专题02 方程（组）与不等式组（4大考点）（湖南专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦方程与不等式专题，整合湖南各地市二模真题，融合《孙子算经》等传统文化与新能源车企、低碳出行等时代热点，梯度覆盖5大考点，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约15题|一元一次方程解、不等式解集、方程根的判别式|结合数轴考相反数（株洲十九中题），《九章算术》盈不足问题（岳阳二模题）| |填空|约10题|分式方程解、不等式组解集、一元二次方程根与系数关系|以粽子标价考列代数式（娄底二模题），机器人采购表考方程组（长沙二模题）| |解答|约15题|二元一次方程组应用、分式方程利润问题、不等式组方案设计|低碳出行碳积分（长沙二模题），智慧校园门禁采购（益阳沅江二模题）|

专题02 方程（组）与不等式（组） 4大考点概览 考点01一元一次方程及其应用 考点02一元一次不等式（组） 考点03二元一次方程（组）及其实际应用 考点04分式方程及其应用 考点05一元二次方程及其应用 一元一次方程及其应用 考点01 1．(2026·湖南省邵阳市·二模)已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程，得， 解得． 2．(25-26九下·湖南株洲第十九中学·)把数轴上的点A向右移动8个单位长度得到点B，若A点表示的数与B点表示的数互为相反数，则A点表示的数是（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意表示出B点对应的数，再利用互为相反数的性质分析得出答案． 【详解】解：设数轴上的点A对应的点为a， 由题意可得：B点对应的数是：， ∵点A和点B表示的数恰好互为相反数， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了数轴、相反数以及解一元一次方程，正确表示出B点对应的数是解题关键． 3．(25-26九下·湖南娄底市·)某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新车辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可． 【详解】解：设该车企去年5月交付新车辆， 根据题意得：， 故选：A． 4．(25-26九下·湖南长郡中学集团·)（传统文化）古代名著《孙子算经》中有一问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．大意为如果每三人共乘一辆车，那么有两辆空车；如果每两人共乘一辆车，那么有九人需要步行．问人和车的数量各是多少．设车的数量为x辆，则根据题意，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可． 【详解】解：设有辆车，则可列方程：． 故选：． 5．(2026·湖南省岳阳市·二模)《九章算术》卷七“盈不足”中记载：今有童子分桃，人得四桃，则余二桃；人得六桃，则缺八桃，问童子与桃各几何？翻译为：现在有一群儿童分桃子，如果每人分4个桃子，就会多出2个桃子；如果每人分6个桃子，就还差8个桃子，求儿童和桃子分别有多少．设儿童有人，根据桃子总数不变，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设儿童有人， 根据题意得，． 6．(2026·湖南省娄底市·二模)端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高若每个粽子的成本为元，则每个粽子的标价为_____． 【答案】 【分析】根据“标价=成本”进行解答即可． 【详解】解：标价为． 一元一次不等式（组） 考点02 1．(2026·湖南省衡阳市·二模)若关于x的不等式的解集如图所示，则m等于（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查解不等式的能力及在数轴上表示不等式解集，表示出不等式解集是前提，得到关于的方程是关键．解关于的不等式得，结合不等式解集可得关于的方程，求解即可． 【详解】解：由不等式得：， 不等式解集为， ， 解得：， 故选：C． 2．(2026·湖南省湘潭市·二模)已知a，b，c，d是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质可判定A正确，举例能判定B、C、D错误． 【详解】解：A、∵， ，∴．故此选项符合题意； B、∵， ，如a=-2,b=-3,c=d=1，则a+b=-5，c+d=2，∴a+b<c+d，故此选项不符合题意； C、∵， ，如a=-2,b=-3,c=d=-4，则a+c=-2-4=-6，b-d=-3-(-4)=1，∴a+c<b-d，故此选项不符合题意； D、∵， ，如a=-2,b=-3,则a+b=-5,c-d=0，∴a+b<c-d, 故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 3．(2026·湖南省张家界市·二模)孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果，为实数，且满足，那么．推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有 ； 第二步：把移项可得 ； 第三步：把因式分解可得 ； 第四步：把两边除以可得 ； 第五步：把移项可得 ． 上述推理过程没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论．请你判断，不严谨的是（     ） A．第二步 B．第三步 C．第四步 D．第五步 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质判断各步骤推理的严谨性即可． 【详解】解：第一步直接引用命题条件，推理严谨， 第二步对移项得到，移项法则应用正确，推理严谨， 第三步对因式分解得到，平方差公式应用正确，推理严谨， 第四步将两边除以时，未考虑两种情况：一是时，除以无意义；二是若，根据不等式的基本性质，不等号方向需要改变，因此推理不严谨； 第五步若第四步结论正确，移项得到，移项法则应用正确，推理严谨， 综上，不严谨的是第四步． 4．(2026·湖南省湘潭市·二模)不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 解不等式 ，得 不等式组的解集为 在数轴上表示为： 5．(2026·湖南省张家界市·二模)不等式组 的解集是____________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解出不等式组中的每一个不等式，再由“同大取大、同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求不等式组的解集即可得到答案．熟记一元一次不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为， 故答案为：． 6．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)解不等式组：，并求所有整数解的和． 【答案】 不等式组的解集为，所有整数解的和为. 【详解】解： 解不等式① 得 解不等式② 得 因此不等式组的解集为 所以该不等式组的整数解为 所以所有整数解的和为． 7．(25-26九下·湖南永州市·)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【分析】先分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式：， ， 解得； 解不等式：， 解得， 不等式组的解集为，解集在数轴上表示略． 二元一次方程（组）及其实际应用 考点03 1．(2026九·湖南省常德市·二模)用代入消元法解方程组时，消去y，可将第一个方程变形为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式是解题的关键． 根据代入消元法的要求，将第一个方程变形为用表示的形式，从而消去． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 2．(2026·湖南省娄底市·二模)我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱．问梨果各几何?”意思：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用总价单价数量，结合用999文钱买得梨和果共1000个，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵买得梨和果共1000个， ∴； ∵梨11文买9个，果4文买7个，且买梨和果共花费999文钱， ∴． ∴根据题意可列方程组． 3．(25-26九上·湖南邵阳·二模)《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，抓住等量关系是解题关键． 根据题设人数为x，物价为y，抓住等量关系每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱列方程组即可． 【详解】解：设人数为x，物价为y， 由每人出八钱，会多三钱；总钱数, 每人出七钱，又差四钱；总钱数， ∴联立方程组为． 故选：B． 4．(25-26九下·湖南娄底市·二模)方程组的解为____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得 ； 将代入②得， ∴， 解得 ； ∴原方程组的解为． 5．(25-26九下·湖南长沙市·二模)数学课上老师拿出了一根的木棒，小南说：“这木棒要是再多，那就可以分成根的小棒和根的小棒了．”小麓说：“这木棒要是再缩短，那就可以分成根的小棒和根的小棒了．”请你算一算______． 【答案】26 【分析】根据题意列出关于，，的两个等式，消去后得到二元一次方程，结合，为非负整数的实际意义确定，的值，再代入计算求出． 【详解】解：根据题意可得方程组 ， 化简得： 得： ， 即： 由题意可知，，为非负整数，且缩短后小棒根数非负，即，得，同时需为非负偶数，逐一验证： 当时，，不是整数，不符合要求； 当时，，，均为非负整数，符合要求； 当时，，，不存在符合要求的非负整数； 因此，，代入， 得 ． 6．(25-26九下·湖南株洲市株洲县·二模)某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A，B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品（件） B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 (1)求A，B两种型号文创用品的单价． (2)丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 【答案】(1)A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单价是20元； (2)B型文创用品最多可以购买25件． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设A型文创用品的单价是x元，B型文创用品的单价是y元，根据题意得，求解即可； （2）设购买m件B型文创用品，则购买件A型文创用品，根据题意得，求解即可． 【详解】（1）解：（1）设A型文创用品的单价是x元，B型文创用品的单价是y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单价是20元； （2）解：设购买m件B型文创用品，则购买件A型文创用品， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大值为25， 答：B型文创用品最多可以购买25件． 7．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)为推进智慧校园建设，某科技公司为学校提供两种型号的门禁读卡器：A型刷卡门禁和B型人脸识别门禁．已知2套A型门禁和3套B型门禁的采购总价为10500元；4套A型门禁和5套B型门禁的采购总价为18500元． (1)求A，B两种型号门禁每套的采购单价； (2)学校预采购A型、B型两种门禁共12套，若采购两种门禁的费用不高于22000元，至少可采购A型门禁多少套？ 【答案】(1)A型门禁每套采购单价为1500元，B型门禁每套采购单价为2500元 (2)至少可采购A型门禁8套 【分析】（1）根据两种采购方案的总价关系列方程组求解； （2）根据总费用限制列不等式，结合套数为正整数得到最小值． 【详解】（1）解 ：设A型门禁每套采购单价为元，B型门禁每套采购单价为元 根据题意列方程组得 解得 答：A型门禁每套采购单价为1500元，B型门禁每套采购单价为2500元； （2）解：设采购A型门禁套，则采购B型门禁套 根据题意得 解得 答：至少可采购A型门禁8套． 8．(2026·湖南省张家界市·二模)“一盔一带，安全行动”是全国公安部门启动的一项重要安全措施，旨在打造文明城市，提升市民文明素质，此行动要求电动自行车驾驶者及其乘客必须佩戴安全头盔，某商场计划采购一批头盔以响应此倡议．已知购进3个A型头盔和2个B型头盔需要225元，购进2个A型头盔和3个B型头盔需要245元． (1)购进1个A型头盔和1个B型头盔分别需要多少元？ (2)如果该商场准备购进60个这两种型号的头盔，总费用不超过2600元，则至少购进A型头盔多少个？ 【答案】(1)购进1个A型头盔需要37元，购进1个B型头盔需要57元 (2)至少购进A型头盔41个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购进1个A型头盔需要x元，购进1个B型头盔需要y元，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型头盔a个，则购进B型头盔个，由题意可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进1个A型头盔需要x元，购进1个B型头盔需要y元， 由题意得 解得 答：购进1个A型头盔需要37元，购进1个B型头盔需要57元． （2）解：设购进A型头盔a个，则购进B型头盔个，由题意得， 解得， ∴a的最小值为41． 答：至少购进A型头盔41个． 9．(2026·湖南省邵阳市·二模)某特产店销售A款臭豆腐挂件和B款酱板鸭挂件．购进50个A款和30个B款，共需940元；购进30个A款和50个B款，共需820元．A款售价20元/个，B款售价15元/个． (1)A、B两种挂件每个的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进A、B两款挂件共200个，且A款数量不少于B款数量的，总费用不超过2000元，该商家如何进货能在这批挂件全部售完时获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个A款挂件的进价为14元，每个B款挂件的进价为8元 (2)该商家购进50个A款挂件，150个B款挂件时获利最大，为1350元 【分析】（1）设每个A款挂件的进价为元，每个B款挂件的进价为元，根据“购进50个A款和30个B款，共需940元；购进30个A款和50个B款，共需820元”列方程组求解即可； （2）设购进个A款挂件，则购进个B款挂件，先求出利润的函数解析式，再根据题意得到m的取值范围，进而根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设每个A款挂件的进价为元，每个B款挂件的进价为元， 由题意得，， 解得， 答：每个A款挂件的进价为14元，每个B款挂件的进价为8元； （2）解：设购进个A款挂件，则购进个B款挂件， 利润． 由题意得， 解得，， ，随的增大而减小 当时，取得最大值，最大值元 答：该商家购进50个A款挂件，150个B款挂件时获利最大，为1350元 10．(2026·湖南省娄底市·二模)当前，我国正迈入人工智能时代，以机器人科技为引领的智能产业蓬勃兴起，成为现代科技创新的重要标志．某大型物流中心为了提高工作效率，欲购买两种型号的智能机器人，对货物进行分拣、搬运．具体相关信息如下：    A型智能机器人台数 B型智能机器人台数 总费用（单位：万元）    2 5 3 4 (1)求A，B两种型号智能机器人的单价． (2)现该物流中心准备用不超过万元购买A，B两种型号智能机器人共台，则该物流中心选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元 (2)选择购买A型智能机器人6台、B型智能机器人4台，能使每天分拣快递的件数最多 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，可得当时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． 依题意得 解得 答：A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． （2）解：设购买A型智能机器人台，则购买B型智能机器人台． 依题意，得， ． 每天分拣快递的件数， ∵， ∴由一次函数的性质知，当时，每天分拣快递的件数最多，为（万件）． 则（台）， ∴选择购买A型智能机器人6台、B型智能机器人4台，能使每天分拣快递的件数最多． 11．(25-26九下·湖南长沙市·二模)“低碳环保绿色出行”，某地生态环境主管部门开展形式多样、内容丰富的宣传活动，提升低碳意识，推动形成绿色生产生活方式．某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励员工低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．积分可通过乘坐公共交通工具和步行获得（乘坐公共交通工具按次数计，步行按每100步计），已知乘坐3次公共交通工具+步行1300步可获得43个碳积分，乘坐1次公共交通工具+步行2800步可获得38个碳积分． (1)求乘坐1次公共交通工具和步行100步分别可获得多少个碳积分？ (2)小湘当月工作22天，每日上下班各出行1次，她规划了两种固定的绿色出行方式，方式一：1次公共交通（中途不下车）+步行600步，方式二：步行4100步，该公司规定每月需至少累计至1500积分才能兑换权益，则小湘当月最多选多少次方式一出行？ 【答案】(1)乘坐1次公共交通工具可获得10个碳积分，步行100步可获得1个碳积分 (2)当月最多选12次方式一出行 【分析】（1）设乘坐1次公共交通工具可获得个碳积分，步行100步可获得个碳积分，根据题意列出方程组求解即可； （2）设选方式一出行次，则选方式二出行 次，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设乘坐1次公共交通工具可获得个碳积分，步行100步可获得个碳积分， 由题意得， 解得， 答：乘坐1次公共交通工具可获得10个碳积分，步行100步可获得1个碳积分； （2）解：设选方式一出行次，则选方式二出行次， 由题意得， 解得， 为非负整数， 最大可取12， 答：小湘当月最多选12次方式一出行． 分式方程及其应用 考点04 1．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)将关于x的分式方程去分母可得（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程的两个分母分别为和， ∴最简公分母为， 方程两边同时乘去分母：得． 2．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设总人数为，根据车的总数不变建立等量关系即可列出方程． 【详解】解：设共有人，总车数不变， ∵每3人共乘一车，最终剩余2辆车空，可得总车数为；每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，可得总车数为， ∴由总车数相等，可得方程． 3．(2026·湖南省娄底市·二模)分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∴， ∴， 检验，当时，， ∴方程的解为． 4．(2026·湖南省株洲市株洲县·二模)把分式方程化为整式方程，方程两边需同乘以 ____________ ． 【答案】 【详解】解：分式方程的两个分母分别为和，则该分式方程的最简公分母为， 因此把分式方程化为整式方程，方程两边需同乘以． 5．(2026·湖南省张家界市·二模)若分式的值为2，则x的值是_______． 【答案】4 【分析】根据题意建立分式方程，再解方程即可； 【详解】解：由题意得： 去分母： 去括号： 移项，合并同类项： 系数化为1： 经检验，x=4是原方程的解， 故答案为：4； 【点睛】本题考查了分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键． 6．(2026九·湖南省常德市·二模)方程的解是：___． 【答案】 【分析】本题为分式方程求解问题，解题思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，代入最简公分母检验，得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 检验：当时， 因此是原分式方程的解． 7．(2026·湖南省湘潭市·二模)今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等． (1)求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？ (2)若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由． 【答案】(1)甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元 (2)乙商店租用服装的费用较少，理由见解析 【分析】（1）解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，由题意列，解分式方程并检验即可得出答案． （2）分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元， 由题意可得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意， ∴x+10＝50， ∴甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元． （2）解：乙商店租用服装的费用较少． 理由如下： 该参赛队伍准备租用20套服装时，甲商店的费用为：50×20×0.9＝900（元），乙商店的费用为：40×20＝800（元）， ∵900＞800， ∴乙商店租用服装的费用较少． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，能够根据题意找出等量关系建立方程是解决本题的关键，但要注意分式方程的解需要进行检验． 8．(2026·湖南省永州市·二模)某学校为科技室准备购买，两种型号的机器人模型，已知机器人模型单价比机器人模型单价多元，用元购买的机器人模型数量与用元购买的机器人模型数量相同． (1)求、机器人模型的单价分别是多少元？ (2)若需购买和机器人模型共台，且总费用不超过元，则最多能购买机器人模型多少台？ 【答案】(1)机器人模型的单价是元，机器人模型的单价是元 (2)最多能购买机器人模型台 【分析】（1）根据题目中的数量关系，设机器人模型的单价是元，用含x的式子表示机器人模型的单价，再由“用元购买的机器人模型数量与用元购买的机器人模型数量相同”列方程求解即可； （2）根据题目中的数量关系，设购买台机器人模型，列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设机器人模型的单价是元，则机器人模型的单价是（）元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）． 答：机器人模型的单价是元，机器人模型的单价是元； （2）解：设购买台机器人模型，则购买（）台机器人模型， 根据题意得：． 解得：， 的最大值为． 答：最多能购买机器人模型台． 9．(2026·湖南省湘潭市·二模)阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩． (1)块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ (2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？ 【答案】(1)普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． (2)至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量； （2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，利用总产量=亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克， 依题意得：， 解得：； 经检验，x=600是原方程的解，且符合题意， ∴2x=2×600=1200． 答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． （2）解：设把B块试验田改y亩种植杂交水稻， 依题意得：9600+600（）+1200y≥17700， 解得：． 答：至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 10．(2026·湖南省邵阳市·二模)“湘超联赛”是我省今年最火爆的足球赛事，全省各地、州、市都积极参与，拉拉队也炫动全场．某拉拉队在第一场比赛中用600元在商场里购买了助威小喇叭，在半决赛中由于参加人员增加，又在同一商场花1000元购买同款小喇叭．已知第二次购买的数量是第一次购买的两倍，且第二次购买的单价比第一次便宜1元． (1)求该拉拉队两次购进这款小喇叭各多少个？ (2)若商场两次售出的小喇叭进价一样，要使两次售出的总利润不低于400元，则每个小喇叭的进价最多为多少元？ 【答案】(1)第一次购进这款小喇叭100个，则第二次购进这款小喇叭200个； (2)每个小喇叭的进价最多为4元． 【分析】（1）设第一次购进这款小喇叭x个，则第二次购进这款小喇叭个，根据第二次购买的单价比第一次便宜1元建立方程求解即可； （2）设每个小喇叭的进价为m元，根据两次售出的总利润不低于400元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进这款小喇叭x个，则第二次购进这款小喇叭个， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：第一次购进这款小喇叭100个，则第二次购进这款小喇叭200个； （2）解：设每个小喇叭的进价为m元， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为4， 答：每个小喇叭的进价最多为4元． 一元二次方程及其应用 考点05 1．(25-26九上·湖南邵阳·二模)一元二次方程的根的情况为（        ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】求出△的值，利用根的判别式与方程根的关系即可判断． 【详解】一元二次方程中， a=2，b=3，c=-5， △=49， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根． 2．(2026·湖南省湘潭市·二模)若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根， ∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0， 解得：a＞-1且a≠0， 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根． 3．(2026九·湖南省怀化市·二模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数k的值为（    ） A．3 B．3或 C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，根据时，一元二次方程有两个相等的实数根即可解答． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 4．(2026·湖南省娄底市·二模)若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程有实数根求参数以及解一元一次不等式，根据即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故选∶B． 5．(2026·湖南省湘潭市·二模)某乡村振兴示范村今年1月份通过直播销售特色农产品，销售额为50万元．响应全国两会“数字赋能乡村振兴”的号召后，该村通过优化直播策略、拓展销售渠道，使销售额逐月增长，且每个月的平均增长率为．已知3月份的销售额达到72万元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据这两个月销售额的月平均增长率为，由等量关系列出方程即可． 【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为， 由题意得，． 6．(25-26九上·湖南邵阳·二模)已知方程的两根分别为，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 7．(25-26九上·湖南长沙市·二模)若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题可先将方程的解代入一元二次方程，求出含、的代数式的值，再通过整体代入法求出目标代数式的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个解， ∴， ∴， ∴． 8．(25-26九上·湖南赫山区·二模)已知关于的方程无实数根，则实数的取值可能是（    ） A．4 B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】利用判别式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的方程无实数根， ∴， ∴， ∴实数的取值可能是． 9．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值是_____． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 10．(25-26九下·湖南株洲第十九中学·)已知关于的一元二次方程有两个不相等实根、，则的值为__________． 【答案】4 【分析】首先利用根与系数的关系式表示出以及，再代入求值即可. 【详解】解：、是一元二次方程的两个不相等的实根， ，， . 故答案为：4. 【点睛】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，以及代数运算进行分析. 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式（组） 4大考点概览 考点01一元一次方程及其应用 考点02一元一次不等式（组） 考点03二元一次方程（组）及其实际应用 考点04分式方程及其应用 考点05一元二次方程及其应用 一元一次方程及其应用 考点01 1．(2026·湖南省邵阳市·二模)已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D． 2．(25-26九下·湖南株洲第十九中学·)把数轴上的点A向右移动8个单位长度得到点B，若A点表示的数与B点表示的数互为相反数，则A点表示的数是（    ） A．8 B．4 C． D． 3．(25-26九下·湖南娄底市·)某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．(25-26九下·湖南长郡中学集团·)（传统文化）古代名著《孙子算经》中有一问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．大意为如果每三人共乘一辆车，那么有两辆空车；如果每两人共乘一辆车，那么有九人需要步行．问人和车的数量各是多少．设车的数量为x辆，则根据题意，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 5．(2026·湖南省岳阳市·二模)《九章算术》卷七“盈不足”中记载：今有童子分桃，人得四桃，则余二桃；人得六桃，则缺八桃，问童子与桃各几何？翻译为：现在有一群儿童分桃子，如果每人分4个桃子，就会多出2个桃子；如果每人分6个桃子，就还差8个桃子，求儿童和桃子分别有多少．设儿童有人，根据桃子总数不变，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．(2026·湖南省娄底市·二模)端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高若每个粽子的成本为元，则每个粽子的标价为_____． 一元一次不等式（组） 考点02 1．(2026·湖南省衡阳市·二模)若关于x的不等式的解集如图所示，则m等于（   ） A． B．2 C． D．3 2．(2026·湖南省湘潭市·二模)已知a，b，c，d是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．(2026·湖南省张家界市·二模)孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果，为实数，且满足，那么．推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有 ； 第二步：把移项可得 ； 第三步：把因式分解可得 ； 第四步：把两边除以可得 ； 第五步：把移项可得 ． 上述推理过程没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论．请你判断，不严谨的是（     ） A．第二步 B．第三步 C．第四步 D．第五步 4．(2026·湖南省湘潭市·二模)不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．(2026·湖南省张家界市·二模)不等式组 的解集是____________． 6．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)解不等式组：，并求所有整数解的和． 7．(25-26九下·湖南永州市·)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 二元一次方程（组）及其实际应用 考点03 1．(2026九·湖南省常德市·二模)用代入消元法解方程组时，消去y，可将第一个方程变形为（  ） A． B． C． D． 2．(2026·湖南省娄底市·二模)我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱．问梨果各几何?”意思：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26九上·湖南邵阳·二模)《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．(25-26九下·湖南娄底市·二模)方程组的解为____． 5．(25-26九下·湖南长沙市·二模)数学课上老师拿出了一根的木棒，小南说：“这木棒要是再多，那就可以分成根的小棒和根的小棒了．”小麓说：“这木棒要是再缩短，那就可以分成根的小棒和根的小棒了．”请你算一算______． 6．(25-26九下·湖南株洲市株洲县·二模)某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A，B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品（件） B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 (1)求A，B两种型号文创用品的单价． (2)丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 7．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)为推进智慧校园建设，某科技公司为学校提供两种型号的门禁读卡器：A型刷卡门禁和B型人脸识别门禁．已知2套A型门禁和3套B型门禁的采购总价为10500元；4套A型门禁和5套B型门禁的采购总价为18500元． (1)求A，B两种型号门禁每套的采购单价； (2)学校预采购A型、B型两种门禁共12套，若采购两种门禁的费用不高于22000元，至少可采购A型门禁多少套？ 8．(2026·湖南省张家界市·二模)“一盔一带，安全行动”是全国公安部门启动的一项重要安全措施，旨在打造文明城市，提升市民文明素质，此行动要求电动自行车驾驶者及其乘客必须佩戴安全头盔，某商场计划采购一批头盔以响应此倡议．已知购进3个A型头盔和2个B型头盔需要225元，购进2个A型头盔和3个B型头盔需要245元． (1)购进1个A型头盔和1个B型头盔分别需要多少元？ (2)如果该商场准备购进60个这两种型号的头盔，总费用不超过2600元，则至少购进A型头盔多少个？ 9．(2026·湖南省邵阳市·二模)某特产店销售A款臭豆腐挂件和B款酱板鸭挂件．购进50个A款和30个B款，共需940元；购进30个A款和50个B款，共需820元．A款售价20元/个，B款售价15元/个． (1)A、B两种挂件每个的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进A、B两款挂件共200个，且A款数量不少于B款数量的，总费用不超过2000元，该商家如何进货能在这批挂件全部售完时获利最大？最大利润是多少元？ 10．(2026·湖南省娄底市·二模)当前，我国正迈入人工智能时代，以机器人科技为引领的智能产业蓬勃兴起，成为现代科技创新的重要标志．某大型物流中心为了提高工作效率，欲购买两种型号的智能机器人，对货物进行分拣、搬运．具体相关信息如下：    A型智能机器人台数 B型智能机器人台数 总费用（单位：万元）    2 5 3 4 (1)求A，B两种型号智能机器人的单价． (2)现该物流中心准备用不超过万元购买A，B两种型号智能机器人共台，则该物流中心选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 11．(25-26九下·湖南长沙市·二模)“低碳环保绿色出行”，某地生态环境主管部门开展形式多样、内容丰富的宣传活动，提升低碳意识，推动形成绿色生产生活方式．某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励员工低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．积分可通过乘坐公共交通工具和步行获得（乘坐公共交通工具按次数计，步行按每100步计），已知乘坐3次公共交通工具+步行1300步可获得43个碳积分，乘坐1次公共交通工具+步行2800步可获得38个碳积分． (1)求乘坐1次公共交通工具和步行100步分别可获得多少个碳积分？ (2)小湘当月工作22天，每日上下班各出行1次，她规划了两种固定的绿色出行方式，方式一：1次公共交通（中途不下车）+步行600步，方式二：步行4100步，该公司规定每月需至少累计至1500积分才能兑换权益，则小湘当月最多选多少次方式一出行？ 分式方程及其应用 考点04 1．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)将关于x的分式方程去分母可得（     ） A． B． C． D． 2．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．(2026·湖南省娄底市·二模)分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．(2026·湖南省株洲市株洲县·二模)把分式方程化为整式方程，方程两边需同乘以 ____________ ． 5．(2026·湖南省张家界市·二模)若分式的值为2，则x的值是_______． 6．(2026九·湖南省常德市·二模)方程的解是：___． 7．(2026·湖南省湘潭市·二模)今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等． (1)求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？ (2)若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由． 8．(2026·湖南省永州市·二模)某学校为科技室准备购买，两种型号的机器人模型，已知机器人模型单价比机器人模型单价多元，用元购买的机器人模型数量与用元购买的机器人模型数量相同． (1)求、机器人模型的单价分别是多少元？ (2)若需购买和机器人模型共台，且总费用不超过元，则最多能购买机器人模型多少台？ 9．(2026·湖南省湘潭市·二模)阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩． (1)块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ (2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？ 10．(2026·湖南省邵阳市·二模)“湘超联赛”是我省今年最火爆的足球赛事，全省各地、州、市都积极参与，拉拉队也炫动全场．某拉拉队在第一场比赛中用600元在商场里购买了助威小喇叭，在半决赛中由于参加人员增加，又在同一商场花1000元购买同款小喇叭．已知第二次购买的数量是第一次购买的两倍，且第二次购买的单价比第一次便宜1元． (1)求该拉拉队两次购进这款小喇叭各多少个？ (2)若商场两次售出的小喇叭进价一样，要使两次售出的总利润不低于400元，则每个小喇叭的进价最多为多少元？ 一元二次方程及其应用 考点05 1．(25-26九上·湖南邵阳·二模)一元二次方程的根的情况为（        ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．(2026·湖南省湘潭市·二模)若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 3．(2026九·湖南省怀化市·二模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数k的值为（    ） A．3 B．3或 C．6 D．9 4．(2026·湖南省娄底市·二模)若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(2026·湖南省湘潭市·二模)某乡村振兴示范村今年1月份通过直播销售特色农产品，销售额为50万元．响应全国两会“数字赋能乡村振兴”的号召后，该村通过优化直播策略、拓展销售渠道，使销售额逐月增长，且每个月的平均增长率为．已知3月份的销售额达到72万元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．(25-26九上·湖南邵阳·二模)已知方程的两根分别为，，则的值为________． 7．(25-26九上·湖南长沙市·二模)若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______． 8．(25-26九上·湖南赫山区·二模)已知关于的方程无实数根，则实数的取值可能是（    ） A．4 B．0 C． D．1 9．(2026·湖南省益阳市沅江市·二模)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值是_____． 10．(25-26九下·湖南株洲第十九中学·)已知关于的一元二次方程有两个不相等实根、，则的值为__________． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $