2025年湖南省娄底市新化县九年级中考数学二模试卷

2025年湖南省娄底市新化县中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数：0，，，，，，其中是负数的是(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.下列计算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 3.2025年春节是中国“春节”申遗成功后的首个农历新年，被称为首个“非遗版”春节，为迎接这个特别的春节，各地开展了丰富多彩的非遗主题活动.根据山西省文化和旅游厅数据统计，2025年春节放假期间全省共接待国内游客万人次，同比增长数据“万”用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.2024年11月4日，神舟十八号号载人飞船返回舱成功着陆，创造了中国航天员“太空出差”时长新纪录.下列航天图标是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 5.菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄单位：岁分别为：36，39，35，38，则这组数据的中位数是(    ) A. 35 B. 36 C. 37 D. 39 6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知，点A在边OM上，，以点A为圆心，OA的长为半径画弧交ON于点B，连接AB；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线PQ交OB于点C，则CB的长为(    ) A. 2 B. C. 4 D. 8.如图，中，，，，则的内切圆半径r为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x，y的方程组的解为(    ) A. B. C. D. 10.定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换.如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.要使二次根式有意义，则实数x取值范围是______. 12.已知反比例函数的图象经过点和点，如果点A与B关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是______. 13.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取1本，则抽到《论语》的概率是______. 14.若关于x的分式方程有增根，则a的值为______. 15.关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______. 16.光从一种介质射向另一种介质时会发生折射.如图，用直线m，n表示一块玻璃的两个面，且现有一束光线AB从空气射向玻璃，BC是折射光线，D为射线AB延长线上一点.若，，则______. 17.点E为正方形ABCD的边AB上一点，连接DE，AC，且DE与AC相交于点若则______. 18.“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型.图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则______. 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题6分 计算 20.本小题6分 先化简，再求值：，其中 21.本小题8分 为进一步提高课后服务质量，将“双减”政策落地，某校课后开设了“园艺、围棋、面塑、数独、编织”五大类课程.为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查每人必选且只选一类最喜欢的课程，将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.请根据统计图提供的信息，解答下列问题： 扇形统计图中，m的值为______；“编织”所对应的圆心角的度数为______； 请补全条形统计图； 假设本校八年级共有1200名学生，请估算选择“围棋”的有多少人？ 22.本小题8分 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分，过点D作，过点C作，DP、CP交于点P，连接 求证：四边形ABCD是菱形； 若，，求OP的长. 23.本小题9分 袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里！”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需万元. 求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ 若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？ 24.本小题9分 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力.作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔，某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升8s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，结果精确到参考数据：，， 求无人机从点B到点C处的飞行距离； 求四门塔DE的高度. 25.本小题10分 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点不包括点A，点 求抛物线的解析式； 如图1，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； 如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为求mn的值. 26.本小题10分   如图，的半径为1，直径AB，CD的夹角，点P是上一点，连接PA，PC分别交CD，AB于点M， 若，求证： 当点P在上运动时， ①猜想：线段AM与CN有怎样的数量关系，并给出证明. ②求证：   答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：，是负数， 故选： 根据正数与负数的定义即可判断． 本题考查正数与负数，属于基础题型． 2.【答案】D  【解析】解：，故此选项不合题意； B.，故此选项不合题意； C.，故此选项不合题意； D.，故此选项符合题意． 故选： 直接利用整式的除法运算法则以及完全平方公式、积的乘方运算法则、二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案． 此题主要考查了整式的除法运算以及完全平方公式、积的乘方运算、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3.【答案】B  【解析】解：万 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】D  【解析】解：A、B、C中的图形不是中心对称图形，故选项A、B、C不符合题意； D图形是中心对称图形，故选项D符合题意． 故选： 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义． 5.【答案】C  【解析】解：把数据从小到大排列为35，36，38，39， 所以中位数为 故选： 先把数据从小到大排列，再求出中间两个数的平均数即可． 本题考查了中位数，能熟记中位数的定义把一组数据从小到大或从大到小排列，处于中间位置的一个数或两个数的平均数叫这组数据的中位数是解此题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下， ， 故选： 先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：由题意得，， ， 由作图知，CQ垂直平分AB， ， ， ， ， 故选： 根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，以及直角三角形的性质即可得到结论． 本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：设的内切圆与各边相切于D，E，F，如图，连接OD，OE，OF， 则，，， 设半径为r，则， ，，， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ，， ， 的内切圆的半径为 故选： 首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BF，而它们的和等于AB，得到关于r的方程，即可求出． 此题主要考查了勾股定理，三角形的内切圆与内心，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：由条件可知：当时，， ， 关于x，y的方程组的解为， 故选： 将点代入：得出，即可求解． 本题考查了一次函数与二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解与交点坐标对应是关键． 10.【答案】A  【解析】解：如图，由题知，将点向上平移2个单位所得点M的坐标为 ，， 将点绕原点按逆时针方向旋转， ， 过点作y轴的垂线，垂足为A， 则， 所以点的坐标为， 故选： 由题易得点向上平移2个单位所得点的坐标为，以及与y轴夹角为，进而求解即可． 本题主要考查了坐标的平移和旋转，画出图形，利用特殊角求解即可． 11.【答案】  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：反比例函数的图象经过点和点，且点A与B关于原点对称， ，， ，， 设反比例函数解析式为，代入点A坐标可得， 反比例函数的解析式为 故答案为： 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解答本题的关键． 13.【答案】  【解析】解：从这四部著作中随机抽取1本，共有4种等可能的结果， 抽到《论语》的概率， 故答案为： 根据概率公式进行计算即可． 此题考查了概率公式，解题的关键是熟悉概率公式． 14.【答案】  【解析】解：， ，  ， 由题意可得： 将代入，得， 故答案为： 将分式方程去分母得，由分式方程的增根是，代入计算即可． 本题主要考查分式方程的增根的知识，理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键． 15.【答案】1  【解析】解：设另一根为a，根据两根之和得：， 解得， 故答案为： 设另一根为a，根据两根之和为，进行求解即可． 本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 16.【答案】  【解析】解：，， ， ， ， 故答案为： 先根据补角的定义求出的度数，进而可得出的度数，由平行线的性质即可得出结论． 本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是正方形， ，， ∽， ， ， ， 令，， ， ， ， 故答案为： 由∽，推出，得到，因此，令，，由勾股定理得到，即可求出由，得到 本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的性质，关键是由∽，得到 18.【答案】72  【解析】解：的周长为， 顺时针转动2周时，点P移动的弧长为， ， 解得， 故答案为： 利用弧长公式根据点P移动的弧长个周长，列出关于n的方程，解方程即可． 本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 19.【答案】  【解析】解：原式 直接利用负整数指数幂的性质一绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案． 此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 20.【答案】解： ， 当时，原式  【解析】分式的化简，利用公式通分化简，再代入求值． 本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，正确计算是解题的关键． 21.【答案】25，72；   见解析；   360人．  【解析】用选择围棋的人数除以其人数占比可得：人， 本次共调查了80人， ， ； “编织”所对应的圆心角的度数为； 故答案为：25，72； 选择面塑的人数为人， 补全统计图如下： 人， 答：估计选择“围棋”的有360人． 用选择围棋的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，用园艺的人数除以参与调查的人数即可求出m的值，用360度乘以选择编织的人数占比即可得到答案； 先求出选择面塑的人数，据此补全统计图即可； 用1200乘以样本中选择选择“围棋”的人数占比即可得到答案． 本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，熟练掌握以上知识点是关键． 22.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ， 平分， ， 四边形ABCD是菱形； 解：在菱形ABCD中，，， ，，， ， ，， 四边形OCPD是平行四边形， ， 四边形OCPD是矩形，   【解析】根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的性质得到，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形； 根据已知条件得到，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 23.【答案】购进1件甲种农机和1件乙种农机各需万元和万元；   方案一：购进甲种农机3件，购进乙种农机7件；方案二：购进甲种农机4件，购进乙种农机6件；方案三：购进甲种农机5件，购进乙种农机5件．  【解析】设购进1件甲种农机和1件乙种农机各需x万元和y万元，由题意，得： ， 解得， 即购进1件甲种农机和1件乙种农机各需万元和万元， 答：购进1件甲种农机和1件乙种农机各需万元和万元； 设购进甲种农机m件，则购进乙种农机件，由题意列不等式得： ， 整理得，， 解得， 为整数， ，4，5， ，6，5； 共有3种购买方案：方案一：购进甲种农机3件，购进乙种农机7件； 方案二：购进甲种农机4件，购进乙种农机6件； 方案三：购进甲种农机5件，购进乙种农机5件． 设购进1件甲种农机和1件乙种农机各需x万元和y万元，根据购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需万元，列出方程组进行求解即可； 设购进甲种农机m件，根据投入资金不少于万元且不超过12万元，列出不等式组进行求解即可． 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键． 24.【答案】解：由题意可知：， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， 答：无人机从点B到点C处的飞行距离为80m； 如图，延长ED交BC的延长线于点F， 则四边形ABFE为矩形， ， 设， 则， 在中，， 则， ， 在中，， ， ，即， ， ， ， 答：四门塔DE的高度约为  【解析】根据题意求出AB，再根据等腰直角三角形的性质求出BC； 延长ED交BC的延长线于点F，设，用x表示出DF、BF，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 25.【答案】；   面积的最大值是，点P的坐标为；     【解析】抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，将点A和点B的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 如图1，过点P作轴，交AB于点H， 设直线AB的解析式为，把点和点B的坐标分别代入得： ， 解得：， 直线AB的解析式为， 点P是抛物线上点A与点C之间的动点不包括点A，点， 设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为， 点H的横坐标为x，点H的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点P的坐标为； 设直线MN的解析式为， 联立得：， 整理得：， ， 一元二次方程：有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为m、n， 利用待定系数法把点和点的坐标代入得到，解方程组求出a、c的值，可得抛物线的解析式； 过点P作轴，交AB于点H，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，，此时P的坐标为； 设直线MN的解析式为，因为M、N是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的交点问题等知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． 26.【答案】证明：连接OP， ，， ， ，           ， ， ； 解：① 证明：连接AD， ，， 是等边三角形， ，， ，， ，， 在和中， ， ≌， ； ②证明：的半径为1， ， ，， ， 又， ∽， ， ，即， ，， ∽， ， ，即， ≌， ，， 又，   【解析】由圆周角定理得出，由三角形内角和定理可求出，则可得出结论； ①连接AD，证出，，证明≌，由全等三角形的性质得出； ②证明∽，由相似三角形的性质得出，证明∽，由相似三角形的性质得出，由全等三角形的性质得出，，代入并化简整理可得出答案． 本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $