，消元得出关于的一元二次方程，利用即可判断D. 【详解】由余弦定理可得，， 因，则，等号成立时， 则，故A正确； 因，则， 结合可得，，等号成立时， 又，即，则，故B正确； 因，，则，故C正确； 令，则，代入中得， 此关于的一元二次方程有解，则，解得， 等号成立时，，故D错误. 故选：ABC 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，是水平放置的△OAB的直观图，，则的面积是 _____． 【答案】12 【解析】 【分析】根据直观图判断出是直角三角形，且，从而求出的面积． 【详解】由直观图可知，是直角三角形，且， 所以的面积是， 故答案为：12． 13. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量在向量上的投影向量的定义求解. 【详解】解：因为平面向量，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为： ， 故答案为： 14. 一个圆锥母线长为，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而得出球的体积． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 因为圆锥母线长为，侧面积，所以，解得， 所以，圆锥的高， 设球半径为R，球心为，其过圆锥的轴截面如图所示， 由题意可得，，即，解得， 所以，． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 平面向量，． （1）若，求； （2）若，求与所成夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共线向量的坐标表示，可得答案； （2）根据向量线性运算以及垂直向量数量积的坐标表示，求得参数，利用向量夹角的坐标公式，可得答案. 【小问1详解】 由，则，解得. 【小问2详解】 由题意可得，由，则，解得， 所以与所成夹角的余弦值. 16. 在中， （1）求的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求得的值； （2）利用二倍角的正弦公式求出的值，然后利用正弦定理可求得的值. 【详解】（1）因为在中，，所以，； （2）由（1）知，，所以 因为，所以 又因为，由正弦定理，可得 17. 在ABC中，内角所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acos B. （Ⅰ）证明：A=2B； （Ⅱ）若cos B=，求cos C的值． 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证；（Ⅱ）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，进而可得和，再用两角和的余弦公式可得． 【详解】（Ⅰ）由正弦定理得， 故， 于是， 又，故，所以或， 因此（舍去）或， 所以，. （Ⅱ）由，得，， 故，， . 18. 如图，在四棱锥中，，，，，分别是和中点， （1）证明：； （2）证明：平面． 【答案】（1）见证明；（2）见证明 【解析】 【分析】（1）由于，，又可得，进而命题得证; （2）由已知得是平行四边形，从而，由三角形中位线定理得，由此能证明平面平面． 【详解】（1）证明：平面，平面 又 平面 平面 （2），为的中点 又 ∴四边形平行四边形 分别是和的中点 平面平面 【点睛】本题考查线面垂直、线线垂直，以及面面平行的判断的证明，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用． 19. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数，）. （1）求的值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由函数新定义结合指数幂的运算可得； （2）由函数新定义结合指数幂的运算得证； （3）分离参数后再构造函数，分离常数换元令，再结合二次函数的单调性可求. 【小问1详解】 由题意得， . 【小问2详解】 因 ，故得证. 【小问3详解】 由题意得，在上恒成立， 即在上恒成立 ， 令，则. 令，因为，所以，所以， 所以，， 因函数在上单调递增，在上单调递减， 故， 则，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高一期中数学学科试卷 命题人：龚泽南 审题人：何远清 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合P=，，则PQ=（ ） A. B. C. D. 2. 的值是（ ） A B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于（ ） A. B. 1 C. 17 D. 25 5. 在中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 若的面积为，，，则边的长度等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 平面 8. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ） A 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. z在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 最小值是2 B. 是奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 11. 在中，角的对边分别是，若，，则（ ） A. 面积的最大值为 B. 周长的最大值为6 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，是水平放置△OAB的直观图，，则的面积是 _____． 13. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 14. 一个圆锥母线长为，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 平面向量，． （1）若，求； （2）若，求与所成夹角的余弦值． 16. 在中， （1）求的值； （2）若，，求值. 17. 在ABC中，内角所对边分别为a，b，c.已知b+c=2acos B. （Ⅰ）证明：A=2B； （Ⅱ）若cos B=，求cos C的值． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，分别是和的中点， （1）证明：； （2）证明：平面． 19. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数，）. （1）求的值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $