专题02 圆柱和圆锥（专项训练）小升初数学暑假专项提升（苏教版）

**基本信息** 以“体系重建-易错剖析-方法精讲”为主线，系统梳理圆柱和圆锥的认识、表面积、体积等核心知识，通过6个典型易错点剖析与多样化题型训练，培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|4个核心知识点|公式推导（侧面积展开转化、体积类比）|从概念认识到公式推导，形成“组成特征-度量计算”逻辑链| |易错点剖析|6个典例|避坑指南（单位统一、实际表面积判断、体积关系条件）|针对高频错误，构建“错误本质-正确思路”纠正路径| |综合应用|4类题型（选择12、填空12、计算3、解答18）|关系应用（等底等高体积比、切拼表面积变化）|从基础计算到复杂问题，实现“知识-方法-能力”递进|

编者的话 当蝉鸣响起，暑假如约而至，这本讲义将是你最特别的暑期伙伴。这不仅仅是一本练习册，而是一份为你量身定制的成长地图，一场关于知识、方法与思维的深度探索，一次让你在假期中悄然超越、开学惊艳的宝贵机会。 为什么需要暑假专项提升？ 暑假，是时间的礼物——它不是学习的暂停键，而是调整节奏、巩固根基、拓展视野的黄金期。 对上学期：它是你查漏补缺的“放大镜”，帮你将那些似懂非懂的知识点，变成扎实稳固的基石。 对下学期：它是你预习探索的“望远镜”，让你带着准备和信心，从容面对新一程的学习挑战。 对你自己：它更是一个培养自主学习力、时间管理力和深度思考力的绝佳训练场。在这里，你获得的不仅是分数，更是受益一生的学习能力。 这套讲义将如何帮助你？ 我们坚信，真正的提升，不是重复刷题，而是系统的梳理、方法的掌握与思维的升级。因此，我们为你设计了这样的学习路径： 体系重建，让知识“连成线、织成网” 我们针对每个单元进行知识点梳理及易错点讲解，帮你巩固知识，打破易错，做到没有错题。 易错点剖析，让学习“抓要害、提效率” 我们深入分析每个知识板块的高频错题，为你揭示错误背后的思维陷阱与概念盲区。不仅指出“哪里容易错”，更讲透“为什么错”及“如何避免再错”，让你在精准排雷中实现高效学习，从容避坑。 方法精讲，让解题“有套路、有章法” 每个习题，我们都提炼了最核心的解题方法、最易错的避坑指南和最实用的应试技巧。我们不止告诉你“是什么”，更告诉你“为什么”和“怎么做”，让你从“听懂”到“会做”，再到“精通”。 在这个暑假结束时，当你合上这本讲义，你收获的将不仅是： ✅对上学期知识的全面掌握与深刻理解​ ✅一套属于自己的、高效实用的学习方法论​ ✅更重要的是，那份对学习的掌控感、对挑战的自信力，以及“我可以通过规划与努力实现目标”的成长心态。 现在，就让我们翻开第一页，从你最想点亮的那一个知识点开始。用笔尖思考，用汗水灌溉，用整个夏天的专注，兑换一个更从容、更强大、更令自己骄傲的新学期。 这个暑假，超越不止于成绩，成长发生在每一天。 六年级数学暑假专项提升 专题02 圆柱和圆锥 知识点一：圆柱和圆锥的认识 1、圆柱体简称圆柱，它由两个底面和一个侧面三部分组成。圆柱的上、下两个面叫作底面，底面是两个完全相同的圆。围成圆柱的曲面叫作侧面，圆柱两个底面之间的距离叫作高。 2、圆锥体简称圆锥，它由一个底面和一个侧面两部分组成，圆锥有一个顶点。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 3、圆柱和圆锥的特征比较。 知识点二：圆柱的侧面积和表面积 1、圆柱侧面积。 把圆柱的侧面沿高展开后得到一个长方形(当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形)，这个长方形的长(或宽)等于圆柱的底面周长，宽(或长)等于圆柱的高，因为长方形的面积=长x宽，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，即S侧=Ch=πdh=2πrh 2、圆柱表面积。 圆柱的侧面积与两个底面积的和，叫作圆柱的表面积。 圆柱的底面积=πr2 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2 圆柱表面积的字母公式是S表=S侧+2S底=2πrh+2πr2 知识点三：圆柱的体积 1、圆柱体积计算公式的推导。 圆柱的体积和拼成的长方体的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 长方体的体积=底面积×高 圆柱的体积=底面积×高 如果V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 知识点四：圆锥的体积 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 2、圆柱和圆锥的关系。 （1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积。 （2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。 （3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。 掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。 易错点1：圆锥的特点认识错误。 【典例1】填空：沿着圆锥的顶点与直径纵切,得到的截面图形是( ) 【错误答案】扇形 【错解分析】观察圆锥时过多地注意了圆锥的外部形状,从而忘记纵切后最下面的部分是直径。纵切后得到的图形是一个等腰三角形。 【正确答案】等腰三角形 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 【典例2】判断：计算制作一个水桶或一根通风管需要的铁皮的面积都是求圆柱的表面积。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】因为水桶没有上底面,通风管两个底面都没有,所以计算制作一个水桶或计算制作 一根通风管需要的铁皮的面积并不是直接计算圆柱的表面积,如下图。 【正确答案】错误 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 【典例3】判断：圆柱的高不变,底面直径扩大到原来的几倍,它的体积也扩大到原来的几倍。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】圆柱的底面直径扩大到原来的2倍，它的底面积就扩大到原来的4倍。圆柱的高不变,根据公式V=Sh ,圆柱的体积也扩大到原来的4倍。 圆柱的体积与圆柱的底面半径和高有关。当底面半径不变时,高扩大到原来的n倍,体积也扩大到原来的n倍;当高不变时,底面半径扩大到原来的n倍,体积就扩大到原来的n2倍。 【正确答案】错误 易错点4：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 【典例4】判断:圆锥的体积是圆柱体积的,圆柱的体积是圆锥体积的3倍。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】只有等底、等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积才是圆柱体积的，否则,它 们之间的关系是不确定的。 【正确答案】错误 易错点5：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 【典例5】一个圆柱的底面直径是6分米,高是1米,这个圆柱的体积是多少? 【错误答案】3.14×(6÷2)2×1= 28.26(立方分米) 答:这个圆柱的体积是28.26立方分米。 【错解分析】解答时要认真审题。圆柱底面直径的单位是分米,高的单位是米,单位不统一,在解题过程中应先统一单位再计算。 【正确答案】 1米=10分米 3.14×(6÷2)2×10= 282.6(立方分米) 答:这个圆柱的体积是282.6立方分米。 易错点6：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 【典例6】把一个底面直径为4厘米，高为5厘米的圆柱沿底面直径切成两个半圆柱，表面积增加了多少平方厘米？ 【错误解答】 增加了一个长方形的面积：4×5 = 20 (平方厘米) 答：表面积增加了20平方厘米。 【错解分析】沿底面直径纵切，会将圆柱分成两半，会增加两个完全一样的长方形切面，每个切面的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径。错误解答只算了一个切面的面积。 【正确解答】 增加的面积是两个长方形的面积。 每个长方形的面积：4×5 = 20 (平方厘米) 增加的总面积： 20 × 2 = 40 (平方厘米) 答：表面积增加了40平方厘米。 一、选择题 1．做一个底面直径4分米、高5分米的圆柱形无盖水桶，至少需要铁皮（    ）平方分米。 A．62.8 B．75.36 C．87.92 D．100.48 【答案】B 【分析】无盖圆柱形水桶缺少上底面，所需铁皮面积＝圆柱底面积＋圆柱侧面积，根据公式：和分别算出底面积和侧面积，再求和得到总面积。 【解答】半径：（分米） 底面积： （平方分米） 侧面积： （平方分米） （平方分米） 2．下面四个圆柱中，与圆锥体积相等的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等体积等高的圆柱和圆锥，圆锥的底面积是圆柱的3倍；等体积等底面积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱的3倍，进行分析。 【解答】 由图可知，的底面直径与圆锥相等，所以底面积与圆锥相等，12÷4＝3，圆锥的高是的3倍，所以圆锥与的体积相等。 3．把一个棱长为的正方体木块削成一个最大的圆锥，圆锥体积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体木块削成最大的圆锥，圆锥的底面直径等于正方体的棱长，圆锥的高等于正方体的棱长； 根据圆锥的体积公式：，代入数据，即可解答。 【解答】 4．如果一个圆柱与一个圆锥的高的比是2∶3，底面积的比是8∶15，那么它们体积的比是（    ）。 A．15∶16 B．16∶5 C．16∶15 D．16∶45 【答案】C 【分析】圆柱的体积＝圆柱的底面积×圆柱的高，圆锥的体积＝×圆锥的底面积×圆锥的高。 根据题意，把圆柱的高看作2份，圆锥的高就是3份；把圆柱的底面积看作是8份，圆锥的底面积就是15份。 根据体积公式写出圆柱和圆锥的体积之比。 【解答】（8×2）∶（×15×3） ＝16∶15 它们的体积比是16∶15。 5．如图是甲、乙两位同学对一个圆柱的两种不同的切分（平均分成两块），甲切分后表面积比原来增加（    ）；乙切分后表面积比原来增加（    ）。 A．； B．；8 C．； D．； 【答案】B 【分析】甲切分后，表面积比原来增加2个切面的面积，即2个圆柱的底面积，根据“”求出圆柱的底面积，再乘2就是增加的表面积；圆柱的高等于底面直径，乙切分后，表面积比原来增加2个切面的面积，切面是正方形，正方形的边长是2，根据“”求出1个切面的面积，最后乘2就是增加的表面积。 【解答】 ＝ ＝ 1×2＝2 2×2×2＝8 甲切分后表面积比原来增加，乙切分后表面积比原来增加8。 6．下面各图中，剪下图（    ）中的两个圆和一个长方形刚好可以围成一个圆柱。（接头处忽略不计）（单位：dm） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知，每个选项中圆的直径都是2÷2＝1dm，根据圆的周长＝，分别求出各图中圆的周长，当两个圆的每个圆的周长和长方形的长或宽相等时，剪下来可以围成一个圆柱。据此逐项分析各图，即可解题。 【解答】A．3.14×（2÷2）＝3.14×1＝3.14（dm），这个圆的周长和长方形的长或宽都不相等，所以它们不能围成一个圆柱； B．3.14×（2÷2）＝3.14×1＝3.14（dm），这个圆的周长和长方形的长或宽都不相等，所以它们不能围成一个圆柱； C．3.14×（2÷2）＝3.14×1＝3.14（dm），这个圆的周长和长方形的长或宽都不相等，所以它们不能围成一个圆柱； D．3.14×（2÷2）＝3.14×1＝3.14（dm），这个圆的周长和长方形的长相等，所以剪下这两个圆和这个长方形刚好可以围成一个圆柱。 所以剪下图D中的两个圆和一个长方形刚好可以围成一个圆柱。 7．一个盛有水的圆柱形容器，从里面量底面半径是5cm，水面距容器口6cm，现把一个底面半径是3cm的圆锥形金属铸件完全浸没在水中，这时水面距容器口5.4cm，则这个圆锥形金属铸件的高是（    ）cm。 A．6 B．5 C．4.8 D．3.6 【答案】B 【分析】圆锥形金属铸件的体积等于圆柱形容器内上升的水的体积，由此先求出这个金属铸件的体积， 再利用圆锥的高＝体积×3÷底面积，即可解答问题。 【解答】 （cm3） （cm） 8．有两个完全相同的圆柱形木料，甲挖去一个高为a厘米的圆锥，乙挖去两个高为厘米的圆锥后，甲剩余体积（    ）乙剩余体积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 【答案】C 【分析】从图中可知，乙挖去的两个高为厘米的圆锥，可以组成一个底面积不变，高为a厘米的圆锥；那么两个图形剩下部分的体积都等于圆柱的体积减去挖去的圆锥的体积，因为原来两个圆柱的体积相等，挖去的圆锥体积也相等，所以剩下部分的体积相等。 【解答】根据分析： （乙图中两个圆锥的体积相等） 所以，即有两个完全相同的圆柱形木料，甲挖去一个高为a厘米的圆锥，乙挖去两个高为厘米的圆锥后，甲剩余体积等于乙剩余体积。 9．制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种铁皮可供搭配，应选择（    ）。 A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】B 【分析】由图可知，圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，利用C＝πd和C＝2πr求出③和④的周长，然后与长方形的长进行比较，即可求得。 【解答】③的周长：3.14×3＝9.42（dm） ④的周长：2×3.14×4＝6.28×4＝25.12（dm） 由上可知，②的长和③的周长相等，所以应选择②和③。 10．为响应绿色环保号召，社区组织手工制作活动，鼓励大家利用废旧材料制作收纳用品。李华将废弃的圆柱形塑料瓶改造成了一个笔筒（如图），为了让笔筒更美观且具有环保宣传意义，他决定把笔筒高度的以下部分（底面不涂）涂上代表环保的绿色颜料，涂颜料部分的面积（    ）cm2。 A．282.6 B．254.34 C．169.56 D．423.9 【答案】C 【分析】把笔筒高度看作单位“1”，单位“1”已知，用乘法，据此求出涂颜料部分高度，涂色部分是圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，代入数据即可求解。 【解答】15×＝6（厘米） 3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（平方厘米） 涂颜料部分的面积是169.56平方厘米。 11．把一根长20厘米的圆柱形木料截去5厘米长的一段后，表面积减少了94.2平方厘米，体积减少了（    ）立方厘米。 A．471 B．235.5 C．141.3 D．942 【答案】C 【分析】把圆柱形木料截去一段后，表面积减少的部分是截去部分的侧面积。先根据减少的表面积和截去的长度求出圆柱的底面周长，再求出底面半径和底面积，最后用底面积乘截去的长度，得到减少的体积。 【解答】圆柱的底面周长：94.2÷5＝18.84（厘米） 圆柱的底面半径： 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 圆柱的底面积： 3.14×3×3 ＝9.42×3 ＝28.26（平方厘米） 减少的体积：28.26×5＝141.3（立方厘米） 12．如图，有两块完全相同的正方体木料。把①号正方体木料加工成一个最大的大圆柱，把②号正方体木料加工成四个完全相同且尽可能大的小圆柱。一个大圆柱的体积与四个小圆柱的体积和相比较，（    ）。 A．一个大圆柱的体积大 B．四个小圆柱的体积和大 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】假设两块完全相同的正方体木料的棱长为8厘米。因为要把①号正方体木料加工成一个最大的圆柱，那么这个圆柱底面圆的直径就等于正方体的棱长，圆柱的高都等于正方体的棱长。因为把②号正方体木料加工成四个完全相同且尽可能大的小圆柱，此时每个小圆柱底面圆的直径等于正方体棱长的一半，圆柱的高都等于正方体的棱长；根据圆柱的体积公式：V＝Sh＝，代入数据计算，分别求出一个大圆柱的体积与四个小圆柱的体积和，再进行大小比较即可解答。 【解答】假设两块完全相同的正方体木料的棱长为8厘米。 3.14××8 ＝3.14××8 ＝3.14×16×8 ＝50.24×8 ＝401.92（立方厘米） 3.14××8×4 ＝3.14××8×4 ＝3.14××8×4 ＝3.14×4×8×4 ＝12.56×8×4 ＝100.48×4 ＝401.92（立方厘米） 401.92立方厘米＝401.92立方厘米 所以一个大圆柱的体积与四个小圆柱的体积和相比较，一样大。 二、填空题 13．一个底面半径10厘米的圆柱形水杯，水深12厘米。放入一个铁块后，水面上升到15厘米。铁块的体积是（ ）立方厘米。 【答案】942 【分析】放入铁块后，水面上升部分的水的体积等于铁块的体积，上升部分的水为圆柱形，底面半径等于圆柱形水杯的底面半径，高度为水面上升的高度，据此代入圆柱体积V＝πr2h计算即可。 【解答】3.14×102×（15－12） ＝3.14×100×（15－12） ＝3.14×100×3 ＝314×3 ＝942（立方厘米） 14．一个圆柱和圆锥等底等高。如果将圆锥的高增加14分米，底面积不变，则圆锥和圆柱的体积相等。原来圆锥的高是（ ）分米。 【答案】7 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的底面积相等，圆锥的高增加14分米，圆锥的体积与圆柱的体积相等，由此可知，圆锥高增加的14分米相当于圆锥高的（3－1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法解答。 【解答】14÷（3－1） ＝14÷2 ＝7（分米） 15．如图，1个瓶子底面内直径是10cm，里面水的高度是5cm，将瓶盖拧紧后把瓶子倒置，放平，无水部分是圆柱形，高度是15cm，这个瓶子的容积是（ ）mL。 【答案】1570 【分析】整个瓶子的容积可以分成两部分：水的体积和无水部分（空气）的体积。正放时，水的部分是一个规则的圆柱体；倒置时，无水部分（空气）变成了一个规则的圆柱体。将这两部分的圆柱体拼接相加，就能求出瓶子的总容积。圆柱的体积＝（取3.14，r为半径，h是高），代入数据求出圆柱的体积，再换算成以mL为单位的数即可。 【解答】10÷2＝5（cm） 3.14××5 ＝3.14×25×5 ＝78.5×5 ＝392.5（） 3.14××15 ＝3.14×25×15 ＝78.5×15 ＝1177.5（） 392.5＋1177.5＝1570（） 1570cm3＝1570mL 16．一个圆锥体的高是2分米，底面半径是3分米，底面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米，与它等底等高的圆柱的表面积是（ ）平方分米；一种圆柱形通风管，底面直径是0.4米，长是5米，做一个这样的通风管需铁皮（ ）平方米，做100个这样的通风管需铁皮（ ）平方米。 【答案】28.26 18.84 94.2 6.28 628 【分析】圆锥的底面积，圆锥的体积。圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积。题目中已知圆锥体的高是2分米，底面半径是3分米代入公式进行计算。圆柱与圆锥等底等高，所以圆柱的高是2分米，底面半径是3分米，根据求出圆柱的底面积，根据求出圆柱的侧面积，再将底面积和侧面积代入表面积公式进行计算。求通风管需要多少平方米铁皮，就是求通风管的侧面积，已知通风管，底面直径是0.4米，长（也就是高）是5米，根据求出一个通风管需要的铁皮面积，最后用这个面积乘100求出100个通风管需要的铁皮面积。 【解答】圆锥的底面积： （平方分米） 圆锥的体积： （立方分米） 圆柱的底面积： （平方分米） 圆柱的侧面积： （平方分米） 圆柱的表面积： （平方分米） 1个通风管需要的铁皮面积： （平方米） 100个通风管需要的铁皮面积： （平方米） 17．如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装了一些水，根据图中的数据（数据是从瓶子内部测量得到的）可知瓶子的容积是（ ）毫升。 【答案】1205.76 【分析】瓶子的容积＝底面直径是8cm，高是6cm＋底面直径是8cm，高是18cm的圆柱的容积，根据圆柱的容积＝πr2h，代入数据，即可解答，注意单位换算。 【解答】3.14×（8÷2）2×6＋3.14×（8÷2）2×18 ＝3.14×42×6＋3.14×42×18 ＝3.14×16×6＋3.14×16×18 ＝50.24×6＋50.24×18 ＝301.44＋904.32 ＝1205.76（cm3） 1205.76cm3＝1205.76mL 18．已知一个圆柱和一个圆锥的高相等。如果它们的底面半径相等，那么它们的体积之比是（ ）；如果它们的底面积之比是，那么它们的体积之比是（ ）。 【答案】3∶1 2∶1 【分析】圆柱的体积公式为：V圆柱＝πr2h，圆锥的体积公式为：V圆锥＝πr2h。圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。 因为圆柱和圆锥的底面积之比是2∶3，将圆柱的底面积看作2，圆锥的底面积看作3，分别代入公式V圆柱＝S圆柱h和V圆锥＝S圆锥h中，求出它们的体积比。 【解答】圆柱和圆锥等底等高时，体积比为πr2h∶πr2h＝3∶1； 圆柱和圆锥的底面积之比是2∶3时，体积比为2h∶×3h＝2∶1。 19．李师傅将一个底面半径为2分米、高为6分米的圆锥从顶点沿着高切成两半（如图），切开后的切面呈现（ ）形，表面积比原来增加了（ ）平方分米。 【答案】三角 24 【分析】根据圆锥的特点可知，圆锥从顶点沿着高切成两半，切开后的切面呈现三角形。表面积增加的部分是两个完全相同的三角形的面积，每个三角形的底等于圆锥的底面直径，三角形的高等于圆锥的高。直径＝半径×2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数值计算。 【解答】根据分析，圆锥从顶点沿着高切成两半，切开后的切面呈现三角形。 2×2＝4（分米） 4×6÷2×2＝24（平方分米） 20．一个直角三角形三条边的长度分别为5厘米，12厘米，13厘米，以这个直角三角形的斜边为轴旋转一周，所得图形的体积为（ ）立方厘米。（结果保留两位小数） 【答案】289.85 【分析】先根据已知是直角三角形，确定5厘米、12厘米为直角边，13厘米是斜边，根据三角形面积＝底×高÷2，先用两条直角边求出三角形面积，再根据面积公式求出斜边上的高，这条高就是旋转后组合圆锥的底面半径；以斜边为轴旋转一周会形成两个底面相同的圆锥拼接的立体，两个圆锥的高之和等于斜边长度，最后根据圆锥体积公式V＝πr2h（π取3.14），代入数值即可求出整体体积，并利用四舍五入法按要求保留两位小数。 【解答】三角形面积：5×12÷2 ＝60÷2 ＝30（平方厘米） 斜边上的高（底面半径）：30×2÷13 ＝60÷13 ＝（厘米） 体积：×3.14×（）2×13 ＝×3.14××13 ＝×3.14 ≈289.85（立方厘米） 21．淘气过生日时，爸爸送给他一个近似圆锥形的玩具（如下图），这个玩具的体积约是（ ）。如果用一个长方体盒子包装这个玩具，盒子的容积至少是（ ）。 【答案】471 1800 【分析】根据圆锥的体积＝πr2h，代入数据即可求出玩具的体积；用长方体盒子包装圆锥，要使盒子容积最小，长方体的长和宽应等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高，再根据长方体容积公式V＝长×宽×高，代入计算即可。 【解答】玩具体积： ×3.14×（10÷2）2×18 ＝×3.14×52×18 ＝×3.14×25×18 ＝×18×3.14×25 ＝6×3.14×25 ＝18.84×25 ＝471（cm3） 长方体盒的容积：长、宽均为圆锥的底面直径10cm，高为圆锥的高18cm。 10×10×18 ＝100×18 ＝1800（cm3） 22．小明制作了简易的滴水计时器（如图）。经过测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1mL）。小明某日9：00量得下方圆柱形容器中水面的高度为2cm。一段时间后再量，下方圆柱形容器中水面高度上升至6cm。此时时间大约是（ ）时。（取近似值3） 【答案】14 【分析】下方圆柱形容器中上升的水的体积就是上方漏斗形容器在这段时间滴水的体积，由图可知，圆柱形容器的底面直径是20cm，则底面半径是20÷2＝10cm，水面上升的高是6－2＝4cm，根据圆柱的体积＝求出上升的水的体积是多少， 再根据1＝1mL，把化为mL，再乘20，求出水的总滴数，再除以80求出这段时间是多少分钟，再把分钟换算成小时，再加上9时即可解答。 【解答】20÷2＝10（cm） 3××（6－2）×20÷80 ＝3×100×4×20÷80 ＝300×4×20÷80 ＝1200×20÷80 ＝24000÷80 ＝300（分钟） 300分钟＝5小时 9时＋5时＝14时 23．小新过生日时，妈妈送给他一个圆锥形的陀螺，陀螺的底面直径是4cm，高是3cm，它的体积是（ ）；如果用一个长方体盒子包装，这个长方体盒子的容积至少是（ ）。 【答案】12.56 48 【分析】圆锥体积＝底面积×高÷3，据此计算出陀螺体积；长方体包装盒的长和宽等于圆锥底面直径，长方体包装盒的高等于圆锥的高，长方体体积＝长×宽×高，据此计算出长方体盒子的容积。 【解答】3.14×（4÷2）2×3÷3 ＝3.14×22×3÷3 ＝3.14×4×3÷3 ＝12.56（） 4×4×3＝48（） 24．一个圆柱的底面半径是5㎝，高是6㎝，沿高剪开它的侧面展开图是（ ）形，这个展开图的长是（ ）㎝，宽是（ ）㎝，圆柱的侧面积是（ ）㎝²。 【答案】长方 31.4 6 188.4 【分析】圆柱沿高剪开，侧面展开图是长方形，长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高，侧面积＝底面周长×高。 【解答】根据分析， 圆柱侧面展开图是长方形。 展开图的长为： （cm） 展开图的宽等于圆柱的高，即6cm。 圆柱的侧面积为： （cm2） 三、计算题 25．计算下图的体积。（单位：厘米） 【答案】571.48立方厘米 【分析】先根据直径＝半径×2，分别求出外圆和内圆的半径，再根据圆环面积公式S＝π（R2－r2） 求出底面积，最后用底面积乘高，即可求出空心圆柱的体积。 【解答】20÷2＝10（厘米） 6÷2＝3（厘米） 3.14×（102－32）×2 ＝3.14×（100－9）×2 ＝3.14×91×2 ＝285.74×2 ＝571.48（立方厘米） 26．计算下面阴影部分图形的体积。（单位：厘米） 【答案】37.68立方厘米 【分析】图中阴影部分的体积＝圆柱体积－圆锥体积，圆柱体积公式：，圆锥体积公式：，计算得出答案。 【解答】（厘米） （立方厘米） 27．求下面图形的体积（单位cm）。 【答案】183.69cm3；536.94cm3 【分析】（1）圆柱的体积公式V＝πr2h，π取3.14，代入数值即可解答。 （2）组合图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积×2，圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，π取3.14，代入数值即可解答。 【解答】（1）3.14×32×6.5 ＝3.14×9×6.5 ＝28.26×6.5 ＝183.69（cm3） （2）6÷2＝3（cm） 3.14×32×15＋×3.14×32×6×2 ＝3.14×9×15＋×3.14×9×6×2 ＝3.14×9×15＋3.14×（9×）×6×2 ＝3.14×9×15＋3.14×3×6×2 ＝423.9＋113.04 ＝536.94（cm3） 四、解答题 28．某种饮料罐的形状为圆柱形。底面直径为6厘米，高为12厘米，将24罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内，这个纸箱的容积至少有多大？ 【答案】10368立方厘米 【分析】由图可知，饮料罐每行摆6个，底面直径为6厘米，所以纸箱的长为6×6＝36（厘米）；饮料罐每列摆4个，底面直径为6厘米，所以纸箱的宽为6×4＝24（厘米）；饮料罐高为12厘米，所以纸箱的高为12厘米。根据“长方体容积＝长×宽×高”代入数据计算即可解答。 【解答】6×6＝36（厘米） 6×4＝24（厘米） 36×24×12 ＝864×12 ＝10368（立方厘米） 答：这个纸箱的容积至少有10368立方厘米。 29．长征二号F遥十三运载火箭整流罩的底面直径为3.2米。科技馆存放着按一定比例制作的长征二号F遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要多少平方米的玻璃？ 【答案】2.88平方米 【分析】通过观察图形可知，这个长方体玻璃盒的底面边长是4分米，高是16分米，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据即可求解。 【解答】（4×4＋4×16＋4×16）×2 ＝（16＋64＋64）×2 ＝144×2 ＝288（平方分米） 288平方分米＝2.88平方米 答：制作这个玻璃盒至少要2.88平方米的玻璃。 30．将一块高是9厘米的圆锥形糕点沿着高垂直于底面切成相同的两部分，切面每个三角形的面积是18平方厘米，原来这块圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？ 【答案】37.68立方厘米 【分析】圆锥沿高垂直于底面切开后，切面三角形的高等于圆锥的高，底等于圆锥的底面直径，根据“底＝三角形面积×2÷高”求得三角形的底，即圆锥的底面直径，底面直径÷2＝底面半径，将半径代入圆锥体积公式：求解。 【解答】底面直径： 2×18÷9 ＝36÷9 ＝4（厘米） 体积： ×3.14×（4÷2）²×9 ＝×3.14×2²×9 ＝×3.14×4×9 ＝37.68（立方厘米） 答：原来这块圆锥形糕点的体积是37.68立方厘米。 31．李阿姨用圆柱形滚筒清理器清卫生间地面，滚筒的横截面半径是0.4分米，宽是2.4分米。如果李阿姨推动圆柱形滚筒清理器每分钟转25周，那么她5分可以清理多大的地面？（每个地方只清理一次） 【答案】753.6平方分米 【分析】先根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，求出圆柱形滚筒清理器的侧面积；再用侧面积乘每分钟转动的周数求出一分钟清理的面积；最后再用一分钟清理的面积乘时间5分钟得出5分钟清理的面积。 【解答】圆柱侧面积：2×0.4×3.14×2.4＝6.0288（平方分米） 一分钟清理的面积：6.0288×25＝150.72（平方分米） 5分钟清理的面积：150.72×5＝753.6（平方分米） 答：她5分可以清理753.6平方分米。 32．一个卫星专用零件是由一个圆柱和一个长方体焊接而成（如下图），它的表面积是多少平方厘米？ 【答案】261.6平方厘米 【分析】焊接后，圆柱的1个底面变成了里面，不再需要计算表面积。同时，长方体的上面减少了一个圆形的面，将圆柱的上面借给长方体后，长方体的表面积不变，圆柱只剩下侧面积需要计算。所以，这个组合体的表面积＝长方体表面积＋圆柱侧面积。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，圆柱侧面积＝底面周长×高。据此解题。 【解答】（10×4＋10×2＋4×2）×2＋3.14×4×10 ＝（40＋20＋8）×2＋12.56×10 ＝68×2＋125.6 ＝136＋125.6 ＝261.6（平方厘米） 答：它的表面积是261.6平方厘米。 33．学习了“圆柱与圆锥”后，小明自己动手，把一块橡皮泥揉成圆柱形，切成三块（如图1），测量计算得出其表面积增加了50.24平方厘米；又重新揉成同样的圆柱形，切成四块（如图2），计算得出表面积增加了96平方厘米。根据小明的实验数据，你能计算出这块橡皮泥的体积是多少吗？ 【答案】75.36立方厘米 【分析】把一块橡皮泥揉成圆柱形，切成三块，增加4个底面圆的面积，用增加的总表面积除以4得到一个底面圆的面积，进而计算出圆的半径。又重新揉成圆柱形，切成四块，增加4个长为圆柱的高、宽为圆的直径的长方形，用增加的总表面积除以4得到一个长方形的面积，再除以圆柱的直径就得到圆柱的高。代入数据计算。 【解答】50.24÷4＝12.56（平方厘米） 12.56÷3.14＝4（平方厘米） 4平方厘米是的平方，4＝2×2，则是2厘米。 2×2＝4（厘米），则直径是4厘米。   96÷4＝24（平方厘米） 24÷4＝6（厘米） 12.56×6＝75.36（立方厘米） 答：这块橡皮泥的体积是75.36立方厘米。 34．六（1）班的王明同学准备把一根侧面积为75.36平方厘米，高为6厘米的圆柱形木头削成一个最大的圆锥形木头。削成的这个圆锥形木头的体积是多少立方厘米？ 【答案】25.12立方厘米 【分析】已知圆柱形木头的侧面积为75.36平方厘米，高为6厘米，根据圆柱的侧面积公式S侧＝Ch，可知C＝S侧÷h，据此求出圆柱的底面周长； 再根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，据此求出圆柱的底面半径； 把这根圆柱形木头削成一个最大的圆锥形木头，那么圆锥形木头与圆柱形木头等底等高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆锥形木头的体积。 【解答】75.36÷6＝12.56（厘米） 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 圆锥的体积： ×3.14×22×6 ＝×3.14×4×6 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（立方厘米） 答：削成的圆锥形木头的体积是25.12立方厘米。 35．一个底面半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水，水里浸没着一个高6厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥形铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】28.26平方厘米 【分析】原来铅锤是浸没在水中的，当铅锤从水中取出后，下降水的体积等于铅锤的体积。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14），求出水的体积，再根据圆锥体积公式V＝Sh，可得S＝3V÷h，求出圆锥的底面积。 【解答】3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 56.52×3÷6 ＝169.56÷6 ＝28.26（平方厘米） 答：这个圆锥形铅锤的底面积是28.26平方厘米。 36．图中模具是由一个圆柱和圆锥组成，工人叔叔将它们重合的底面水平切开，分成两部分，此时表面积比原来增加了56.52平方分米，已知圆锥的高与圆柱高的比为2∶1，求未切割前模具的体积是多少立方分米？ 【答案】47.1立方分米 【分析】切开后表面积增加的部分是2个底面的面积，用增加的56.52平方分米除以2，求出一个底面的面积；再根据圆锥与圆柱高的比是2∶1、总高3分米，按比求出圆柱和圆锥各自的高；最后分别用圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加求出模具的总体积。 【解答】56.52÷2＝28.26（平方分米） 3÷（2＋1） ＝3÷3 ＝1（分米） 1×2＝2（分米） 28.26×1＝28.26（立方分米） ×28.26×2 ＝9.42×2 ＝18.84（立方分米） 28.26＋18.84＝47.1（立方分米） 答：未切割前模具的体积是47.1立方分米。 37．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图是一种木质玩具陀螺，可以看作是一个近似的圆锥和圆柱组合起来的立体图形。玩具陀螺中底面直径和总高度的比是1∶1.5，其中B、C分别是圆柱上下两个底面的圆心，且AC∶AB＝3∶1，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【答案】197.82立方厘米 【分析】先利用底面直径和总高度的比例求出陀螺总高度，再根据AC∶BC=3∶1求出圆柱和圆锥的高度。最后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，π取3.14，分别求出圆柱和圆锥的体积，体积相加求出陀螺总体积。 【解答】陀螺总高度是：6÷1×1.5＝9（厘米） AB＝9÷3×1＝3（厘米） BC＝9－3＝6（厘米） 6÷2＝3（厘米） 3.14×32×6＋×3.14×32×3 ＝3.14×9×6＋×3.14×9×3 ＝169.56＋28.26 ＝197.82（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是197.82立方厘米。 38．一个无盖的圆柱形铁皮水桶内存有一些水，水面高度正好是桶高的。淘气将一块体积为628立方厘米的铁块放入水中，完全浸没，这时水面上升了2厘米，水桶正好装满。 （1）这个水桶的高是多少厘米？ （2）这个水桶原来存水多少立方厘米？ 【答案】（1）20厘米 （2）5652立方厘米 【分析】（1）把水桶的高看作单位“1”，原来水面高度是桶高的，放入铁块后水桶正好装满，说明水面上升的高度占桶高的（1－），已知水面上升了2厘米，根据已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法计算水桶的高； （2）铁块完全浸没在水中，水面上升部分的体积等于铁块的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，用铁块的体积除以上升的水面的高度得到圆柱的底面积，用圆柱形水桶的高度减2求出原来水的高度，再乘水桶的底面积即可得到原来存水多少立方厘米。 【解答】（1）2÷（1－） ＝2÷ ＝2×10 ＝20（厘米） 答：这个水桶的高是20厘米。 （2）628÷2＝314（平方厘米） 314×（20－2） ＝314×18 ＝5652（立方厘米） 答：这个水桶原来存水5652立方厘米。 39．工人准备在道路一侧安装栅栏，定制了400个大小相同的圆柱形木块。（取3） （1）如果给一个圆柱形木块的表面刷漆，需要刷漆的面积是多少平方分米？ （2）做这些圆柱形木块一共需要多少立方米的木料？（损耗忽略不计） （3）将这些木块装箱，箱子的形状是一个正方体，从里面量棱长为8分米，这个箱子最多能装多少个这样的圆柱形木块？ 【答案】（1）21.12平方分米 （2）3.072立方米 （3）50个 【分析】（1）需要刷漆的面积等于底面直径是1.6分米、高是4分米的圆柱的侧面积加上圆柱的上底面，圆柱的侧面积＝πdh，圆柱的上底面＝π（d÷2）2，据此解答； （2）先根据1米＝10分米把单位换算成米，圆柱的体积＝π（d÷2）2h，据此求出做一个木块需要多少木料，再乘木块的数量即可； （3）用正方体的棱长除以圆柱的底面直径得到一层可以装几行几列，再用棱长除以圆柱的高可以得到能装几层，最后把行数、列数、层数相乘即可。 【解答】（1）3×1.6×4＋3×（1.6÷2）2 ＝4.8×4＋3×0.82 ＝4.8×4＋3×0.64 ＝19.2＋1.92 ＝21.12（平方分米） 答：需要刷漆的面积是21.12平方分米。 （2）1.6分米＝0.16米 4分米＝0.4米 3×（0.16÷2）2×0.4×400 ＝3×0.082×0.4×400 ＝3×0.0064×0.4×400 ＝3.072（立方米） 答：做这些圆柱形木块一共需要3.072立方米的木料。 （3）8÷1.6＝5（个） 8÷4＝2（个） 5×5×2＝50（个） 答：这个箱子最多能装50个这样的圆柱形木块。 40．牛肉面中的数学。 牛肉面马师傅每次做拉面的步骤是这样的：先将一个面团拉成圆柱形面根，长1.6米，再对折拉长到1.6米，照此继续进行下去，喜欢吃粗面条的对拉6次就行了，喜欢吃细面条的再增加1次。 （1）完成下表。 拉的次数 1 2 3 4 5 6 7 8 … 面条根数 1 2 4 8 16 … （2）如果一碗牛肉面的面团体积是153.6立方厘米，拉了8次，最终每根面长都是160厘米，那么每根面的粗细（面的直径）是多少？（π取3）（假设拉面的过程中，面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费）（备注：0.032＝0.0009，0.042＝0.0016，0.052＝0.0025，0.062＝0.0036） （3）马师傅的牛肉面馆平常一天能卖1500碗牛肉面，每碗售价8元。每碗牛肉面的成本大约是4.5元。马师傅想增加销量，举行降价促销活动，每碗牛肉面售价调整为7元（成本不变）。降价促销后，每天销量在原来的基础上上升了20%。请你算一算，促销后马师傅每天的利润是增加了还是减少了？ 【答案】（1）32；64；128 （2）0.1厘米 （3）促销后马师傅每天的利润减少了。 【分析】（1）根据面条的根数等于前一次的根数乘2，完成填表； （2）先求单根面条的体积：用面团的体积除以8次分成的根数；再根据圆柱体积＝底面积×高，用单根面条的体积除以高（也就是单根面条的长度），求单根面条的底面积，再除以3，求半径的平方，进而求出直径即可； （3）总利润＝（售价－成本）×销量，根据马师傅卖牛肉面的情况，分别计算促销前后的利润，比较即可得出结论。 【解答】（1） 拉的次数 1 2 3 4 5 6 7 8 … 面条根数 1 2 4 8 16 32 64 128 … （2）153.6÷128÷160÷3 ＝1.2÷160÷3 ＝0.0075÷3 ＝0.0025（平方厘米） 0.0025＝0.05×0.05 0.05×2＝0.1（厘米） 答：每根面的粗细（面的直径）是0.1厘米。 （3）1500×（8－4.5） ＝1500×3.5 ＝5250（元） 1500×（1＋20%）×（7－4.5） ＝1500×1.2×2.5 ＝1800×2.5 ＝4500（元） 5250＞4500 答：促销后马师傅每天的利润减少了。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 编者的话 当蝉鸣响起，暑假如约而至，这本讲义将是你最特别的暑期伙伴。这不仅仅是一本练习册，而是一份为你量身定制的成长地图，一场关于知识、方法与思维的深度探索，一次让你在假期中悄然超越、开学惊艳的宝贵机会。 为什么需要暑假专项提升？ 暑假，是时间的礼物——它不是学习的暂停键，而是调整节奏、巩固根基、拓展视野的黄金期。 对上学期：它是你查漏补缺的“放大镜”，帮你将那些似懂非懂的知识点，变成扎实稳固的基石。 对下学期：它是你预习探索的“望远镜”，让你带着准备和信心，从容面对新一程的学习挑战。 对你自己：它更是一个培养自主学习力、时间管理力和深度思考力的绝佳训练场。在这里，你获得的不仅是分数，更是受益一生的学习能力。 这套讲义将如何帮助你？ 我们坚信，真正的提升，不是重复刷题，而是系统的梳理、方法的掌握与思维的升级。因此，我们为你设计了这样的学习路径： 体系重建，让知识“连成线、织成网” 我们针对每个单元进行知识点梳理及易错点讲解，帮你巩固知识，打破易错，做到没有错题。 易错点剖析，让学习“抓要害、提效率” 我们深入分析每个知识板块的高频错题，为你揭示错误背后的思维陷阱与概念盲区。不仅指出“哪里容易错”，更讲透“为什么错”及“如何避免再错”，让你在精准排雷中实现高效学习，从容避坑。 方法精讲，让解题“有套路、有章法” 每个习题，我们都提炼了最核心的解题方法、最易错的避坑指南和最实用的应试技巧。我们不止告诉你“是什么”，更告诉你“为什么”和“怎么做”，让你从“听懂”到“会做”，再到“精通”。 在这个暑假结束时，当你合上这本讲义，你收获的将不仅是： ✅对上学期知识的全面掌握与深刻理解​ ✅一套属于自己的、高效实用的学习方法论​ ✅更重要的是，那份对学习的掌控感、对挑战的自信力，以及“我可以通过规划与努力实现目标”的成长心态。 现在，就让我们翻开第一页，从你最想点亮的那一个知识点开始。用笔尖思考，用汗水灌溉，用整个夏天的专注，兑换一个更从容、更强大、更令自己骄傲的新学期。 这个暑假，超越不止于成绩，成长发生在每一天。 六年级数学暑假专项提升 专题02 圆柱和圆锥 知识点一：圆柱和圆锥的认识 1、圆柱体简称圆柱，它由两个底面和一个侧面三部分组成。圆柱的上、下两个面叫作底面，底面是两个完全相同的圆。围成圆柱的曲面叫作侧面，圆柱两个底面之间的距离叫作高。 2、圆锥体简称圆锥，它由一个底面和一个侧面两部分组成，圆锥有一个顶点。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 3、圆柱和圆锥的特征比较。 知识点二：圆柱的侧面积和表面积 1、圆柱侧面积。 把圆柱的侧面沿高展开后得到一个长方形(当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形)，这个长方形的长(或宽)等于圆柱的底面周长，宽(或长)等于圆柱的高，因为长方形的面积=长x宽，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，即S侧=Ch=πdh=2πrh 2、圆柱表面积。 圆柱的侧面积与两个底面积的和，叫作圆柱的表面积。 圆柱的底面积=πr2 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2 圆柱表面积的字母公式是S表=S侧+2S底=2πrh+2πr2 知识点三：圆柱的体积 1、圆柱体积计算公式的推导。 圆柱的体积和拼成的长方体的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 长方体的体积=底面积×高 圆柱的体积=底面积×高 如果V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 知识点四：圆锥的体积 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 2、圆柱和圆锥的关系。 （1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积。 （2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。 （3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。 掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。 易错点1：圆锥的特点认识错误。 【典例1】填空：沿着圆锥的顶点与直径纵切,得到的截面图形是( ) 【错误答案】扇形 【错解分析】观察圆锥时过多地注意了圆锥的外部形状,从而忘记纵切后最下面的部分是直径。纵切后得到的图形是一个等腰三角形。 【正确答案】等腰三角形 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 【典例2】判断：计算制作一个水桶或一根通风管需要的铁皮的面积都是求圆柱的表面积。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】因为水桶没有上底面,通风管两个底面都没有,所以计算制作一个水桶或计算制作 一根通风管需要的铁皮的面积并不是直接计算圆柱的表面积,如下图。 【正确答案】错误 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 【典例3】判断：圆柱的高不变,底面直径扩大到原来的几倍,它的体积也扩大到原来的几倍。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】圆柱的底面直径扩大到原来的2倍，它的底面积就扩大到原来的4倍。圆柱的高不变,根据公式V=Sh ,圆柱的体积也扩大到原来的4倍。 圆柱的体积与圆柱的底面半径和高有关。当底面半径不变时,高扩大到原来的n倍,体积也扩大到原来的n倍;当高不变时,底面半径扩大到原来的n倍,体积就扩大到原来的n2倍。 【正确答案】错误 易错点4：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 【典例4】判断:圆锥的体积是圆柱体积的,圆柱的体积是圆锥体积的3倍。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】只有等底、等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积才是圆柱体积的，否则,它 们之间的关系是不确定的。 【正确答案】错误 易错点5：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 【典例5】一个圆柱的底面直径是6分米,高是1米,这个圆柱的体积是多少? 【错误答案】3.14×(6÷2)2×1= 28.26(立方分米) 答:这个圆柱的体积是28.26立方分米。 【错解分析】解答时要认真审题。圆柱底面直径的单位是分米,高的单位是米,单位不统一,在解题过程中应先统一单位再计算。 【正确答案】 1米=10分米 3.14×(6÷2)2×10= 282.6(立方分米) 答:这个圆柱的体积是282.6立方分米。 易错点6：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 【典例6】把一个底面直径为4厘米，高为5厘米的圆柱沿底面直径切成两个半圆柱，表面积增加了多少平方厘米？ 【错误解答】 增加了一个长方形的面积：4×5 = 20 (平方厘米) 答：表面积增加了20平方厘米。 【错解分析】沿底面直径纵切，会将圆柱分成两半，会增加两个完全一样的长方形切面，每个切面的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径。错误解答只算了一个切面的面积。 【正确解答】 增加的面积是两个长方形的面积。 每个长方形的面积：4×5 = 20 (平方厘米) 增加的总面积： 20 × 2 = 40 (平方厘米) 答：表面积增加了40平方厘米。 一、选择题 1．做一个底面直径4分米、高5分米的圆柱形无盖水桶，至少需要铁皮（    ）平方分米。 A．62.8 B．75.36 C．87.92 D．100.48 2．下面四个圆柱中，与圆锥体积相等的是（    ）。 A． B． C． D． 3．把一个棱长为的正方体木块削成一个最大的圆锥，圆锥体积是（    ）。 A． B． C． D． 4．如果一个圆柱与一个圆锥的高的比是2∶3，底面积的比是8∶15，那么它们体积的比是（    ）。 A．15∶16 B．16∶5 C．16∶15 D．16∶45 5．如图是甲、乙两位同学对一个圆柱的两种不同的切分（平均分成两块），甲切分后表面积比原来增加（    ）；乙切分后表面积比原来增加（    ）。 A．； B．；8 C．； D．； 6．下面各图中，剪下图（    ）中的两个圆和一个长方形刚好可以围成一个圆柱。（接头处忽略不计）（单位：dm） A． B． C． D． 7．一个盛有水的圆柱形容器，从里面量底面半径是5cm，水面距容器口6cm，现把一个底面半径是3cm的圆锥形金属铸件完全浸没在水中，这时水面距容器口5.4cm，则这个圆锥形金属铸件的高是（    ）cm。 A．6 B．5 C．4.8 D．3.6 8．有两个完全相同的圆柱形木料，甲挖去一个高为a厘米的圆锥，乙挖去两个高为厘米的圆锥后，甲剩余体积（    ）乙剩余体积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 9．制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种铁皮可供搭配，应选择（    ）。 A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 10．为响应绿色环保号召，社区组织手工制作活动，鼓励大家利用废旧材料制作收纳用品。李华将废弃的圆柱形塑料瓶改造成了一个笔筒（如图），为了让笔筒更美观且具有环保宣传意义，他决定把笔筒高度的以下部分（底面不涂）涂上代表环保的绿色颜料，涂颜料部分的面积（    ）cm2。 A．282.6 B．254.34 C．169.56 D．423.9 11．把一根长20厘米的圆柱形木料截去5厘米长的一段后，表面积减少了94.2平方厘米，体积减少了（    ）立方厘米。 A．471 B．235.5 C．141.3 D．942 12．如图，有两块完全相同的正方体木料。把①号正方体木料加工成一个最大的大圆柱，把②号正方体木料加工成四个完全相同且尽可能大的小圆柱。一个大圆柱的体积与四个小圆柱的体积和相比较，（    ）。 A．一个大圆柱的体积大 B．四个小圆柱的体积和大 C．一样大 D．无法确定 二、填空题 13．一个底面半径10厘米的圆柱形水杯，水深12厘米。放入一个铁块后，水面上升到15厘米。铁块的体积是（ ）立方厘米。 14．一个圆柱和圆锥等底等高。如果将圆锥的高增加14分米，底面积不变，则圆锥和圆柱的体积相等。原来圆锥的高是（ ）分米。 15．如图，1个瓶子底面内直径是10cm，里面水的高度是5cm，将瓶盖拧紧后把瓶子倒置，放平，无水部分是圆柱形，高度是15cm，这个瓶子的容积是（ ）mL。 16．一个圆锥体的高是2分米，底面半径是3分米，底面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米，与它等底等高的圆柱的表面积是（ ）平方分米；一种圆柱形通风管，底面直径是0.4米，长是5米，做一个这样的通风管需铁皮（ ）平方米，做100个这样的通风管需铁皮（ ）平方米。 17．如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装了一些水，根据图中的数据（数据是从瓶子内部测量得到的）可知瓶子的容积是（ ）毫升。 18．已知一个圆柱和一个圆锥的高相等。如果它们的底面半径相等，那么它们的体积之比是（ ）；如果它们的底面积之比是，那么它们的体积之比是（ ）。 19．李师傅将一个底面半径为2分米、高为6分米的圆锥从顶点沿着高切成两半（如图），切开后的切面呈现（ ）形，表面积比原来增加了（ ）平方分米。 20．一个直角三角形三条边的长度分别为5厘米，12厘米，13厘米，以这个直角三角形的斜边为轴旋转一周，所得图形的体积为（ ）立方厘米。（结果保留两位小数） 21．淘气过生日时，爸爸送给他一个近似圆锥形的玩具（如下图），这个玩具的体积约是（ ）。如果用一个长方体盒子包装这个玩具，盒子的容积至少是（ ）。 22．小明制作了简易的滴水计时器（如图）。经过测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1mL）。小明某日9：00量得下方圆柱形容器中水面的高度为2cm。一段时间后再量，下方圆柱形容器中水面高度上升至6cm。此时时间大约是（ ）时。（取近似值3） 23．小新过生日时，妈妈送给他一个圆锥形的陀螺，陀螺的底面直径是4cm，高是3cm，它的体积是（ ）；如果用一个长方体盒子包装，这个长方体盒子的容积至少是（ ）。 24．一个圆柱的底面半径是5㎝，高是6㎝，沿高剪开它的侧面展开图是（ ）形，这个展开图的长是（ ）㎝，宽是（ ）㎝，圆柱的侧面积是（ ）㎝²。 三、计算题 25．计算下图的体积。（单位：厘米） 26．计算下面阴影部分图形的体积。（单位：厘米） 27．求下面图形的体积（单位cm）。 四、解答题 28．某种饮料罐的形状为圆柱形。底面直径为6厘米，高为12厘米，将24罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内，这个纸箱的容积至少有多大？ 29．长征二号F遥十三运载火箭整流罩的底面直径为3.2米。科技馆存放着按一定比例制作的长征二号F遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要多少平方米的玻璃？ 30．将一块高是9厘米的圆锥形糕点沿着高垂直于底面切成相同的两部分，切面每个三角形的面积是18平方厘米，原来这块圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？ 31．李阿姨用圆柱形滚筒清理器清卫生间地面，滚筒的横截面半径是0.4分米，宽是2.4分米。如果李阿姨推动圆柱形滚筒清理器每分钟转25周，那么她5分可以清理多大的地面？（每个地方只清理一次） 32．一个卫星专用零件是由一个圆柱和一个长方体焊接而成（如下图），它的表面积是多少平方厘米？ 33．学习了“圆柱与圆锥”后，小明自己动手，把一块橡皮泥揉成圆柱形，切成三块（如图1），测量计算得出其表面积增加了50.24平方厘米；又重新揉成同样的圆柱形，切成四块（如图2），计算得出表面积增加了96平方厘米。根据小明的实验数据，你能计算出这块橡皮泥的体积是多少吗？ 34．六（1）班的王明同学准备把一根侧面积为75.36平方厘米，高为6厘米的圆柱形木头削成一个最大的圆锥形木头。削成的这个圆锥形木头的体积是多少立方厘米？ 35．一个底面半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水，水里浸没着一个高6厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥形铅锤的底面积是多少平方厘米？ 36．图中模具是由一个圆柱和圆锥组成，工人叔叔将它们重合的底面水平切开，分成两部分，此时表面积比原来增加了56.52平方分米，已知圆锥的高与圆柱高的比为2∶1，求未切割前模具的体积是多少立方分米？ 37．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图是一种木质玩具陀螺，可以看作是一个近似的圆锥和圆柱组合起来的立体图形。玩具陀螺中底面直径和总高度的比是1∶1.5，其中B、C分别是圆柱上下两个底面的圆心，且AC∶AB＝3∶1，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 38．一个无盖的圆柱形铁皮水桶内存有一些水，水面高度正好是桶高的。淘气将一块体积为628立方厘米的铁块放入水中，完全浸没，这时水面上升了2厘米，水桶正好装满。 （1）这个水桶的高是多少厘米？ （2）这个水桶原来存水多少立方厘米？ 39．工人准备在道路一侧安装栅栏，定制了400个大小相同的圆柱形木块。（取3） （1）如果给一个圆柱形木块的表面刷漆，需要刷漆的面积是多少平方分米？ （2）做这些圆柱形木块一共需要多少立方米的木料？（损耗忽略不计） （3）将这些木块装箱，箱子的形状是一个正方体，从里面量棱长为8分米，这个箱子最多能装多少个这样的圆柱形木块？ 40．牛肉面中的数学。 牛肉面马师傅每次做拉面的步骤是这样的：先将一个面团拉成圆柱形面根，长1.6米，再对折拉长到1.6米，照此继续进行下去，喜欢吃粗面条的对拉6次就行了，喜欢吃细面条的再增加1次。 （1）完成下表。 拉的次数 1 2 3 4 5 6 7 8 … 面条根数 1 2 4 8 16 … （2）如果一碗牛肉面的面团体积是153.6立方厘米，拉了8次，最终每根面长都是160厘米，那么每根面的粗细（面的直径）是多少？（π取3）（假设拉面的过程中，面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费）（备注：0.032＝0.0009，0.042＝0.0016，0.052＝0.0025，0.062＝0.0036） （3）马师傅的牛肉面馆平常一天能卖1500碗牛肉面，每碗售价8元。每碗牛肉面的成本大约是4.5元。马师傅想增加销量，举行降价促销活动，每碗牛肉面售价调整为7元（成本不变）。降价促销后，每天销量在原来的基础上上升了20%。请你算一算，促销后马师傅每天的利润是增加了还是减少了？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $