专题05四边形（3大考点）（湖南专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦四边形三大核心考点，汇编湖南省多地二模真题，涵盖多边形、平行四边形及特殊平行四边形，注重情境化与层次性设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|25题|多边形内角和、平行四边形性质、特殊平行四边形判定|结合民族文化（正六边形窗户）、科技情境（烯分子结构）| |解答题|15题|动态几何、折叠问题、综合证明|分层设计（特例感知-问题探究-拓展延伸），融入实践操作（折纸探究角）|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05四边形 ☆3大考点概览 考点01多边形 考点02平行四边形 考点03特殊平行四边形 考点01 多边形 1.(2026湖南省张家界市·二模)五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子(C60)中的微粒像足 球一样团结在一起.一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）.如图②，在正六边 形ABCDEF中，连接BE,若BE=18,则正六边形ABCDEF的边长为() D 图① 图② A.6 B.9 C.12 D.18 2.(2026湖南省娄底市·二模)如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数， 则所量内角的度数为() 10 8090 100110 105 50 120 13 A.100° B.110° C.120° D.130 3.(2026湖南省娄底市·二模)直线1与正六边形ABCDEF的边AB,EF分别相交于点M,N,如图所示，则a+B= () 1/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A ayM B C D A.115° B.120° C.135 D.144° 4.(2026湖南省邵阳市·二模)若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为 度 5.(2026·湖南省郴州市·二模)图1所示是我国古代园林连廊常采用正八边形窗户设计，图2是正八边形窗户 的示意图，它的一个外角∠1为 度 图1 图2 6.(2026湖南省娄底市·二模)数学操作实践课上，小明以AB为边长分别向两边作了正五边形ABCDE和正六 边形ABFD1C1B1,如图，在操作过程中，他将点C和点F连接在一起，则图中LBCF的度数是 D B 7.(2026湖南省长那中学·二模)如图，五边形ABCDE中，∠B=120°，∠C=110°，∠D=105°，则∠A+∠E= C B 8,(25-26九下·湖南长沙市·二模)如果一个正多边形的内角和等于外角和的4倍，则这个正多边形每个外角 的度数为°. 9,(2026湖南省湘潭市·二模)如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的 顶点A处.两枚跳棋跳动规则是红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1 2/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过1002秒钟后，两枚跳棋之间的距离是 D 10.(2026湖南省邵阳市·二模)如图，正六边形ABCDEF的边长为4，动点M、N分别从点A、D同时出发，以 相同的速度沿AF,DC向终点F,C运动，过点F作FH⊥MN,垂足为H点，连接CH、CE,当LHCE最大时， 线段CH的长为 AM H C D 考点02 平行四边形 1.(25-26九下湖南长沙市二模如图，在口ABCD中，E为BC的中点，AE恰好平分∠BAD,若CE=3,则口ABCD 的周长为() A.9 B.12 C.18 D.24 2.(2026·湖南省娄底市·)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中点，EF‖AB 交BC于点F.若AB=4,则EF的长为() D E A.月 B.1 c.i D.2 3.(2026湖南省长沙市·二模)如图，P是面积为S的口ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1,△PBC的面 积为S2,则() 3/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.51+S2> B.S1+S2< C.51+S2= D,S1+S2的大小与P点位置有关 4.(2026湖南省湘潭市·二模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,BC=5,点P为BC边上任意一 点，连接PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ长度的最小值为() B P A.2 B. c. D.号 5.(2026湖南省湘潭市·二模)如图，在平面直角坐标系中，口ABCD的对角线AC,BD的交点是原点O.已知 点C的坐标是(2,1)，则点A的坐标是 D 6.(25-26九上·湖南邵阳二模)如图，在△ABC中，点O,D分别是边AB,BC的中点，过点A作AEIIBC:交DO 的延长线于点E,连接AD,BE. B D (1)求证：四边形AEBD是平行四边形； (②)若AB=AC,试判断四边形AEBD的形状，并证明， 7.(25-26九下·湖南株洲第十九中学)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边BC上一点，连接BD,AE, 它们相交于点F,且∠BDA=∠BAE 4/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C (I)求证：BE2=EFAE; (2)若BE=4,EF=2,DF=9,求AB的长. 8,(2026九湖南省怀化市·二模)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点E,连接 DE.已知AB IICD,OB=OD. (I)求证：四边形ABCD是平行四边形； (②)下面是两位同学的对话，请你选择一位同学的说法，并进行解答 小星：若添加条件BE=2BC,△BDE的面积为8，则可计算△ABO的面积， 小红；若添加条件BE=2BC,△ABO的面积为2，则可计算△BDE的面积. 9.(2026九·湖南省长沙市·二模)如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE,CE,BE=BC, 点F,G分别是BE,CE的中点，连接FG,DG (I)求证：四边形EFGD是菱形； (②)连接DF交EC于点H,若DF=8,cos∠BEC=号，求平行四边形ABCD的面积. 10.(25-26九下·湖南娄底市·二模)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在口ABCD 内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. 图1 图2 【特例感知】 5/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)如图1，当CE=BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ; 【问题探究】 (2)在(1)的条件下，若CG=3,GQ=5,求DQ的长； 【拓展延伸】 (3)如图2，当GB=2B时，点P在BC边上，若器=片求光的值.《用含n的代数式表示) 考点03 特殊平行四边形 1.(2026九·湖南省怀化市·二模)中国结寓意团圆、美满.劳技课上小敏设计了一个菱形中国结饰品如图1， 其示意图如图2，量得AB=10cm,AC=12cm,则该菱形的面积为() B 图1 图2 A.192cm2 B.120cm2 C.108cm2 D.96cm2 2.(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接AC,BE交于点F.若AE=2 cm,ED=4cm,AF=3cm,则FC的长为() E F B A.6cm B.8cm C.9cm D.10cm 3.(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，己知四边形ABCD是边长为9的正方形，点E,F,G分别为边AB,BC ,CD上的点，连接EF,FG,且AE=EF=5,∠EFG=90°，则DC的长为() 6/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B A. B.4 c D.5 4.(2026湖南省娄底市·二模)如图，把一个有30的直角三角板放到一个矩形方框内，三个顶点均在方框边 上，连接DF,若LCFG=30°，FG=1,则DE的长为() A. B.2 C.3 D.9 5.(2026湖南省邵阳市·二模)如图，己知矩形ABCD,点E是BC边的中点，BC:AC=4:5,DE与AC相交于点 F,连接BF,下列结论：①SAABF=SAADF;②tan4CED=;③SACDF=2 SACEF;④AC L DE,其中正确 的结论有() D B E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(25-26九下·湖南长沙市·二模)把三张大小相同的正方形卡片A,B,C叠放在一个底面为正方形的盒底上， 底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图①，②摆放，阴影部分的周长分别为C1和C2,则C1和C2的大 小关系是() B ① ② A.C1=C2 B.C1>C2 C.C1<C2 D,无法确定 7/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2026·湖南省湘潭市·二模如图，正方形ABCD的顶点C与正方形DNCH的边NG均在直线L上，BM⊥l于点M, 若CM=2,则正方形DNGH的周长为() D B A.6 B.8 C.10 D.12 8.(2026湖南省衡阳市·二模)如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F, AE=6,∠AEB=60,则EF的值为 F D E 9.(25-26九上·湖南邵阳·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,点E、F分别是边AD、CD上的动点， 连接BE、EF,点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH,则GH的最大值是， E D 10.(25-26九上·湖南郴州市·二模)如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别是BC,AC的中点.过点A作AF 交DE的延长线于点F,连接CF B D (1)已知 请从“①AFIBC;②DF=AC这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填 序号①或②) 在(1)的条件下，再解决下列问题： (2)求证：四边形ABDF是平行四边形； (3)判断四边形ADCF的形状，并说明理由. 8/18 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(25-26九下·湖南益阳市·二模)在平面直角坐标系中，若存在实数t,使得t(a+2)-b=0,则t称为点(a,b) 的“特定点值”.如图，矩形ABCD三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(6,1),D(2,3). D (1)则点A的“特定点值”t等于 (2)若点(a,b)是矩形ABCD边上的动点，则下列关于点(a,b)的特定点值”t的结论正确的是 (填 写序号) ①当点(a,b)在边AD上时，t随着b的增大而增大； ②当点(a,b)在边BC上时，则后≤t≤： ③在矩形ABCD边上有且只有一个点的“特定点值”为号 12,(25-26九下·湖南邵阳市·二模)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=2,P是AB边上的一点，E,F分 别是DP,BP的中点，则线段EF的长为 13.(2026九·湖南省常德市·二模)如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，连接AC,点E,F分别是AC,BC上的点， 且EF垂直平分BC,若CE=2cm,则菱形ABCD的面积等于 cm2 D E B F 14.(2026·湖南省湘潭市·二模)如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C 的路径行进，过点P作PQ⊥CD,垂足为Q,设点P的运动路程为x,PQ与DQ的差值(PQ-DQ)为y,y 与x的函数图象如图2，则AD的长为 9/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P 图1 图2 15.(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，正方形ABCD的边长为3，P为CD上一点，沿AP折叠△ADP,使点 D落在点D处，延长PD交BC于点Q,若LCPQ=60°，则DP的长为 D D B 9 16,(25-26九下·湖南郴州市·二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4.将△ABC沿AC折叠， 点B的对应点为D,E为AD的中点，线段MN的端点M,N在AD,CD上滑动，MN=2. EM Bh. (1)若DM=1,则DN= (2)下列结论正确的是 (写出所有正确的答案) ①LACE=LDCE; ②0≤DN≤2； ③M,N两点不可能同时为线段DE,DC的中点. 17.(2026湖南省永州市·二模)定义：对于平面内一点P(xp,yp)及其关于直线的对称点P'(xp,yp),将点P与 点P的横坐标之比称为点P关于直线的横折比，记作h(P,).规定当xP≠0时，h(P,)=号，当xp=0时，h (P,)=xp.如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABC的顶点0为原点，A(16,0),C(0,12),点D在边0A上， 连接CD,点0与点O'关于直线CD对称，O0交CD于点P,h(O,CD)=12,且0D⊥OA,过点P作PE II OA交OC 于点E,连接EO'交CD于点Q,连接OQ并延长交BC于点M. 10/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 W M O'B o D (1)h(C,00')的值为 ； (2)器赠的值为 18,(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线BE和LBCD的平分线CE交于点E, 点E在AD边上，以BE,CE为边作□BECF. B (I)求证：四边形BECF是矩形； (2)若AD=2,∠D=60°，求四边形BECF的周长. 19,(2026湖南省邵阳市·适考)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC上的一点，且AE=CF,AF与CE 交于点0. D B (I)求证：△ABF兰△CBE: (②)若∠B=130°，∠BAF=12°，求∠A0E的度数 20.(2026湖南省长沙市·适考)如图，己知四边形ABCD是矩形，连接对角线BD,∠ADB的平分线交CB延长 线于点E,交AB于点F. (I)求证：BD=BE; 11/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()②连接CF,若tan-ADE=2CD=4,求CF的长. 21.(25-26九下·湖南长郡中学·二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, A0=B0. (1)求证：∠ABC=90°； (2)点E在BC边上，满足∠CE0=∠C0E,若AB=10,BC=24,求CE的长及cosLCE(0的值. 22.(25-26九下·湖南邵阳市·二模)如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,AF 与DE交于点O, (I)求证：四边形AEFD是矩形： (2)若∠BAF=90°，AB=6,0E=4,求DF的长. 23.(2026湖南省湘潭市·二模)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DEI‖AC,且 DE=OC,连接CE, D B (I)求证：四边形OCED为矩形； (2)连接AE,BD=4,AE=2V10,求菱形ABCD面积. 24,(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，在口ABCD中，AB=AC,BE⊥AC于点E.延长BC至点F,使 CF=CE,连接EF交CD于点G,且EF=BE. B (I)求证：口ABCD是菱形； 12/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若CE=3,求DG的长度. 25.(2026湖南省长沙市·二模)如图，点E在口ABCD的对角线DB的延长线上，AE=AD,AF⊥BD于点F, EG I BC交AF的延长线于点G,连接DG. B (I)求证：四边形AEGD是菱形； (②若AF=BF,tanLAEF=克，AB=4,求菱形AEGD的面积. 26.(25-26九下·湖南娄底市·二模)如图，矩形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，将四边形CDEF沿EF对折 至四边形GHEF,使G点落在AB上，GH与AD交于点P. H A D G G 图1 图2 (I)求证：△FBG一△GAP; (2)如图1，若GA=4,GB=3,BC=9,求PH的长： (3)如图2，当G为AB中点，P为AD中点时，AB与AD有何数量关系？并说明理由. 27.(2026湖南省岳阳市·二模)【问题情境】 在矩形ABCD中，点O为线段BC上一点，连接AO,将△ABO沿AO所在的直线翻折，得到△AOP,延长AP交 线段CD边于点E,射线AO与射线DC交于点F,如图(1). P 图(1) 图(2) (备用图) (1)【问题解决】若AB=3,AD=4. ①当点O是BC的中点时，求OP的长； 13/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②当B0=CO时，求AE的长； (②)【问题探究】连接0B,如图(2).若△P0E为直角三角形，且满足an∠0FE=子，试探究线段AB与线段 BC的数量关系， 28.(2026九·湖南省常德市·二模)在一堂数学实践课上，老师提供正方形与矩形两种纸片，让同学们以“用 纸片折出60°角”为主题开展活动. A D A ME ND A D A D E B H 图1 图2 B 图3 (1)探究一： A小组选择矩形纸片，操作步骤如下： 第一步：将矩形纸片对折两次，展开平铺后如图1所示； 第二步：折叠纸片，使得B的对应点B落在折痕EF上，折痕为GH,即可得到60°角. 问题一：请证明LAGB'=60° (2)探究二： B小组选择正方形纸片，操作步骤如下： 第一步：对折纸片，使AB与CD重合，折痕为EF; 第二步：折叠纸片，使A、D的对应点G落在EF上，折痕分别为BM,CN; 由折叠性质可知：AB=BG,CD=CG,又因为正方形四边相等，可以得到：BG=BC=CG,即△GBC为正 三角形，因此可得到60°角.A小组对图2进一步研究，惊喜地发现利用下图还可以求出tan15° 问题二：当正方形边长为4时，请你帮B小组求出tan15 (3)综合运用： 如图3，矩形ABCD中，BC=24cm,AB=14cm,G是AB中点，H是BC边上的动点，将△GBH沿GH折叠得 到△GBH. 14/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①当∠GHB=15时，BH= ②连接DB,当H在BC上运动时，DB是否存在最小值？若有，请直接写出DB最小值及此时BH的长；若无， 请说明理由 29,(2026湖南省娄底市)【问题背景与动手操作】 如图，在菱形纸片ABCD中，∠BAD=120°，点E在CD边上，且CE=2DE,点F在BC边上，连接EF,把菱形 纸片ABCD沿着EF折叠，点C的对应点为点P. 【初步感知】 如图1，连接BD B 图1 (1)∠CBD= °；（直接写出结果） (2)若折叠后满足PF⊥BC,请探究线段PE与BD之间的位置关系和数量关系； (3)【问题探究】 若折叠后点P恰好位于菱形纸片ABCD的对角线上，请在备用图中补全图形，并求出的值. B 备用图 30.(25-26九下·湖南郴州市·二模)【动手操作】如图1，在矩形纸片ABCD中，在边BC上取一点E,连接 AE,沿着直线AE将纸片剪开，得到△A1B1E1和四边形AECD,如图2所示， E D 4(A) B EE B 图1 图2 图3 15/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将三角形纸片A1B1E1置于四边形纸片AECD上方，使得A点与A1点重合，B1点在边AD上.连接EE1,交边AD 于点F.连接BB1,分别交线段AE,EE1于点H,G,如图3所示. 【问题解决】在图3中，请解决下列问题 (1)∠AEE1= 度； (2)求证：EG·AF=HG·AE1; ()③若Ftan-EAB=求的值. 1 31,(25-26九下·湖南邵阳市·二模)某校数学活动小组探究了如下数学问题： 图1 图2 图3 (I)问题发现如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点P是底边BC上一点，连接AP,以AP为腰作等 腰Rt△APQ,且∠PAQ=90°，连接CQ,则BP和CQ的数量关系是； (2)变式探究如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点P是腰AB上一点，连接CP,以CP为底边作等 腰Rt△CPQ,连接AQ,判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； (3)问题解决如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF,点Q是正方形DPEF 两条对角线的交点，连接CQ,若正方形DPEF的边长为W58,CQ=2W2,求正方形ABCD的边长 32.(2026湖南省益阳市沅江市·二模)如图1，在正方形ABCD中，将边AB绕点A顺时针旋转a(0°<a<90) 得到AE,连接BE,射线DE交边AB于点K,交CB的延长线于点F, D D K E K E B 图1 图2 图3 (I)填空：∠BEK= 度，并说明理由； (2)如图2，点G在射线BA上，连接EG.若BG=BF,求证：EG2=2BE2+EF2, (③)如图3，若边AB绕点A顺时针旋转得到AB,使得E=16士时，求然的值。 2 33.(25-26九下·湖南益阳市·二模)如图1，点E是正方形ABCD边BC上的动点（不与点B,C重合），将线段AE 绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,过点F作FG⊥BC,交BC的延长线于点G.边DC分别与AF,EF相交于点 M,N. 16/18 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D M F G E 图1 图2 (I)证明：△ABE兰△EGF. (2)已知正方形ABCD的边长为1，设BE=a. ①求别的值；（结果用含a的式子表示） ②如图2，连接EM,当线段CN的长度取得最大值时，求tanMEF的值， 34.(2026·湖南省湘潭市·二模)定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂 四边形. (1)如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135°<∠AEB<180°，求证：四边形BEGD是“等垂 四边形”； (2)如图②，四边形ABCD是等垂四边形”，AD≠BC,连接BD,点E,F,G分别是AD,BC,BD的中点， 连接EG,FG,EF.试判定△EFG的形状，并证明； (3)如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD=4,BC=6,试求边AB长的最小值 G 35.(2026湖南省张家界市·二模)完成下列题目 图1 图2 图3 备用图 17/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，点F是BC延长线上一点，且BE=DF. ①求证：△BCE≌△DCF; ②直接写出BE与DF之间的位置关系； (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=15,AD=20,点E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到△BEG,延 长DG,与BC的延长线相交于点F.当CE=2DE时，求CF的长； (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E是CD边上一点，且DE=2CE,F为BC延长线上一点，连接DF 交射线BE于点G,当线段DF与射线BE所夹的锐角为60时，求的值， 18/18 专题05 四边形 3大考点概览 考点01多边形 考点02平行四边形 考点03特殊平行四边形 多边形 考点01 1．(2026·湖南省张家界市·二模)五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质；解题的关键是掌握正六边形对顶点连线（长对角线）的长度等于边长的2倍．由正六边形的对称性知对顶点连线经过中心，长度为2倍边长，由直接求得边长为9． 【详解】解：设正六边形的边长为， 正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为， 正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍， 为正六边形的一组对顶点， ， ， ， ． 2．(2026·湖南省娄底市·二模)如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：由量角器可知，， ， 即所量内角的度数为， 故选：C． 3．(2026·湖南省娄底市·二模)直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【详解】解：正六边形每个内角为：， 而六边形的内角和也为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．(2026·湖南省邵阳市·二模)若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为___________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角和，首先根据正多边形的每个外角都相等都是，可以求出多边形的边数是，再根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：多边形的外角和是，正多边形的每个外角都相等， 多边形的边数为， 这是一个正边形， 这个正多边形的内角和为． 故答案为：. 5．(2026·湖南省郴州市·二模)图1所示是我国古代园林连廊常采用正八边形窗户设计，图2是正八边形窗户的示意图，它的一个外角为__________度． 【答案】45 【分析】根据多边形的外角和定理，任意多边形的外角和等于，正多边形的每个外角相等，用除以边数即可求解． 【详解】解：多边形的外角和等于，且正八边形的每个外角相等， ． 6．(2026·湖南省娄底市·二模)数学操作实践课上，小明以为边长分别向两边作了正五边形和正六边形，如图，在操作过程中，他将点和点连接在一起，则图中的度数是_____． 【答案】 【分析】根据正多边形内角和的性质求得，的度数，从而得到，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得， 在正五边形中，内角和为， 则， 在正六边形中，内角和为， 则， ∴， 所以． 7．(2026·湖南省长郡中学·二模)如图，五边形中，，，，则______°． 【答案】205 【分析】本题主要考查了多边形的内角和求法，根据其公式解题即可． 【详解】解：多边形的内角和为， ∴五边形的内角和为， ， 故答案为：205． 8．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如果一个正多边形的内角和等于外角和的4倍，则这个正多边形每个外角的度数为______°． 【答案】36 【分析】根据任意多边形外角和为，结合题目条件求出正多边形的边数，再计算每个外角的度数即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得， 因此这个正多边形每个外角的度数为： ． 9．(2026·湖南省湘潭市·二模)如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过1002秒钟后，两枚跳棋之间的距离是________． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质、图形规律问题、勾股定理以及含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据跳动规则分别计算出经过1002秒后红、黑两枚跳棋所在的顶点位置，确定两点后构造直角三角形，利用勾股定理求解两点间的距离即可． 【详解】解：根据题意得：1002秒钟内红跳棋需要跳动的顶点数为：，黑跳棋需要跳动的顶点数为：， 、， 经过1002秒后，红跳棋落在点A处，黑跳棋逆时针跳动4个顶点落在点C处， 如图，连接，过点B作于点， ， 六边形是正六边形， 、， 、、， ， 在中，， ， ， ， 两枚跳棋之间的距离是． 10．(2026·湖南省邵阳市·二模)如图，正六边形的边长为4，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿，向终点，运动，过点作，垂足为点，连接、，当最大时，线段的长为_________． 【答案】 【分析】如图，连接、交于点，利用正六边形的对称性，确定O为中心，且直线必过点O，由得，推导出点H在以为直径的圆上，当与该圆相切时，取得最大值，最后利用勾股定理计算出切线长，得出线段的长． 【详解】解：如图，连接、交于点， 六边形为正六边形， 点为正六边形的对称中心，且中心角为，， 和均为等边三角形， ， 由题意可得：， 由对称性可得，直线必过对称中心， ， ， 点在以为直径的上， 是定线段， 当最大时，则与相切，连接，则，且， ， ， 故当最大时，线段的长为． 平行四边形 考点02 1．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，在中，E为的中点，恰好平分，若，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质（平行四边形的对边平行）、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和线段中点的性质，进行解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵E为的中点， ∴， ∴，， ∴的周长为． 2．(2026·湖南省娄底市·)如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形对角线互相平分及中点定义可得与的数量关系，证明，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 点为的中点， ， ， ， ， 即， ． 3．(2026·湖南省长沙市·二模)如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（    ） A． B． C． D．的大小与P点位置有关 【答案】C 【分析】过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，表示出S1+ S2，得到即可． 【详解】解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E， 根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC， ∴S1=AD×PF，S2=BC×PE， ∴S1+ S2 =AD×PF+BC×PE =AD×（PF+PE） =AD×EF =S， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的面积和平行四边形的性质，解题的关键是作出平行四边形过点P的高． 4．(2026·湖南省湘潭市·二模)如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点，过点作于点，利用勾股定理求出长，根据平行四边形的性质求出长及，要求的最小值，只需求出的最小值，利用“垂线段最短”结合求解即可． 【详解】解：设与交于点， 在中，由勾股定理得：， ， 四边形是平行四边形， ，， ∴当取得最小值时，取得最小值， 过点作于点， ， 在中，， ， 解得， ∵点P为边上任意一点，O为外的定点， ∴由垂线段最短可知，当取得最小值时，此时， 的最小值为． 5．(2026·湖南省湘潭市·二模)如图，在平面直角坐标系中，的对角线，的交点是原点．已知点的坐标是，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得点和点关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线，的交点是原点， ∴点和点关于原点对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 6．(25-26九上·湖南邵阳·二模)如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，可得，结合可得结论； （2）由，点是边上的中点，可得即，结合由（1）得四边形是平行四边形，从而可得结论. 【详解】（1）证明：∵点为的中点 ∴， ∵ ∴，， 在和中 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）证明：当时，四边形是矩形， 理由如下： ∵ ，点是边上的中点， ∴ 即， ∵ 由（1）得四边形是平行四边形， ∴ 四边形是矩形. 7．(25-26九下·湖南株洲第十九中学·)如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，则，然后证明，则利用相似三角形的性质得到结论； （2）先利用计算出，则，再由，利用平行线分线段成比例定理计算出，然后利用，根据相似比求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∵， ∴ ， 即， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系是解题的关键． 8．(2026九·湖南省怀化市·二模)如图，四边形的对角线，相交于点，延长至点，连接．已知，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)下面是两位同学的对话，请你选择一位同学的说法，并进行解答． 小星：若添加条件，的面积为，则可计算的面积． 小红；若添加条件，的面积为，则可计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得出，即可证明，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）选择小星：过点作于点，，结合平行四边形和三角形的面积公式得出，利用平行四边形的性质即可得答案； 选择小红：如图，过点作于点，根据平行四边形的性质得出，根据，结合平行四边形和三角形的面积公式即可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：选择小星： 如图，过点作于点， ∴，， ∵，的面积为， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 选择小红， 如图，过点作于点， ∵，四边形是平行四边形， ∴． ∵，，， ∴． 9．(2026九·湖南省长沙市·二模)如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，，，点，分别是，的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）根据题意得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，结合菱形的判定即可证明； （2）方法一：如解图①，连接，根据题意得出，设，则，确定，再由三角形中位线的性质得出，然后结合图形求面积即可； 方法二：过点作于点，同理得出，利用三角函数求解确定，再由勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：点分别是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ． 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形； （2）解：方法一：如解图，连接， 四边形是菱形，， ， 在中，， 设，则， 由勾股定理得 ， ， ， 点分别为的中点， ， 点是的中点，， ， ， ． 方法二：如解图②，过点作于点， 四边形是菱形，， ， 在中，， 设，则． 由勾股定理得 ， ， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ， ，即， 在中，， 由勾股定理得 ， ． 10．(25-26九下·湖南娄底市·二模)如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）4；（3） 【分析】（1）由折叠的性质得：，再结合平行四边形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，再由折叠的性质得：，再根据，可得，即可求解； （3）延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得，根据得出，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴ ∵，即 ∴ ∴即 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 特殊平行四边形 考点03 1．(2026九·湖南省怀化市·二模)中国结寓意团圆、美满．劳技课上小敏设计了一个菱形中国结饰品如图1，其示意图如图2，量得，，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的面积公式，连接交于点E，根据菱形的对角线互相垂直平分，结合勾股定理求出，则，最后根据菱形的面积公式，即可解答． 【详解】如图，连接交于点E， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，在矩形中，点在边上，连接，交于点．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，再利用相似比求解． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，已知四边形是边长为9的正方形，点分别为边上的点，连接，且，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】四边形是边长为9的正方形， ， ， 在Rt中，由勾股定理得 ， ，即，解得 ． 4．(2026·湖南省娄底市·二模)如图，把一个有的直角三角板放到一个矩形方框内，三个顶点均在方框边上，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合条件可知 和 均为直角三角形，因此可以考虑构造“一线三等角”模型，利用相似即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 于 ， 由条件易知， ． 在 中，，，则 ，． 在 中，，则 ． ，， ， ． 5．(2026·湖南省邵阳市·二模)如图，已知矩形，点是边的中点，，与相交于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质得出，， ，再由中线的性质得出，再利用相似三角形的判定以及性质即可得出，，，再根据矩形的性质进一步可得出， 设，根据勾股定理得到，可知，根据，，，即可得出，进而可判断与不垂直． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 点是边的中点， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ①③正确， ， 设，则，， ∴， ∴， 故②正确， ， ， ， ， 与不垂直， 故④不正确， 正确的是①②③，共3个． 6．(25-26九下·湖南长沙市·二模)把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图①，②摆放，阴影部分的周长分别为和，则和的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】仔细观察图象，根据正方形的性质，利用周长公式，计算阴影部分的周长； 最后比较和的大小即可解答本题． 【详解】解： 设底面正方形盒底的边长为，三张大小相同的正方形卡片A，B，C的边长为， 对图①，，， 故阴影的总周长； 对图②，，， 故阴影的总周长； 因此． 7．(2026·湖南省湘潭市·二模)如图，正方形的顶点与正方形的边均在直线上，于点，若，则正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到，，推出，证明得到，即可求解． 【详解】解：正方形的顶点与正方形的边均在直线上， ，， ， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， 正方形的周长为． 8．(2026·湖南省衡阳市·二模)如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，，，则的值为_____． 【答案】6 【分析】设交于点，根据矩形的性质证明，证明四边形是菱形，再得到是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：设交于点， 矩形， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ． 9．(25-26九上·湖南邵阳·二模)如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接，先由勾股定理求得，则，再由三角形中位线定理得到，即可求解的最大值． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵点G为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点重合时，取得最大值为5， 故答案为：5． 10．(25-26九上·湖南郴州市·二模)如图，在中，，D，E分别是，的中点．过点A作交的延长线于点F，连接． (1)已知__________．请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号①或②） 在（1）的条件下，再解决下列问题： (2)求证：四边形是平行四边形； (3)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)①（或②） (2)见解析 (3)矩形，理由见解析 【分析】（1）任选其一即可； （2）选①：根据中位线定理得到，即可证明四边形是平行四边形； 选②：根据中位线定理得到，根据，得到，即可证明四边形是平行四边形； （3）选①：根据平行四边形的性质得到，根据中位线定理得到四边形对角线互相平分，根据得到四边形对角线相等，可知四边形是矩形； 选②：根据平行四边形的性质得到，根据中位线定理得到四边形对角线互相平分，根据可知四边形是矩形； 【详解】（1）解：已知①（或已知②）； （2）证明：选①：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 选②：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴ ∴四边形是平行四边形； （3）解：选①：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中位线， ∴， 即， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 选②：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中位线， ∴， 即， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． 11．(25-26九下·湖南益阳市·二模)在平面直角坐标系中，若存在实数，使得，则称为点的“特定点值”．如图，矩形三个顶点的坐标分别为． （1）则点的“特定点值”等于__________． （2）若点是矩形边上的动点，则下列关于点的“特定点值”的结论正确的是__________．（填写序号） ①当点在边上时，随着的增大而增大； ②当点在边上时，则； ③在矩形边上有且只有一个点的“特定点值”为． 【答案】 ①② 【分析】（1）根据新定义，代入，求得的值，即可求解； （2）将代入，根据正比例函数的性质即可判断①；②将，代入，即可判断②；根据题意得出，进而画出图形，得出存在两个点的“特定点值”为，即可判断③． 【详解】解：（1）∵， ∴ 解得： 即点的“特定点值”等于； （2）∵ ∴ ①当点在边上时，，即，则随着的增大而增大，故①正确 ②当点在边上时，，，则，故②正确； ③当，即 ∴ 如图， 当时， 解得，，此时在边上， 当， 此时在边上， 在矩形边上有2个点的“特定点值”为，故③不正确． 12．(25-26九下·湖南邵阳市·二模)如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，突破点是证明是等边三角形．如图连接，首先证明是等边三角形，可得，再根据三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ． 故答案为：． 13．(2026九·湖南省常德市·二模)如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于__________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的性质，勾股定理；连接交于点O，根据菱形的性质即可得到是等边三角形，再根据垂直平分线的性质得到，进而根据的直角三角形的性质和勾股定理求出和的长，利用解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．(2026·湖南省湘潭市·二模)如图1，矩形中，为其对角线，一动点P从D出发，沿着的路径行进，过点P作，垂足为Q，设点P的运动路程为x，与的差值（）为y，y与x的函数图象如图2，则的长为________． 【答案】 【分析】根据函数图象终点坐标确定的长度，结合图象与x轴交点坐标分析点P的位置，利用线段和差关系得出与的数量关系，在中利用勾股定理构建方程，求解的长，进而得到的长． 【详解】解：由函数图象可知，当点P运动到终点C时，，此时点P与点C重合，点Q与点C重合 ， 、， ， 解得：， 由图象可知，当时，，即， 观察图象，位于函数图象的第二段（下降段），说明此时点P在边上运动， 当点P在边上时， 四边形是矩形 ， ， ， 点Q与点C重合， 、， ， ， 解得：， 此时点P的运动路程为：， ， 即， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 四边形是矩形 ， ． 15．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，正方形的边长为3，为上一点，沿折叠，使点落在点处，延长交于点，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】连接，设，则，再解直角三角形得到，根据折叠的性质得到，然后分别在和中，利用勾股定理建立方程求出即可． 【详解】解：连接，设，则， ， ，，， ， 由折叠可知， ， 在中，， 在中，， ， 解得或（舍去）， ． 16．(25-26九下·湖南郴州市·二模)如图，在中，，．将沿折叠，点B的对应点为D，E为的中点．线段的端点M，N在，上滑动，． （1）若，则__________； （2）下列结论正确的是__________．（写出所有正确的答案） ①； ②； ③M，N两点不可能同时为线段，的中点． 【答案】 ②③ 【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可； （2）根据是的中线，不是的角平分线，得到①错误；再根据勾股定理得到，根据可得到②正确；若M，N两点同时为线段，的中点，故是的中位线，求出，故③正确． 【详解】（1）由题意可得，四边形是正方形，， 在中，； （2）由题意可知，， E为的中点， 是的中线，不是的角平分线， 故，①错误； ， 在中，， ， ，②正确； 若M，N两点同时为线段，的中点， 故是的中位线， ，③正确； 综上，正确的有②③． 17．(2026·湖南省永州市·二模)定义：对于平面内一点及其关于直线的对称点，将点与点的横坐标之比称为点关于直线的“横折比”，记作．规定当时，；当时，．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为原点，，．点在边上，连接，点与点关于直线对称，交于点，，且，过点作交于点，连接交于点，连接并延长交于点． （1）的值为______； （2）的值为______． 【答案】 12 /0.15 【分析】（1）证明四边形为正方形，得出点关于直线的对称点为点，进而可求出； （2）证明，，得出，，进而得出，，证明得，求出，再求出，进而可得的值． 【详解】解：（1）在矩形中，，，， 点与点关于直线对称，，且， ，， ， 四边形为正方形， 点关于直线的对称点为点， ， ； （2）由正方形得到， ，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 由矩形中，得到，则， 则， ． 18．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，在中，的平分线和的平分线交于点E，点E在边上，以为边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，则由角平分线的定义和平行线的性质可证明，则可得到，据此结合矩形的判定定理可证明结论； （2）由平行四边形的性质得到，，则，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线和的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平分， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形的周长． 19．(2026·湖南省邵阳市·适考)如图，在菱形中，点分别是边上的一点，且与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形四条边都相等得，根据得，在和中，利用证明； （2）由（1）知，再根据三角形内角和定理计算，最后利用三角形外角性质求得． 【详解】（1）证明：四边形为菱形，， ，即， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ， ． 20．(2026·湖南省长沙市·适考)如图，已知四边形是矩形，连接对角线，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义得到，根据等角对等边即可得到结论； （2）依次求出，，最后利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知．， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， 在中，，，， ∴， 在中，由勾股定理得． 21．(25-26九下·湖南长郡中学·二模)如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，． (1)求证：； (2)点在边上，满足．若，求的长及的值． 【答案】(1)见解析 (2)的长为的值为 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明平行四边形是矩形，可知； （2）作于点，则，根据勾股定理求出，根据矩形的性质得到，，根据三线合一得到，根据等角对等边得到，可知，根据三角函数求出的值，根据勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又 ， 平行四边形是矩形， ． （2）解：作于点，则， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 的长为的值为． 22．(25-26九下·湖南邵阳市·二模)如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4.8 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理求得，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， （2）四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． 23．(2026·湖南省湘潭市·二模)如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，，，求菱形面积． 【答案】（1）略 (2)12 【分析】（1）首先根据菱形的性质得，，再结合已知条件，得，结合，可知四边形是平行四边形，进而得出结论； （2）由（1）可知，，，根据勾股定理可求得，由菱形面积公式即可求解． 【详解】（1）(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形； （2）解：由（1）可知，，， ， 菱形的面积． 24．(25-26九下·湖南长沙市·二模)如图，在中，，于点．延长至点，使，连接交于点，且． (1)求证：是菱形； (2)若，求的长度． 【答案】(1)略 (2) 【分析】（1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形； （2）由菱形的性质可得，再在、中解直角三角形即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， ，， 又， 为等边三角形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵由（1）知，四边形是菱形， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， ． 25．(2026·湖南省长沙市·二模)如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． (1)求证: 四边形是菱形； (2)若 求菱形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)32 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出，再证和全等，得出，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形是菱形； （2）分别求出、的长，即可得出对角线、的长，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，， ， ， 即， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 26．(25-26九下·湖南娄底市·二模)如图，矩形中，E、F分别在上，将四边形沿对折至四边形，使G点落在上，与交于点P． (1)求证：； (2)如图1，若，，，求的长； (3)如图2，当G为中点，P为中点时，与有何数量关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)，理由见解析 【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质可得，再证明，即可证明； （2）由矩形的性质得到，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程可得；利用相似三角形的性质可得，则； （3）设，则，，根据相似三角形的性质得到，则，由折叠的性质得到，由勾股定理得，据此求出x与y的关系式即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 由（1）可得， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵G为中点，P为中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则，， 由（1）可得， ∴，即， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．(2026·湖南省岳阳市·二模)【问题情境】 在矩形中，点为线段上一点，连接，将沿所在的直线翻折，得到，延长交线段边于点，射线与射线交于点，如图（1）． (1)【问题解决】若，． ①当点是的中点时，求的长； ②当时，求的长； (2)【问题探究】连接，如图（2）．若为直角三角形，且满足，试探究线段与线段的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①根据折叠的性质，直接得出答案即可； ②证明，得出，求出，证明，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）分两种情况：当，当，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵点O是的中点， ∴， 根据折叠可得：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； （2）解：当，点E与C重合时，为直角三角形，如图所示： 根据（1）可得：， ∵， ∴， 设，则，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 即， 整理得：， 解得：或（舍去）， ， ∴； 当，如图所示： ∵， ∴， 设，则，设， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上，或． 28．(2026九·湖南省常德市·二模)在一堂数学实践课上，老师提供正方形与矩形两种纸片，让同学们以“用纸片折出角”为主题开展活动． (1)探究一： A小组选择矩形纸片，操作步骤如下： 第一步：将矩形纸片对折两次，展开平铺后如图1所示； 第二步：折叠纸片，使得的对应点落在折痕上，折痕为，即可得到角． 问题一：请证明 (2)探究二： 小组选择正方形纸片，操作步骤如下： 第一步：对折纸片，使与重合，折痕为； 第二步：折叠纸片，使、的对应点落在上，折痕分别为，； 由折叠性质可知：，，又因为正方形四边相等，可以得到：，即为正三角形，因此可得到角．小组对图2进一步研究，惊喜地发现利用下图还可以求出. 问题二：当正方形边长为4时，请你帮小组求出 (3)综合运用： 如图3，矩形中，，，是中点，是边上的动点，将沿折叠得到． ①当时，______． ②连接，当在上运动时，是否存在最小值？若有，请直接写出最小值及此时的长；若无，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)①；②． 【分析】（1）由折叠的性质得到，再利用特殊角的三角函数值，求解即可； （2）设，由折叠的性质得，，在中，由勾股定理可求得，为正三角形，求得，由折叠的性质得，再根据正切函数的定义求解即可； （3）①利用角的正切函数的定义求解即可； ②求得点在以G为圆心为半径的圆上运动，当D、、G共线时，的值最小，据此可求得的最小值；设，利用勾股定理得到，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，，，，， ∴， 在中，， ∴，即； （2）解：由折叠的性质得，，， ∴， ∴， 设， 由折叠的性质得，， 在中， 由勾股定理得，即， 解得，即， ∵为正三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴； （3）解：①∵，是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； ②由题意得：， ∴，， ∴点在以G为圆心为半径的圆上运动，如图所示： 故：当D、、G共线时，的值最小， ∵， ∴， 设，则，，连接， ∵，由勾股定理得，即，解得，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 29．(2026·湖南省娄底市·)【问题背景与动手操作】 如图，在菱形纸片中，，点在边上，且，点在边上，连接，把菱形纸片沿着折叠，点的对应点为点． 【初步感知】 如图，连接． (1)_____________；（直接写出结果） (2)若折叠后满足，请探究线段与之间的位置关系和数量关系； (3)【问题探究】 若折叠后点恰好位于菱形纸片的对角线上，请在备用图中补全图形，并求出的值． 【答案】(1) (2)位置关系：，数量关系： (3)补图见解析，的值为或 【分析】（）根据菱形的性质解答即可求解； （）由翻折可知，，即得，进而得到，又由已知得，过点作于，由等腰三角形的性质得，利用直角三角形的性质和勾股定理得，即得 ，即得到，即可求解； （）分点在对角线上和点在对角线上两种情况，分别画出图形，利用菱形和折叠的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形纸片中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：位置关系：，数量关系：，理由如下： ∵， ∴， 由翻折可知， ，， 在菱形中，，， ∴，   ∴ ，   ∴， ∵， ∴， 过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点在对角线上时，如图，，，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 当点在对角线上时，如图，作，，，垂足分别为点， 不妨设， ∵， ∴， ∴ ，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在 中，， ∴， 解得， ∴，， ∴； 综上，的值为或． 30．(25-26九下·湖南郴州市·二模)【动手操作】如图1，在矩形纸片中，在边上取一点E，连接．沿着直线将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 将三角形纸片置于四边形纸片上方，使得点与点重合，点在边上．连接，交边于点．连接，分别交线段，于点，，如图3所示． 【问题解决】在图3中，请解决下列问题 (1)__________度； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意得，，结合矩形得出，证明是等腰直角三角形，即可得出； （2）先由和证是等腰直角三角形得，结合对顶角相等证得对应角相等，再结合等腰直角三角形的角证，最后由相似三角形对应边成比例交叉相乘即可得证； （3）设，由得，用勾股定理和等腰直角三角形性质求出、、，再利用证求出和，接着通过求出，通过求出，最后用减去和得到，进而求出的值． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：由题意得， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，，设，则， ∴，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 31．(25-26九下·湖南邵阳市·二模)某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接，则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)7 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到BP和CQ的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到BP和AQ的数量关系； （3）连接，如图（见详解），先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点Q， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴ 解得（舍去），． ∴正方形的边长为7． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 32．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)如图1，在正方形中，将边绕点顺时针旋转得到，连接．射线交边于点，交的延长线于点． (1)填空：________度，并说明理由； (2)如图2，点在射线上，连接．若，求证：； (3)如图3，若边绕点顺时针旋转得到，使得时，求的值． 【答案】(1)45，理由见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，进而可得，再证明，进而可得，然后由求解即可； （2）过点作，交于点，连接，证明为等腰直角三角形，易得，再证明，由全等三角形的性质可得，，进一步证明，在中，利用勾股定理即可证明结论； （3）过点作于点，连接，结合，可设，则，利用三角函数解得，的长度，进而可知，；设，则，利用勾股定理可得，证明，结合相似三角形的性质解得的值，即可确定，的长度，然后计算的值即可． 【详解】（1）解：45，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵将边绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：如下图，过点作，交于点，连接， 则， ∴，即， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴在中，可得； （3）解：如下图，过点作于点，连接， ∵， ∴可设，则， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∵， ∴， ∴，即， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴，， ∴． 33．(25-26九下·湖南益阳市·二模)如图1，点是正方形边上的动点（不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交的延长线于点．边分别与相交于点． (1)证明：． (2)已知正方形的边长为1，设． ①求的值；（结果用含的式子表示） ②如图2，连接，当线段的长度取得最大值时，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)① ② 【分析】(1) 利用正方形性质和旋转性质，通过角的关系证明对应角相等，再用AAS证明三角形全等． (2) ①先利用全等和相似求出，再通过作垂线构造相似三角形求出，进而求出比值．     ②利用二次函数求出最大时a的值，再用勾股定理求出的三边长，利用面积法求出点M到的距离，最后在直角三角形中用正切定义求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， 、、三点共线， ， ， 在中，， ， 在和中： ， ， ， ． （2）①解：正方形的边长为，， ，， 由（1）知， ，， 、、、四点共线， ， ， ，， ， ， ， ， 过点作直线于点， ，， 、、三点共线， 四边形中，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②解：， 当时，取得最大值， 此时， 由①知， ， 在中，，， ， 在中，，， ， 过点作于点， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， 点在外部， ， 过点作于点， ， ， ， 在中，， ． 34．(2026·湖南省湘潭市·二模)定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． （1）如图①，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”； （2）如图②，四边形是“等垂四边形”，，连接，点，，分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定的形状，并证明； （3）如图③，四边形是“等垂四边形”，，，试求边AB长的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）是等腰直角三角形．理由见解析；（3） 【来源】2026年湖南省湘潭市岳塘区湘钢二中二模数学试题 【分析】（1）延长交于点，根据四边形与四边形都为正方形，易证，则有，，可证，根据，可证四边形是等垂四边形． （2）延长交于点，根据四边形是等垂四边形，，有，，，根据点E,F,G分别是AD,BC,BD的中点可得，，，，则可证，即有是等腰直角三角形； （3）延长交于点分别取的中点，连接，根据，是等腰直角三角形，可得，，即可得出最小值为． 【详解】（1）如图，延长交于点， ∵四边形与四边形都为正方形 ∴，，． ∴． ∴． ∴，． ∵ ∴ 即，∴． ∴． 又∵， ∴四边形是等垂四边形． （2）是等腰直角三角形． 理由如下：如图，延长交于点， ∵四边形是等垂四边形，， ∴， ∴ ∵点E,F,G分别是AD,BC,BD的中点 ∴，，，， ∴，，． ∴ ， ∴是等腰直角三角形； （3）如图，延长交于点分别取的中点，连接， 则， 由（2）可知是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴． ∴最小值为． 【点睛】本题是新定义类探究题，主要考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质和勾股定理，解决本题需利用新定义，逐一讨论，解题中利用条件，构造直角三角形是解题的关键． 35．(2026·湖南省张家界市·二模)完成下列题目 (1)如图，在正方形中，点是边上一点，点是延长线上一点，且． 求证：； 直接写出与之间的位置关系； (2)如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠得到，延长，与的延长线相交于点．当时，求的长； (3)如图，在菱形中，，点是边上一点，且，为延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)的长为 (3)的值为或 【来源】2026年湖南省张家界市慈利县中考二模考试数学试题 【分析】（）结合正方形的性质利用证明； 延长交于点，由全等三角形的性质可得，然后通过对顶角相等和直角三角形的性质证明即可； （）延长交于点，证明即可求出的长； （）当线段与射线所夹的锐角为时，则或，当时，过点作交于点，延长交延长线于点，则，结合菱形的性质得，，，令，，则，在中，利用勾股定理求得，在中求得，结合平行线得到和，求得和，进一步证明和有，求得，即可求得和，结合即可；当时，，由知和，则有和得到，求得和，，利用即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴； 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵由折叠得到， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴； （3）解：当线段与射线所夹的锐角为时，则或， 当时，如图，过点作交于点，延长交延长线于点，则， 在菱形中，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴令，，则， 在中， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意）， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，， 由知，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意）， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $