专题04 三角形（5大考点）（湖南专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 湖南各地二模三角形专题汇编，覆盖几何初步、全等、等腰三角形、相似、解直角三角形5大考点，以生活情境（折叠拦道闸、椅子侧面图）和文化素材（《九章算术》折竹抵地）为载体，突出几何直观与实际应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约30题|垂线、平行线性质、三角形三边关系|结合直尺三角尺摆放等操作情境，基础题占比60%| |填空|约15题|中位线、等腰三角形周长、位似图形|设置动态动点问题（如四边形中点线段最值），梯度分明| |解答|约17题|全等证明、相似应用、解直角三角形测量|综合题融入《海岛算经》测量术、摩天轮高度估算等真实问题，与中考二模命题趋势高度契合|

专题04 三角形 5大考点概览 考点01几何初步 考点02三角形及其全等 考点03等腰三角形 考点04相似 考点05解直角三角形 几何初步 考点01 1．(2026·湖南省株洲市株洲县·二模)下列四个图形中，过点作的垂线，正确的是（         ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用画垂线，根据画垂线的方法进行判断即可． 【详解】解：过点作的垂线，则垂足在直线上，只有A选项符合题意， 故选：A． 2．(2026·湖南省邵阳市·二模)如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形性质可得，再根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．(2026·湖南省邵阳市·二模)如图，已知直线与直线，分别交于点，，且的补角为，若要使直线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补角的定义得，再根据平行线的判定及对顶角相等可得答案． 【详解】解：如图， ∴， ∵的补角为， ∴， ∴， 当时，， 此时． 4．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)如图，一质量均匀的小球静止悬挂在光滑的竖直墙面上，O为小球的球心，小球受到重力G、拉力F和支持力N的作用．若拉力F与重力G的夹角，则拉力F与墙面的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两直线平行，同旁内角互补求解． 【详解】解：∵与墙面平行， ∴， ∵， ∴． 5．(2026·湖南省张家界市·二模)如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，，得，，在中，，故． 【详解】解：，，， ，， 在中，， ． 6．(2026·湖南省永州市·二模)将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，． 7．(2026·湖南省岳阳市·二模)如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放置在直尺的对边上，若，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， ， 直尺的两边平行， ． 8．(2026·湖南省邵阳市·二模)如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等可知，根据余角的定义可以求出． 【详解】解：如下图所示， ， ， ，， ， . 9．(2026·湖南省长沙市·二模)如图，直线，将一块含角（）的直角三角尺按图中方式放置，其中和两点分别落在直线和上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：直线， ， ，，， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和定理，这是几何中的必考点，必须熟练掌握. 10．(25-26九下·湖南株洲第十九中学·)如图，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先由平行线的性质得到，再由三角形外角的性质推出，再结合已知条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 11．(2026·湖南省张家界市·二模)如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件_______，使得．（写出一种情况即可） 【答案】或或（答案不唯一，填一个即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：或或（答案不唯一，填一个即可）． 12．(2026·湖南省长郡中学·二模)生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过B作，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解 ． 【详解】解：如图，过B作，    ∵， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 13．(2026·湖南省娄底市娄星区·二模)将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作直线，由结合平行公理的推论可得，再根据两直线平行内错角相等，得到，结合三角尺的角算出，最后依据，两直线平行同旁内角互补，通过求出． 【详解】解：如图，作直线，由题意得． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 14．(2026九·湖南省怀化市·二模)某款学生课桌实物如图1，侧面示意图如图2，其中，．若，则的度数为______． 【答案】/度 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．(2026·湖南省湘潭市·二模)将一副直角三角板如图放置，已知，，，则________°． 【答案】105 【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】，， ， ∵∠E=60°， ∴∠F=30°， 故答案为：105 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． 三角形及其全等 考点02 1．(2026·湖南省湘潭市·二模)下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，3，6 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，只需验证较短两边之和是否大于最长边，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； B、 ，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； C、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； D、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意． 2．(2026九·湖南省常德市·二模)三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 3．(2026九·湖南省娄底市娄星区·二模)如图，在四边形中，，，，点，分别是边，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理得出，从而可知最大时，最大，因为与重合时最大，此时根据勾股定理求得，从而求得的最大值为1． 【详解】解：∵点，分别是线段，的中点， ∴，， ∴， ∴最大时，最大， ∵与重合时最大， 此时， ∴的最大值为1， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 4．(2026九·湖南省常德市·二模)如图，中，，于点D，平分，于点E，交于F，H是的中点，连接交于G．则结论：①；②是等腰三角形；③；④；⑤中，正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】由可证可得可判断①正确．再证明以及等腰三角形的性质可进一步得出，可判断④正确，由角的关系得出是等腰三角形，可判断②正确，由全等三角形的性质可得则可得可判断③正确；由角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离，由三角形的面积公式可求，可判断⑤正确，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确． 平分，， ． 又，即， 在和中， ， ， ． 由①知， ∴，故④正确． 是等腰直角三角形，是中点， ，． ，， ， （等量代换）， （等角对等边）， 是等腰三角形，故②正确． 由①，得（全等三角形对应边相等）． ． 又由④，得（全等三角形对应边相等）． ，故③正确． 平分，， ∴等于中边上的高h， （高相同，约去），故⑤正确． 综上，①②③④⑤均正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质、等腰三角形判定与性质、角平分线性质定理及三角形面积公式的综合应用，熟练掌握全等三角形判定与性质、等腰三角形及角平分线相关定理是解题关键 5．(2026·湖南省长沙市·二模)《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（丈尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为__________． 【答案】4.55 【分析】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图 设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10−x）尺， 根据勾股定理得： AC²＋BC²＝AB²， 即：x²＋3²＝(10−x)²， 解得：x＝4.55， 故答案为：4.55. 【点睛】考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 6．(2026·湖南省岳阳市·二模)如图，要测算池塘两端，之间的距离，先在地面上取一点，然后通过测量分别找到和的中点，，并测得的长，就可测算池塘两端，之间的距离．若的长为10米，则池塘两端，之间的距离是________米． 【答案】20 【详解】解：∵和的中点分别为点，， ∴是的中位线 ∴（米）． 7．(2026九·4月湖南省邵阳市·适考)如图，在等腰直角三角形中，，，点为边的中点，点，分别为边上的动点，且，则的面积的最大值为__________． 【答案】2 【分析】连接，证明，当时，求得的最小值，据此即可求得的面积的最大值． 【详解】解：如图，连接， ∵为等腰直角三角形，，点为边的中点， ∴，， ∵， ∴，，即：， 在与中，， ∴， ∴． 即：． ∵， ∴当时，的最小值， 故：的最大值． 8．(2026九·湖南省怀化市·二模)已知的内角，，的对边分别为a，b，c．规定：． （1）若，则______； （2）下列结论正确的是______．（写出所有正确的结论） ①若，则； ②若，，则是等腰直角三角形； ③若，，则． 【答案】 ②③ 【分析】（1）先得到为等边三角形，则，再代入求解即可； （2）①代入公式可得，再计算即可； ②先由勾股定理逆定理得到，再解直角三角形即可； ③先通过参数之间的关系，化简代数式只含一个参数，再通过三角形的三边关系确定参数取值范围，然后通过不等式的性质以及解不等式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2）①∵， ∴， ∴， ∴①错误； ②∵，， ∴，即， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形，②正确； ③∵，， ∴， ∵，即， ∴． ∵，即 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴③正确 故②③正确． 9．(2026·湖南省长沙市·二模)如图，在中，D是边上的一点，， 平分，交边于点E，连接． (1)求证： ； (2)若， ，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先确定已知的等边条件，再由是角平分线得到一组等角，结合公共边，用全等判定定理证明三角形全等； （2）先利用三角形内角和为，计算出的度数；再根据角平分线的性质，求出的度数，最后在中，再次使用三角形内角和公式计算的度数． 【详解】（1）证明：∵ 平分， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：在中，，， ∴， ∵ 平分， ∴， 在中， ∴ ． 10．(2026·湖南省张家界市·二模)如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连结，当，，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，则可得垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据线段和差求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 11．(2026·湖南省长沙市岳麓区·二模)如图，在和中，，，，且点在线段的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同角的余角相等，可证，利用可证结论成立； （2）解法一、过点作于点，由勾股定理可知，，利用勾股定理可得，解方程即可求出；解法二、由等腰直角三角形的性质可知，，根据可以求出，设，由勾股定理可得，解方程求出的值即为的长． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在与中，， ； （2）解：解法一、 ，， 为等腰直角三角形， ， ， 如下图所示，过点作于点， 则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 的长为； 解法二、 ，，， ，， 点在线段的延长线上， ， 由（1）可知， ，， ， ，，， ， 设， 在中，由勾股定理得， 即， 解得（负值已舍去）， 的长为． 12．(25-26九下·湖南长郡中学·二模)如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由题意易得是直角三角形，然后根据直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】（1）证明：为边上的高， 都是直角三角形， 在和中， ， ． （2）解：为边上的高， ， ， ， 是直角三角形， 为边上的中点，， ． 13．(25-26九下·湖南永州市·二模) 【初步感知】 (1)如图，已知四边形，，点，分别是，的中点，连接并延长交的延长线于点．易知和， 求证：； (2)【知识应用】如图，已知四边形，，，，点，是上两点，且，过点，分别作，交于点，．求的值； (3)【拓展探究】如图，已知四边形，，，，点，分别是，的中点，求的值． 【答案】(1)证明：， ，， ∵点是的中点， 是的中位线， ∴ (2)10 (3) 【分析】（1）先证明全等三角形，将转化为，再利用三角形中位线定理证明即可； （2）构造中点并连线，利用（1）中的结论，即可得到； （3）倍长构造以为中位线的三角形，再通过倍长中线形成的相等线段和对顶角，利用得到全等三角形，从而借助得到特殊角，最后作垂线，用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：在、上分别取中点、，并连接． ，， ，，， ， ， ， ， ，， 由（1）的结论可知：， ∵，， ∴． （3）解：过点作交的延长线于点，并连接． ， ， ， 由（1）知，得，， ∵点，分别是、的中点， 为的中位线， ， 过点作交的延长线于点． 在中，，， ，， ， ， ， 在中，，，， ， ∴． 14．(2026·湖南省衡阳市·二模)已知和均为直角三角形，，．连接，F为的中点，过点E作的平行线交射线于点G． (1)当C，A，E三点在同一直线上时，如图1． ①求证：； ②连接，求证：； (2)将图1中的绕点A旋转到图2所在位置时，连接，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)为等边三角形，见解析 【分析】（1）①证明，即可得到； ②利用正切函数的定义求得，证明，求得，在中，利用正切函数的定义求解即可； （2）连接，过点B作交的延长线于点H，证明，求得，，在中，求得，据此计算即可得到为等边三角形． 【详解】（1）证明：①∵F为的中点， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； 证明：②由①可知， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， ∴； （2）解：为等边三角形．理由如下： 如图，连接，过点B作交的延长线于点H， ∴，． ∵， ∴， ∴， 即． 在四边形中， ， ∴． 又∵， ∴， ∴． 由（1）①同理可得：， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 15．(25-26九下·湖南长沙市·二模)定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫作和谐四边形，这条对角线叫作四边形的和谐对角线．如图1，在四边形中，若，则四边形为和谐四边形，为四边形的和谐对角线． (1)①判断：平行四边形______和谐四边形（填“是”或者“不是”）； ②如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点O，求证：； (2)如图3，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点E，．猜想并证明与的数量关系； (3)如图4，中，，以为直径的分别交于点N，M，已知四边形是和谐四边形，连接交于点D，求的面积． 【答案】(1)①是；②见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）①根据和谐四边形的定义进行判断即可； ②过点作于点，过点作于点，根据，得到，证明，即可得证； （2）在上取一点T，使得，连接，证明四边形是平行四边形，进而得到，得到，推出，得到，再利用外角的性质，可得结论； （3）连接，，，设交于，由，得，故，可知和谐四边形中，和谐对角线，即，而，，有，从而，知，，设，由，有，可得，，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形是和谐四边形； ②证明：过点作于点，过点作于点， 则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图中，在上取一点T，使得，连接． ∵四边形是和谐四边形，是和谐对角线， 由（2）可知：， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，，，设交于，如图： 为的直径， ， ， ， ， 和谐四边形中，是和谐对角线，即， ，， ， ， ，， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 同理， ∴， ∴的面积． 等腰三角形 考点03 1．(2026·湖南省岳阳市·二模)等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为（     ） A．13 B．17 C．13或17 D．21 【答案】B 【来源】2026年湖南省岳阳市中考二模考试数学试题 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算符合条件的周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为3，3，7， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为3，7，7， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为． 2．(2026·湖南省娄底市·)若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【来源】2026年湖南省娄底市初中学业水平适应性检测数学试题 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟知等腰三角形的性质及三角形三边关系是解题的关键．可令等腰三角形的腰长为，底长为，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】解：设腰长为，底长为， 则， ∴． 根据三角形三边的关系可知，， 解得：， 又，即， 解得：， ∴， 故答案为：5（答案不唯一）． 3．(25-26九下·湖南娄底市·二模)如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到线段长度，再结合点在直线上的坐标关系，归纳出等腰直角三角形的面积规律，进而求出面积． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为点，，， ∵且是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， 将的坐标代入得：， 解得：， ∴，， 同理可得：，， ∴，，， ， ∴． 4．(2026·湖南省衡阳市·二模)定义：为某个三角形的边，若与其边上的高相等，则称该三角形为边的“伴随三角形”．为边的“伴随三角形”，． ①若，则_____°； ②若，过点作直线的高，垂足为点，则的长为_____． 【答案】 或 【分析】①根据“伴随三角形”的定义可得，根据等边对等角和三角形内角和定理，即可求解； ②分为两种情况：当是锐角三角形时，根据“伴随三角形”的定义可得，根据勾股定理求得，根据即可求解；当是钝角三角形，，根据“伴随三角形”的定义可得，根据勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】解：①如图： ∵为边的“伴随三角形”， ∴边上的高等于的长度， ∵， 故为为边上的高， ∴， 即， ∴． ②如图，是锐角三角形，交于点， ∵为边的“伴随三角形”， ∴边上的高等于的长， 即， 在中，， 则． 如图，是钝角三角形，交于点， ∵为边的“伴随三角形”， ∴边上的高等于的长度， 即， 在中，， 则． 故的长为或． 相似 考点04 1．(25-26九下·湖南株洲市株洲县·二模)下列说法正确的是（    ） A．两个正五边形一定互为位似图形 B．物体在夜晚路灯照射下所形成的影子长度只与该物体的高度有关 C．取菱形四边的中点连成的中点四边形一定也是菱形 D．经过矩形对角线交点的任意直线，都能将这个矩形的面积平分 【答案】D 【分析】本题考查位似图形、影子形成、中点四边形和矩形性质．选项A错误，因为位似图形需要特定位置关系；选项B错误，因为影子长度还受光源和物体距离影响；选项C错误，因为菱形的中点四边形是矩形，不一定是菱形；选项D正确，因为矩形是中心对称图形，经过对称中心的直线平分面积． 【详解】选项A：两个正五边形不一定位似，因为位似要求对应点连线交于一点，而正五边形可能旋转或平移； 选项B：影子长度还取决于物体与光源的距离和角度，不仅与高度有关； 选项C：连接菱形四边中点所得四边形，对边平行于对角线，由于菱形对角线垂直，中点四边形是矩形，但只有当对角线相等时才是菱形，故不一定． 选项D：∵ 矩形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，∴ 经过该点的任意直线将矩形分成两个全等图形，面积相等，故选项D正确． 故选D． 2．(25-26九下·湖南邵阳市·二模)如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）    A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1） 【答案】B 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为， 而A （4，3）， ∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 3．(25-26九上·湖南邵阳·二模)如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．(2026·湖南省张家界市·二模)如图，A，B两地之间有一池塘，要测量A，B两地之间的距离，选择一点O连接AO并延长到点C，使OC＝AO．连接BO并延长到点D，使OD＝BO，测得C、D间距离为30米，则A，B两地之间的距离为_____． 【答案】60m． 【分析】由题意可证明△AOB∽△COD，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵△ABO和△COD中，OC＝AO，OD＝BO， 且∠AOB＝∠COD， ∴△ABD∽△CDO， ∴＝， 又∵CD＝30m， ∴AB＝60m． 故答案为：60m． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质：两三角形相似，对应边成比例，此题为常见题型． 5．(25-26九下·湖南娄底市·二模)如图，是的中位线，已知，则四边形的面积为________． 【答案】6 【分析】根据三角形中位线定理可得，，进而证明，得出，即可得解． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ， 四边形的面积． 6．(25-26九下·湖南株洲市株洲县·二模)如图，在中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． （1）的长为______； （2）若点F是的中点，则的值为______． 【答案】 【分析】1）由勾股定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解； （2）过点作于点，则，证明是的中位线，得出，证明，求出，从而可得，再由正切的定义即可得解． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）如图，过点作于点， ， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 7．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)如图，在中，是的角平分线，过点作，交于点，点在线段上，且，连接，． （1）若，，则______； （2）下列结论正确的是_______．（写出所有正确答案的序号） ①若，则； ②若，则； ③若，，则． 【答案】 ①② 【分析】（1）证明，推出，据此计算即可； （2）①先证明，据此计算即可求解；②利用平行线分线段成比例求解即可；③设，证明是等腰直角三角形，求得，，，证明，据此计算即可判断． 【详解】解：（1）记与交于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴，故①说法正确； ②∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故②说法正确； ③∵，，， 设， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，故③说法错误； 综上，正确的有①②． 8．(25-26九上·湖南邵阳·二模)综合与实践 问题情境 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象． 纸片和满足，． 下面是创新小组的探究过程． 操作发现 （1）如图1，取的中点，将两张纸片放置在同一平面内，使点与点重合．当旋转纸片交边于点、交边于点时，设，，请你探究出与的函数关系式，并写出解答过程． 问题解决 （2）如图2，在（1）的条件下连接，发现的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由． 拓展延伸 （3）如图3，当点在边上运动（不包括端点、），且始终保持．请你直接写出纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留根号）．    【分析】（1）根据题意证明，得出关系式，进而求得，代入比例式，即可求解； （2）方法一：勾股定理求得，将将（1）中代入得，进而根据三角形的周长公式，即可求解； 方法二：证明，，过作交于点，作交于点，作交于点．证明，，得出，得出，进而根据三角形的周长公式可得的周长． 方法三：过作交于点，作交于点，在上截取一点，使，连接．得出，，则，同方法二求得，进而即可求解； （3）分两种情况讨论，于的夹角；①过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，在中，设，由勾股定理得，，进而根据正确的定义，即可求解；②过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，在中，设，同①即可求解．． 【答案】（1）， ∵，且． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∵是的中点，点与点重合， ∴， ∴， ∴． （2）方法一： 的周长定值为2． 理由如下：∵，，， ∴，， 在中，∴ ． 将（1）中代入得： ∴． ∵，又∵， ∴， ∴． ∵的周长， ∴的周长． 方法二： 的周长定值为2． 理由如下：∵和是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵O为AB的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，， ∴过作交于点，作交于点，作交于点． ∴． 又∵，， ∴，， ∴，， ∴． ∵的周长． 又∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中点， 点是的中点，同理点是的中点． ∴， ∴的周长． 方法三： 的周长定值为2． 理由如下：过作交于点，作交于点，在上截取一点，使，连接． ∵是等腰直角三角形，为的中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 又∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵是的中点，点是的中点，同理点是的中点． ∴， ∴的周长． （3）或   ①解：∵，， ∴， 过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，设， ∴，由勾股定理得， ， ∴， ∴在中，．    ②解：∵，， ∴， 过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接． ∵， ∴， ∴， 在中，设， ∴，由勾股定理得，， ∴， ∴在中，． ∴或．    【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，函数解析式，熟练掌握相似三角形的性质与判定，解直角三角形是解题的关键． 解直角三角形 考点05 1．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)如图，在正方形网格上，点A，B，C，D，E均在格点上，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明是等腰直角三角形，求得，得到，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．(25-26九上·湖南邵阳·二模)如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， 设，则， ∴， 得， 则，， 由翻折得， 设， 则，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 3．(25-26九下·湖南益阳市赫山区·二模)某环保监测员上午从湿地监测站出发，沿北偏西方向骑行到达鸟类观测点，观测50分钟后从处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站南偏西方向的水文监测点处，此时为上午，如图所示． (1)求该环保监测员从鸟类观测点骑行到水文监测点的途中，他与湿地监测站之间的最短距离； (2)上午，监测员完成工作后，若以20的平均速度从水文监测点骑行回湿地监测站，他能否在上午前到达？（参考数据：） 【答案】(1) (2)能在上午11:20前到达 【分析】(1) 过点作于点，利用及方向角求出的长，即为最短距离． (2) 在中，利用和求出的长，再计算骑行所需时间与 20分钟比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 监测员从处沿正南方向骑行到处， 为正南方向，为东西方向， 从到沿北偏西方向，， ， 在中，， ， 他与湿地监测站之间的最短距离为． （2）解：在中，，， 点位于的南偏西方向， ， ， 骑行速度为， 所需时间， 分钟， 从骑行回需要11.25分钟， 出发，经过11.25分钟后为11:11:15， 能在上午11:20前到达． 4．(25-26九下·湖南永州市·二模)陈树湘红色文化园是为纪念红三十四师师长陈树湘“断肠明志”壮举所建的红色地标．某数学研学小组利用数学知识来测量文化园中烈士纪念碑的高度．方法如下：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的高度．在点处测得点的仰角．然后沿方向前进米到达点处，此时测得点的仰角．请根据上述数据，计算纪念碑的高度． （参考数据：，，） 【答案】米 【分析】在中，解直角三角形可用表示出，可证明是等腰直角三角形，得到，进而根据表示出，然后根据长列方程求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 在中，，， 是等腰直角三角形， ． 根据题意得，米，则米， 解得． 答：纪念碑的高度长约为米． 5．(2026·湖南省衡阳市·二模)如图1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验．同学们将实验装置抽象成如图2所示的几何模型．已知直尺斜靠在桌边，悬绳（A，B，C在同一直线上）的上端A点与桌边接触点D的连线，垂直于直尺下边，其中．请根据以上信息，求的长．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 【答案】的长约为． 【分析】过点B作于点F，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，利用三角形内角和定理求出，在中，解直角三角形求出，再由即可求解． 【详解】解：如图，过点B作于点F． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 又∵， ∴在中，， ∴， ∴． 答：的长约为． 6．(25-26九下·湖南株洲市株洲县·二模)项目学习 项目背景：为传承红色革命经典，学校组织研学活动．同学们来到临汾解放烈士纪念碑，碑身用7200块剁石砌垒，象征着为临汾解放捐躯的7200名先烈．该校某数学兴趣小组的成员为测量纪念碑的高度，利用测角仪和卷尺形成了如下实践报告： 活动主题 测量临汾解放烈士纪念碑的高度 测量工具 测角仪，卷尺 测量示意图    方案说明 1．如图2，为纪念碑，为斜坡；2．点在一条直线上，，图中所有的点均在同一平面内 相关数据 在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，斜坡的坡度为米 请根据上述数据，求纪念碑的高度．（结果精确到米，参考数据：，， ） 【答案】纪念碑的高度约为米 【分析】根据坡度的定 义可得，设，根据，求得，则，即可求解． 【详解】解：斜坡的坡度为， ． 由题意,四边形为矩形， ． 设． ， ， ． ， ， 解得， ． 答：纪念碑的高度约为米． 7．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中记载了利用“重差术”测量物体高度的方法．某高铁路段隧道施工中，工程人员利用该原理测量接触网支架高度，其纵截面的示意图如下：四边形为接触网支架的主体，四边形为接触网支架的底座．连接，已知，测得，，，，底座高．（参考数据：，，，，） (1)求的长（结果精确到）； (2)求点到地面的距离（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形，能够构造合适的直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，构造，，利用锐角三角函数求解即可； （2）过点作交于点，交于点，交于点，则四边形是矩形，根据（1）可知，利用锐角三角函数即可求得，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，则，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，则， ∴， ∴； （2）解：过点作交于点，交于点，交于点，则， 由（1）可知， ，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．(2026·湖南省湘潭市·二模)图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点和点在同一水平线上，已知： 于点于点于点，若分米，． (1)求的长； (2)“碓”工作时举起到最高处如图3所示，此时，于点，求点上升的高度．（结果保留一位小数．）【参考数据：，，，，，】 【答案】(1)的长约为5.4分米 (2)点上升的高度为4.5分米 【分析】（1）在中，解直角三角形即可求解； （2）作，垂足为，在和中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ， ， ，分米， 在中，（分米）， 答：的长约为5.4分米； （2）解：作，垂足为， 由题意得，点上升的高度为的长， 此时，，， ， 分米， 在中，（分米）． 在中，（分米） 答：点上升的高度为4.5分米． 9．(2026·湖南省岳阳市·二模)综合与实践：岳阳文庙历史悠久，是传承中华优秀传统文化的重要场所．庙前古银杏挺拔苍劲，孔子像庄严肃穆，承载着深厚的人文内涵．为了在真实情境中运用数学知识解决实际问题感受数学与生活、数学与文化的紧密联系，某校数学社团的同学们想要利用所学的知识测量文庙前银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表． 课题 测量银杏树的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 点，在点的正西方向，． 是银杏树旁的房屋，，，． 是银杏树正西方向的孔子像，借助进行测量，使，，三点在一条直线上，点，在点的正西方向，，． 测量数据 ，，． ，，． ，． (1)第______小组的数据无法计算出银杏树的高度； (2)请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)三 (2) 【分析】（1）根据已知数据判断即可； （2）对于一：先解，设，则，再解即可；选择二：：延长交于点，先解，求出，再即可． 【详解】（1）解：第三小组的数据无法计算出银杏树的高度，因为数据中只给出了的度数，虽然能证明，但还缺少如的度数，的长度等信息； （2）解：选择一： ∵，， ∴在中， 设，则， ∴， 在中， ∴ ∴ 解得 ∴ 答：银杏树的高度为； 选择二：延长交于点， ∵，， ∴ ∵． ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ∴ 在中，， ∴ ∴ 答：银杏树的高度为． 10．(2026九·湖南省常德市·二模)如图，已知斜坡长为60米，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡． (1)若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号） (2)一座建筑物距离A处30米远（即为30米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即）为，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且，求建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】(1) 米 (2)米 【分析】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，矩形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数求出所需长度是解题关键． （1）由题意可得，米，，利用锐角三角函数，分别求出米，米，再得出，进而得到米，即可求出平台的长； （2）在中，利用锐角三角函数，求出米，米，进而得出米，证明四边形是矩形，得到米，米，进而得出米，再利用锐角三角函数，求出米，即可求出建筑物的高度． 【详解】（1）解：米，为中点， 米， 由题意可知，，， ， 在中，米，， 米，米， 斜坡的坡角为，即， ， 米， 米； （2）解：在中，米，， 米，米， 米， 米， 由（1）可知，米，米， 米， ，，， ， 四边形是矩形， 米，米， 米， 在中，，米， 米， 米． 11．(25-26九下·湖南邵阳市·二模)综合实践 课题：估算摩天轮的高度 背景 美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮之一，共有48个轿厢．某学习小组在综合实践活动中，决定以估算摩天轮高度作为课题． 实践 体验：该小组成员搭乘一次摩天轮．从入轿厢开始计时，转一圈后出轿厢，测得耗时约为20分钟． 操作：该小组为了测得摩天轮的高度，在地面处用高为1.6米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进24米至处，又测得摩天轮顶端的仰角． 解决问题，完成以下任务： (1)小颖感觉摩天轮转得比较慢，查阅资料得知，回转速度约为每秒0.22米，这时，她认为自己能够算出摩天轮的直径，你知道她是怎样算的吗?（取3.14，结果精确到0.1米） (2)根据操作活动得到的测量数据，估算出地面到摩天轮顶端的完全高度．（参考数据：，，，，，结果精确到0.1米） 【答案】(1)摩天轮的直径为84.1米． (2)地面到摩天轮顶端的完全高度约为102.4米． 【分析】（1）设摩天轮的直径为米，根据题意列方程并解方程即可得到答案； （2）连接，，，，延长交于点，得到，，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：设摩天轮的直径为米，由题意得； ， 解得：；     答：摩天轮的直径为84.1米． （2）解：连接，，，，延长交于点，如图所示： 由题意得： ，，，， 设， 在中，，     在中，， ， ，     解得：，     即， ；     答：地面到摩天轮顶端的完全高度约为102.4米． 12．(25-26九下·湖南株洲第十九中学·)如图，李明在大楼27米高（即米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角，山脚B处的俯角，已知该山坡的坡度i（即）为．点P、H、B、C、A在同一个平面内．点H、B、C、在同一条直线上，且． （1）山坡坡角（即）的度数等于________度． （2）求AB的长（结果保留根号）． 【答案】（1）30；（2） 【分析】（1）根据，即可直接求出∠ABC＝30°； （2）先求出∠PBH＝∠QPB＝60°，∠APB＝45°，再根据∠ABC＝30°，求出∠ABP＝90°，根据∠PAB＝45°，得出AB＝PB，最后根据求出PB即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：． （2）由题意知过点P的水平线为PQ，，， ∴，， ∵，∴， ∴，∴ ∵在，， ∴． 答：AB的长为米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是平行线的性质、特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质、俯角、坡度的概念． 13．(2026·湖南省娄底市·)小明的书桌上有个书架，如图1，使用时可以通过调整书架和桌面的夹角大小使阅读时的感受更加舒适．小明使用时发现，如图2，当书架与桌面的夹角时，看书最为舒适．小明的眼睛位于C处，旋转点P到点B的距离为．（以下结果均保留整数，参考数据：，，） (1)求此时点B到桌面的距离； (2)如果小明的眼睛在点C处看B处的俯角为，眼睛到桌面的垂直高度为，点P到点D的距离为，求此时眼睛到B点的距离（即的长度）． 【答案】(1)B点到桌面的距离为 (2)眼睛到B点的距离约为 【分析】（1）过点B作于点E，求出，利用正弦函数定义，结合已知，计算的长度，即点B到桌面的距离． （2）过点B作于点E，，于F，令过点C的水平线为，先由矩形性质得到，，在中用余弦函数求出，结合算出，即；再在中利用余弦函数定义求出即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：B点到桌面的距离为； （2）解：如图，过点B作于点E，，于F，令过点C的水平线为，由题意得，，， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：眼睛到B点的距离约为． 14．(2026九·湖南省怀化市·二模)某校数学第二课堂学习小组组织了一次户外学习活动，对校外公园一个创意型多边形大门进行了测量与计算，下表是他们的活动过程与测量结果的活动报告单． 活动主题：测量公园多边形大门数据 活动成员：数学第二课堂学习小组组员 测量工具：皮尺、测角仪、计算器等 实拍图与几何示意图： 测绘步骤：①门框垂直于地面，抽象出的几何图形是五边形（各顶点在同一平面，在水平地面上）． ②门框外观是轴对称图形（点C对应点E）． 测量数据：①用皮尺测得：． ②用测角仪测得：，． ③用计算器计算得：，． 问题解决： (1)求门框的宽度； (2)求门框最高点D到水平地面的距离．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点C作，交的延长线于点H，过点D作于点M，连接交于点G，根据解直角三角形的计算得到，证明四边形为矩形，结合矩形的性质得到，再根据轴对称的性质得到即可求解； （2）根据矩形的性质得到，由角的和差计算得到，根据解直角三角形的计算得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点C作，交的延长线于点H，过点D作于点M，连接交于点G， ∵五边形是轴对称图形， ∴M为的中点，，， ∴，则， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴， 答：门框的宽度约为． （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ， ∴， 答：门框最高点D到水平地面的距离约为． 15．(2026·湖南省湘潭市·二模)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．    根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)求的长； (2)该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用： （1）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案； （2）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴    （2）解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 16．(2026·湖南省张家界市·二模)某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． (1)求的长度（结果保留整数）： (2)如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 【答案】(1)的长度约为 (2)点到台面的距离约为 【分析】（1）在中，利用余弦的定义求解即可； （2）过点作，垂足为，交于点，在中，利用正弦的定义求的长度，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，， ， ∴． ∴的长度约为； （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴点到台面的距离约为． 17．(2026·湖南省长沙市·二模)汉代初期的《淮南万毕术》记载了中国古代潜望镜的制法：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻也”，如图1所示，是古人利用光的反射原理（反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线和入射光线分居法线两侧，且反射角等于入射角）实现在院墙内监测墙外人员的实时工作状态．图2为其抽象的数学示意图，点为水盆，点为被观测者，现测得入射角，，与为法线，．若长为．（参考数据：，） (1)求的大小； (2)求被观测者到墙角的距离．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可知，再利用三角形内角和求角即可； （2）先解直角三角形可得 ，再在中解出即可． 【详解】（1）解：，分别为法线两侧的入射光线和反射光线， ， ， ，， ， ； （2）由（1）得，， 在中，， ， ． 在中， ， ， ∴被观测者到墙角的距离约为． 18．(2026·湖南省邵阳市·二模)“1”腔热血护家园，“1”呼百应齐参与，“9”久守护永不变，在“全国消防日”之际，学校组织学生到消防队参观消防救援车实施救援演练的过程，图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，操作面与水平地面平行，操作面离地面的距离米，伸缩臂可绕着点O旋转，点A在上，为云梯的液压杆，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变．消防员为大家介绍：此时，，，于点E，交于点F，云梯末端工作台C上升到了离地面米的高处．（参考数据：，，结果精确到0.1） (1)求此时液压杆的长度；（结果保留根号） (2)通过消防员的操作，云梯伸缩臂绕点O逆时针旋转并伸长至，云梯末端工作台C的铅锤高度上升了4米至，请问伸缩臂比伸缩臂伸长了多少米？ 【答案】(1)米 (2)伸缩臂比伸缩臂伸长了1.625米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作，分别解和，进行求解即可； （2）过点作，垂足为Q，过点C作，垂足为R，通过解直角三角形可求出和，再相减即可得到答案． 【详解】（1）解：过点B作，如， 在中，米，， ∴（米）， 在中，， ∴，即, ∴（米）； （2）解：过点作，垂足为Q，过点C作，垂足为R， 根据题意知，（米） ∵（米） ∴（米） ∵, ∴（米） 由作图知四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， 又 ∴ 在中，, ∴米， ∴米， 即伸缩臂比伸缩臂伸长了1.625米 19．(25-26九下·湖南长沙市·二模)为助力长沙临港经济发展，一艘货轮从港口出发，前往港口进行货物中转，已知港口位于港口的正西方向．该货轮需先将一批物资运至位于港口北偏西方向20海里的补给点处，再从处沿北偏西方向行驶60海里到达位于港口北偏东方向的渔区，最后再前往港口． (1)求的度数； (2)求港口到港口的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)海里 【分析】】（1）过点作的垂线，垂足为，根据题意得出，即可求解； （2）过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，结合图形得出海里，海里，海里，海里，再由等腰三角形的判定得出是等腰直角三角形，确定海里，即可求解． 【详解】（1）解：如解图，过点作的垂线，垂足为， 点在点的北偏东方向上，在点的北偏西方向上， ， ； （2）解：如解图，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， 在中，海里，， （海里），（海里）， 在中，海里，， （海里），（海里）， 根据题意得：四边形是矩形， 海里，海里， （海里）， 点在点的北偏东方向上，， 是等腰直角三角形， （海里）， （海里）， 答：港口到港口的距离为海里． 20．(25-26九下·湖南娄底市娄星区·二模)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小明同学安装的加热高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，试管倾斜角． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）解：过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04三角形 ☆5大考点概览 考点01几何初步 考点02三角形及其全等 考点03等腰三角形 考点04相似 考点05解直角三角形 考点01 几何初步 1.(2026湖南省株洲市株洲县·二模)下列四个图形中，过点B作AC的垂线，正确的是（) B B B E B E A CB.A E 2.(2026·湖南省邵阳市·二模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，AD I BC,则∠CAD的度数为 () A.70° B.65 C.60° D.55° 3.(2026湖南省邵阳市·二模)如图，已知直线c与直线a,b分别交于点A,B,且L2的补角为60°，若要使直 线ab,则∠1的度数为() 1/21 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.60° B.120 C.30 D.150° 4,(2026湖南省益阳市沅江市·二模)如图，一质量均匀的小球静止悬挂在光滑的竖直墙面上，O为小球的球 心，小球受到重力G、拉力F和支持力N的作用.若拉力F与重力G的夹角∠1=165°，则拉力F与墙面 的夹角∠2的度数为() F A,35 B.25 C.15 D.5 5.(2026湖南省张家界市·二模)如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=110°，DE与地面平行，∠ABD= 50°，则LACB=() B 7777nT A,50° B.60° C.65 D.70° 6,(2026湖南省永州市·二模)将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则∠a=() A.60° B.55 C.45° D.30° 7.(2026湖南省岳阳市·二模)如图，把一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放置在直尺的对边上，若 ∠1=20°，那么∠2的度数是() 30% 2 A.20° B.25 C.30° D.40° 2/21 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8,(2026湖南省邵阳市·二模)如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1=25°，那么∠2的度数为() A.559 B.659 C.75 D.85° 9.(2026湖南省长沙市·二模)如图，直线a//b,将一块含30°角（∠BAC=30)的直角三角尺按图中方式放 置，其中A和C两点分别落在直线a和b上.若∠1=20°，则L2的度数为() -a 2 .b A.20° B.30° C.40° D.509 10.(25-26九下·湖南株洲第十九中学)如图，aIb,∠3=82°，∠1-∠2=22°，则∠1的度数是() 0 43 b A.48° B.50° C.52 D.54 11.(2026湖南省张家界市·二模)如图，∠DAC是△ABC的外角，射线AE在∠DAC的内部，添加一个条件 ,使得AE‖BC.(写出一种情况即可) D B C 12.(2026·湖南省长郡中学·二模)生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度， 需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE,垂足为A,CD I AE,则∠ABC+∠BCD=() 3/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C D 717 图1 图2 A.270 B.250° C.230° D.200° 13,(2026湖南省娄底市娄星区·二模)将一块含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线a‖b,若 ∠1=27°，则∠2的度数为() A.135° B.152° C.162° D.153° 14.(2026九·湖南省怀化市·二模)某款学生课桌实物如图1，侧面示意图如图2，其中AB I CD,AE=BE.若 ∠BDC=40°，则∠AEB的度数为 B 图1 图2 15.(2026湖南省湘潭市·二模)将一副直角三角板如图放置，己知∠E=60°，∠C=45°，EFWBC,则∠BND= B D 考点02 三角形及其全等 1,(2026湖南省湘潭市·二模)下列长度的三条线段，能组成三角形的是() A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,3,6 D.4,5,10 2,(2026九·湖南省常德市·二模)三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区 域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是() 4/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A,三条高线的交点 B,三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 3.(2026九湖南省娄底市娄星区·二模)如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=V3,AD=1,点M,N分 别是边BC,AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E,F分别是线段DM,MN的中点，则线段EF 长度的最大值为() A.2 B.3 C.1 D号 4.(2026九·湖南省常德市·二模)如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,BE⊥AC 于点E,交CD于F,H是BC的中点，连接DH交BE于G,则结论①BF=AC;②△DGF是等腰三角形③ BD+DF=BG:④BP=2C6,⑤a二=C中，正确的个景为（) D F G B H A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.(2026湖南省长沙市·二模)《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问 题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子 (1丈=10尺)，现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距 离为 6.(2026湖南省岳阳市·二模)如图，要测算池塘两端A,B之间的距离，先在地面上取一点C,然后通过测量 分别找到AC和BC的中点D,E,并测得DE的长，就可测算池塘两端A,B之间的距离，若DE的长为10米， 则池塘两端A,B之间的距离是 米。 5/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 7.(2026九·4月湖南省邵阳市·适考)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4V2,点D为边BC的 中点，点E,F分别为边AB,AC上的动点，且DE⊥DF,则△AEF的面积的最大值为 B D 8.(2026九湖南省怀化市·二模)已知△ABC的内角LA,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.规定：p= a2+b2-c2 2ab (1)若LA=∠B=60,则p=; (2)下列结论正确的是 ·(写出所有正确的结论)》 ①若p=则a+6+a+b-9=4, ab ②若p=0,6=\2,则△ABC是等腰直角三角形： ③若a=b,c=1,则-1<p<1. 9,(2026湖南省长沙市·二模)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB,BE平分LABC,交AC边 于点E,连接DE. (I)求证：△ABE=△DBE (2)若∠A=100°，∠C=50°，求LAEB的度数. 10.(2026·湖南省张家界市·二模)如图，四边形ABCD中，AD II BC,E为CD的中点，连结BE并延长交AD的 延长线于点F. 6/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：△BCE≌△FDE; (2)连结AE,当AE⊥BF,BC=2,AD=1时，求AB的长。 11,(2026湖南省长沙市岳麓区·二模)如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE, LBAC=∠DAE=90°，且点E在线段BC的延长线上，连接BD (I)求证：△ABD≌△ACE; (2)若AB=6,AE=5V2,求CE的长. 12.(25-26九下·湖南长郡中学·二模)如图，在△ABC中，BD为边AC上的高，且BD=CD,在BD上截取一点 E使CE=AB,延长CE交AB于点F,G为边BC上的中点，连接FG, G (I)求证：∠ABD=∠ECD: (2)若FG=5,求BC的长度. 13.(25-26九下·湖南永州市·二模) 【初步感知】 D D D E G E 图1 图2 图3 (I)如图1，已知四边形ABCD,AD II BC,点E,F分别是AB,CD的中点，连接AF并延长交BC的延长线于点 G.易知△ADF兰△GCF和EF II AD II BC, 7/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求证：EF=(AD+BC): (2)【知识应用】如图2，己知四边形ABCD,AD II BC,AD=4,BC=6,点E,G是AB上两点，且AE=BG, 过点E,G分别作EF II AD,GH II AD交DC于点F,H.求EF+GH的值； (3)【拓展探究】如图3，已知四边形ABCD,AD=3,BC=4,∠C+∠D=120°，点E,F分别是AB,CD的 中点，求EF的值. 14.(2026湖南省衡阳市·二模)己知△ABC和△ADE均为直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°， ∠BAC=∠EAD=30°.连接BE,F为BE的中点，过点E作BC的平行线交射线CF于点G. 图1 图2 (1)当C,A,E三点在同一直线上时，如图1. ①求证：CF=GF; ②连接CD,DG,求证：∠DCG=30; (2)将图1中的△ADE绕点A旋转到图2所在位置时，连接DF,DG,判断△DFG的形状并说明理由. 15,(25-26九下·湖南长沙市·二模)定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角 形，那么这个四边形叫作和谐四边形，这条对角线叫作四边形的和谐对角线，如图1，在四边形ABCD中， 若S△ABC=S△ACD,则四边形ABCD为和谐四边形，AC为四边形ABCD的和谐对角线， 0 图1 图2 图3 图4 (1)①判断：平行四边形 和谐四边形（填“是”或者“不是”）； ②如图2，己知四边形ABCD是和谐四边形，和谐对角线AC与对角线BD交于点O,求证：B0=DO; (2)如图3，已知四边形ABCD是和谐四边形，和谐对角线AC与对角线BD交于点E,AC-2CE=BC,猜想并 证明∠BCE与LDAC的数量关系： (3)如图4，△ABC中，AB=BC=3,以BC为直径的⊙O分别交AB,AC于点N,M,已知四边形BCMN是 8/21 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 和谐四边形，连接BM,CN交于点D,求△NDM的面积. 考点03 等腰三角形 1.(2026湖南省岳阳市·二模)等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为() A.13 B.17 C.13或17 D.21 2.(2026湖南省娄底市)若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是 ,(写出一个即可) 3.(25-26九下·湖南娄底市·二模)如图，在平面直角坐标系中，△P10A1,△P2A1A2,△P3A2A3,,都 是等腰直角三角形，其直角顶点P1(3,3),P2,P3,,均在直线y=-x+4上.设△P10A1,△P2A1A2, △P3A2A3,…的面积分别为S1,S2,S3,·,依据图形所反映的规律，S2026= 4.(2026湖南省衡阳市·二模)定义：MN为某个三角形的边，若MN与其边上的高相等，则称该三角形为边MW 的“伴随三角形”.△ABC为边AB的“伴随三角形”，AB=4. ①若∠B=90°，则∠A=°； ②若AC=5,过点C作直线AB的高，垂足为点D,则BD的长为 考点04 相似 1,(25-26九下·湖南株洲市株洲县·二模)下列说法正确的是() A,两个正五边形一定互为位似图形 B.物体在夜晚路灯照射下所形成的影子长度只与该物体的高度有关 C.取菱形四边的中点连成的中点四边形一定也是菱形 D,经过矩形对角线交点的任意直线，都能将这个矩形的面积平分 2.(25-26九下·湖南邵阳市·二模)如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3, 0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD,则点C坐标() 9/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(-1,-1)B.（-3-1) C.(-1,- D.(-2,-1) 3,(25-26九上·湖南邵阳·二模)如图，五边形ABCDE,A'B'CD'E是以坐标原点O为位似中心的位似图形，己 知点A,A'的坐标分别为(2,0)，(3,0).若DE的长为3，则DE的长为() B A A D D' A.子 B.4 c D.5 4.(2026湖南省张家界市·二模)如图，A,B两地之间有一池塘，要测量A,B两地之间的距离，选择一点O 连接A0并延长到点C,使OC-A0,连接B0并延长到点D,使OD-BO,测得C、D间距离为30米， 则A,B两地之间的距离为一· D B 5,(25-26九下·湖南娄底市·二模)如图，DE是△ABC的中位线，己知S△ADE=2,则四边形BCED的面积为 4 D B 6.(25-26九下·湖南株洲市株洲县·二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,CD⊥AB, 垂足为D,点E是线段CD上一点（不与点C、D重合），连接AE并延长交BC于点F, C (1)CD的长为； 10/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若点F是BC的中点，则tanFAB的值为 7.(2026湖南省益阳市沅江市·二模)如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，过点B作BE⊥AD,交AC 于点E,点F在线段CD上，且DF=DB,连接DE,FE, A B (1)若AB=4,CE=3,则AC= (2)下列结论正确的是 ·(写出所有正确答案的序号) ①若LABE=67°，则∠CEF=23; ②若AB=kBD,则CE=kCF; ③若AB=V5BD,ED⊥BD,则BD=2FC. 8.(25-26九上·湖南邵阳·二模)综合与实践 问题情境 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象. 纸片△ABC和△DEF满足∠ACB=∠EDF=90°，AC=BC=DF=DE=2cm. 下面是创新小组的探究过程. 操作发现 (1)如图1，取AB的中点O,将两张纸片放置在同一平面内，使点0与点F重合.当旋转△DEF纸片交AC 边于点H、交BC边于点G时，设AH=x(1<x<2),BG=y,请你探究出y与x的函数关系式，并写出解答过 程. 问题解决 (2)如图2，在(1)的条件下连接GH,发现△CGH的周长是一个定值.请你写出这个定值，并说明理 由. 拓展延伸 (3)如图3，当点F在AB边上运动（不包括端点A、B),且始终保持LAFE=60°.请你直接写出△DEF纸 片的斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值 (结果保留根号). 11/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图1 图2 图3 考点05 解直角三角形 1,(2026湖南省益阳市沅江市·二模)如图，在正方形网格上，点A,B,C,D,E均在格点上，则tanDAE 等于() A.月 B.3 C. D. 2.(25-26九上湖南邵阳二模)如图，在△ABC中，tanC=子，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到 △AED使线段AE、BC相交于点F,若CF=5,EF=2,则AC= 3.(25-26九下.湖南益阳市赫山区·二模)某环保监测员上午9：00从湿地监测站A出发，沿北偏西30°方向骑行 6km到达鸟类观测点B,观测50分钟后从B处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站A南偏西53°方 向的水文监测点C处，此时为上午10：30，如图所示. 北 →东 (1)求该环保监测员从鸟类观测点B骑行到水文监测点C的途中，他与湿地监测站A之间的最短距离； 12/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)上午11：00，监测员完成工作后，若以20km/h的平均速度从水文监测点C骑行回湿地监测站A,他能否在 上午11：20前到达？（参考数据：sin53°≈cos53°≈2tan53r≈亨 4.(25-26九下·湖南永州市·二模)陈树湘红色文化园是为纪念红三十四师师长陈树湘“断肠明志”壮举所建的 红色地标.某数学研学小组利用数学知识来测量文化园中烈士纪念碑的高度.方法如下：如图，点A是纪念 碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的高度.在点C处测得点A的仰角∠ACB=37°.然后沿CB方向前进 8.7米到达点D处，此时测得点A的仰角∠ADB=45°.请根据上述数据，计算纪念碑AB的高度. (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) C D B 5.(2026湖南省衡阳市·二模)如图1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验.同学们将实 验装置抽象成如图2所示的几何模型，已知直尺斜靠在桌边，悬绳ABC(A,B,C在同一直线上)的上端A 点与桌边接触点D的连线AD,垂直于直尺下边BE,其中AD=3cm,BE=20cm,LBCE=60°，LBEC=45°.请 根据以上信息，求AC的长，（结果保留一位小数，参考数据：V2≈1.41，V3≈1.73，V6≈2.45，sin 75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73) 图1 图2 6.(25-26九下湖南株洲市株洲县·二模)项目学习 项目背景：为传承红色革命经典，学校组织研学活动.同学们来到临汾解放烈士纪念碑，碑身用7200块剁 石砌垒，象征着为临汾解放捐躯的7200名先烈.该校某数学兴趣小组的成员为测量纪念碑的高度，利用测 角仪和卷尺形成了如下实践报告： 活动主 测量临汾解放烈士纪念碑的高度 题 测量工 测角仪，卷尺 具 13/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 测量示 意图 B 图1 图2 方案说 1.如图2，AB为纪念碑，CE为斜坡2.点B,C,D在一条直线上，AB⊥BD,ED⊥BD,EF⊥AB, 明 图中所有的点均在同一平面内 相关数 在点C处测得点A的仰角LACB=52.9°，在点E处测得点A的仰角LAEF=45°，斜坡CE的坡度为 据 1:2,CD=4米 请根据上述数据，求纪念碑AB的高度，（结果精确到0.1米，参考数据sin52.9°≈0.80,52.9°≈0.60，tan 52.9°≈1.32) 7.(2026湖南省益阳市沅江市·二模)我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中记载了利用“重差术”测量物体高 度的方法.某高铁路段隧道施工中，工程人员利用该原理测量接触网支架高度，其纵截面的示意图如下： 四边形ABCD为接触网支架的主体，四边形EFMN为接触网支架的底座.连接BD,已知3DIEFIMN,测得 ∠BCF=40°，∠DCE=35°，AD⊥CD,BC=5m,AD=1.6m,底座高0.6m,(参考数据sin40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57) B M (1)求CD的长（结果精确到0.1m); (2)求点A到地面MN的距离（结果精确到0.1m). 8.(2026湖南省湘潭市·二模)图1为《天工开物》记载的用于春(chong)捣谷物的工具一“碓(dui)”的 结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点A和点C在同一水平线上，已知：ACIEF,AB⊥CD于点 B,AE⊥l于点E,CF⊥I于点F,若AB=20分米，∠BAE=105° 14/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B R C 图1 图2 图3 (I)求BC的长； (2)碓”工作时举起到最高处如图3所示，此时LBAE=118°，CG1l于点G,求点C上升的高度，（结果保留 位小数.)【参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin13°≈0.22，cos13°≈0.97， tan13°≈0.23】 9,(2026湖南省岳阳市·二模)综合与实践岳阳文庙历史悠久，是传承中华优秀传统文化的重要场所，庙前 古银杏挺拔苍劲，孔子像庄严肃穆，承载着深厚的人文内涵.为了在真实情境中运用数学知识解决实际问 题感受数学与生活、数学与文化的紧密联系，某校数学社团的同学们想要利用所学的知识测量文庙前银杏 树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表， 课题 测量银杏树AB的高度 测量角度的仪器、皮尺等 测量工具 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 4 测量方案示意图 B B D H B 说明 点C,D在点B的正西 GH是银杏树旁的房 EF是银杏树正西方向 15/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 方向，AB⊥BC 屋，AB⊥BH, 的孔子像，借助EF进 GH⊥BH,GEI 行测量，使P,E,A三 HB. 点在一条直线上，点P, F在点B的正西方向， AB⊥BP,EF⊥BP. ∠C=27°， LAGE=27°， EF 22m, 测量数据 LADB=60°， LBGE=60°， ∠AFB=60°. CD =33m GH =18m. (1)第 小组的数据无法计算出银杏树AB的高度； (2)请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树AB的高度.（结果精确到0.1m,参考数据：sin27°≈0.45， cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，V3≈1.73) 10.(2026九·湖南省常德市·二模)如图，已知斜坡AB长为60米，坡角（即LBAC)为30°，BC1AC,现计 划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡 BE. B 130° 30° A G (1)若修建的斜坡BE的坡角为45°，求平台DE的长；（结果保留根号） (2)一座建筑物GH距离A处30米远（即AG为30米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM)为 30°，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG,求建筑物GH的高 度，（结果保留根号） 11.(25-26九下·湖南邵阳市·二模)综合实践 课题：估算摩天轮的高度 美林湖摩天轮是国内 最大的屋顶摩天轮之 背景 一，共有48个轿 厢，某学习小组在综 16/21 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 合实践活动中，决定 以估算摩天轮高度作 为课题. 体验：该小组成员搭乘一次摩天轮，从入轿厢开始计时， 转一圈后出轿厢，测得耗时约为20分钟. 操作：该小组为了测得摩天轮的高度CD,在地面A处用 高为1.6米的测角仪AB测得摩天轮顶端D的仰角a=31°， 实践 再向摩天轮方向前进24米至A'处，又测得摩天轮顶端D 的仰角B=35°. B B' A A' 解决问题，完成以下任务： (1)小颖感觉摩天轮转得比较慢，查阅资料得知，回转速度约为每秒0.22米，这时，她认为自己能够算出摩 天轮的直径，你知道她是怎样算的吗？（π取3.14，结果精确到0.1米） (2)根据操作活动得到的测量数据，估算出地面到摩天轮顶端的完全高度CD.(参考数据sin31°≈0.52，tan 31°≈0.60，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70，sin3.83°≈0.07，结果精确到0.1米) 12.(25-26九下·湖南株洲第十九中学)如图，李明在大楼27米高（即PH=27米）的窗口P处进行观测， 测得山坡上A处的俯角∠QPA=15°，山脚B处的俯角∠QPB=60°，已知该山坡的坡度i(即tanABC)为1： V3.点P、H、B、C、A在同一个平面内，点H、B、C、在同一条直线上，且PH⊥HC. 5 60° H (1)山坡坡角（即∠ABC)的度数等于度， (2)求AB的长（结果保留根号）， 13.(2026湖南省娄底市)小明的书桌上有个书架，如图1，使用时可以通过调整书架和桌面的夹角大小使 17/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 阅读时的感受更加舒适.小明使用时发现，如图2，当书架与桌面的夹角∠APD=120时，看书最为舒 适.小明的眼晴位于C处，旋转点P到点B的距离为20cm.(以下结果均保留整数，参考数据：V3 ≈1.73，sin16°≈0.28，cos16°≈0.96 16- 1209 D D 图1 图2 (I)求此时点B到桌面PD的距离； (2)如果小明的眼晴在点C处看B处的俯角为16°，眼晴到桌面的垂直高度为CD,点P到点D的距离为26 cm,求此时眼睛到B点的距离（即BC的长度）. 14.(2026九·湖南省怀化市·二模)某校数学第二课堂学习小组组织了一次户外学习活动，对校外公园一个创 意型多边形大门进行了测量与计算，下表是他们的活动过程与测量结果的活动报告单， 活动主题：测量公园多边形大门数据 活动成员：数学第二课堂学习小组组员 测量工具：皮尺、测角仪、计算器等 实拍图与几何示意图： D 实拍图 几何示意图 测绘步骤：①门框垂直于地面，抽象出的几何图形是五边形ABCDE(各顶点在同一平面，AB在水平地面 上) ②门框外观是轴对称图形（点C对应点E). 测量数据：①用皮尺测得：AB=BC=2m. ②用测角仪测得：∠A=130°，∠C=95°. ③用计算器计算得：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77. 18/21 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 问题解决： (I)求门框的宽度CE; (2)求门框最高点D到水平地面AB的距离.（结果保留一位小数） 15,(2026·湖南省湘潭市·二模)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满 足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其 中一个停车位.经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m,CE=1.6m,GH1CD,GH是另一个车位的宽，所有车 位的长宽相同，按图示并列划定. B 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m,参考数据V3≈1.73） (1)求PQ的长； (2)该充电站有20个停车位，求PN的长， 16.(2026湖南省张家界市·二模)某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，D,A,E三点共线， E-A-B-C是水管，AE⊥台面MN.A-D-F是开关，可整体绕点A上下旋转，且AD⊥DF,AE⊥AB,连接 AF,∠FAD=71°，AE=14cm,AD=4cm. B A M E M E N 图1 图2 图3 (1)求AF的长度（结果保留整数）： (2)如图3，当开关开到最大时，△ADF旋转到△AD'F的位置上，旋转角∠FAF=41°，求此时点F到台面MN 的距离（结果保留整数）.（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.9，π取3.14y2≈1.4W3 ≈1.7) 17.(2026湖南省长沙市·二模)汉代初期的《准南万毕术》记载了中国古代潜望镜的制法“取大镜高悬，悬 19/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 水盆于其下，则见四邻也”，如图1所示，是古人利用光的反射原理（反射光线、入射光线和法线在同一平 面内，反射光线和入射光线分居法线两侧，且反射角等于入射角)实现在院墙内监测墙外人员的实时工作 状态.图2为其抽象的数学示意图，点A为水盆，点B为被观测者，现测得入射角∠BCM=37.5, ∠CAN=30°，MC与NA为法线，NA⊥AB,若AD长为2m.(参考数据：V2≈1.41，V3≈1.73) 大镜】 图1 图2 (1)求LB的大小： (2)求被观测者到墙角的距离BD.(结果精确到0.1m) 18.(2026湖南省邵阳市·二模)1”腔热血护家园，“1”呼百应齐参与，“9”久守护永不变，在“全国消防日”之 际，学校组织学生到消防队参观消防救援车实施救援演练的过程，图1是高空救援消防车实物图，图2是 其侧面示意图，操作面0D与水平地面HG平行，操作面离地面的距离0H=1米，伸缩臂C0可绕着点O旋转， 点A在OD上，AB为云梯的液压杆，其中AB可伸缩，已知套管OB=3米，且套管OB的长度不变.消防员为 大家介绍：此时，∠AOB=30°，∠BAD=60°，CE⊥HG于点E,交OD于点F,云梯末端工作台C上升到了 离地面CE=5.5米的高处.（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，结果精确到0.1） C B D G 图1 图2 (I)求此时液压杆AB的长度；（结果保留根号） (2)通过消防员的操作，云梯伸缩臂C0绕点O逆时针旋转23°并伸长至0C',云梯末端工作台C的铅锤高度上 升了4米至C,请问伸缩臂0C比伸缩臂0C伸长了多少米？ 19.(25-26九下·湖南长沙市·二模)为助力长沙临港经济发展，一艘货轮从港口A出发，前往港口B进行货物 中转，已知港口B位于港口A的正西方向，该货轮需先将一批物资运至位于港口A北偏西60方向20海里的 补给点C处，再从C处沿北偏西30°方向行驶60海里到达位于港口B北偏东45°方向的渔区D,最后再前往港 口B. 20/21 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 东 D 30° :450 .609 B (1)求∠BDC的度数； (2)求港口A到港口B的距离（结果保留根号）， 20,(25-26九下·湖南娄底市娄星区·二模)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小明同学安 装的加热高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的 三分之一处.己知试管AB=30cm,试管倾斜角a=10°. 高锰酸钾ㄧ 蓬松的棉花团 B D (1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽MN,延长BM交CN的延长线于点F,且MN⊥CF(点C,D,N,F在一条直线 上)，经测得DE=21.7cm,MN=8cm,∠ABM=145°，求线段DN的长度.（参考数据sin10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan10°≈0.18) 21/21