专题03 函数（5大考点）（湖南专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦函数核心考点，整合湖南多地二模真题，梯度设计兼顾基础巩固与综合应用，融入文化传承（象棋、扇文化）、社会热点（体重管理、湘超文创）等情境素材。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约30题|平面直角坐标系、函数性质、图像变换|创新概念题（负换点、对偶关系），基础与中档题占比70%| |解答题|约20题|一次函数应用、二次函数综合、动态几何|结合实际情境（健身器材采购、营养品配置），突出分类讨论与数形结合，压轴题含存在性探究（如二次函数中的相似三角形）|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数 ☆5大考点概览 考点01平面直角坐标系与函数 考点02一次函数 考点03反比例函数 考点04二次函数 考点05二次函数的综合应用 考点01 平面直角坐标系与函数 1,(2026湖南省张家界市·二模)在平面直角坐标系中，点(3,4)关于y轴对称的点的坐标为() A.(-3,4) B.(-4,3) C.(3,-4) D.(4,-3) 2.(2026湖南省长沙市·二模)在平面直角坐标系中，将线段AB水平向左平移4个单位后得到线段A'B',则点 A(-2,3)的对应点A'的坐标为() A.(6,1) B.(3,7) C.(-6,3) D.(2,-1) 3.(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)在平面直角坐标系中，我们约定不重合的两点P(α，b)与Q(-b,-a)为一 对负换点；若函数图象上至少存在一对负换点，则称该函数为负换函数.下列函数中，是负换函数且仅有 一对负换点的是() A.y=-2x B.y=x+1 C.y= D.y=x2-1 4.(2026湖南省岳阳市·二模)平面直角坐标系中，点A(3,2)关于x轴的对称点A1的坐标为 5.(2026湖南省益阳市沅江市·二模)在平面直角坐标系中，点A(2-m,1)在y轴上，则m的值为· 6.(2026湖南省邵阳市·二模)在平面直角坐标系中，若点P(2,-1)与点Q(-2,m关于原点对称，则m的值是 7.(2026湖南省娄底市·二模)象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图，这是中国象棋棋盘一部分的 示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点(0，-2)，“马”位于点(3，-2)，则棋子“兵”的位置应记为 兵 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(2026湖南省长沙市·二模)如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A(2,0),交y轴于点B(0,6),以 原点O为圆心、适当长为半径画弧，交x轴于点C,交y轴于点D,分别以点C,D为圆心、大于CD的长为半 径画弧，两弧在第一象限内交于点E,作射线OE交AB于点F, A (1)求AB的长度； (2)求点F的坐标. 9.(2026湖南省张家界市·二模)在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”， (1)若点M(-1,m是“吉祥点”，则m的值为 (2)下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号). ①第一象限内有无数个“吉祥点”； ②已知点A(-2,1),B(-2,-3),若点P是“吉祥点”且在坐标轴上，则点P到直线AB的距离为8； ③已知点C(-1,-1),D(3,-1),若点Q是第一象限内的“吉祥点”，三角形QCD的面积记为S,则 2<S<14. 考点02 一次函数 1,(2026湖南省张家界市·二模)当自变量x>1时，下列函数y随x的增大而增大的是() A.y=-3x B.y=3 C.y=3x+1 D.y=-(x-1)2-3 2.(2026九·湖南省怀化市·二模)关于一次函数y=2x-4,下列说法正确的是() A.图象经过第二、四象限 B,函数值y随自变量x的增大而减小 C.当x=2时，函数值y=0 D.图象与y轴交于点(0,4) 3.(2026湖南省永州市·二模)如图1是一台可调节温度的火箱”，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实 现控温.如图2是该火箱的电流I(A)与电阻R()成反比例函数的图象，该图象经过点M(200,1.1),根据图 象可知，下列说法错误的是() 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 I(A)个 M 1.1- 200RQ) 图1 图2 A.1与R的函数关系式是1=(R>0) B,当电阻R从2002调节到4002时，电流减少了0.55A C.当10<R<110时，I的取值范围是2<I<22 D,己知该“火箱”的发热功率P(W)为P=I2R,则P随R的增大而增大 4.(2026湖南省娄底市·二模)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴.如图，某折 扇张开的角度为120时，扇面面积为S、该折扇张开的角度为n时，扇面面积为S,若m=,则m与n关系 的图象大致是() m m m n。o A. B. D.O 5.(2026九·湖南省常德市·二模)若点(m,n)在第二象限，则一次函数y=nx+m-n的图象可能是() 6.(2026湖南省张家界市·二模)已知一次函数y=(1-2a)x+a-2(a为常数)，如果函数值y随着自变量x 的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过() A.第一、二、四象限 B,第二、三、四象限 C,第一、三、四象限 D,第一、二、三象限 7.(2026湖南省娄底市·二模)在平面直角坐标系中，将直线y=-2x+5向上平移4个单位长度，平移后的 3/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 直线经过（保） 则k的值为(). A.日 B.月 c D. 8.(2026湖南省长沙市二模)已知P是反比例函数y=（x>0)图象上的一点，点B的坐标为(1,0)，A是y 轴正半轴上的一点，且AP⊥BP,AP:BP=1:2,那么直线PA的解析式为() 0 B A.y=字+号B.y=4x-4 C.y=-2x+5 D.y=-x+6 9.(2026湖南省益阳市赫山区·二模)某弹簧在不挂物体时的长度是15cm.下表描述了在弹簧弹性限度内， 弹簧长度与所挂物体的质量x(kg)的对应关系，当所挂物体质量为3kg时，弹簧长度为 cm. 物体的质量x/kg 2 弹簧长度y/cm 15.5 16 17 10. (2026湖南省永州市·二模)已知一次函数y=2x+b的图象经过点(0，-3)，则b的值为 11.(25-26九下·湖南株洲第十九中学)一次函数y=kx+b的图象经过点A(-4,y1)和B(-1,y2),且己知 k>0,则比较大小：y1y2（选择“<”，“>”，≤”，”，“=”其中之一填空). 12.(25-26九下.长郡中学集团中考.二模)一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示，则y1>y2的 解集是 y1=4x+5 y2=3x+10 25 13.(2026湖南省娄底市)若函数y1的图象上存在点P,函数y2的图象上存在点Q,且P、Q关于y轴对称，则 称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”. ①函数y1=2x+3与函数y2=-x+1不具有“对偶关系”； 4/23 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②函数y1=2x+3与函数y2=-x+1的“对偶值”为-1； ③若1是函数y1=kx+3与函数y2=的对偶值”，则k=2; ④若函数y1=-2x+b(-2≤x≤-1)与函数y2=(x>0)具有“对偶关系”，则3≤b≤ 以上结论正确的是 (写出所有正确结论) 14.(25-26九下·湖南株洲第十九中学二模)某游泳馆推出了A、B两种季度套餐.选择这两种套餐消费时， 一个季度的费用y(元)与该季度游泳时长x(小时)之间的函数关系如图所示， Ay(元) B 360 180 46 13 x(小时) (1)分别求出这两种套餐消费时，y与x之间的函数关系式； (②)请通过计算说明，一个季度的游泳时长少于多少时选择A套餐更省钱； (3)小明估计了自己本季度的游泳时长后，选择了B套餐，因为这样可比选择A种套餐游泳平均小时节省5 元，求小明估计自己本季度的游泳时长， 15.(25-26九下·湖南长沙市·二模)健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，已知一 个运动员每餐标准为32单位蛋白质，每克甲原料含0.4单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位 蛋白质和0.8单位铁质.甲原料的价格为每克0.6元，乙原料的价格为每克1元.设一个运动员每餐需要甲 原料x克，乙原料y克， (I)请写出y关于x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围） (②)食堂规定每餐给一个运动员配制这种营养品的总费用不能超过35元.为了保证营养达标且不超支，每餐 最多用多少克甲原料？ 16.(2026湖南省长沙市·二模)“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树 和杉树.经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元. (1)求柏树和杉树的单价各是多少元； (2)本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少， 柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？ 5/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.(2026湖南省张家界市·二模)随着体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升.某 健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求.据了解，甲型健身器材的单价比乙型 健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相 同. (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元. (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器 材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 18,(2026湖南省长郡中学·二模)2025年首届湘超联赛”火爆出圈，其官方文创同样点燃了球迷热情.其中， 以吉祥物湘湘”（省鸟红嘴相思鸟）和超超”（杂交水稻少年）为原型设计的钥匙扣挂件，凭借浓郁的湘 味设计和萌趣造型，迅速成为年度人气周边，线上线下屡屡售罄，堪称湖南人看球的“氛围感神器”，某生 产厂家看准商机，生产“湘湘”、“超超两款挂饰，己知“湘湘挂饰的批发单价比“超超挂饰的批发单价高2 元.若花800元批发购买“湘湘挂饰的数量与花600元批发购买“超超”挂饰的数量相同. (1)求“湘湘”、“超超”两款挂饰的批发单价分别是多少元？ (2)某文具店从该厂家处批发购进了“湘湘”、“超超两款挂饰共60个，“湘湘挂饰的数量不超过“超超挂饰 数量的一半，“超超”挂饰售价为10元/个，“湘湘挂饰的售价比“超超”挂饰的售价高30%，若购进的这两种 挂饰全部售出，且要使得所获利润最多，则该店购进“湘湘挂饰多少个？最大利润是多少？ 19.(2026·湖南省株洲市·二模)综合与实践 如图，直线y=kx+b与x轴，y轴分别交于点A和点B,点C在线段AO上，将△ABC沿BC所在直线翻折 后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知OA=4,OB=3. 备用图 6/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求直线AB的解析式， (2)求S△ABc:S△ocD的值. (3)直线CD上是否存在点P使得∠PBC=45？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 考点03 反比例函数 1.2026湖南省株洲市二模)若点A(-4y,B(-2y2,C(3y3)都在反比例函数y=号的图象上，则y1, y2,y3的大小关系是() A.y3>y2>y1B.y3>y1>y2 C.y2>y1>y3 D.y1>y2>y3 2.(2026湖南省长沙市二模)如果点(-2y1),(1,y2),(2,y3)在反比例函数y=(k>0)的图象上，那么 () A,y1>y2>y3B.y2>y3>y1 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 3.(2026湖南省郴州市·二模)己知溶液中溶质的质量=溶液质量×浓度.小明用如图所示坐标系中的四个 点分别描述甲、乙、丙、丁四种溶液的质量与其浓度的情况，其中甲、丙在反比例函数图象上，则四种溶 液的溶质质量最大的是() 浓度 乙 丙 溶液质量 A.甲 B,乙 C.丙 D.丁 4.(2026湖南省娄底市·二模)在综合实践课上，小明利用恒定的压力F(N)测定压强P(P)与受力面积S(m2) 的关系.经测定，当S=0.5m2时，P=20Pa,则P与S之间的函数图像可能是() AP/Pa P/Pa 100 100 0.1 A. B 0 0.1 S/m2 7/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P/Pa P/Pa 100 100-- C. 0.1 S D. 00.2 S 5.(2026湖南省娄底市)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变 化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(km/h)之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的 是() 0.9 0.75 0.71 025 60 v(km/h) A,汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为09 B,当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h D,若车速从25km/h增大到60km/h,则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 6.(2026湖南省长沙市·二模)反比例函数y=经过点(2,1)，则下列说法错误的是() A.k=2 B,当x>0时，y随x的增大而增大 C.函数图象分布在第一、三象限 D.当x>0时，y随x的增大而减小 7.(2026湖南省邵阳市二模)如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数y=的图象上，且OA⊥OB,∠A=60°，则k的值为() A.-18 B.-16 C.-14 D.-12 8/23 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(2026湖南省湘潭市·二模)如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线y 轴，且直线1分别与反比例函数y=8和y=的图象交于P、Q两点.若SAPOQ=15,则k的值为() M k y= A.38 B.22 C.-7 D.-22 9.(2026九4月湖南省邵阳市适考)如图，已知直线y=2x+4与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A,B 两点，与两坐标轴分别交于C,D两点.若AB=2BC,则k的值为() k/y=2x+4 V= 2 B -4-3克-10124 C -2 -3 -4 -5H A.-昌 B.3 C.-3 D.2 10.(2026湖南省衡阳市·二模)一次函数y=kx(k<0)与反比例函数y=?(m<0,x<0)的图象交于点 P,点P的纵坐标为4W2.过反比例函数图象上的点M(与点P不重合)作y轴垂线，垂足为点N,交y=kx 的图象于点Q,其中O为坐标原点.若QN=0N=2,则下列选项正确的是() A,k=-3 B.m的值为-8 C.当x<-2W2时，反比例函数的值大于一次函数的值 D.点M的坐标为(-4,4) 11.2026湖南省湘潭市·二模)关于x的反比例函数y=m,2的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是 9/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2026湖南省湘潭市·二模)如图，AB⊥x轴于B,若△OAB的面积等于2，则图象过点A的反比例函数 关系式是 OB 13,(25-26九上湖南邵阳·二模)如图，过原点的直线与反比例函数y=(k>0)的图象交于A(m,m),B (m-6,n-6)两点，则k的值为 14.(2026九湖南省常德市·二模)为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧 时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(mi)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如 图).现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg.研究表明，当空气中每立方米的含 药量不低于3mg才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟 y/毫克 6 8 x分钟 15.(2026九·湖南省长沙市·二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形AOBC的顶点A在反比例函数 y=(x>O)的图象上，点B在x轴上，边BC交该反比例函数的图象于点D,连接AB,OD,AD,若OA=AB, 则△AOD的面积为 10/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.(2026湖南省张家界市·二模)如图，点A,B在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上，AM1x轴于点 M,BCAM交线段0A于点C,连结0R.已知点4，B的横坐标分别为6,4.则熙的值为一， 考点04 二次函数 1.(25-26九上·湖南邵阳·二模)将抛物线y=(x-1)2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长 度所得到的抛物线的解析式为() A.y=x2-8x+22B.y=x2-8x+14C.y=x2+4x+10D.y=x2+4x+2 2.(25-26九下·湖南株洲第十九中学)如图，己知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(-3,0)，顶点 是(-1，m,则以下结论：①abc>0;②4a+2b+c>0;③若y≥c,则x≤-2或x≥0；④b+c=m.其 中正确的序号是() (-1,m) A.①②③ B.②③ C.②③④ D,③④ 3,(25-26九下·湖南永州市·二模)若函数图象上存在点P,且其横、纵坐标相等，则称点P为这个函数图象上 的一个“优级点”.若关于x的函数y=x2+3x+a图象上只有一个“优级点”，则a的值为() A.a=-3 B.a=-1 C.a=0 D.a=1 4.(25-26九上湖南邵阳·二模)若x2-3x+1+y=0,则2x+y的最大值是 11/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2026湖南省岳阳市·二模)令y=axm+(2a+1)xm-1+1,其中m为整数，a为常数且a≠0. (1)若m=0时，y是关于x的反比例函数，则a= (2)下列结论正确的是 ,(填写正确结论的序号) ①若y是关于x的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限， ②若y是关于x的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限. ③若y是关于x的二次函数，则其与一次函数y=ax+1的图象一定有两个不同的交点， 6.(2026湖南省长沙市·二模)己知抛物线C1:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)的顶点为 (-1,-4),直线l:y=x+n与C1相交于A,B两点（点A在点B的左侧） (1)若点A的坐标为(-4,5)，求点B的坐标； (2)当点A,B都在x轴上方时，过点A,B分别作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,取AB的中点Q,连接 GQ,D0,用S1,S2,S分别表示△ACQ,△QCD,△QDB的面积.若S2=SSs(S2>4),求号+的值； (③)已知抛物线C2:y=mx2与直线交于E,F两点（点E在线段AB上，点F在点B右侧）.若AE+BF=2, 6 a,m是整数，且满足m>a>0,求a+m的值 7.(2026湖南省长沙市·二模)我们约定：若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=a有交点，我们称函数 y=ax2+bx+c(a≠0)为飞翔函数”，其交点为飞翔点”：若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=-a 有交点，我们称函数y=ax2+bx+c(a≠0)为“僖乐函数”，该交点为僖乐点”： (1)若函数y=2x2-x+c既是飞翔函数”，也是“僖乐函数”，求c的取值范围； (2)已知函数y=tx2-t(t≠0)的一个“僖乐点”为P,直线y=mx+n(m≠0)与抛物线y=tx2-t(t≠0)的 两个交点分别为P(x1y1),Q(x2y2),且满足x1+x2=2026,直线PQ是否经过一个定点，若经过定点，请求 出该定点坐标，若不过定点，请说明理由： (3)关于x的函数y=x2-(3k+sk+t+2)x+(sk+2)(3k+t)+1(s、t为正整数，k为实数)图像上存在两 个“飞翔点”A(x1y1),B(x2y2) ①求A、B的坐标（用s、k、t的式子表示）； ②如果对于一切实数k,x子≤x恒成立，求s、t的值. 8.(2026湖南省张家界市·二模)在平面直角坐标系中，点P1(1,1)在二次函数y=ax2+bx+c的图象上. (I)求a+b+c的值； (2)已知P2(0,-1)也在二次函数的图象上，若二次函数y=ax2+bx+c的最大值为1-，求该二次函数的表达 式； (3)在(2)的条件下，Q1(x1,n),Q2(x2,n)为二次函数y=ax2+(b+1)x+c-2图象上的不同两点，且x1 12/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ≠1，试判断(1-x2+的值是否为定值？若是，求出该定值：者不是，请说明军由。 9.(2026·湖南省邵阳市·二模)在平面直角坐标系x0y中，直线y=ax+b-4与抛物线y=x2-2ax+a2+b相 交于A,B两点，其中点A在点B的左侧，点C(x1y1)是抛物线上的一个动点. (1)若a=b=4,求点A的坐标； (2)若点A恰好为抛物线的顶点，在抛物线上另取一点D(x2y2),当x1+x2=4时，试比较y1与y2的大小，并 说明理由； (3)若点A的横坐标为4，当9<x1<m时，b≤y1<6,求b的范围. 10.(25-26九下·湖南长沙市·二模)我们约定若关于x的二次函数y1=a1x2+b1x+c1(@1b1c1≠0)与y2=a2 x2+b2x+c2(a2b2c2≠0)满足(a1-b2)2+Vb1-c2+lc1-a2l=0,则称y2为y1的“置换函数. (1)已知二次函数y=6x2+2x-1,求出其“置换函数”图象的顶点坐标； (2)若二次函数y=2x2+x+4与其“置换函数”的图象交于M,N两点，求MW的长； (3)若二次函数y=mx2+nx+p(mnp≠0)与其“置换函数”的图象有且仅有一个交点，写出m,n,p需要满 足的条件， 11.(25-26九下湖南长沙市·二模)我们约定在平面直角坐标系中，当x1,x2,y1,y2满足x1+x2=y1+y2 =1,且x1卡x2,则称点(x1y1)与点(x2y2)为一对“归一点”.若某函数图象上至少存在一对“归一点”，则称 该函数为“归一函数”，请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“V”,错误的打“×”）. ①若点M(1,m),N(n,2)是一对“归一点”，则m=-1,n=0. () ②若点M与点N是一对“归一点”，则MN的值一定为V2. ③一次函数y=x+1一定是“归一函数”. () (②)已知反比例函数y=《是“归一函数”， ①求k的取值范围； ②当k=-6时，求该函数图象上所有对“归一点”的坐标； (3)若关于x的二次函数y=x2-2ax+1是“归一函数”，求实数a的取值范围. 12.(25-26九下.湖南长沙市·二模)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2-4ax+3a(a为常数， a≠0). (1)当a=-1时，求抛物线的顶点坐标： (2)设抛物线与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），顶点为C, ①当△ABC为等腰直角三角形时，求△ABC的面积； ②当△ABC为等边三角形时，求a的值； (3)己知a<0,将抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线y1=ax2+bx+c,若当t≤x≤t+2(0≤t≤1) 13/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 时，y,的最大值与最小值之差为4，求a的取值范围. 考点05 二次函数的综合应用 1.(2026湖南省张家界市·二模)如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A(-2,0),B(6,0), 与y轴交于点C,直线y=kx+3过点B和点C.点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m,过点P 作PQ1BC于点Q,连接PC. (I)求a,b,k的值； (2)求PQ的最大值； (③)当m≤x≤3时，)的取值范围是1≤y≤t2,且t1+t2=铝，求m的值. 2.(25-26九下·湖南株洲市株洲县·二模)已知抛物线y=-x2+2mx-m2+2的顶点A在第一象限，过点A作 AB⊥y轴于点B,C是线段AB上一点（不与点A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D并交抛物线于点 P (1)若m=4,抛物线交x轴于G、H两点，求GH的长度； (2)若点C(1,a)是线段AB的中点，求点P的坐标； (3)若直线AP交y轴的正半轴于点E,且AC=CP,求△OEP的面积S的取值范围.（请画出示意图再作答） 3,(25-26九下·湖南邵阳市·二模)如图，抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)的顶点坐标为(2，-1)，并且与y 轴交于点C(0,3),与x轴交于两点A,B. (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积； (3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F,问是否存在点E,使得以 D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 14/23 动学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D 4.(2026湖南省益阳市沅江市·二模)如图1，抛物线G1:y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点.抛物线G1平移 后得到抛物线G2与y轴交于点C,且过抛物线G1的顶点D和点E(-2,3), Gu B A B D G 图1 图2 (1)求点D的坐标； (2)如图1，点P(m,y1)和Q(m+4,y2)是抛物线G2上的两点，若PQI‖EC,求m的值； (3)如图2，抛物线G3:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a<0)也经过点D,E,点M是线段DE上异于 D,E的动点，过点M作直线HN1x轴交抛物线G2,G分别于点，N,问：随着点M的运动，的值是否 会改变？若不改变，求出的值；若改变，请说明理由。 5.(2026湖南省岳阳市·二模)如图：己知抛物线L1y=-(x-1)2+1与x轴交于原点0、点B,其顶点为点A, 抛物线L2y=-3x2+bx+2过点A,与y轴交于点C,点M(m,0)与点W(n,0)是x轴上的两个动点，且 0<m<1<n,过点M作直线PQ⊥x轴，分别交L1,L2于点P与点Q,过点N作直线RS⊥x轴，分别交L1,L2 于点R与点S; 15/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 YA 图(1) 图(2) (1)求抛物线L2的函数表达式： (2)如图(1)，请证明：若n+m=2,则PQ+RS<8; (3)如图(2)，连接PR,OA交于点T,设△OTR面积为S1,连接TW,AN,设△OTN,△ATN面积分别为 52,5,当n-m=1且=时，请求出m的值， S3 6.(2026湖南省湘潭市·二模)对于平面直角坐标系中的两个图形K1和K2,给出如下定义：点G为图形K1 上任意一点，点H为K2图形上任意一点，如果G,H两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K1 和K2的“近距离”。如图1，已知△ABC,A(-1,-8),B（9,2),C(-1,2),边长为V2的正方形PQN,对 角线NQ平行于x轴或落在x轴上. AV 2 C D 图1 图2 (1)填空： ①原点O与线段BC的“近距离”为_； ②如图1，正方形PQMN在△ABC内，中心O'坐标为(m,0),若正方形PQMN与△ABC的边界的“近距 16/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 离为1，则m的取值范围为_； (2)已知抛物线C:y=一x2+3x-a,且-1sx9,若抛物线C与△ABC的近距离"为1，求a的值； (3)如图2，己知点D为线段AB上一点，且D(5,-2),将△ABC绕点A顺时针旋转(0°<0≤180)， 将旋转中的△ABC记为△AB'C',连接DB',点E为DB'的中点，当正方形PQMN中心O'坐标为(5，-6)， 直接写出在整个旋转过程中点E运动形成的图形与正方形PQN的“近距离”， 7.(2026九·湖南省常德市·二模)己知抛物线y=x2+mx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点A 坐标为(-2,0) VA 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标. (2)若点M是线段AC上一个动点（不与A、C重合），点N是线段AB上一个动点，设AN=t(t>O) ①如图I,当点N运动到AB的中点时，作MNIy轴交AC于点M,求证：∠BMN=∠BAC, ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G,使得LGNB=∠BAC且GN恰好平分LAGB? 若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由. 8.(25-26九下.湖南永州市·二模)如图1，己知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交 于点C,D为顶点，且OB=OC=3, 图1 图2 备用图 (1)求此二次函数的表达式： (2)如图2，P(x1y1)是此二次函数图象上第四象限内一动点，Q(x2y2)是直线BD上一动点，且x2-x1=3,记 直线PQy=kx+m,当x1为何值时，k有最大值？并求此时点Q的坐标； (3)依据(2)中结论，点E是第四象限内二次函数图象对称轴上一动点，过点E作EF⊥EQ,交二次函数图象 17/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 于点F,若EF=EQ,试求点F到对称轴的距离， 9.(2026湖南省娄底市)如图，二次函数y=ax2的图象经过点(1,1)，点P(x1y1),Q(x2y2),R(x3y3)是此 二次函数图象上的三个动点， (1)求此二次函数的表达式； (2)已知x2=2x1,x3=x1+1,且0<x1<1. ①若直线PR,QR分别交y轴于点A,B,求证：OA=AB; ②过点P作x轴的垂线分别交OR,RQ于点C,D,设m=S△cDR-S△oPR,试探究当x1取何值时，m取得最大 值？请求出m的最大值 10.(25-26九下·湖南株洲第十九中学)己知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,且与x轴交于A、B 两点.与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,-3). B B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)若点P在抛物线上运动（点P异于点A). ①如图1.当△PBC面积与△ABC面积相等时.求点P的坐标； ②如图2.当LPCB=∠BCA时，求直线CP的解析式. 18/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(2026九·湖南省怀化市：二模)己知一次函数y=-2x+4的图象分别交x轴，y轴于点A,C,过A,C两点 的二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象与x轴交于另一点B. V G 图1 图2 (I)求a,c的值及点B的坐标； (2)如图1，P(x1vy1),Q(x2y2)为AC上方抛物线上两动点，分别过点P,Q作x轴的垂线，与线段AC交于点M, W.若x2=x1+1,探究线段PN与MQ能否互相垂直且平分？若能互相垂直且平分，求出符合条件的点P的 坐标；若不能，请说明理由； (3)如图2，点G在y轴正半轴上，连接AG,当0G=1时，在二次函数图象上存在点H使得 ∠0GH+∠0AG=180°，求点H到y轴的距离 12.(2026湖南省娄底市·二模)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点（点A在点B的左侧）， 对称轴为x=2与y轴交于点C(0,-4),连接AC,BC. YA B x (1)求抛物线的表达式. (2)过点P作PE II AC交x轴于点E,交BC于点F.在第一象限内，抛物线上有一点G,使得∠GAB=∠BEP,求 点G的坐标， (3)P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M,PM交BC于点 Q.试探究在点P运动的过程中，QF是否存在最大值，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 19/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(25-26九下·湖南娄底市娄星区·二模)如图①，已知抛物线y=x2-2x-3交x轴于A,B两点（点B在点A 右边)，交y轴于点C, 图① 图② 图③ (I)直接写出A,B,C三点的坐标； (2)如图②，若点F为对称轴右侧抛物线上的点、直线AF交直线BC于点E,若AE=2EF,求点F的坐标 (3)如图③，若点M,N分别在第二象限和第一象限的抛物线上，连接AW,BM交于点P,S△APM:S△BPw=9:25, 求点P的横坐标. 14.(2026湖南省衡阳市·二模)己知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交 于点C,连接BC,M(x1y1),N(x2y2)是此二次函数图象上的两个动点，且x1<x2,连接MC,NB. (1)求二次函数的表达式； (2)如图，连接MB,NC.若x2=-2x1,x2<3,且S△MBC=3S△NBc,求此时x1的值； (3)如图，延长MC,NB交于点E.若x1+x2=3,x1<0,求证：点E在定直线上. 15.(25-26九下·湖南郴州市·二模)已知抛物线y=bx2+cx(b≠0)与抛物线y=-x2+4交于E(2,0),F(-1,3) 两点. 20/23 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 图1 图2 备用图 (1)求b,c的值； (2)如图1，直线y=m(0<m<3)分别与两条抛物线相交，交点从左到右依次为A,B,C,D,设点A,B, C,D的横坐标分别为xA,xB,xC,xD:求证：xA十xC-xB一xD=C; (3)如图2，当a-1≤t≤a(0≤a≤2)时，直线x=t与两条抛物线分别相交于点M,N,试问四边形ENFM的 面积是否存在最大值为？若存在，请求出。的值；若不存在，说明理由. 16.(25-26九下·湖南娄底市·二模)如图，抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,OA=0C=6,对称 轴是x=-2,点F在对称轴上运动. oBAOB 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)是否存在一点F,使得LBFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由： (3)将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1,当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的 坐标. 17.(2026湖南省永州市·二模)如图，抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)经过点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于 点C,P是第四象限抛物线上的一个动点，连接AP交y轴于点D,过点A作直线AQ⊥AP交抛物线于另一点 Q.过点P作平行于x轴的直线交y轴于点E,过点Q作平行于y轴的直线交x轴于点F. 21/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()求抛物线的表达式： (2)求证：PE·AQ=PD·FQ; (3)设点P的横坐标为m,点Q的横坐标为n. ①当m=2时，求出此时点Q的坐标； ②连接PF,在点P的运动过程中，△APF的面积S是否存在最大值？若存在，求出S取最大值时m,n的值； 若不存在，请说明理由 18.(25-26九下·湖南益阳市·二模)如图，二次函数y=x2+2x-3的图象C1与x轴相交于A,B两点，开口向下 的二次函数图象C2经过A,B两点， B C2 图1 图2 备用图 (1)求A,B两点的坐标； (2)如图1，图象C1,C2关于x轴对称，图象C2与y轴交于点C.点E(x1y1),F(x2y2)分别是图象C2上的两个动点， 且点E,F在直线AC的上方.过点E作x轴的垂线交AC于点H,交x轴于点D,设△EFH和△DCH的面积分别为 S1和S2,若x2=x-a(a为常数，且a>0),求证：=a: (3)如图2，图象C1的最低点与Cz的最高点之间的距离等于12.点M(x3y3)是图象C1上在对称轴右边的动 点.过点M作x轴的平行线L,l与图象C1的另一个交点为N(点M,N不重合)，与图象C2的交点分别为Q,P(点Q,P 不重合，且点Q在P的左侧).若QP=2(MP+NQ),求MN的长 19.(2026九·4月湖南省邵阳市·适考)某学生在学习二次函数时发现：二次函数图象上的任意点到一个定点 的距离与到一条定直线的距离相等，请同学们利用已学知识回答下列问题： ()证明：函数y=2(a为常数，且a>0)上任意一点H到点F(0,a)的距离与到直线y=-a的距离相等； (2)将函数y=号2的图象向右平移1个单位，再向下平移33个单位得到抛物线L.若点M1,-),点N (2,3),P是L上的一个动点，试求PM+PN的最小值； (3)在（2)的条件下，设L与x轴相交于A,B(点B在点A的右边)两点，顶点为点C,点D为L的对称轴上的 22/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一点且AD平分LBAC,点E是线段AC上的动点（点E与A,C不重合），连接DE,将△DEC沿DE折叠得到△DE C',记△DEC与△ACD的重叠部分为△DEG.若△DEG为直角三角形，请求出所有满足条件的点G的坐 标 20.(25-26九上·湖南邵阳·二模)己知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点 C,连结BC,tanABC=1,如图. D D C (1)求直线BC与抛物线的函数表达式； (2)点P是第一象限内直线BC上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，与抛物线交于Q点，试求出线段PQ的长度的 最大值： (3)在第一象限内，抛物线上是否存在一点N,使得点N到直线BC的距离为V2？若存在，求出点N的坐标若 不存在，请说明理由， 23/23 专题03 函数 5大考点概览 考点01平面直角坐标系与函数 考点02一次函数 考点03反比例函数 考点04二次函数 考点05二次函数的综合应用 平面直角坐标系与函数 考点01 1．(2026·湖南省张家界市·二模)在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标为， 故选：A． 2．(2026·湖南省长沙市·二模)在平面直角坐标系中，将线段水平向左平移4个单位后得到线段，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，水平平移仅改变点的横坐标，纵坐标保持不变，向左平移时点的横坐标减去平移的单位长度，按规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵点坐标为，线段向左平移个单位， ∴的横坐标为，纵坐标仍为， ∴的坐标为． 3．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对负换点；若函数图象上至少存在一对负换点，则称该函数为负换函数．下列函数中，是负换函数且仅有一对负换点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设图象上一点存在负换点，为，同时代入解析式得到两个等式，一一进行验证是否符合负换函数的条件即可求解． 【详解】解：选项A：，假设图象上一点存在负换点，为，同时代入解析式得：，， 解得， 此时重合，不符合要求，排除A； 对选项B：，假设图象上一点存在负换点，为， 同时代入解析式得：，， 此时存在无数组不重合解，即无数对负换点，排除B； 对选项C：，假设图象上一点存在负换点，为， 同时代入解析式得：，， 化简得，存在无数组不重合解，即无数对负换点，排除C； 对选项D：，假设图象上一点存在负换点，为， 同时代入解析式得：，， 将第一个式子代入第二个得： ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解为， 当时，，得 ，两点不重合，都在函数图象上，是一对负换点； 当时，，得 ，与上述为同一对； 当时，，故 ，此时 ，两点重合，不符合要求， 因此D是负换函数且仅有一对负换点，符合要求． 【点睛】本题考查了函数解析式与点的坐标之间的关系以及运算，解题关键是理解题意，合理变换与计算． 4．(2026·湖南省岳阳市·二模)平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点的坐标为． 5．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为____． 【答案】2 【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上的点横坐标为，据此列方程求解即可． 【详解】解：点在轴上， ， 解得． 6．(2026·湖南省邵阳市·二模)在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 【答案】1 【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数． 7．(2026·湖南省娄底市·二模)象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图，这是中国象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点，“马”位于点，则棋子“兵”的位置应记为_____． 【答案】 【分析】根据“帅”位于点，“马”位于点，建立平面直角坐标系，然后判断棋子“兵”的位置即可． 【详解】解：由题意知，建立平面直角坐标系如下， ∴棋子“兵”的位置应记为． 8．(2026·湖南省长沙市·二模)如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以原点为圆心、适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点，作射线交于点． (1)求的长度； (2)求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点A、B的坐标，可得直角边、，在中直接应用勾股定理计算斜边的长度． （2）由尺规作图可知平分，根据角平分线的性质，点F到x轴、y轴的距离相等；再将的面积拆分为与的面积和，求出点到两坐标轴的距离，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解： ，， 在中， ． （2）如图，过点分别作轴于点，轴于点． 依题意，由尺规作图可知：平分． 根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， ． ， 即， ∴解得， ∴点的坐标为． 9．(2026·湖南省张家界市·二模)在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”． （1）若点是“吉祥点”，则的值为________； （2）下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）． ①第一象限内有无数个“吉祥点”； ②已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； ③已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，三角形的面积记为，则． 【答案】 / 【分析】（1）根据“吉祥点”的定义列一元一次方程求解即可； （2）结合象限内点的坐标特征，点到直线的距离计算，三角形面积公式逐一判断每个结论即可． 【详解】解：（1）点是“吉祥点” ， ，解得 ． （2）对于结论： 第一象限内点的横，纵坐标均为正数， 满足的点有无数个， 第一象限内有无数个“吉祥点”，故正确； 对于结论： ，， 直线轴，直线为， 点是“吉祥点”且在坐标轴上， 若点在轴上，令，得，即， 点到直线的距离为， 若点在轴上，令，得，即，点到直线的距离为， 点到直线的距离为或，故错误； 对于结论： ，， 轴，， 设第一象限内“吉祥点”的坐标为， ，即， ∴点到直线的距离为， ， ， ，即，故正确； 综上，故答案为（1）；（2） 一次函数 考点02 1．(2026·湖南省张家界市·二模)当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 2．(2026九·湖南省怀化市·二模)关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第二、四象限 B．函数值y随自变量x的增大而减小 C．当时，函数值 D．图象与y轴交于点 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数，时，经过一三象限，时，经过二四象限；时，交y轴与正半轴，时，交y轴于负半轴，逐个判断即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∴图象经过第一、三、四象限，函数值y随自变量x的增大而增大， ∴A，B选项错误，不符合题意； 当时，， ∴C选项正确，符合题意； 当时，，∴图象与y轴交于点， ∴D选项错误，不符合题意． 3．(2026·湖南省永州市·二模)如图1是一台可调节温度的“火箱”，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该“火箱”的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（   ） A．与的函数关系式是（） B．当电阻从调节到时，电流减少了 C．当时，的取值范围是 D．已知该“火箱”的发热功率为，则随的增大而增大 【答案】D 【分析】根据题意，确定反比例函数的解析式，利用性质逐项判断即可． 【详解】根据题意设反比例函数关系式为（）， 将点代入，得， 与的函数关系式是（），故A选项正确； 当时，，电流减少了，故B选项正确； 当时，，当时，， 当时，的取值范围是，故C选项正确； 发热功率（），随的增大而减小，故D选项错误． 4．(2026·湖南省娄底市·二模)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：设该扇面所在圆的半径为， ， ∴， ∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为， ∴， ∴， ∴是的正比例函数， ∵， ∴它的图像是过原点的一条射线． 故选：C． 5．(2026九·湖南省常德市·二模)若点在第二象限，则一次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质．根据点在第二象限，可得，，利用一次函数的图象与性质的关系即可得出答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限， 故选：B． 6．(2026·湖南省张家界市·二模)已知一次函数（a为常数），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（   ） A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题利用一次函数的增减性得到一次项系数的取值范围，再判断常数项的符号，最终根据一次项系数和常数项的符号判断函数图象经过的象限． 【详解】解：一次函数中，y随x的增大而减小， 一次项系数， 解不等式得 ， 常数项 ， 即该一次函数中，，， ，函数图象过第二、四象限， ，函数图象与y轴交于正半轴，过第一象限， 这个函数的图象经过第一、二、四象限． 7．(2026·湖南省娄底市·二模)在平面直角坐标系中，将直线向上平移4个单位长度，平移后的直线经过，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数平移规律求出平移后的直线解析式，再将点代入解析式，计算即可求出的值． 【详解】解：根据一次函数图象平移规律：上加下减， 将直线向上平移4个单位长度， 可得平移后的直线解析式为： ， 平移后的直线经过， 把代入得： ． 8．(2026·湖南省长沙市·二模)已知P是反比例函数图象上的一点，点B的坐标为，A是y轴正半轴上的一点，且，，那么直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过P作轴，轴，根据矩形的判定与性质得出矩形，，，证明，得出，可设P的横坐标是，则纵坐标是，根据待定系数法求出点的坐标，进而求出A的坐标，然后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：过P作轴，轴， 则四边形是矩形， ∴，， 又， ∴， 又 ∴， ∴ ∴设P的横坐标是，则纵坐标是， ∴， 解得， ∴P的坐标是， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴． 9．(2026·湖南省益阳市赫山区·二模)某弹簧在不挂物体时的长度是．下表描述了在弹簧弹性限度内，弹簧长度与所挂物体的质量的对应关系．当所挂物体质量为时，弹簧长度为__________． 物体的质量 1 2 4 弹簧长度 15.5 16 17 【答案】16.5 【详解】解：由题意可得，是的一次函数，设. 已知弹簧不挂物体时长度为 ，即当时，，因此. 将 代入解析式得： . 解得. 因此函数解析式为 . 当 时， . 10．(2026·湖南省永州市·二模)已知一次函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【分析】将点，代入解析式即可求解． 【详解】解：将点代入一次函数， 即． 11．(25-26九下·湖南株洲第十九中学·)一次函数的图象经过点和，且已知，则比较大小：__（选择“＜”，“＞”，“≤”，“≥”，“＝”其中之一填空）． 【答案】＜ 【分析】根据一次函数的性质解答即可． 【详解】∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵一次函数的图象经过点和，且， ∴． 故答案为：＜． 【点睛】此题考查了一次函数的性质：当时，图象过第一、三象限，y随x的增大而增大；当时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小． 12．(25-26九下·长郡中学集团中考·二模)一次函数与的图象如图所示，则的解集是________．    【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式(组)之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键． 利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：观察函数图象得时，， 所以的解集是． 故答案为：． 13．(2026·湖南省娄底市·)若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”． ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 以上结论正确的是_____________．（写出所有正确结论） 【答案】②③ 【分析】结合关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，逐一判断各结论即可． 【详解】解：根据定义，若和具有“对偶关系”，则函数图象上存在两点纵坐标相等，横坐标相反， ①对于，， 令 ， 整理得 ，解得，方程有解， 因此两个函数具有“对偶关系”，故①错误； ②当对偶值为时，令，解得； 令 ，解得. 两点和关于轴对称，符合定义， 因此对偶值为，故②正确； ③若是对偶值，令，解得上对应点坐标为. 由关于轴对称得上对应点坐标为， 代入得，解得，故③正确； ④设 ，其中，则点坐标为， 令纵坐标相等得，整理得，． 中，中， ∴在上，和均随m的增大而增大， 函数在上随增大而增大， 当时，， 当时，， 因此的取值范围是 ，不符合，故④错误； 综上，正确结论为②③． 14．(25-26九下·湖南株洲第十九中学·二模)某游泳馆推出了A、B两种季度套餐．选择这两种套餐消费时，一个季度的费用y（元）与该季度游泳时长x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)分别求出这两种套餐消费时，y与x之间的函数关系式； (2)请通过计算说明，一个季度的游泳时长少于多少时选择A套餐更省钱； (3)小明估计了自己本季度的游泳时长后，选择了B套餐，因为这样可比选择A种套餐游泳平均小时节省5元，求小明估计自己本季度的游泳时长． 【答案】(1)， (2)当时长少于10小时，选择A套餐更省钱． (3)小明估计本季度的游泳时长为20小时． 【分析】（1）根据图像信息，结合待定系数法求解即可； （2）根据两种收费相同列出方程，求解，结合图像小于该游泳时长时套餐更省钱； （3）根据选择两种套餐费用的关系，用套餐的费用减去套餐的费用等于节省的费用，列出方程即可解答． 【详解】（1）设，把（，）代入， 得：， 解得： ∴ 设，把（，），（，）代入， 得， 解得： ∴ （2）当，两种套餐的费用相等可得： ， 解得： 由图像可得：当时，选择套餐更省钱 答：当时长少于小时，选择A套餐更省钱． （3）由题得，， 解得： 答：小明估计本季度的游泳时长为小时． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，结合图像正确列出方程并求解． 15．(25-26九下·湖南长沙市·二模)健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，已知一个运动员每餐标准为32单位蛋白质，每克甲原料含0.4单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.8单位铁质．甲原料的价格为每克0.6元，乙原料的价格为每克1元．设一个运动员每餐需要甲原料克，乙原料克． (1)请写出关于的函数关系式；（不要求写出的取值范围） (2)食堂规定每餐给一个运动员配制这种营养品的总费用不能超过35元．为了保证营养达标且不超支，每餐最多用多少克甲原料？ 【答案】(1) (2)最多用15克甲原料 【分析】（1）根据一个运动员每餐标准为32单位蛋白质列式即可； （2）由题意得，再把代入解不等式． 【详解】（1）解：由题意得 ， 整理，得 ． （2）由题意得 ， ， ． 答：每餐最多用15克甲原料． 16．(2026·湖南省长沙市·二模)“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买棵柏树和棵杉树共需元；购买棵柏树和棵杉树共需元． （1）求柏树和杉树的单价各是多少元； （2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共棵，且柏树的棵数不少于杉树的倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？ 【答案】（1）柏树每棵元，杉树每棵元；（2）柏树购买棵，杉树购买棵时，购树费用最少，最少费用为元． 【分析】（1）设柏树每棵元，杉树每棵元，根据两种购买方式建立方程组，然后解方程组即可得； （2）设购买柏树棵时，购树的总费用为元，从而可得购买杉树的棵树为棵，先根据“柏树的棵数不少于杉树的倍”建立不等式求出a的取值范围，再根据（1）的结论得出关于a的表达式，然后利用一次函数的性质即可得． 【详解】（1）设柏树每棵元，杉树每棵元 根据题意得： 解得 答：柏树每棵元，杉树每棵元； （2）设购买柏树棵时，购树的总费用为元，则购买杉树的棵树为棵 由题意得：，解得 结合（1）的结论得： 随的增大而增大 又为整数 当时，取得最小值，最小值为 此时， 即柏树购买棵，杉树购买棵时，购树费用最少，最少费用为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，依据题意，正确建立方程组和得出一次函数的表达式是解题关键． 17．(2026·湖南省张家界市·二模)随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用5150083． 18．(2026·湖南省长郡中学·二模)2025年首届“湘超联赛”火爆出圈，其官方文创同样点燃了球迷热情．其中，以吉祥物“湘湘”（省鸟红嘴相思鸟）和“超超”（杂交水稻少年）为原型设计的钥匙扣挂件，凭借浓郁的“湘”味设计和萌趣造型，迅速成为年度人气周边，线上线下屡屡售罄，堪称湖南人看球的“氛围感神器”．某生产厂家看准商机，生产“湘湘”、“超超”两款挂饰，已知“湘湘”挂饰的批发单价比“超超”挂饰的批发单价高2元．若花800元批发购买“湘湘”挂饰的数量与花600元批发购买“超超”挂饰的数量相同． (1)求“湘湘”、“超超”两款挂饰的批发单价分别是多少元？ (2)某文具店从该厂家处批发购进了“湘湘”、“超超”两款挂饰共60个，“湘湘”挂饰的数量不超过“超超”挂饰数量的一半，“超超”挂饰售价为10元/个，“湘湘”挂饰的售价比“超超”挂饰的售价高30%．若购进的这两种挂饰全部售出，且要使得所获利润最多，则该店购进“湘湘”挂饰多少个？最大利润是多少？ 【答案】(1)“湘湘”挂饰的批发单价为8元，“超超”挂饰的批发单价为6元 (2)该店购进“湘湘”挂饰20个，最大利润是260元 【分析】（1）设“超超”挂饰的批发单价为元，则“湘湘”挂饰的批发单价为元，根据花800元批发购买“湘湘”挂饰的数量与花600元批发购买“超超”挂饰的数量相同，列分式方程求解； （2）根据题意列出一次函数，并确定自变量的取值范围，根据一次函数增减性确定最值． 【详解】（1）解：设“超超”挂饰的批发单价为元，则“湘湘”挂饰的批发单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：“湘湘”挂饰的批发单价为8元，“超超”挂饰的批发单价为6元． （2）解：设该店购进“湘湘”挂饰个，则购买“超超”挂饰个， 由题意得， 解得， 设销售这两种挂饰的总利润为元， 由题意得 ， ， 随的增大而增大． 当时，有最大值，最大值． 答：该店购进“湘湘”挂饰20个，最大利润是260元． 【点睛】本题考查分式方程与实际问题、一次函数最值、不等式求自变量范围，解题关键是分式方程要检验并符合实际意义以及一次函数增减性定最值． 19.(2026·湖南省株洲市·二模)综合与实践 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据，，得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）勾股定理求出的长，折叠求出的长，设，根据勾股定理，可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处， ∴， ∴， 设，则， ∴． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形为正方形 ∴， ∴） ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得：， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为：， ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得：， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，坐标与图形，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． 反比例函数 考点03 1．(2026·湖南省株洲市·二模)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较反比例函数的函数值大小，根据解析式可得反比例函数经过的象限和每个象限内的增减性，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 2．(2026·湖南省长沙市·二模)如果点，，在反比例函数（）的图象上，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用时反比例函数的图像分布和增减性，即可判断三个值的大小． 【详解】∵反比例函数中， ∴函数图像分布在第一、第三象限，且每个象限内随的增大而减小， ∵点的横坐标，该点在第三象限， ∴. ∵点，的横坐标满足，两点都在第一象限， ∴， 综上所述，． 3．(2026·湖南省郴州市·二模)已知溶液中溶质的质量溶液质量浓度．小明用如图所示坐标系中的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四种溶液的质量与其浓度的情况，其中甲、丙在反比例函数图象上，则四种溶液的溶质质量最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵溶质的质量溶液质量浓度，甲、丙在反比例函数图象上， ∴甲、丙两种溶液的溶质的质量相等， ∵乙在函数图象上方，丁在函数图象下方， ∴乙种溶液的溶质的质量>甲、丙两种溶液的溶质的质量，丁种溶液的溶质的质量<甲、丙两种溶液的溶质的质量， ∴四种溶液的溶质质量最大的是乙． 4．(2026·湖南省娄底市·二模)在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据压强公式，代入，即可求出反比例函数，进而判断出函数图像． 【详解】解：根据压强公式，可知当，时， 故， 即， 与的函数关系式为， 当时，， 故B，C选项不符合题意； 当时，， 故D选项不符合题意； P与S之间的函数图像可能是选项A中的图像． 故选：A． 5．(2026·湖南省娄底市·)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 6．(2026·湖南省长沙市·二模)反比例函数经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．当时，随的增大而增大 C．函数图象分布在第一、三象限 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴函数图象分布在第一、三象限，故选项C正确，不符合题意； ∴当时，随的增大而减小，故选项B错误，符合题意； ∴选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 7．(2026·湖南省邵阳市·二模)如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， ， ， 又， ， ， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， ． 8．(2026·湖南省湘潭市·二模)如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（　　）    A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22 【答案】D 【分析】设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，则PQ＝PM+MQ＝，再根据ab＝8，S△POQ＝15，列出式子求解即可． 【详解】解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝， ∴PQ＝PM+MQ＝． ∵点P在反比例函数y＝的图象上， ∴ab＝8． ∵S△POQ＝15， ∴PQ•OM＝15， ∴a（b﹣）＝15． ∴ab﹣k＝30． ∴8﹣k＝30， 解得：k＝﹣22． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键． 9．(2026九·4月湖南省邵阳市·适考)如图，已知直线与反比例函数的图象交于两点，与两坐标轴分别交于两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C．-3 D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，，由，点，得，列出式子，求得的值，根据点在上，求出点的坐标，进而求得的值即可． 【详解】如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 设， ，点， ，即， 解得：， 又点在上， 的坐标为， 由在上，得， 故选A． 10．(2026·湖南省衡阳市·二模)一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为．过反比例函数图象上的点M（与点P不重合）作y轴垂线，垂足为点N，交的图象于点Q，其中O为坐标原点．若，则下列选项正确的是（   ） A． B．m的值为 C．当时，反比例函数的值大于一次函数的值 D．点M的坐标为 【答案】D 【分析】先根据已知线段长度确定Q点坐标，求出一次函数的k，再结合P点纵坐标求P点坐标，得到反比例函数的m，接着求出M点坐标，最后结合函数的图象性质判断各选项即可． 【详解】解： ， ，， 轴，，点Q在上，， ， ，解得，故选项A错误，不符合题意； ， 一次函数解析式为， 点P是两函数图象的交点，且纵坐标为， 当时，，解得，即， 则，故选项B错误，不符合题意； 反比例函数解析式为， 则两函数图象如图所示， 交点， 由图可知，当时，反比例函数的值小于一次函数的值，故选项C错误，不符合题意； 点M与Q纵坐标相同，， ， 点M在反比例函数上， ，即，故选项D正确，符合题意． 11．(2026·湖南省湘潭市·二模)关于x的反比例函数的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出m范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 得：． 故答案为：． 12．(2026·湖南省湘潭市·二模)如图，轴于B，若的面积等于2，则图象过点A的反比例函数关系式是________． 【答案】 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），结合轴于B，的面积等于2，故，再结合的几何意义，得出，即可作答． 【详解】解：∵轴于B，的面积等于2， ∴， 则， 设图象过点A的反比例函数关系式为， 则， 即图象过点A的反比例函数关系式为． 13．(25-26九上·湖南邵阳·二模)如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，， ∴， 把代入， 得， 解得， 故答案为：9． 14．(2026九·湖南省常德市·二模)为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟．    【答案】12 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 15．(2026九·湖南省长沙市·二模)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边交该反比例函数的图象于点，连接，若，则的面积为___________． 【答案】4 【分析】过点作轴于点，利用反比例函数系数的几何意义可知，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 四边形是平行四边形， 点到的距离相等， ． 16．(2026·湖南省张家界市·二模)如图，点A，B在反比例函数的图象上，轴于点M，交线段于点C，连结．已知点A，B的横坐标分别为6，4．则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线．解题的关键． 延长交于N，得到，进而得到，证得，根据相似三角形的性质求得，，代入即可求出结果． 【详解】解：延长交于N， ∵轴，， ∴轴，， ∴ ， ∵A，B的横坐标分别为6，4， ∴， ∵点A，B在反比例函数（）的图象上， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 二次函数 考点04 1．(25-26九上·湖南邵阳·二模)将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（    ） A．y＝x2﹣8x＋22 B．y＝x2﹣8x＋14 C．y＝x2＋4x＋10 D．y＝x2＋4x＋2 【答案】D 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝（x﹣1＋3）2＋2，即y＝（x＋2）2＋2； 再向下平移4个单位为：y＝（x＋2）2＋2﹣4，即y＝（x＋2）2﹣2＝x2＋4x＋2． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 2．(25-26九下·湖南株洲第十九中学·)如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与x轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点，①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得的符号，结论①错误；②由抛物线与x轴交于，顶点是，可判断出抛物线与x轴的另一个交点为，当时，，结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线，即，得，把，代入并化简得：，解得或，可判断出结论③正确；④把代入并计算可得，由对称轴可得，所以，由可得，再计算的值，可判断④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴， ∴， ∴， 故结论①错误； ②∵二次函数的图象与x轴交于，顶点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，， 故结论②正确； ③由题意可知对称轴为：直线， ∴， ∴ 把，代得：, ∴， 解得或， ∴当，则或， 故结论③正确； ④把，代入得：， ∴， ∵ ∴， ∵抛物线与x轴的另一个交点为， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故选：C． 3．(25-26九下·湖南永州市·二模)若函数图象上存在点，且其横、纵坐标相等，则称点为这个函数图象上的一个“优级点”．若关于的函数图象上只有一个“优级点”，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这个函数图象上的一个“优级点”为点，代入函数可得一个关于的一元二次方程，再得出这个方程有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意，设这个函数图象上的一个“优级点”为点， 将点代入关于的函数得：， ∴， ∵这个函数图象上只有一个“优级点”， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． 4．(25-26九上·湖南邵阳·二模)若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 5．(2026·湖南省岳阳市·二模)令，其中为整数，为常数且． （1）若时，是关于的反比例函数，则________． （2）下列结论正确的是________．（填写正确结论的序号） ①若是关于的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ②若是关于的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ③若是关于的二次函数，则其与一次函数的图象一定有两个不同的交点． 【答案】 ①②/②① 【分析】（1）根据反比例函数定义列方程求解即可； （2）分别结合一次函数、二次函数的定义，利用函数性质和联立方程判断各结论是否成立． 【详解】解：（1）当时，， ∵是反比例函数， ∴， 解得； （2）①若是关于的一次函数， ∵， ∴， ∴， 当时，即时，， ∴函数恒过定点，该点在第二象限， ∴函数图象一定经过第二象限，故①正确； ②若是关于的二次函数， ∴， ∴， 当时，， ∴函数过点， ∴函数图象一定经过第二象限，故②正确； ③联立得，， 整理得：， ∴当时，，此时方程有两个相同的实数根 ∴此时只有一个交点，故③错误． 综上所述，正确的结论是①②． 6．(2026·湖南省长沙市·二模)已知抛物线：（，，是常数，且）的顶点为，直线：与相交于A，B两点（点在点的左侧）． (1)若点的坐标为，求点的坐标； (2)当点A，B都在轴上方时，过点A，B分别作轴于点，轴于点，取的中点，连接，，用，，分别表示，，的面积．若，求的值； (3)已知抛物线：与直线交于，两点（点在线段上，点在点右侧）．若，，是整数，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为5或9或16或35 【分析】（1）根据题意可设，再代点可得及直线方程，再联立求点坐标即可； （2）设，，则，再分别表示出，结合直接计算即可； （3）设，，，，联立直线与抛物线得得 ，则，然后可得，再结合列方程求解． 【详解】（1）解：的顶点为， 的函数解析式为：． ∵点在抛物线上， ∴将点代入，得 ， 解得， 的函数解析式为． ∵直线过点， ∴将点代入，得 ， 解得， ， ∴联立，解得， ∴点的坐标为； （2）设，． 则点的坐标为． ， ， ， ． ， ； （3）设，，，． 由（1）可设的函数解析式为， 联立化简，得 ， ∵抛物线与直线相交于A，B两点， ，为方程 的两根， ． 联立化简，得 ， ∵抛物线与直线相交于，两点， ，为方程 的两根， ． ∵直线与轴正方向的夹角为， ， ， 化简，得， 即， ， ， ， ． ，是整数，且， 或或或 的值为5或9或16或35． 7．(2026·湖南省长沙市·二模)我们约定：若抛物线与直线有交点，我们称函数 为“飞翔函数”，其交点为“飞翔点”：若抛物线 与直线有交点，我们称函数 为“僖乐函数”，该交点为“僖乐点”： (1)若函数 既是“飞翔函数”，也是“僖乐函数”，求c的取值范围； (2)已知函数 的一个 “僖乐点”为P，直线与抛物线 的两个交点分别为，且满足 直线是否经过一个定点，若经过定点，请求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由： (3)关于x的函数(s、t为正整数， k为实数)图像上存在两个“飞翔点”； ①求A、B的坐标(用s、k、t的式子表示) ； ②如果对于一切实数k，恒成立，求s、t的值． 【答案】(1) (2) 经过定点，定点坐标为 (3) ① ，（或互换）；② 或 或或. 【分析】（1）根据新定义，分别联立方程，利用判别式大于等于0求c的范围，即可得出结果； （2）先求出僖乐点P的坐标，代入直线方程得到n和t的关系，联立直线和抛物线，利用根的和的条件得到m和t的关系，整理直线方程得到定点即可； （3）①根据新定义，得到对应的一元二次方程，解方程即可；②分2种情况，利用图象法求不等式的解集即可. 【详解】（1）解：∵，，该函数是飞翔函数， ∴抛物线与有交点， 令，整理得， ∴，解得， ∵该函数是僖乐函数， ∴抛物线与有交点， 令，整理得. ，解得， 综上：； （2）解：经过定点； ∵， 由题意，抛物线与直线有交点， 令，解得， ∴僖乐点； ∵在直线 上，代入得， ∴； 联立直线与抛物线得：，整理得， 设方程的两根为，则； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴对任意，当，即时，， ∴直线恒过定点 ； （3）解：①(s、t为正整数， k为实数)图像上存在两个“飞翔点”，， 故飞翔点满足，令得：， 整理得， 因式分解得， 解得或，飞翔点的纵坐标为 ； ∴，（A，B可互换）； ②当，时， 由题意，对任意实数 ， 恒成立， ∴，对任意实数恒成立， 当即（负值舍去）时，则，对任意实数恒成立， ∴时，满足题意，此时； 当时， 则抛物线的开口向下，抛物线与轴最多有一个交点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ 是正整数， ∴，，（舍去），（舍去）； 当，时， 由题意，对任意实数 ， 恒成立， ∴，对任意实数恒成立， 当即（负值舍去）时，则，对任意实数恒成立， ∴时，满足题意，此时； 当时， 则抛物线的开口向上，抛物线与轴最多有一个交点， ∴，， ∴或， 又∵， ∴， ∴， ∵ 是正整数， ∴（舍去），（舍去），（舍去），； 综上： 或 或或. 8．(2026·湖南省张家界市·二模)在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上． (1)求的值； (2)已知也在二次函数的图象上，若二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式； (3)在（2）的条件下，，为二次函数图象上的不同两点，且，试判断的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)该二次函数的表达式为 (3)该式子的值为定值，定值为 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）将点 代入求解得到，结合（1）得到，根据二次函数的最大值为，得到，据此求解即可； （3）由题意得新抛物线的对称轴为，推出，即，又得到，代入代数式化简即可求解． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴，即； （2）解：∵也在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∵二次函数的最大值为， ∴，，即， 解得，， ∴该二次函数的表达式为； （3）解：该式子的值为定值，定值为，理由如下： 由（2）得二次函数的表达式为， 则新函数为， ∵点，为二次函数图象上的不同两点， ∴点，关于对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴该式子的值为定值，定值为． 9．(2026·湖南省邵阳市·二模)在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点，其中点A在点B的左侧，点是抛物线上的一个动点． (1)若，求点A的坐标； (2)若点A恰好为抛物线的顶点，在抛物线上另取一点，当时，试比较与的大小，并说明理由； (3)若点A的横坐标为4，当时，，求b的范围． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数化顶点式，二次函数与一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意得到抛物线和直线的解析式，令，解一元二次方程，即可解题； （2）将抛物线化为顶点式，得到顶点坐标，进而求出，再分情况讨论求解，即可解题； （3）根据点A的横坐标为4，得到的一个解为4，进而求出或，根据点A在点B的左侧，的对称轴为直线，推出，再结合二次函数增减性讨论求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线解析式为，直线解析式为， 令，即， 解得：， ⸪点A在点B的左侧， ⸫，则， ； （2）解：∵，点A恰好为抛物线的顶点， ∴， ∵直线与抛物线相交于A点， ∴，即， 解得：， 当时，则抛物线图象关于对称，开口向上， ∵， ∴， ∴两点关于直线对称， ∴； 当时，直线与抛物线的另一个交点在点A左侧，不合题意，舍去； 综上，当时，； （3）解：点A的横坐标为4， 的一个解为4，即的一个解为4， ， 整理得， 解得或， 点A在点B的左侧，的对称轴为直线， ， 解得， ， 当时，， 当时，， ①当时， 又，有， 当时，有，不满足，舍去； ②当时，随的增大而减小， 又，有，时，， 或， 解得， 综上所述，． 10．(25-26九下·湖南长沙市·二模)我们约定：若关于的二次函数与满足，则称为的“置换函数”． (1)已知二次函数，求出其“置换函数”图象的顶点坐标； (2)若二次函数与其“置换函数”的图象交于两点，求的长； (3)若二次函数与其“置换函数”的图象有且仅有一个交点，写出需要满足的条件． 【答案】(1) (2) (3)，或且 【分析】（1）根据题意得出，再由新定义确定函数解析式，化为顶点式即可求解； （2）根据题意建立方程得出或，然后确定交点在一条与轴平行的直线上，即可求解； （3）令，根据题意得出关于的方程只关于的方程中二次项系数含字母，需分情况讨论．有1个解，分情况分析：①当时，②当时，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，若为的“置换函数”， 则满足， 即， 二次函数的“置换函数”为 ， ， 二次函数的“置换函数”图象的顶点坐标为； （2）由题意可得二次函数的“置换函数”为， 令， 解得或， 当时，， 当时，， 交点在一条与轴平行的直线上， ； （3）二次函数的“置换函数”为， 令， 整理得， 二次函数与其“置换函数”的图象有且仅有一个交点， 关于的方程有且仅有一个解．由于二次项系数含有参数，需分情况讨论， ①当时， 原方程为， 若该关于的一次方程有1个解，则， 当时，二次函数0）与其“置换函数”的图象有且仅有一个交点； ②当时， 要使二次函数与其“置换函数”的图象有且仅有一个交点， 则， 即， 展开得， 整理得， 即， ， ， 即， 当且时，二次函数 与其“置换函数”的图象有且仅有一个交点， 综上所述，当，或且时，二次函数与其“置换函数”的图象有且仅有一个交点． 11．(25-26九下·湖南长沙市·二模)我们约定：在平面直角坐标系中，当，，，满足，且，则称点与点为一对“归一点”．若某函数图象上至少存在一对“归一点”，则称该函数为“归一函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①若点，是一对“归一点”，则，．        （    ） ②若点M与点N是一对“归一点”，则的值一定为．            （    ） ③一次函数一定是“归一函数”．                            （    ） (2)已知反比例函数是“归一函数”， ①求k的取值范围； ②当时，求该函数图象上所有对“归一点”的坐标； (3)若关于x的二次函数是“归一函数”，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①√，②×，③× (2)①且；②， (3) 【分析】（1）根据定义依次进行判断即可； （2）①设点与是反比例函数图象上的一对“归一点”，根据关于x的方程有实数根进行解答即可；②求出“归一点”的坐标为与即可． （3）设点与是二次函数．图象上的一对“归一点”，得到方程．分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：①由题意，得， 解得，①正确； ②设点，，则，则 ，只有当时，的值才为，②错误； ③假设一次函数：是“归一函数”，点与是一次函数图象上的一对“归一点”，将与代入得 ①＋②，得，这与矛盾，③错误． （2）解：①设点与是反比例函数图象上的一对“归一点”， 则，整理得：，则， ∴，整理得， ∵反比例函数是“归一函数”， ∴x一定存在，即关于x的方程有实数根， ∴，解得， 当时，原方程为，解得， 当时，，与题设矛盾， ∴， 综上所述，结合反比例函数特点可得且； ②设点与是反比例函数图象上的一对“归一点”， 由①可得，解得，， 当时，，则，， 此时这对“归一点”的坐标为与； 当时，，则，， 即此时这对“归一点”的坐标为与． 综上所述，当时，该函数图象上所有对“归一点”的坐标为与； （3）解：设点与是二次函数．图象上的一对“归一点”， 分别代入得，， 整理并消去y得． ①当方程有两个相等的解时，，解得， 此时原方程为，解得， 此时，与题设不符， ∴当时，不符合要求； ②当方程有两个不相等的解时，，解得． 综上所述，a的取值范围为． 12．(25-26九下·湖南长沙市·二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数，）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C， ①当为等腰直角三角形时，求的面积； ②当为等边三角形时，求a的值； (3)已知，将抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，若当（）时，y1的最大值与最小值之差为4，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①1；②或 (3) 【分析】（1）化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）①当时，，求得，由（1）可知，顶点C的坐标为，根据抛物线的对称性和等腰直角三角形的性质可求出边上的高，最后根据三角形面积公式求解即可； ②当时，根据题意，画出图形，．根据为等边三角形，可得，即可求解；当时，同理求解即可； （3）将平移后抛物线化为顶点式，得到对称轴，结合，，，可得到抛物线的最值情况，根据最大值与最小值之差为4列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线的顶点坐标为； （2）解：①当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 由（1）可知，顶点C的坐标为， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 设对称轴与x轴的交点为D， 则， ∴的面积为； ②当时，依照题意，画出图形，如图所示． ∵， ∴． ∵为等边三角形，， ∴ ∴点C的坐标为， ∴， ∴； 当时，同理可求， 综上，a的值为或； （3）解：∵抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，， ∴当时，取到最大值为， 当时，取到最小值，最小值为， ∵的最大值与最小值之差为4， ∴， 化简得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 二次函数的综合应用 考点05 1．(2026·湖南省张家界市·二模)如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． (1)求的值； (2)求的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入即可求得，把代入即可求得； （2）过点作交于，交于点，先求出的最大值，再证明，可得，即可求解； （3）先求得抛物线的顶点坐标，可得抛物线的对称轴和最大值，根据二次函数的图象与性质对进行分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∴． （2）解：过点作交于，交于点， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴ ∴当时，有最大值为． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴当有最大值时，取到最大值， ∴的最大值为． （3）解：由得， ∴顶点为，即当时，有最大值4， ∵抛物线对称轴为， ∴当时或时，值相等，即， ①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得（舍），； ②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即， ∴，不符合题意； ③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴都不符合，舍去； 综上所述，． 2．(25-26九下·湖南株洲市株洲县·二模)已知抛物线的顶点A在第一象限，过点A作轴于点B，C是线段上一点（不与点A、B重合），过点C作轴于点D并交抛物线于点P． (1)若，抛物线交x轴于G、H两点，求的长度； (2)若点是线段的中点，求点P的坐标； (3)若直线交y轴的正半轴于点E，且，求的面积S的取值范围．（请画出示意图再作答） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的图象与坐标轴交点，属二次函数综合题目，解题的关键是正确的用字母表示出点的坐标，并利用题目的已知条件得到有关的方程或不等式，从而求得未知数的值或取值范围． （1）把代入抛物线，令求得、坐标，进而得到的长度； （2）根据题意得顶点的坐标为，然后设代入，得点的横坐标为，求得函数的解析式，把点的坐标代入得，从而求得函数的解析式； （3）把抛物线化为顶点式：，求得其顶点坐标，设，然后表示出，根据求得的值，然后表示出、的值从而表示出的面积，进而求得面积的取值范围． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得： ，即， 令，得：， 解得：，， ； （2）解：依题意得顶点的坐标为， 设据，得点的横坐标为，即， 所以，把点的坐标代入得， 即点的坐标为； （3）解：如图， 把抛物线化为顶点式：， 可知，设， 把代入得， ，， ， 即， 或， 又点不与端点、重合， ， 即， 则， 由可得， ， ， 的面积， 边长为正数， ，， ， ． 3．(25-26九下·湖南邵阳市·二模)如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积； （3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2－4x＋3；（2）=2；（3）存在符合条件的点E，且坐标为：、、、． 【分析】（1）根据题意可设函数解析式为，然后把点C代入解析式求解即可； （2）由（1）及题意可设直线BC的解析式为y=kx＋3，然后求解，进而可求证△ACD为直角三角形，然后利用面积计算公式求解即可； （3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有当∠DFE=90°，即 DF∥x轴和当∠EDF=90°，然后进行分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为，代入C（0，3）后， 得：，解得：a=1， ∴抛物线的解析式：； （2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）； 设直线BC的解析式为：y=kx＋3，代入点B的坐标后，得： 3k＋3=0，k= －1， ∴直线BC：y=－x＋3； 由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）； ∴，，， 即：，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD； ∴= AD•CD==2； （3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有： ①∠DFE=90°，即 DF∥x轴； 将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得： ，解得 当x=2+时，y=－x+3=1－； 当x=2－时，y=－x+3=1+； ∴、； ②∠EDF=90°， 易知，直线AD：y=x－1，联立抛物线的解析式有： ，解得 ； 当x=1时，y=-x+3=2； 当x=4时，y=-x+3=-1； ∴、； 综上，存在符合条件的点E，且坐标为：、、、． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形存在性的讨论是解题的关键． 4．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)如图1，抛物线：与轴交于，两点．抛物线平移后得到抛物线与轴交于点，且过抛物线的顶点和点． (1)求点的坐标； (2)如图1，点和是抛物线上的两点，若，求的值； (3)如图2，抛物线：（，，是常数，且）也经过点，，点是线段上异于，的动点，过点作直线轴交抛物线，分别于点，，问：随着点的运动，的值是否会改变？若不改变，求出的值；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的值不改变，是 【分析】（1）将一般式配方成顶点式即可求解顶点坐标； （2）先求出抛物线，则，，然后分别求出直线和直线的一次项系数，再由一次函数平行得到一次项系数求解即可； （3）先求出抛物线：，再求直线，设，其中，则，，再求解即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点； （2）解：设， 代入，， 得， 解得， ∴抛物线； ∵点和是抛物线上的两点， ∴，， ∴，， 对于抛物线，当时，， ∴； 设直线， 则， 解得， ∴直线， 设直线， 则， 解得， ∵， ∴， 解得； （3）解：的值不改变，理由如下： ∵抛物线：经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线：， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 设，其中， ∵过点作直线轴交抛物线，分别于点，， ∴，， ∴． 5．(2026·湖南省岳阳市·二模)如图：已知抛物线与轴交于原点、点，其顶点为点，抛物线过点，与轴交于点，点与点是轴上的两个动点，且，过点作直线轴，分别交，于点与点，过点作直线轴，分别交，于点与点； (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图（1），请证明：若，则； (3)如图（2），连接，交于点，设面积为，连接，，设，面积分别为，，当且时，请求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据顶点式直接得到顶点，把代入求出b的值即可； （2）先求出，，，，从而求得，，则，再根据，则，所以，由，可得，从而得出结论； （3）先求出直线解析式为，当时，则，则，再求出直线的解析式为，联立，解得：，得到，过点作交x轴于点，得到，得到，， ，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴其顶点， 把代入得， ∴ ∴抛物线的函数表达式为． （2）证明：∵点与点，且，轴，轴， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，即． （3）解：设直线解析式为， 把代入，得， ∴直线解析式为， ∵， 当时，则， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 如图，过点作交x轴于点 ∵直线解析式为， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 解得：． 经检验，是方程的解，也符合题意． ∴的值为． 6．(2026·湖南省湘潭市·二模)对于平面直角坐标系中的两个图形K1和K2，给出如下定义：点G为图形K1上任意一点，点H为K2图形上任意一点，如果G，H两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K1和K2的“近距离”。如图1，已知△ABC，A（-1，-8），B（9,2），C（-1,2），边长为的正方形PQMN，对角线NQ平行于x轴或落在x轴上． （1）填空： ①原点O与线段BC的“近距离”为 ； ②如图1，正方形PQMN在△ABC内，中心O’坐标为（m，0），若正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，则m的取值范围为 ； （2）已知抛物线C：，且-1≤x≤9，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，求a的值； （3）如图2，已知点D为线段AB上一点，且D（5，-2），将△ABC绕点A顺时针旋转α（0º<α≤180º），将旋转中的△ABC记为△AB’C’，连接DB’，点E为DB’的中点，当正方形PQMN中心O’坐标为（5，-6），直接写出在整个旋转过程中点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”． 【答案】（1）①2；②；（2）或；（3）点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”为． 【分析】（1）①由垂线段最短，即可得到答案； ②根据题意，找出正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，的临界点，然后分别求出m的最小值和最大值，即可得到m的取值范围； （2）根据题意，抛物线与△ABC的“近距离”为1时，可分为两种情况：当点C到抛物线的距离为1，即CD=1；当抛物线与线段AB的距离为1时，即GH=1；分别求出a的值，即可得到答案； （3）根据题意，取AB的中点F，连接EF，求出EF的长度，然后根据题意，求出点F，点Q的坐标，求出FQ的长度，即可得到EQ的长度，即可得到答案． 【详解】解：（1）①∵B（9，2），C（，2）， ∴点B、C的纵坐标相同， ∴线段BC∥x轴， ∴原点O到线段BC的最短距离为2； 即原点O与线段BC的“近距离”为2； 故答案为：2； ②∵A（-1，-8），B（9，2），C（-1，2）， ∴线段BC∥x轴，线段AC∥y轴， ∴AC=BC=10，△ABC是等腰直角三角形， 当点N与点O重合时，点N与线段AC的最短距离为1， 则正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1， 此时m为最小值， ∵正方形的边长为， 由勾股定理，得：， ∴，（舍去）； 当点Q到线段AB的距离为1时，此时m为最大值，如图： ∵QN=1，△QMN是等腰直角三角形， ∴QM=， ∵BD=9，△BDE是等腰直角三角形， ∴DE=9， ∵△OEM是等腰直角三角形， ∴OE=OM=7， ∴m的最大值为：， ∴m的取值范围为：； 故答案为：； （2）抛物线C：，且，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1， 由题可知，点C与抛物线的距离为1时，如图： ∵点C的坐标为（，2）， ∴但D的坐标为（，3）， 把点D代入中，有 ， 解得：； 当线段AB与抛物线的距离为1时，近距离为1，如图：即GH=1， 点H在抛物线上，过点H作AB的平行线，线段AB与y轴相交于点F，作FE⊥EH，垂足为E， ∴EF=GH=1， ∵∠FDE=∠A=45°， ∴， ∵点A（-1，-8），B（9，2），设直线AB为， ∴，解得：， ∴直线AB的解析式为：， ∴直线EH的解析式为：； ∴联合与，得 ， 整理得：， ∵直线EH与抛物线有一个交点， ∴， 解得：； 综合上述，a的值为：或； （3）由题意，取AB的中点F，连接EF，如图： ∵点A（-1，-8），B（9，2）， ∴， 在中，F是AD的中点，点E是的中点， ∴， ∵点D的坐标为（5，-2），A（-1，-8）， ∴点F的坐标为（2，）， ∵在正方形PNMQ中，中心点的坐标为（5，）， ∴点Q的坐标为（6，）， ∴， ∴； ∴点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”为． 【点睛】本题考查了图形的运动问题和最短路径问题，考查了二次函数的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的平移，勾股定理，旋转的性质，根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，作出临界点的图形，从而进行分析．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．难度很大，是中考压轴题． 7．(2026九·湖南省常德市·二模)已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①见解析；②存在，，点G的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法先求出函数解析式，再根据函数图象与坐标轴的交点坐标的特征即可求解． （2）①设直线的函数解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，由中点的性质可求得，进而可求得点，即，由，则，根据，，，可得，再由平行线的性质可得，进而可得，进而可求解；②过点G作轴于点H，设点，利用相似三角形的判定及性质可得，解出方程即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴； 把代入得：， 解得：， ∴． （2）①如图：    设直线的函数解析式为：， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为：， ∵，，点N运动到的中点， ∴， 把代入得：， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∵，，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； ②过点G作轴于点H，    由①可得：， ∴， ∴，则， 设点， ∵， ∴，，则， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵，   ∴， ∴，即， 整理得：， 令，则， 解得：， 当时，不符合题意，舍去； 当时，解得：，， 此时，或（舍）， 综上：存在，，点G的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，借助恰当的辅助线，构造相似三角形解决问题． 8．(25-26九下·湖南永州市·二模)如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为顶点，且． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图，是此二次函数图象上第四象限内一动点，是直线上一动点，且，记直线，当为何值时，有最大值？并求此时点的坐标； (3)依据（2）中结论，点是第四象限内二次函数图象对称轴上一动点，过点作，交二次函数图象于点，若，试求点到对称轴的距离． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）易得顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，进而表示出点的坐标，将点、的坐标代入直线可表示出，根据二次函数的性质即可确定最值； （3）过作轴，轴，与交于点，设抛物线的对称轴为直线，过作于点，证明，可得出，，进而表示出点的坐标，再将点的坐标代入二次函数的表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，将两点坐标代入得： ，解得， 此二次函数的表达式是． （2）解：， ， 设直线的表达式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的表达式为， ， ， ， ， 是此二次函数图象上第四象限内一动点， ，，，解得， ， 将点，代入直线得： ， 解得， ，， 当时，有最大值，此时，即． （3）解：由（2）得，设，则， 如图，过作轴，轴，与交于点，设抛物线的对称轴为直线，过作于点， ，，， ，， ， ， ， ， ，即， ，， 或，即或， 把代入，得， 解得，与均不符，舍去， 把代入，得， 解得， ， ， 此时，点的横坐标为， 点到对称轴的距离是． 9．(2026·湖南省娄底市·)如图，二次函数的图象经过点，点，，是此二次函数图象上的三个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知，，且． ①若直线，分别交y轴于点，求证：； ②过点作轴的垂线分别交，于点，设，试探究当取何值时，取得最大值？请求出的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）①设 ，则，可得，，，得到直线的表达式为，即得，得到，同理得到直线的表达式为，进而求得，即得到，即可求证； ②设的表达式为，可得直线的表达式为，得到，同理可得，即得 ，，进而得到 ，，即得到，再根据二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①设 ，则，， ∴，，， 设直线的表达式为，把点和代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴， 同理可得直线的表达式为， 当时，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∴， ②设的表达式为，把点代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴， 由于直线的表达式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，的值最大，． 10．(25-26九下·湖南株洲第十九中学·)已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于、两点．与轴交于点．其中A（1，0），． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上运动（点异于点）． ①如图1．当面积与面积相等时．求点的坐标； ②如图2．当时，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)①满足条件的点P的坐标为P1 (2，1)，P2（，），P3（，）；②y=x-3 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）①使S△PBC = S△ABC，则需要满足点A到直线BC的距离等于点P到直线BC的距离，i 当P在x轴上方时，根据点B、C坐标求出直线BC的解析式y= x- 3，根据AP BC可设直线AP的解析式为y= x-b，根据点A的坐标求出其解析式为y= x-1，联立直线BC与抛物线的解析式，求解方程即可得到点P1的坐标；ii当点P在x轴下方时，由题可知满足条件的P在直线P2P3上，根据两三角形同底等高和直线平移的性质可知直线P2P3的解析式为y= x- 5，联立直线解析式和抛物线的解析式，求解方程即可得到点P2、P3的坐标，故可求出满足条件的点P的坐标； ②根据设直线CP经过点C，设其解析式为y= kx- 3，根据点B、C坐标可知OB = OC，从而求得∠OCB=∠OBC=45°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和的性质可知∠OQC=∠OBC-∠BCP，由此可得∠OCA=∠OQC，结合∠QOC=∠COA = 90°，根据两角对应相等的两个三角形相似的判定定理可知△AOC∽△COQ，根据相似三角形对应边成比例的性质可知，可得OQ = 9，即可求出点Q的坐标，由直线CP经过点Q，将其代入解得k=，即可得出直线CP的解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，过点A（1，0），，则 ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）①使S△PBC = S△ABC，则需要满足点A到直线BC的距离等于点P到直线BC的距离， i如图1所示，当点P在x轴上方时，过点A作BC的平行线，交抛物线于点P． ∵令中y=0，解得x=3或x=1， ∴点B坐标为(3， 0)，A（1，0）， ∵直线BC过点B、C， ∴直线BC的解析式为y= x- 3， ∵APBC， ∴可设直线AP的解析式为y=x- b， 将点A(1，0)代入可得直线AP解析式为y=x-1， ∵点P是直线AP与抛物线的交点，所以可得方程组 ，解得，， ∴点P的坐标为 (2，1)， ii 如图1所示，直线AP解析式为y= x- 1， ∴E点坐标为(0，-1)， ∴CE= 2， 当点P在x轴下方时，将直线BC向下平移两个单位，得到直线P2P3，此时直线BC到直线 PA、直线P2P3的距离相等，故可以满足S△PBC = S△ABC，此时直线P2 P3的解析式为y=x-5， ∴联立直线P2P3与抛物线可得方程组， 解得， ∴点P2的坐标为（，），点P3的坐标为（，）， 综上所述，满足条件的点P的坐标为P1 (2，1)，P2（，），P3（，）； ②如图2所示，延长直线CP交x轴于点Q， ∵点B(3，0)，C(0，-3)， ∴OB= OC，即∠OCB=∠OBC=45°， ∵直线CP经过点C， ∴可设直线方程为 y= kx-3， 令∠OCA= ，则∠ACB=∠OCB-= 45°-， ∵∠BCP=∠ACB= 45°-， ∴∠OQC=∠OBC-∠BCP=45°-(45° -)=， ∴∠OCA =∠OQC， 又∵∠QOC=∠COA， ∴△AOC∽△COQ，故， ∴OQ = 3OC = 9，即点Q坐标为(9，0)， ∵直线CP经过点Q， ∴9k-3=0， 解得k=， ∴直线CP的解析式为y=x- 3． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 11．(2026九·湖南省怀化市·二模)已知一次函数的图象分别交轴，轴于点，过两点的二次函数的图象与轴交于另一点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图1，，为上方抛物线上两动点，分别过点作轴的垂线，与线段交于点．若，探究线段与能否互相垂直且平分？若能互相垂直且平分，求出符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由； (3)如图2，点在轴正半轴上，连接，当时，在二次函数图象上存在点使得，求点到轴的距离． 【答案】(1)，，B (2)不能，理由见解析 (3)或 【分析】本题是考查二次函数、一次函数和几何图形结合的综合题． （1）根据一次函数和坐标轴的交点得到点，，得到，根据待定系数法得到二次函数的表达式，进而得到点的坐标. （2）根据点在二次函数的图象上，点在一次函数的图象上，得到用表示的线段的代数式，根据线段与互相垂直且平分得到四边形为菱形，即，得到此时点，的坐标，因为，得到四边形不是菱形，所以线段与不能互相垂直且平分． （3）过点作轴于点，根据点在轴左侧和右侧，分两种情况讨论，通过证明，得到对应线段成比例，设点的坐标为，得到关于的一元二次方程，解得的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， 当时，，解得， ∴点的坐标为， ∵二次函数的图象过点，， ∴， 将代入中，得，解得， ∴二次函数的表达式为， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵为二次函数图象与轴的交点， ∴点与点关于直线对称， ∴点的坐标为； （2）解：与不能互相垂直且平分， 理由如下：由（1）得，二次函数的表达式为， ∵，均与轴垂直，， ∴，， ， ， ∴，， ∵， ∴当线段与互相垂直且平分时，四边形为菱形， 则，即，解得， 此时，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴四边形不是菱形， ∴线段与不能互相垂直且平分； （3）解：如图，过点作轴于点，则， 当时，． ∵， ∴， ∴． 设点的坐标为， ∴， 则， 如解图1，当点在轴右侧时，， ∵， ∴， ∴，解得， ∵点在轴右侧， ∴， ∴点到轴的距离为， 如解图2，当点在轴左侧时，， ∴，解得， ∵点在轴左侧， ∴， ∴点到轴的距离为， 综上所述，当时，点到轴的距离为或． 12．(2026·湖南省娄底市·二模)如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），对称轴为，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式． (2)过点作交轴于点，交于点．在第一象限内，抛物线上有一点，使得，求点的坐标． (3)是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为M，交于点．试探究在点运动的过程中，是否存在最大值，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，有最大值 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与角度的问题，二次函数与线段的问题，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，综合性比较强，解题的关键是表示出线段长度与点的横坐标为的函数关系． （1）根据二次函数的对称性求得点的坐标为，根据待定系数法求解即可； （2）由题意得，点关于轴对称的点 ，求得直线与抛物线的交点，根据平行线的性质可得，即可求解； （3）过点作于点，由题意可得为等腰直角三角形，，由题意可得，得到，从而得到，，根据点的横坐标为可得，，从而得到，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：点在点左侧，且对称轴为， 点的坐标为． 又抛物线过点， 将点，，代入， 得，解得 此抛物线的表达式为． （2）解：点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为， 设直线的表达式为． 把点，代入， 得解得 直线的表达式为． 当时，解得，（不合题意，舍去）． 当时，，即点的坐标为． ， ． ， ， 点即为所求点，其坐标为． （3）解：存在． 如图，过点作于点，则轴， 点，， 直线的表达式为． ， 为等腰直角三角形， ， ． ， ． 轴， ，，， ， ，即， ， ， ． 轴，点的横坐标为，， ，， ， ． ， 有最大值， 当时，有最大值． 13．(25-26九下·湖南娄底市娄星区·二模)如图①，已知抛物线交x轴于A，B两点（点B在点A右边），交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图②，若点F为对称轴右侧抛物线上的点、直线AF交直线BC于点E，若，求点F的坐标； (3)如图③，若点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上，连接，交于点P，，求点P的横坐标． 【答案】(1)，，； (2)和 (3) 【分析】（1）令，得，可求解，的坐标，令，可求出的坐标； （2）作交于点G，可得，得出，可求出，求出直线的解析式为，设，可得点的坐标为或，则可得出或，求出f即可； （3）作轴交于点S，轴交于点T，设，，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，解得，再得出，，分别得出，，利用，化简求出，代入即可求解． 【详解】（1）解：令，得， 解得，， ∴，， 令，得， ∴； （2）解：作交于点G， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴点的横坐标为或， 对应点的纵坐标分别为或， 则点的坐标为或， ∵， ∴或， 即或， 解得，，，， ∵F在抛物线的对称轴直线的右侧， ∴或， 当时，； 当时，； 所以点F的坐标为和； （3）解：作轴交于点S，轴交于点T， 设，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得， 令，则， 则， 令，则， 则， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故点P的横坐标为． 14．(2026·湖南省衡阳市·二模)已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点，连接，，是此二次函数图象上的两个动点，且，连接，． (1)求二次函数的表达式； (2)如图，连接，．若，，且，求此时的值； (3)如图，延长，交于点．若，，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3) 证明：设直线的表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为． 同理可得直线的表达式为． ∵点是，的延长线的交点， ∴，且， 解得， ∴点在定直线上． 【分析】 （1）根据待定系数法求抛物线的解析式，即可求解； （2）先求出点的坐标，求出直线的解析式，分别过点，作轴的平行线交直线于点，，则，．求出，，根据列出方程，求出或，结合题意，即可求解； （3）求出直线和直线的解析式，根据点是，的延长线的交点列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，， 故将，代入，得， 解得， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：将代入到中，得， 即点的坐标为． 设直线的表达式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的表达式为：． 如图，分别过点，作轴的平行线交直线于点，， 则，． ∵点，在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ． ∵，， 即， ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得或． 当时，点与点重合，此时不存在，故舍去； 根据题意可得，，， ∴． 当时，， 故． （3）略 15．(25-26九下·湖南郴州市·二模)已知抛物线与抛物线交于，两点． (1)求b，c的值； (2)如图1，直线分别与两条抛物线相交，交点从左到右依次为A，B，C，D．设点A，B，C，D的横坐标分别为，，，．求证：； (3)如图2，当时，直线与两条抛物线分别相交于点M，N，试问四边形的面积是否存在最大值为？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)存在；或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）由与抛物线相交可得，，可得，，即可证明结论； （3）由条件可得，再由，可得，可得当时，四边形的面积最大值是，再分在对称轴的左边和右边两种情况即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得． （2）证明：由（1）可知，抛物线为， 当时，，即， ∴， 抛物线，当时，，即， ∴， ∴，即． （3）解：存在． ∵直线与两条抛物线分别相交于点M，N， ∴，， ∴， 如图，过点作于点，设交轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大值是， ∵， ∴四边形的面积存在最大值为， 当时，在对称轴的左边， ∴时，，即， 解得，， ∵， ∴； 当，即时，在对称轴的右边， ∴时，，即， 解得，， ∵， ∴； 综上所述，a的值为或． 16．(25-26九下·湖南娄底市·二模)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)，，， 【分析】（1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵对称轴， ∴． 设抛物线解析式为 由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：存在， ∵，， ∴． 设中点为，则，连接． 设点，则． 当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上， 此时，为直角，，则， ∴， 化简得， 解得，． ∴的坐标为或时，为直角． （3）解：设点． 则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为， 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴时，，时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴当时，，当时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 综上，满足题意的点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 17．(2026·湖南省永州市·二模)如图，抛物线（）经过点，，与轴交于点，是第四象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，过点作直线交抛物线于另一点．过点作平行于轴的直线交轴于点，过点作平行于轴的直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：； (3)设点的横坐标为，点的横坐标为． ①当时，求出此时点的坐标； ②连接，在点的运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出取最大值时，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①点的坐标为；②存在，， 【分析】（1）将已知的两点坐标代入抛物线的一般式，通过解二元一次方程组求出系数、，从而确定表达式； （2）先利用平行线和垂直关系，证明与两角对应相等，判定它们相似，再根据相似三角形的对应边成比例，交叉相乘得到结论； （3）①先求出点的坐标和直线的解析式，再通过分析为等腰直角三角形，得到也是等腰直角三角形，最后列方程求解点的横坐标；②用参数表示点、直线上的点，再结合（2）中的相似关系，推导出与的关系，写出面积关于的二次函数表达式，最后利用二次函数的顶点性质求最大值及对应的、． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 将、两点坐标分别代入中， 可得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）证明：轴， 轴，， ， ， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ． （3）①解：点的横坐标，轴于点， ，将代入中， 得， 点的坐标为，即， 设直线的表达式为（）， 将点，分别代入， 可得， 解得， 直线的表达式为， 则点的坐标为，即， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）可知，， ， ， 点的横坐标为， ，， ，解得（舍去），， 点的坐标为； ②解：存在，理由如下： 由题意可知，点坐标为，点坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得， 将代入， 可得， 即， 解得， 则直线的解析式为， 当， ， 点的坐标为， ， 由（2）可知，， ， ，， ，化简得 ， ， ， ， ， ， 当时，，此时取得最大值， 故存在最大值，此时，． 18．(25-26九下·湖南益阳市·二模)如图，二次函数的图象与轴相交于两点，开口向下的二次函数图象经过两点． (1)求两点的坐标； (2)如图1，图象关于轴对称，图象与轴交于点．点分别是图象上的两个动点，且点在直线的上方．过点作轴的垂线交于点，交轴于点．设和的面积分别为和，若（为常数，且），求证：； (3)如图2，图象的最低点与的最高点之间的距离等于12．点是图象上在对称轴右边的动点．过点作轴的平行线与图象的另一个交点为（点不重合），与图象的交点分别为（点不重合，且点在的左侧）．若，求的长． 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3)或 【分析】（1）令解一元二次方程，即可求得抛物线与轴交点坐标． （2） 先求出点坐标及直线、解析式，设点横坐标为，用表示、相关线段长，利用三角形面积公式分别表示、，化简后求比值． （3） 根据最低点与最高点距离为12求出参数的值，得到解析式；设点横坐标，利用对称性表示、、、，根据列方程求解． 【详解】（1）解：令，则， 因式分解得， 解得，， 在左侧， ，． （2）解：∵与关于 x 轴对称，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 直线的解析式为， 设 ，其中 ， ∵ 过点 E 作 轴的垂线，交于点 H，交x轴于点 D， ∴ H的坐标为 ，D的坐标为 ， ∴ ，， ∵ ，且 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． （3）解：， 最低点为， 设， 开口向下且经过 、 两点， ， ， 最高点为， 由题意得， 解得， ， 对称轴为直线，且、关于对称轴对称， 设，则，，其中， 点、在上，轴， 点、的纵坐标为， 令， ， ， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， 又， ， ， ， ， 即， 当 时： ， ， ， ， ， ， ； 当 时： ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为或． 19．(2026九·4月湖南省邵阳市·适考)某学生在学习二次函数时发现：二次函数图象上的任意点到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等，请同学们利用已学知识回答下列问题： (1)证明：函数（为常数，且）上任意一点到点的距离与到直线的距离相等； (2)将函数的图象向右平移1个单位，再向下平移个单位得到抛物线．若点，点是上的一个动点，试求的最小值； (3)在（2）的条件下，设与轴相交于A，B（点在点的右边）两点，顶点为点，点为的对称轴上的一点且平分，点是线段上的动点（点与A，C不重合），连接，将沿折叠得到，记与的重叠部分为．若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) 证明：在上任取点， 则， ∵， ∴， ∵点到的距离， ∴上任意点到定点的距离与到定直线的距离相等． (2) (3) 【分析】（1）在上任取点，计算出点到点的距离与到直线的距离即可证明结论； （2）根据平移可得抛物线上任意点到点的距离与到直线的距离相等，可得的最小值即为点到直线的垂线段的长度，即可求解； （3）分，，三种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知函数的图象上的任意点到点的距离与到直线的距离相等， ∵抛物线是由的图象向右平移1个单位，再向下平移个单位得到， ∴点平移到点，直线平移到直线， ∴抛物线上任意点到点的距离与到直线的距离相等， 过点作直线的垂线段，垂线段的长即为的最小值， ∴． （3）解：∵抛物线的解析式为， 令时，， 解得，， ∴， ∴， 分三种情形讨论： 第一种情况：， ①如图（一）， ∵， ∴， 取点，则在中，，， ∴， ∴， ∵AD平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点为的中点，即． ②如图（二）， 当点在上从点到点的运动中，时， 由可知，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， 由可知，， ∴， ∴． 第二种情况：， 如图（三）， 由可知，， ∴将沿折叠得到时，点与点重合， ∴此时与重合，即；   第三种情况：， ∵， ∴， 当将沿折叠得到， 若点在上，则， ∴， ∴， 若点在上，则， ∴，即， ∴不存在． 综上所述，满足题意的点的坐标为． 20．(25-26九上·湖南邵阳·二模)已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，如图．    (1)求直线与抛物线的函数表达式； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，过点作轴，与抛物线交于点，试求出线段的长度的最大值； (3)在第一象限内，抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)有最大值为 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法，利用二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． （1）由可得，则，利用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案； （3）过作轴交于点，交轴于点，作于，可得，则，设，则，则，由点在第一象限得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 点坐标为， 又抛物线 与轴交于，两点， 设抛物线解析式为， 点在抛物线上， ，解得， 抛物线解析式为， 即， 点坐标为， 可设直线解析式为， 把点坐标代入可得，解得， 直线解析式为； （2）解：设，则， ， ，函数图像开口向下， 当时，有最大值为； （3）解：如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，    设，则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当中边上的高为时，即， ， 点在第一象限， ， 解得或， 或， 综上可知，存在满足条件的点，其坐标为或． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $