专题06圆（3大考点）（湖南专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 圆专题二模试题汇编，整合湖南省多地二模真题，覆盖圆的概念性质、位置关系、计算三大核心考点，基础题与综合证明题梯度分布，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|圆的半径、直径、切线判定|结合湖南各地二模真题，注重基础概念辨析| |填空|约10题|圆心角、圆周角、弦长计算|融入文化情境如“天圆地方”图式| |解答|约12题|切线证明、扇形面积、综合几何证明|多考点综合，如21题菱形证明与等腰三角形结合，22题关联传统文化|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 ☆3大考点概览 考点01圆的有关概念和性质 考点02与圆有关的位置关系 考点03与圆有关的计算 考点01 圆的有关概念和性质 1.(2026湖南省长郡中学·二模)己知⊙0的半径为5，点P到圆心0的距离为3，则点P() A.在⊙0内 B.在⊙0上 C.在⊙0外 D,无法确定 2.(2026湖南省湘潭市·二模)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙0上一点，若LABC=40°，则LBAC的度数 为() A.40° B.50 C.60° D.70° 3,(2026湖南省湘潭市·二模)如图，0A,OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若LAOB=80°，则∠C的度 数为() A.30° B.40° C.50° D.60° 4.(2026湖南省邵阳市·二模)如图，0A,0B,OC都是⊙O的半径，∠A0B=2LB0C,若LBAC=20°，则 LAOB的度数为() 1/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A,80° B,60 C.40° D.20° 5.(2026湖南省衡阳市·二模)如图，点A,B,C,D在⊙0上，连接0A,0B.若∠D=105°，则∠A0B的 度数为() B D A.75° B.115° C.150° D.175 6.(2026九·湖南省怀化市·二模)如图，⊙0的内接四边形ABCD的对角线BD经过圆心O,若LABD=35°， 则∠ACB的度数为() o B A,35° B.45° C.55 D.65 7.(2026·湖南省永州市·二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是直径，延长AD与BC相交于点 E,连接OD,若AB=BC,∠COD=42°，则∠DCE的度数为() E D B A,24° B.38° C.42° D.66° 2/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8,(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，0A,0B,0C都是⊙O的半径，∠A0B=2LB0C,若∠0BA=50°， 则LBAC的度数为() A.40° B.20° C.30° D.10° 9.(25-26九下·湖南永州市·二模)如图，⊙0直径CD=10,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=8,则0M= () B A.2 B.3 C.4 D.5 10.(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E,点D是劣 弧AB的中点，若CD=4,∠ACD=30°，则DE的长为() D C A.是 B.1 c. D.2 11,(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，AB是⊙O的弦，点C是AB的中点，连接0A,OC,AC,BC,若 LBAC=28°，则LAOC的度数为 12.(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)如图，A,B,C,D,E五点在⊙O上，连接EA,EB,EC,ED.若AB =BC=CD,∠AEB=21°，则∠AED的度数是· 3/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D B 13,(2026湖南省娄底市·二模)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB的两侧，连接 OC、AC、DC、DB,若∠A+∠D=100°，则∠COB的度数为 B D 14.(2026湖南省张家界市·二模如图，已知⊙0是△ABC的外接圆，AD是⊙0的直径，若∠C=70°，则∠BAD 的度数是 B D 15.(2026湖南省张家界市·二模)如图，AB是⊙O的弦，∠A0B=90°，若0A=4,则AB的长为 B 16.(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直 相连，其正下方的路面AB长度为100m,如果这些钢索中最长的一根的长度为10m,则该圆弧的半径为 m. 钢索 B路面 桥拱 4/15 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.(2026湖南省娄底市)如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦.若LDCB=45°，AD=1,则AB= D 18.(2026九湖南省常德市·二模)刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆 周率.某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形ABCDEF,连接AC,若该正 六边形的半径为2，则AC的长为 E C D 19.(25-26九下·湖南娄底市·二模)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,点P在⊙0上，弦PB与CD 交于点F,且FP=FD. (I)求证：PD ICB; (2)若AB=26,CD=24,求BE的长度. 20.(2026湖南省张家界市·二模)如图，在△ABC中，D是边AB上一点（不与点A,B重合），⊙0经过点 A,C,D B 图1 图2 (1)如图1，连接0C,0D,CD,若LD0C=150°，CD=CA, 5/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①求LADO的度数； ②若又满足tanB=1,OD=2,求AB的长 (2)如图2，过点D作DE I BC,交⊙O于点E,连接OE,若LACB=2LAEO,求证：DE=AC. 21.(25-26九下·湖南株洲市株洲县·二模)如图，AB、AC是⊙O的弦，AB=AC,过点C作AB的平行线，交 半径AO的延长线于点D,连接BD 0 备用图 备用图 (I)求证：四边形ABDC是菱形： (2)如果C是ACB的中点，求S的值； (3)连接C0,如果⊙O的半径是2，且△COD是等腰三角形，求边AB的长， 22.(25-26九下·湖南长沙市·二模)已知天圆地方”观最早起源于中国古人对宇宙天地的最初认识，后来发展 成为中国传统文化的重要思想，在我国古代应用广泛.如秦统一货币“秦半两”（图1）.“天圆地方”的图式 具有独特的形式美和意境美，如果正方形ABCD内接于⊙O,我们称这个图形是“天圆地方图”，⊙O为“天 圆图”，正方形ABCD叫地方图”. D B 图1 图2 图3 (1)如图2，四边形ABCD内接于⊙0，∠A=90,AB=AD,请添加一个条件： 可以使得图2 为“天圆地方图”； (2)如图3，在“天圆地方图中，四边形ABCD是“地方图”，E为“天圆图BC上一点，连接AE,BD相交于点G, 过点B作BF⊥AE交“天圆图于点F,连接AF交BD于点H. ①写出BG,GH,DH之间的关系，并说明理由； ②是否存在常数a和b,使得等式AE2-AD2=aGE2+bGB·GD成立，若存在，求出一对a和b的值；若不存 在，请说明理由. 23.(2026湖南省湘潭市·二模)求解下列各题： (1)【自主探索】如图1，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求BC边的高.某学习小组经过合作 6/15 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程.作AD⊥BC于点D,设BD=x, 用含x的代数式表示CD,则CD= ;在Rt△ADC和Rt△ADB中根据勾股定理得：AD2=AC2-CD2 =132-(14-x)2,AD2=AB2-BD2=152-x2,132-(14-x)2=152-x2,x=BD= B D 图1 (2)【尝试运用】如图2，在⊙O中，M为弦AB上一点，且AM=2BM=4,连接OM,过M作OM⊥MN交⊙O 于点N,求MN的长. 0 M B 图2 (3)【问题解决】如图3，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为ABD的中点，连接CD, CA,AD,延长AC,DB相交于点E.若CE=3W13,BD=5,求⊙O的半径， E 图3 24.(2026湖南省长沙市·二模)AB为⊙0的直径，点C为圆周上一点（不与点A、点B重合）： 7/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 0 B E 0 图1 图2 图3 (1)如图1，∠ACB的平分线交⊙0于点D,直径AB=10,弦BC=6,求CD的长； (2)如图2，弦CD⊥AB于点E,交⊙O于点D,连接BD,令△ACE的面积为S1,△BCE的面积为S2,△BDE 的面积为S3,且S1=S2+S3,求tanCDB的值； 3)如图3，CB1AB于点E,CAB的平分线交CB、GB分别于点从、点N,设x=CE3,y=器+器++ 品求y与x之间的函数关系式（不考虑x的取值范围）. 25.(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，四边形ABCD是梯形，∠B=∠C=90°，以AD为直径的半圆0与BC 交于点E,F,连接AE,AF,DE,DF. B (1)求证：△ABE一△ECD; (②记△ABF的面积为S1,△CDF的面积为52，△AD形的面积为S,求，产的值： AF·DE (③)若半圆O的半径为1，令BE=x,2 AB CD.CF+DP4B2-cD=y,求y关于x的解析式.（不考虑自变量x 的取值范围) 26.(25-26九下·湖南长郡中学·二模)如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，其中AD=BC=CD,连接AC交BD 于点E,延长BA至点F,使AF=AD,连接FD. O. (I)求证：四边形ACDF是平行四边形 (2)若⊙O的半径为10，ED·AC=80,点P是△ABD的内心，求0P2的值： 8/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若tanF=m,ED·AC=4n2(m,n为常数且都大于0)，用含m,n的式子表示CE和AB. 27.(2026湖南省邵阳市·适考)如图1，已知MN为⊙0的直径，弦AB交MN于点C(点C与点0不重合)，连 接MA,MB,∠AMN=∠BMN. M D E B B B 图1 图2 图3 (I)求证：MA=MB: (2)如图2，在线段MC上取点D,使得CD=CN,延长AD交MB于点E,求证：AE⊥MB; (3)如图3，在(2)的条件下，延长AE交⊙O于点F,连接BF,在直径MN上取点G,使得 LNGF+∠AFB=90°.若MG=14,BC=15,求⊙0的半径. 考点02 与圆有关的位置关系 1.(2026湖南省长沙市·二模)如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切 点为C,若LA=25°，则∠D=() A.50° B.25° C.409 D.659 2.(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，AB是⊙0的直径，∠ABC=25°，0C的延长线与⊙0的切线PA交于 点P,则∠P的度数是() A.20° B.30° C.40 D.50 3.(25-26九下湖南长沙市·二模如图，AB、AC、BD是⊙0的切线，切点分别是P、C、D.若AB=10,AC=6, 则BD的长是(). 9/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C P B D A.3 B.4 C.5 D.6 4.(25-26九下·湖南长郡中学·二模)如图，AB为⊙0的直径，点P在AB的延长线上，PC,PD与⊙0相切， 切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则CD= B D 5.(25-26九下·湖南株洲市株洲县·二模)如图，PA,PB与⊙O分别相切于点A,B,P0,AB相交于点D,C 是⊙0上一点，∠C=60°，P0=20cm,则△A0B的面积是 cm2. A D B 6.(2026湖南省永州市·二模)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙0上，连接AC,BC,过点C作⊙0的切线 L,过点A作的垂线交l于点D. B (I)求证：AC平分LDAB; (2)若AD=3,CD=4,求BC的长. 7.(25-26九下·湖南益阳市·二模)如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙0上的两点，连接AC,AD,且AC平分 ∠DAB.过点C作AD的垂线交AD的延长线于点E. 10/15 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (I)证明：EC是⊙O的切线； (2)过点B作圆的切线交EC的延长线于点F,且∠DAB=70°，求∠BFC的度数， 8.(2026湖南省娄底市)如图，已知△ABC内接于⊙O,点D在0C的延长线上，连接0A,AD,满足∠CAD=30°， 请从“①LB=30°；②LACD=120这两组条件中任选一组作为己知条件，填在横线上 (填序号)，再解决下列问题： B 0 (I)求L0AC的度数； (2)试判断AD与⊙O的位置关系，并说明理由. 9.(2026湖南省邵阳市·二模)如图，在△ABC中，点0在BC上，以0为圆心，0C长为半径作圆，恰好与AB 相切于点D,且∠A=2LBCD. (1)求证：AC为⊙O的切线； 3 (2)若c0sA=,AC=12,求⊙0的半径. 10.(2026湖南省娄底市·二模)如图，BE是⊙O的直径，A,D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE 的延长线于点C 11/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若LADE=25°，求LABE的度数. (2)若AB=AC,CE=3,求⊙O半径的长. 11,(2026湖南省张家界市·二模)如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD, ∠CBD=∠CAB. C D B (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)连接0D,若∠CAB=30°，AB=4,求扇形0BD的面积. 12.(2026湖南省衡阳市·二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O交BC 于点D,交AC于点F,且D为EF的中点，连接AD B D (1)求证：BC是⊙O的切线； 2)若AB=18,BE=AE,求⊙0的半径及AC的长。 13.(2026湖南省湘潭市·二模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平 行，BC,AD相交于点G. D B GC (1)求证：AB=AC; 12/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若DG=BC=16,求AB的长 14.(2026湖南省常德市·二模)如图，PA是⊙0的切线，切点为A,AC是⊙0的直径，连接0P交⊙0于 E.过A点作AB⊥PO于点D,交⊙O于B,连接BC,PB 4 H (I)求证：PB是⊙O的切线； (②若cos∠PAB=g,BC=2,求P0的长. 15.(2026湖南省岳阳市·二模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，P是AC延长线上一点，连 接PB,使LPBC=∠A. B D (1)求证：PB是⊙O的切线， (②)过点C作CD1PB,垂足为D,若cOsA=,AB=8,求CD的长. 16,(2026湖南省益阳市沅江市·二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，连接CA, 将线段CA绕点C顺时针方向旋转一定角度得到线段CE.过点A作AFICE,交CD的延长线于点F,连接ED, EF A (I)若CF平分LACE,求证：四边形ACEF是菱形； (2)若∠DEC=∠CFE,求证：直线CE是⊙O的切线. 考点03 与圆有关的计算 1.(2026湖南省张家界市·二模)如图，圆锥的底面半径0B=5,高0A=12,该圆锥的侧面积是() 13/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.60m B.85π C.65m D.90m 2.(2026湖南省娄底市·二模)如图，⊙0是边长为4V3的等边三角形ABC的外接圆，D是劣弧BC的中点，连 接BD,CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为(). 0 A.4π B.8n C. D. 3.(25-26九下·湖南益阳市·二模)如图，某游乐场的旋转木马旋转一周需240秒，旋转半径是6米.旋转时， 一木马某时刻在点A处，80秒后旋转到点B,则该木马旋转的路径长（即弧AB的长）为 .(结果 保留π) B A 4.(2026湖南省长沙市·二模)若扇形的圆心角为45°，半径为8，则该扇形的弧长为 5,(2026九4月湖南省邵阳市·适考)己知某扇形的半径为6厘米，弧长为4π厘米，则该扇形的面积是 平方厘米（结果保留π）. 6,(25-26九下湖南长沙市·二模)如图1是岳麓书院屋顶的图片，屋顶瓦片如图2，瓦片横截面如图3所示， AB是以点O为圆心，OA为半径的弧，已知△AB0是边长为9cm的等边三角形，则AB的长是cm.(结 果保留π) 图1 图2 图3 14/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2026湖南省邵阳市·二模)如图，圆锥的底面半径0C=2,高A0=6,则该圆锥的侧面积等于 B(O---- 8,(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图①是一种可折叠圆桌，图②是其折叠前后的桌面示意图（阴影部分表 示可折叠部分)，己知折叠后的桌面是一个面积为1m2的正方形，则可折叠部分的面积为m2. 图① 图② 9.(2026湖南省永州市·二模)如图1是一个用于野营的竹节灯笼帐篷，其内部是一个由牛津布制作的无底圆 锥，展开为如图2所示的扇形，已知圆锥母线长度为3米，扇形圆心角为240°，则这个牛津布的面积是 平方米.（结果保留π） 图1 图2 15/15 专题06 圆 3大考点概览 考点01圆的有关概念和性质 考点02与圆有关的位置关系 考点03与圆有关的计算 圆的有关概念和性质 考点01 1．(2026·湖南省长郡中学·二模)已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（   ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离d与圆的半径r的大小即可． 【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在内； 故选A． 2．(2026·湖南省湘潭市·二模)如图，是的直径，C是上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，直角三角形两锐角互余，由直径所对的圆周角等于90度可得出，再由直角三角形两锐角互余可得出的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， 故选B. 3．(2026·湖南省湘潭市·二模)如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】∵是的两条半径，点C在上， ∴∠C= =40° 故选：B 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键． 4．(2026·湖南省邵阳市·二模)如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，所对的圆周角为、所对的圆心角为， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．(2026·湖南省衡阳市·二模)如图，点A，B，C，D在上，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形得到，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：点A，B，C，D在⊙O上， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ． 6．(2026九·湖南省怀化市·二模)如图，的内接四边形的对角线经过圆心O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为的直径，得出，根据已知可得，进而根据 同弧所对的圆周角相等，即可求解。 【详解】∵为的直径， ∴． ∵， ∴． ∵与所对的弧均为， ∴． 7．(2026·湖南省永州市·二模)如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理可得，然后得到为等腰直角三角形，那么，再由圆的内接四边形的性质求解． 【详解】解：，则， 是的直径， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ． 8．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，再由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 9．(25-26九下·湖南永州市·二模)如图，直径，弦，垂足为．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接， 由垂径定理可得的长，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，连接， 弦，， ， 在中，，， 根据勾股定理得：． 10．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，是的弦，是的直径，与交于点E，点D是劣弧的中点，若，，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】连接，根据题意得出，确定，再由余弦函数求解即可． 【详解】解：连接， ∵点D是劣弧的中点，是的直径， ∴， ， ， 是的直径，， ， 在中，， ∴． 11．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，是的弦，点是的中点，连接，若，则的度数为___________． 【答案】/56度 【详解】解：点是的中点， ． 12．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 【答案】/63度 【分析】首先根据求出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13．(2026·湖南省娄底市·二模)如图，是的直径，点C、D在上，且在的两侧，连接，若，则的度数为____________． 【答案】/100度 【分析】先推导出，进而得到，则，即可解答． 【详解】解：∵同为的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．(2026·湖南省张家界市·二模)如图，已知是的外接圆，是的直径，若，则的度数是_________． 【答案】20 【分析】连接，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等可得的度数，据此可求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．(2026·湖南省张家界市·二模)如图，是的弦，，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】由题意得是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 是等腰直角三角形， ． 16．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【答案】130 【分析】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是建立坐标系，以中点为原点，利用圆上三点坐标建立方程组求解．设圆心坐标为，由在圆上得，由最高点在圆上得，联立解方程即可求出半径． 【详解】解：以的中点为原点，所在直线为轴建立坐标系， 则，圆弧最高点坐标为， 由对称性知圆心在轴上，设圆心为，半径为， 在圆上， , 即，① 最高点在圆上， ，② 将②代入①，得 ， 解得， ． 故答案为：130． 17．(2026·湖南省娄底市·)如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵与对应同一段弧， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 18．(2026九·湖南省常德市·二模)刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形，连接，若该正六边形的半径为2，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，交于点，根据正六边形的性质，求出，进而得到垂直平分，进而求出的长即可. 【详解】解：连接，交于点，则， ∵正六边形， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴. 19．(25-26九下·湖南娄底市·二模)如图，是的直径，弦于点E，点P在上，弦与交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据等边对等角得，由同弧所对的圆周角相等得，利用内错角相等两直线平行即可判定； （2）连接，根据垂径定理可得和，利用勾股定理可求得，即可求得的长度． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 是直径，， 为的中点， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了等边对等角、同弧所对的圆周角相等、平行线的判定、垂径定理和勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 20．(2026·湖南省张家界市·二模)如图，在中，D是边上一点（不与点A，B重合），经过点A，C，D． (1)如图1，连接，若，， ①求的度数； ②若又满足，，求的长． (2)如图2，过点D作，交于点E，连接，若，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）①根据等边对等角得到，根据圆周角定理，等边对等角得到，再根据角的和差计算即可； ②延长交于点M，由角的和差可得，根据特殊角的三角函数值的计算得到，结合题意得到，由此即可求解； （2）如图，连接，设，由圆周角定理，三角形内角和定理等知识得到四边形是平行四边形，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②如图，延长交于点M， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：如图，连接， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 21．(25-26九下·湖南株洲市株洲县·二模)如图，、是的弦，，过点作的平行线，交半径的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果是的中点，求的值； (3)连接．如果的半径是2，且是等腰三角形，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先证明，得到，结合已知条件，可推导四边形是平行四边形，又有邻边相等，即证四边形是菱形； （2）连接交于点，根据是的中点，可知，从而得到是等边三角形，最后结合菱形的性质以及等边三角形的边角关系即可解答； （3）已知的半径是2，且是等腰三角形，分三种等腰三角形的情况讨论求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：连接交于点， 是的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ，平分，，， ，， 在中，， ，， ， ； （3）解：若的半径，设， 由（1）知，，，连接， 当是等腰三角形，分类讨论： ①当时， 则,， 由三角形内角和定理可得，，解得， ， 根据勾股定理得， 故； ②当时， 则， ， ， ， 即，解得，不符合题意，舍去； ③如图，当时， ， ， ， ，， ， ， 即， 设，则， ， 即， 解得，（舍）， ， 四边形是菱形， ． 综上，边的长为或． 22．(25-26九下·湖南长沙市·二模)已知“天圆地方”观最早起源于中国古人对宇宙天地的最初认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想，在我国古代应用广泛．如秦统一货币“秦半两”（图1）．“天圆地方”的图式具有独特的形式美和意境美．如果正方形内接于，我们称这个图形是“天圆地方图”，为“天圆图”，正方形叫“地方图”． (1)如图2，四边形内接于，，，请添加一个条件：__________，可以使得图2为“天圆地方图”； (2)如图3，在“天圆地方图”中，四边形是“地方图”，为“天圆图”上一点，连接，相交于点，过点作交“天圆图”于点，连接交于点． ①写出，，之间的关系，并说明理由； ②是否存在常数和，使得等式成立，若存在，求出一对和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)略 【分析】（1）根据题意，补全一个条件能使得四边形为正方形即可； （2）①将绕点顺时针旋转得到，连接，先证，进而得到，再利用勾股定理即可求解； ②连接，，先证，再结合相似的性质得到即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一）， ， 为的直径， ， 又， ， 则四边形为长方形，又， 四边形为正方形， 故图2为“天圆地方图”； （2）①．理由如下： ∵四边形为正方形， ，． ， ， ． 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ， ，，． ， ， 在和中， ， ， ． ， ， ， ； ②当，时，等式成立．理由如下： 如图，连接，． ∵四边形为正方形， ． 又 ， ， ，即 ， ． ，， ， ，即 ， ， ， ∴当，时，等式成立． 23．(2026·湖南省湘潭市·二模)求解下列各题： (1)【自主探索】如图1，在中，，，，求边的高．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．作于点D，设，用含x的代数式表示，则_________；在和中根据勾股定理得：，，，_________； (2)【尝试运用】如图2，在中，M为弦上一点，且，连接，过M作交于点N，求的长． (3)【问题解决】如图3，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连接，，，延长，相交于点E．若，，求的半径． 【答案】(1)，9 (2) (3) 【分析】（1）根据线段和差计算，解一元二次方程即可求解． （2）如图所示，连接，过点作于点，根据题意，结合垂径定理得到的长度，通过勾股定理变形得到 ，即可求解． （3）延长交于点F，通过垂径定理和直径所对的圆周角是直角，得到是的中位线，从而求出的长度，再和用勾股定理列方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 将化简，得， 解得． （2）∵， ∴，， 如图所示，连接，过点作于点，知， ∴， ∴， ， ， ． （3）解：如图，延长交于点F， ∵点是的中点， ， 是直径， ， ， ， 根据勾股定理可知， 即， 设半径长度为r，则， 化简得， 解得（不合题意，舍去）， 的半径为． 24．(2026·湖南省长沙市·二模)为的直径，点C为圆周上一点(不与点A、点B重合)； (1)如图1，的平分线交于点D，直径，弦，求的长； (2)如图2，弦于点E，交于点D，连接，令的面积为，的面积为，的面积为，且，求的值； (3)如图3，于点E，的平分线交、分别于点M、点N，设，，求y与x之间的函数关系式（不考虑x的取值范围）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过B作于E，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合角平分线的定义求出，则，根据等角对等边得出，在中根据勾股定理可求出，根据圆周角定理得出，则，在中根据勾股定理可求出，在中根据勾股定理可求出，即可求解； （2）根据垂径定理得出，则，结合，求出，则，证明，根据相似三角形的性质求出，最后在中，根据正切的定义求解即可； （3）过N作于F，根据角平分线的性质定理得出，根据余角的性质、对顶角的性质等得出，根据等角对等边得出，证明四边形是菱形，得出，，证明，根据相似三角形的性质得出，同理，则可求，证明，根据相似三角形的性质得出得出，同理，则可求出，由（2）可求出，则，即可求解． 【详解】（1）解：过B作于E， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：过N作于F，连接， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴ ， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴． 25．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，四边形是梯形，，以为直径的半圆与交于点，连接． (1)求证：； (2)记的面积为的面积为的面积为，求的值； (3)若半圆的半径为1，令，求关于的解析式．（不考虑自变量的取值范围） 【答案】(1)见解析 (2)1 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理得出，再由等量代换得出，利用相似三角形的判定即可证明； （2）根据圆内接四边形的性质得出，再由各角之间的等量代换确定，结合相似三角形的判定和性质得出，，然后代入求解即可； （3）由（2）可知，，结合相似三角形的判定和性质得出，，进行等量代换得出，然后代入化简计算即可． 【详解】（1）证明：是半圆的直径，点在半圆上， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：四边形内接于半圆， ， ， ， 是半圆的直径，点在半圆上， ， ， ， ， ， 又， ， ， ； （3）解：由（2）可知， ， ， 半圆的半径为1， ， ， 四边形内接于半圆， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 即， ， ， ． 26．(25-26九下·湖南长郡中学·二模)如图，是四边形的外接圆，其中，连接交于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的半径为，，点是的内心，求的值； (3)若（为常数且都大于0），用含的式子表示和． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】（1）先根据在同一个圆中，弦相等，对应的角相等，得到，从而得出，由平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证出结果； （2）根据已知条件证，从而得到求出的代数式，再利用和有公共边，结合勾股定理求出的值，利用角平分线的性质及等量代换，得到，同一个三角形中，等角对等边得，最后利用勾股定理求解； （3）由（2）知，利用已知的三角函数，求出的表达式，又结合，求出的表达式，接着利用和相似三角形的判定和性质求得最终答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形． （2）解：， ，即是的角平分线， 点在上， 如图所示，在上取的内心，连接，连接交于点． ， 垂直平分，即， ， ， ， ∴，， ， ， ，即 ， ，解得， 在和中， ， ， ， 是的垂直平分线 ． ， ， ， 在中，． （3）由（2）得， ， ， 由（1）知，， ∴， ， ， ， ，在中， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ，即， ， ． 27．(2026·湖南省邵阳市·适考)如图1，已知为的直径，弦交于点（点与点不重合），连接． (1)求证：； (2)如图2，在线段上取点，使得，延长交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，在直径上取点，使得．若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)25 【分析】（1）如图，连接，证明，利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质得到，再结合圆周角定理可得，即可证明结论； （3）如图，连接，过点作于点，先说明．设的半径为，易证；再利用相似三角形的性质可得，易得即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）证明：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （3）解：如图，连接，过点作于点， ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 设的半径为， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，解得， ∴的半径长为25． 与圆有关的位置关系 考点02 1．(2026·湖南省长沙市·二模)如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A＝25°，则∠D＝（　　） A．50° B．25° C．40° D．65° 【答案】C 【分析】连接OC，先根据圆周角定理得∠DOC=2∠A=50°，再根据切线的性质定理得∠OCD=90°，则此题易解． 【详解】连接OC， ∵∠A=25°， ∴∠DOC=2∠A=50°， 又∵∠OCD=90°， ∴∠D=40°． 故选C． 【点睛】此题综合运用了切线的性质定理、圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余的性质． 2．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，是的直径，，的延长线与的切线交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，结合直角三角形两个锐角互余即可求解． 【详解】解：，， ， 是的直径， ， ． 3．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，是的切线，切点分别是P、C、D．若，则的长是（　　）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据是的切线，则，再求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵为的切线， ∴． ∵为的切线， ∴． ∵， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键． 4．(25-26九下·湖南长郡中学·二模)如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则__________． 【答案】 【分析】连接，设与交于点，根据切线的性质结合勾股定理求出的长，进而求出，解，求出的长，即可． 【详解】解：连接，则， ∵与相切， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵为直径，且， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 5．(25-26九下·湖南株洲市株洲县·二模)如图，，与分别相切于点，，，相交于点，是上一点，，，则的面积是 _________________． 【答案】 【分析】由、分别切于、，由切线的性质，即可得，，又由圆周角定理，求得的度数，进而求得的大小，由切线长定理，可求得的度数，求得的度数，易得是的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得与的长，从而求得答案． 【详解】解：、分别切于、， ，， ， ， ， 、分别切于、， ，，， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分线上， 即是的垂直平分线， 即，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 的面积为：． 6．(2026·湖南省永州市·二模)如图，是的直径，点在上，连接，，过点作的切线，过点作的垂线交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质，可得，结合已知可得，可得，由等边对等角，等量代换，可得，即可证得结论； （2）用勾股定理解，即可得的长，证明，进一步求解即可． 【详解】（1）证明：如图．连接， 为的切线，为的半径， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：是的直径， ， ， ， ，， 在中， 根据勾股定理，得， 由（1）可知，， ， ，即， ． 7．(25-26九下·湖南益阳市·二模)如图，是的直径，是上的两点，连接，且平分．过点作的垂线交的延长线于点． (1)证明：是的切线； (2)过点作圆的切线交的延长线于点，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，则，再证明，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到的度数，再由切线的性质得到的度数，再根据四边形的内角和为360度可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）得，是的切线 ∵， ∴， 由切线的性质可得， ∴． 8．(2026·湖南省娄底市·)如图，已知内接于，点在的延长线上，连接，，满足，_____________．请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)与相切，理由见解析 【分析】（）选择①：由圆周角定理得，进而得到是等边三角形即可求解；选择②：由邻补角性质得，进而得到是等边三角形即可求解； （）证明即可求证． 【详解】（1）解：选择①：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 选择②：∵， ∴ ， ∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：与相切，理由如下： 由（）知，， ∵， ∴ ，即， ∵是的半径， ∴与相切． 9．(2026·湖南省邵阳市·二模)如图，在中，点在上，以为圆心，长为半径作圆，恰好与相切于点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为6 【分析】（1）首先连接，利用切线性质得到，从而推出，接着利用半径相等（）和三角形外角性质，得出，结合已知条件，通过等量代换得到，最后将代入互余关系中，证得，即，从而完成证明； （2）在已知和的情况下，首先在中利用三角函数定义求出斜边的长，再利用勾股定理求出的长，接着，通过证明（利用公共角和第一问证得的），建立对应边成比例的关系式。设半径为，将、及已知线段长代入比例式，列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切， ，， ， ， ， ， ， ， ， 半径于点， 为的切线． （2）解：由知， 在中，， ， ， ，， ， ， 设的半径为，则有， 解得：， 的半径为6． 10．(2026·湖南省娄底市·二模)如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点． (1)若，求的度数． (2)若，，求半径的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得，即可求解； （2）连接，根据题意可得与相切于点，得到，根据圆周角定理可得，等腰三角形的性质可得，从而得到，从而解得，根据含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：如图，连接， ． ， ， ． 与相切于点， ， ， ． ， ， 半径的长为3． 11．(2026·湖南省张家界市·二模)如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 12．(2026·湖南省衡阳市·二模)如图，在中，，E为上一点，以为直径作交于点D，交于点F，且D为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)半径为5， 【分析】（1）连接，则，证明，求出，即，根据是的半径，即可得到结论； （2）根据题意求出，证明，根据相似三角形对应线段成比例得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， D为的中点， ， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ，解得， ， 的半径为5， ， ． ， ， ，即， ． 13．(2026·湖南省湘潭市·二模)如图，是的外接圆，是的直径，与过点的切线平行，，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由切线的性质和可得，由垂径定理可得，从而得到垂直平分，最后利用垂直平分线的性质即可得证； （2）先利用勾股定理得到，然后利用两组对应角相等证明，从而得到，代入数据计算即可． 【详解】（1）证明：∵直线切于点，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）如图，连接， 由（1）知：，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， 即， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，垂直平分线的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余等知识．通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键． 14．(2026·湖南省常德市·二模)如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于．过点作于点，交于，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，直径所对的圆周角是，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，锐角三角函数． （1）连接，由垂径定理可得，通过，得，通过，可得，根据切线的判定定理，即可求解； （2）由，是的直径，可得，根据锐角三角函数可求，的长度，由，可得，在中，根据锐角三角函数，即可求解， 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴是的切线， （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， 故答案为：． 15．(2026·湖南省岳阳市·二模)如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，使． (1)求证：是的切线． (2)过点作，垂足为，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角函数、切线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据直径得到求得，根据等腰三角形的性质得出，推出，根据切线的判定定理即可得出结论； （2）由勾股定理可得，即可得出． 【详解】（1）证明：连接 是 的直径， 即： 又 是的切线． （2）解：， 即 16．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)如图，四边形是⊙的内接四边形，是⊙的直径，连接，将线段绕点顺时针方向旋转一定角度得到线段．过点作，交的延长线于点，连接，． (1)若平分，求证：四边形是菱形； (2)若，求证：直线是⊙的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 （1）根据平行线的性质可证，根据角平分线的性质可证，根据等角对等边可证，等量代换可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证结论成立； （2）连接，根据两个角对应相等的两个三角形相似可证，根据相似三角形的性质可证，由旋转可证，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，根据相似三角形的对应角相等和平行线的性质可证，根据圆内接四边形的性质和三角形外角的性质可证，根据直径所对的圆周角是直角，可证，从而可证结论成立． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， 由旋转可知， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）证明：如下图所示，连接， ，， ， ， 由旋转可知， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是⊙的内接四边形， ， 又， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 点在上， 是的切线． 与圆有关的计算 考点03 1．(2026·湖南省张家界市·二模)如图，圆锥的底面半径，高，该圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积计算它的侧面积即可． 【详解】解：圆锥的母线的长， 这个圆锥的侧面积， 故选：C． 2．(2026·湖南省娄底市·二模)如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是劣弧的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用等边三角形及圆的性质，求出的度数、的长度，再证明为等腰三角形，阴影部分面积等于以为圆心、为半径的扇形的面积，代入扇形面积公式求解． 【详解】解：是等边三角形， ， 根据圆内接四边形对角互补，得， 是劣弧的中点， ∴， ，即为等腰三角形， 如图，连接、，过作于， 等边边长， 是外接圆圆心，， ， 在 中，，，即， 解得，即半径为， 是劣弧中点，，， 由圆周角定理及等腰三角形性质，可求得， 阴影部分面积为扇形的面积， 扇形面积公式：（为圆心角度数，为半径）， 代入， 阴影部分面积． 3．(25-26九下·湖南益阳市·二模)如图，某游乐场的旋转木马旋转一周需240秒，旋转半径是6米．旋转时，一木马某时刻在点处，80秒后旋转到点，则该木马旋转的路径长（即弧的长）为__________．（结果保留） 【答案】米 【详解】解：由题意可知，旋转木马旋转一周的时间为240秒，对应的圆心角为， 秒旋转的圆心角度数为， 根据弧长公式，其中，， 该木马旋转的路径长为（米）． 4．(2026·湖南省长沙市·二模)若扇形的圆心角为，半径为8，则该扇形的弧长为_____ 【答案】 【分析】将已知圆心角，半径代入弧长公式计算即可． 【详解】解：∵圆心角度数，半径， ∴该扇形的弧长为． 5．(2026九·4月湖南省邵阳市·适考)已知某扇形的半径为6厘米，弧长为厘米，则该扇形的面积是__________平方厘米（结果保留）． 【答案】 【分析】直接利用扇形面积公式计算得到结果. 【详解】解：扇形的面积公式为 ，其中是扇形的弧长，是扇形的半径， 将，代入公式得： . 6．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图1是岳麓书院屋顶的图片，屋顶瓦片如图2，瓦片横截面如图3所示，是以点为圆心，为半径的弧，已知是边长为的等边三角形，则的长是_______．（结果保留） 【答案】 【分析】根据，得到为等边三角形，得到圆心角，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：， 为等边三角形， ∴， 的长． 7．(2026·湖南省邵阳市·二模)如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积等于______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面积． 【详解】解：根据题意得圆锥的母线长为， 所以该圆锥的侧面积． 8．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图①是一种可折叠圆桌，图②是其折叠前后的桌面示意图（阴影部分表示可折叠部分），已知折叠后的桌面是一个面积为的正方形，则可折叠部分的面积为______． 【答案】 【分析】解法一：设圆形桌面的圆心为O，连接，根据进行解答即可；解法二：设圆形桌面的圆心为O，连接，根据进行解答即可． 【详解】解法一：如解图①，设圆形桌面的圆心为O，连接， ∵正方形的面积为， ∴， ∴为的直径，， ∴， ∴． 解法二：如解图②，设圆形桌面的圆心为O，连接， ∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ． 9．(2026·湖南省永州市·二模)如图1是一个用于野营的竹节灯笼帐篷，其内部是一个由牛津布制作的无底圆锥，展开为如图2所示的扇形，已知圆锥母线长度为3米，扇形圆心角为，则这个牛津布的面积是______平方米．（结果保留） 【答案】 【详解】解：根据题意，得牛津布的面积（平方米）． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $