第一章三角形的证明及其应用复习回顾2025-2026学年八年级数学下册北师大版

这是一份初中数学期末复习课件，围绕“三角形的证明及其应用”展开，包含大单元结构、学习目标、知识点梳理、尺规作图步骤及中考真题解析，为学生构建从基础到应用的系统复习支架。 资料特色突出核心素养培养，通过推理能力、几何直观等素养目标引导，采用多元评价与任务驱动策略，结合表格对比（如等腰三角形与直角三角形性质判定）、作图实例（已知底边和高作等腰三角形），帮助学生夯实基础提升解题能力，也为教师提供结构化教学方案，助力九年级学生备战升学考试。

复习回顾 第一章 三角形的证明及其应用 22999 大 单 元 结 构 单元导读 22999 认知水平 课标内容 素养目标 理解 结合实例体会反证法的含义,结合实例了解原命题及逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并知道原命题成立其逆命题不一定成立. 推理能力 几何直观 掌握 证明三角形内角和定理、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质定理和判定定理. 推理能力 几何直观 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 运用 已知底边及底边上的高线,能用尺规作出等腰三角形;已知一直角边和斜边,能用尺规作出直角三角形. 推理能力 几何直观 学习目标 22999 1.三角形内角和定理： 2.三角形外角定理： 3.三角形外角定理的推论： 4.多边形的内角和计算公式： 5.多边形的外角和： 三角形三个内角的和等于180° 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 n边形的内角和等于（n-2)·180° 360°（正多边形的一个外角) （正多边形的一个内角180°) 1.1三角形的内角和定理 知识回顾 22999 等腰三角形 等边三角形 定义 有两条边相等的三角形叫等腰三角形 有三条边相等的三角形叫等边三角形 性质 ①等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） ②等腰三角形是轴对称图形（有一条对称轴，底边上的高所在的直线） ③等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（三线合一） ①等边三角形的三个内角都相等，都等于60° ②等边三角形是轴对称图形（有三条对称轴，每条边上的高所在的直线） ③等边三角形每边上的中线、高线、对角的平分线都重合（三个三线合一） 判定 ①（定义）有两边相等的三角形叫等腰三角形 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） ①（定义）三条边都相等的三角形叫等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形） ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 直角三角形 有一个角是直角的三角形叫直角三角形 ①直角三角形的两个锐角互余 ②直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理） ③在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么30°角的对边等于斜边的一半 ④斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL） ⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ①（定义）有一个角是直角的三角形叫直角三角形 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 ③三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理） 1.2等腰三角形、1.3直角三角形 知识回顾 22999 等腰三角形 等边三角形 定义 有两条边相等的三角形叫等腰三角形 有三条边相等的三角形叫等边三角形 性质 ①（等边对等角） ②轴对称图形 ③（三线合一） ①三个内角都等于60° ②轴对称图形（三条对称轴） ③（三个三线合一） 判定 ①（定义） ②（等角对等边） ①（定义） ②三个角都相等的三角形是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形） ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 直角三角形 有一个角是直角的三角形叫直角三角形 ①两个锐角互余 ②（勾股定理） ③30°角的对边等于斜边的一半 ④（HL） ⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ①（定义） ②有两个角互余的三角形是直角三角形 ③（勾股定理逆定理） 1.2等腰三角形、1.3直角三角形 知识回顾 22999 垂直平分线 角平分线 定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作线段的垂直平分线(简称中垂线) 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 1.4垂直平分线、1.5角平分线 知识回顾 22999 垂直平分线 角平分线 定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作线段的垂直平分线(简称中垂线) 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 1.4垂直平分线、1.5角平分线 知识回顾 22999 作法 图形 已知线段a，h，用尺规作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h. △ABC就是所要作的等腰三角形． a h a l A B C h D 1．作线段BC，使BC ＝a． 2．作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D． 3．在l上作线段DA，使DA＝h． 4．连接AB，AC． 尺规作图1 知识回顾 22999 尺规作图2 作法 图形 已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P. A B m l P Q • • 1. 任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁. 2. 以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧， 交直线l于点A和点B. 3. 作线段 AB的垂直平分线m. 直线m就是所要作的直线. 知识回顾 22999 尺规作图3 三角形三条边的垂直平分线的交点位置如下： 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 斜边中点 钝角三角形 三角形外部 1、三角形三边垂直平分线交于一点，这个点是三角形外接圆的圆心，称为【外心】 2、三角形的外心到三个顶点的距离相等 3、锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部 4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 知识回顾 22999 1.（2024济南中考） 一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是( ) A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 C 新知探究 22999 2.（2026济南二模） 如图，将一个含30°角的直角三角板，按如图所示的位置摆放在直尺上，若，则的度数为（ ） A. 120° B. 123° C. 150° D. 153° B 新知探究 22999 3.（2026济宁二模） 如图，四边形ABCD中，AB=BC=BD，，则的度数为____________． 130° 新知探究 22999 4.（2025德州中考） 如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（ ） A. 21° B.27° C. 30° D. 34.5° B 新知探究 22999 5.(2025·山东中考)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,如图1. (1)求∠ADC的度数; (2)已知AB=3,分别以C,D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交BC于点E,交AD的延长线于点F.如图2,求DF的长. 新知探究 22999 【解析】(1)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,∴∠BAC=60°, ∵∠BAC的平分线AD交BC于点D,∴∠BAD=∠CAD=30°, ∴∠ADC=180°-30°-30°=120°; (2)由(1)知:∠ACD=∠CAD=30°,∴AD=CD,∠ADB=60°,∴∠CDF=60°, 如图,连接CF, 由作图过程可知:MN是CD的垂直平分线, ∴FC=FD,∴△CDF是等边三角形,∴FC=FD=CD=AD, ∵AB=3,∠BAD=30°,∴AD=2BD, 由勾股定理得AD2-BD2=AB2,即AD2-()2=9, ∴AD=2,∴DF=AD=2. 新知探究 22999 本课结束 22999 $