【重难点知识汇总】-2025-2026学年北师大版数学五年级下册期末必刷考点背记

2025-2026学年北师大版数学五年级下册期末复习重难点知识汇总 范围：第一单元—第八单元 2026年6月 第一单元 分数加减法 1 第二单元 长方体（一） 2 第三单元 分数乘法 5 第四单元 长方体（二） 6 第五单元 分数除法 10 第六单元 确定位置 12 第七单元 用方程解决问题 12 第八单元 数据的表示和分析 13 第一单元 分数加减法 知识点一 同分母分数加减法 1. 分数加法的意义 分数加法和整数加法的意义相同，都是把两个数合成一个数的运算。 2. 分数减法的意义 分数减法和整数减法的意义相同，都是已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 3. 同分母分数加减法计算法则 分母不变，把分子相加、减。 注意：分数加减法的结果要约分成最简分数 知识点二 异分母分数加减法 1. 异分母分数相加、减，先通分，然后按照同分母分数加、减法的计算方法进行计算。 2. 在计算时，有时会出现分数和小数的混合运算，如果分数能转化为有限小数，可以把分数转化为小数计算；如果分数不能转化为有限小数，就把小数转化为分数计算。 注意：分数加减法的结果要约分成最简分数 知识点三 分数加减法混合运算 分数加减法混合运算同整数加减法混合运算顺序一样，有括号的先算括号里面的，没有括号的从左往右依次计算，最后结果要写成最简分数形式。 知识点四 分数加减法简便运算 1. 整数加减法的运算定律在分数加减法中依然适用； 2. 加法交换律：a+b=b+a； 3. 加法结合律：a+b+c=a+（b+c）。 4. 减法的性质 （1）连续减去两个数，等于减去这两个数的和。 （2）去括号时，括号外面是减号，括号里面的符号要变号。 知识点五 分数加减法的实际应用 1. 分析题意； 2. 找准每个分数的单位“1”； 3. 列式计算； 4. 注意通分和约分。 知识点六 牛奶兑水问题 解决此类问题的关键是抓住纯牛奶的总量不变这一特点进行分析推理，明确每次喝纯牛奶的量和加水的量，从而解决问题。 第二单元 长方体（一） 知识点一 长方体的认识 1. 长方体和正方体的各部分名称： 在长方体或正方体中，围成的长方形或正方形叫作长方体或正方体的面；面和面相交的边叫作棱；棱和棱相交的点叫作顶点。 2. 长方体和正方体的特征： 3. 长方体和正方体的异同点： 4. 长方体和正方体的关系：正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体 5. 长方体和正方体特征的应用：判断所给图形能否组成长方体，可以根据长方体的特征一组一组地进行寻找，看看能否找到3组相对应的面。 知识点二 展开与折叠 1. 正方体展开图的特点 （1）沿着正方体的棱剪开，可以把正方体展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体的展开图。在展开图中，正方体的6个面是相连的，相对的面完全隔开。 （2）将展开图沿虚线（折痕）向内折，能重新折叠成正方体。 （3）正方体的展开图是由6个大小、形状完全相同的正方形组成的组合图形。 （4）正方体的展开图，可分四个类型. “一四一”型：中间四个正方形相连，两侧各一个 “二三一”型：中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个 “二二二”型：中间两个正方形相连，两侧各两个 “三三”型：两侧各三个 2. 长方体展开图的特点：长方体相对的面大小、形状完全相同，并且相对的面完全隔开；长方体上、下两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的长和宽；前、后两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的长和高；左、右两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的宽和高。 3.长方体和正方体与展开图之间的对应关系 （1）长方体和正方体的每一个面都与其他四个面相邻，但只有一个相对的面，所以只要找到一组相对的面，也就同时确定了它们与其他四个面的相邻关系，从而能够通过想象把展开图还原成立体图形。 （2）判断一个图形折叠后相对应的面，可以根据长方体、正方体展开图的特点，先确定一个面为下面，再想象折叠的过程，从而找出相对的面，也可以用实物折一折，直观地找一找。 知识点三 长方体的表面积 1. 长方体表面积的计算方法： 2. 正方体表面积的计算方法： 知识点四 露在外面的面 1. 正方体组合体露在外面的面积的计算方法：计算堆放在墙角的小正方体露在外面的面积时，要先数出露在外面的面的总个数，再用一个面的面积乘以露在外面的面的总个数。 2. 堆放在一起的正方体露在外面的面的个数：数堆放在一起的小正方体露在外面的面的个数时，要先观察小正方体的摆放特点，再从中找出露在外面的面的个数间存在的规律。 第三单元 分数乘法 1. 分数乘整数与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。 2. 分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。 知识点二 分数乘法的计算法则 1. 分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分） 2. 分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3. 小数与分数相乘 （1）把小数转化成分数，按分数乘分数的方法进行计算； （2）把分数转化成小数，按小数乘小数的方法进行计算。 4.为了计算简便，能约分的要先约分，再计算 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 5.规律：（乘法中比较大小时） 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。 一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。 一个数（0除外）乘1，积等于这个数。 6.分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。 7.整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 知识点三 分数乘法解决问题 1. 找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”的后面。 2. 写数量关系式技巧 （1）“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“=”； （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量； （3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量。（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 3. 画线段图 ①两个量的关系：画两条线段图； ②部分和整体的关系：画一条线段图。 4. 连续求一个数的几分之几是多少的解题方法 单位“1”的量×分数＝对应量（比较量） 5. 已知一个数量比另一个数量多（或少）几分之几，求这个数量的解题方法 （1）单位“1”的量±单位“1”的量×另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几＝另一个数量； （2）单位“1”的量×[1±另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几]＝另一个数量。 知识点四 倒数的认识 1. 定义：乘积为1的两个数互为倒数 注意：一个数不能称之为倒数。 2. 求一个数的倒数的方法 （1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（O除外）看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。 3. 注意：1的倒数是1，0没有倒数。 第四单元 长方体（二） 知识点一：体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点二：体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3）：立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）：立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）：立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L）：升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL）：毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率：1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算：1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算：高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点三：长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点四：正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式：正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³：2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点五：长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系。 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系：如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点六：剪角折叠求体积问题。 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点七：等积变形问题。 1. 等积变形问题：在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点八：排水法求不规则物体体积。 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点九：不规则及组合立体图形的表面积和体积。 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 第五单元 分数除法 知识点一 倒数的认识 1.定义：乘积为1的两个数互为倒数。 注意：一个数不能称之为倒数。 2.求一个数的倒数的方法： （1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（O除外）看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。 3.注意：1的倒数是1，0没有倒数。 知识点二 分数除法 1.分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 2.分数除以整数（0除外）的计算方法： （1）用分子和整数相除的商做分子，分母不变。 （2）分数除以整数，等于分数乘这个整数的倒数。 3.一个数除以分数的计算方法：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。 4.分数除法的统一计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 5.商与被除数的大小关系：一个数（0除外）除以小于1的数，商大于被除数，除以1，商等于被除数，除以大于1的数，商小于被除数。0除以任何数（0除外）商都为0。 6.分数除加、除减的运算顺序：除加、除减混合运算，如果没有括号，先算除法，后算加减。 7.连除的计算方法：分数连除，可以分步转化为乘法计算，也可以一次都转化为乘法再计算，能约分的要约分。 8.不含括号的分数混合运算的运算顺序：在一个分数混合运算的算式里，如果只含有同一级运算，按照从左到右的顺序计算；如果含有两级运算，先算第二级运算，再算第一级运算。 9.含有括号的分数混合运算的运算顺序：在一个分数混合运算的算式里，如果既有小括号又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 10.整数的运算定律在分数混合运算中的运用：在进行分数的混合运算中，可以利用加法、减法、乘法、除法的运算定律或运算性质，使计算简便。 知识点三 解决问题 1.已知一个数的几分之几是多少，求这个数的应用题解法 方程解法： （1）找出单位“1”，设未知量为x； （2）找出题中的数量关系式； （3）列出方程。 算术法： （1）找出单位“1”； （2）找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几； （3）列除法算式。即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量。 2.分数连除应用题的解题方法 （1）分数连除应用题的结构特点：题中有3个数量，两个单位“1”，都是未知的。 （2）分数连除应用题的解题方法： ①方程解法：设所求单位“1”的量为x, 根据等量关系列方程解答。即 已知量。 ②算术解法：用已知量连续除以它们所对应的单位“1”的几分之几。即已知量另一个单位“1”的量。 （3）解题关键：找准单位“1”，求出中间量。 3.稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题的解法 （1）稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题的结构特征：单位“1”是未知的，已知的比较量与所给的几分之几不对应。 （2）解题方法：①用方程解：找到题中数量间的等量关系，设未知量为x，列出方程。②算术法解：找到题中单位“1”，计算出已知量占单位“1”的几分之几，利用已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量（标准量）列式解答。 （3）解题关键：找准单位“1”，弄清谁是谁的几分之几，谁比谁多几分之几，计算出已知量是单位“1”的几分之几。 第六单元 确定位置 知识点一 根据方向和距离确定物体位置的方法 （1）确定好方向并用量角器测量出被测物体所在的方向(角度)； （2）用直尺测量出被测物体和观测点之间的图上距离，结合单位长度计算出实际距离； （3）根据方向(角度)和距离准确判断或描述被测物体的位置。 注意：东偏北30°也可说成北偏东60°。 知识点二 找准参照物 位置是相对的，要指出一个物体的位置，必须以另一个物体为参照物。以谁为参照物，就以谁为观测点。观测点不同，物体位置的描述就不同。 知识点三 绘制路线图的步骤 （1）画出↑北，确定方向标和单位长度比例尺。 （2）确定起点的位置。 （3）根据描述，从起点出发，找好方向和距离，一段一段地画。画每一段都要以每一段新的起点为观测点。 （4）以谁为观测点，就以谁为中心画出“十字”方向标，然后判断下一点的方向和距离。 （5）标出数据、名称、角度。(绘制的路线图只有一条线，所作的线是首尾相连的) 第七单元 用方程解决问题 知识点一 形如ax士bx=c方程的解法 1.解形如“ax士bx=c”的方程时，要先运用乘法分配律转化为“（a土b）x=c”的形式，再根据等式的性质求出x的值。 2.用方程解决含有两个未知数的实际问题，设其中一个未知量为x，另一个未知量用含x的式子表示出来，根据题中的等量关系列方程解答。 知识点二 用方程解决相遇问题 1.相遇问题的特征及等量关系： 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，相遇时两人分别走的路程之和，就是两地之间的总路程。然后根据速度、时间和路程三者之间的关系列出等量关系： （1）甲走的路程+乙走的路程=总路程 （2）甲走的路程=甲的速度×时间 （3）乙走的路程=乙的速度×时间 2.列方程解决问题的一般步骤： （1）根据题意寻找等量关系；（2）根据等量关系列出方程；（3）解方程；（4）检查结果是否正确。 第八单元 数据的表示和分析 知识点一 复式条形统计图的认识及绘制 1. 复式条形统计图的绘制方法：复式条形统计图与单式条形统计图的绘制方法基本相同，只是每组有两个数据，要用两种不同颜色（或底纹）的直条表示，并注明图例。 2. 复式条形统计图的特点：复式条形统计图不但能表示出两组数据数量的多少，而且可以比较出两组数据相对数量的大小。 3. 从复式条形统计图中获得有关数学信息：要运用横向、纵向、综合观察等方式，读懂统计图所反映的信息，并能进行客观分析。 知识点二 复式折线统计图的认识及绘制 1. 复式折线统计图不但能表示两组数据数量的多少、数量的增减变化情况，而且还可以比较两组数据的变化趋势。 2. 绘制复式折线统计图的方法与绘制单式折线统计图的方法基本相同，不同之处是复式折线统计图中用两条不同的折线表示两组不同的数据，并要注明图例。 知识点三 平均数的再认识 1. 求平均数的方法：平均数=总数量÷总份数。 2. 平均数不是一个孤立的数据，而是代表一组数据的平均水平。 3. 平均数具有灵敏性，每个数据或大或小的变化都会影响到最终结果。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $