辽宁大连市2025-2026学年高二下学期数学期末考试模拟（一）

**基本信息** 2025-2026学年大连市高二下学期数学期末模拟卷，120分钟150分，涵盖函数、数列、概率统计等核心知识，通过摄影比赛概率（17题）、电动车销售调查（18题）等真实情境，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、充分条件、函数图像、正态分布|结合数学眼光，如第3题函数图像识别| |多选题|3/18|数列性质、函数极值|注重逻辑推理，如第10题导数与极值分析| |填空题|3/15|数列求和、基本不等式、全概率公式|强调数学语言表达，如第14题分步概率计算| |解答题|5/77|导数应用、数列证明、概率分布、统计分析|突出综合应用，如18题结合列联表与条件概率，体现数学建模|

2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（一） 高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1．已知全集，集合，则=（   ） A． B． C． D． 2．已知实数a，b，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 4．设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（    ） A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55 5．已知线性相关的两个变量、的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（     ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则（     ） A．0或 B．0或 C．或 D．0 8．已知函数若，使成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知数列的前项和，则（    ） A．是公差为2的等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 10．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，在上单调递增 B．当时，函数有且仅有1个极值点 C．当时，不等式在上恒成立 D．若函数有两个极值点，，则 11．已知数列的前项和为，若，，，则下列说法正确的是（　　） A．， B．，有解 C．， D．， 第Ⅱ卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设为数列的前项和，若，则________． 13．设均为正实数，满足，则的最小值为______. 14．已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球．小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球．小明第二次摸到白球的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 16．数列满足，，令． (1)求证：数列，是等比数列； (2)求数列的前项和． 17．现有四人参加摄影作品有奖大赛，规定每人只能选取一幅作品参加比赛．每一幅作品都要通过三次评审，三次评审都通过才可获奖．每一幅作品第一次评审被淘汰的概率为，第二次评审被淘汰的概率为，第三次评审被淘汰的概率为，每次评审是否被淘汰相互独立． (1)求送审的每幅作品被淘汰的概率． (2)每幅送审作品，若能够通过三次评审，则该幅作品可获奖金9000元；若被淘汰，则该幅作品要亏损3000元的报名费．求这四幅作品所获奖金的分布列和数学期望． 18．为了解某地区电动车的销售情况，该地区经济委员会对全区电动车销量展开调查.委员会调查了该区100位私家车主性别与购车种类的有关数据（每位车主仅购买一辆私家车），得到下表： 非电动车 电动车 总计 男性 女性 总计 100 已知调查对象中男性与女性人数相同；在男性中，购买非电动车的人数是购买电动车人数的1.5倍；在购买非电动车的车主中，仅有三分之一是女性. (1)试补全表格，并判断在犯错误的概率不超过0.5%的情况下，能否认为购买电动车与性别有关？ (2)从该地区私家车主中随机选择一人，A表示事件“选到的车主是男性”，B表示事件“选到的车主购买了非电动车”，查阅资料可知，与的比值可以在一定程度上作为性别对购买私家车倾向的一种度量，将上述比值记作 （i）证明： （ii）将调查数据中的各项频率视作概率，写出和的估计值，并给出的估计值. 参考公式与数据： 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中 19．已知，函数. (1)若是函数的极小值点，求； (2)若函数存在两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）设点，，证明：存在，且，使得曲线在和处的切线都与直线平行. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（一） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B A A A D ABC ACD 题号 11 答案 BCD 1．D 【详解】依题意，，则， 所以. 2．A 【详解】由且，根据不等式性质可得， 反之，取满足，此时和不成立， 故“且”是“”的充分不必要条件. 3．B 【详解】由于函数的定义域为，且对任意的，，故为偶函数，其图像关于轴对称，此时排除CD选项， 当时，，此时可排除A，故选B. 4．B 【分析】由题意可得有变号的根，从而可得，由正态分布的特征求解即可. 【详解】因为函数有极值点， 所以有变号的根， 所以， 解得， 又因为随机变量服从正态分布，且， 由正态分布的特征可知， 所以. 5．A 【分析】利用回归直线过样本中心点求出的值，再利用残差的概念可得结果. 【详解】由表格中的数据可得，， 由于回归直线过样本中心点，所以，解得， 当时，，故当时的残差为. 6．A 【分析】先由条件判断在上单调递减，结合偶函数的性质可得在上单调递增，从而，利用函数单调性得，求解该不等式即得. 【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减， 又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增， 故， 两边取平方得，即，解得或， 故不等式的解集为. 7．A 【分析】利用导数求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可. 【详解】由，得， 当时，，即在点处的切线斜率为2， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 联立，消去整理得， 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以方程只有一个根， 当时，方程为只有一个根，满足题意； 当时，有，即，解得， 综上，或. 8．D 【分析】由题意可得时的值域是时值域的子集，根据二次函数的性质求出在上的值域，利用导数对进行讨论求出在上的值域，最后利用包含关系列出不等式即可求解. 【详解】当时，，该二次函数开口向上，对称轴为，因此在上单调递减， 则 ，即的值域为. 当时，，. 当时： 恒成立，故，在上单调递增， 当时，；当时，， 因此的值域为，显然包含，满足条件； 当时： ，值域为，取不到，不满足条件； 当时： 时，，单调递减；时，，单调递增. 最小值为，要让值域包含，只需最小值， 即满足条件. 综上：的取值范围是. 9．ABC 【详解】由，当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以，故B正确； 因为，所以是等差数列，故A正确； 对于C，，因为，所以数列是等差数列，故C正确； 对于D，令，则， 所以当时，，当时，， 故，故D错误. 10．ACD 【分析】选项A，求导分析函数的单调性；选项B，分析导函数的零点，确定函数的极值点；选项C，确定函数的单调性，得出；选项D，函数有两个极值点转化为有两个不同的根，变量替换化为关于的函数，求最值. 【详解】当时，，， 令，解得，即在上单调递增， 因为，选项A正确； 当时，， ，令， ， 令，，单调递增， 令，，单调递减， 所以在处取得最大值 又因为，， 所以在上有一个零点，在上有一个零点， 即有两个变号零点，函数有两个极值点，选项B错误； 在单调递减，且， 所以当，，在单调递减， 所以，不等式在上恒成立，选项C正确； 若函数有两个极值点，， 即有两个不同的根，有两个不同的根， ，两式相减得，即， 要证，即证， 令，则， 即证， 即证， 令，， 所以在上单调递增， ，即， 所以，选项D正确. 11．BCD 【分析】先判断数列的单调性，A选项代入几个值进行计算验证答案，B选项通过数列的单调性验证答案，C选项用数学归纳法求证，D选项先取的倒数进行计算比较，再倒回来即可. 【详解】由题意可得，因此数列单调递减，故， 又因且，故数列，. 对于A选项，，， ，故A选项错误； 对于B选项，由选项可知，且数列单调递减，， 因此，故B选项正确； 对于C选项，令，令， 即验证即可，， 设成立，，且 因为，，则，故，所以， 所以C选项正确； 对于D选项，因为，取倒数为， 因为，所以，故， 化简得，故，解得，故D选项正确. 12． 【分析】根据与的关系，结合等比数列的定义求解即可. 【详解】当时，，解得． 当时，，作差得，整理得． 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以． 又符合上式，故． 13．4 【详解】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. 14． 【分析】根据题意，设为“第一次摸到黑球”，为“第一次摸到白球”，为“第二次摸到白球”，求得和，结合全概率公式，即可求解. 【详解】设为“第一次摸到黑球”，为“第一次摸到白球”，为“第二次摸到白球”， 则, 若第一次摸到黑球（放回），第二次摸到白球的概率为， 若第一次摸到白球（不放回），第二次摸到白球的概率为， 由全概率公式，可得. 15．(1) (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类确定函数的单调区间，进而由两个零点建立不等式求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 函数有两个零点，当且仅当， 则，解得，所以实数a的取值范围是. 16．(1)答案见详解; (2). 【分析】（1）要证明数列，是等比数列，需根据已知条件推导出与，与的关系，再结合等比数列的定义进行判断； （2）求数列的前项和，可将其拆分为奇数项和偶数项分别求和，再将结果相加. 【详解】（1）对任意正整数，为奇数，为偶数， 当时：为奇数，为偶数，命题成立， 假设当时命题成立，即为奇数，为偶数， 当时： 因为为偶数，所以为奇数， 又因为为奇数，所以为偶数， 由数学归纳法，对任意 ，为奇数，为偶数， 因为，则， 因为为偶数，根据递推公式，可得， 又因为为奇数，所以，那么， 所以， 因为，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因为已知，则， 因为为奇数，所以，又， 则，即， ， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因此，数列，是等比数列，得证. （2）由(1)得：，， 令,错位相减： ， ： ， 故， 又,因此：. 17．(1) (2)分布列如下表． Y P           期望为20000 【分析】（1）先计算单次评审通过的概率，再用独立事件同时发生的概率公式计算获奖概率，最后用对立事件概率公式得到作品被淘汰的概率； （2）根据四幅作品中获奖作品数量服从二项分布，写出获奖奖金的分布列，再利用期望公式求解期望. 【详解】（1）设事件分别为“一幅送审作品在第一、二、三次评审时通过”， 事件A为“一幅送审作品通过了三次评审”， 事件B为“一幅送审作品被淘汰”，则． 由题意，得． 因为， 所以， 所以送审的每幅作品被淘汰的概率为． （2）设四幅作品中，获奖的作品数为随机变量X． 由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，4，且． 设这四幅作品所获奖金为随机变量Y（单位：元）， 则， Y的对应可能取值为． 因为， ， ， ， 所以Y的分布列如下表． Y P           所以期望为：. 18．(1) 非电动车 电动车 总计 男性 30 20 50 女性 15 35 50 总计 45 55 100 购买电动车与性别有关 (2)（i）因为， 又因为， 所以，证毕. （ii），，3.5 【分析】（1）根据题干求出各个观测值，即可得到列联表；给出零假设，计算出，与临界值表比对判断即可； （2）（i）结合条件概率公式证明即可； （ii）用频率估计概率，代入计算即可. 【详解】（1）由题意知，调查对象中男性50人，女性50人， 设男性中购买电动车的人数为人，则购买非电动车的人数为人，所以，解得， 即男性中购买电动车的人数为20人，则购买非电动车的人数为30人. 设购买非电动车的人数为人，则，解得人， 所以女性中购买非电动车的人数为人，购买电动车的人数为人. 故列联表为： 非电动车 电动车 总计 男性 30 20 50 女性 15 35 50 总计 45 55 100 假设：购买电动车与性别无关. ， 因为，所以在犯错误的概率不超过0.5%的情况下，可认为假设不成立，故购买电动车与性别有关. （2）（i）略 （ii）由表格可知，，， 同理可知，，， 所以. 19．(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）根据极值点可求的值，注意检验处两侧导数的符号； （2）先求出，并利用韦达定理化简前者得方程，结合根分布可证的存在性. 【详解】（1）依题意，. 因为是的极小值点，所以，得. 此时，当时，；当时，， 所以是函数的极小值点，所以. （2）（i）因为，是的两个极值点， 所以的判别式， 解得或，故的取值范围是. （ii）由（i）可得，， 依题意， ， 令，设函数， 此时，对称轴， 而，故， 又，， 故在存在两个不同的零点，且， 综上，存在，且， 使得曲线在和处的切线都与直线平行. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $