专题03 因数与倍数（专项训练）五升六年级数学暑假专项提升（苏教版）

**基本信息** 以“体系重建-易错剖析-方法精讲”为主线，系统梳理因数与倍数知识网络，通过典例强化抽象能力与推理意识，实现从概念到应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|4个核心知识点|因数倍数求法、2/5/3倍数特征、分解质因数、公因数公倍数求法|从概念（因数倍数）到性质（特征/质数合数）再到应用（最大最小问题）| |易错点剖析|6个典型错例|错因归类（概念混淆/特征误用/计算失误）、避坑指南|针对高频错误点，强化概念辨析与推理严谨性| |综合应用|选择12题/填空12题/解答18题|实际问题转化（如裁剪/分组/周期）、模型构建|结合生活情境，培养用数学语言解决问题的应用意识|

编者的话 当蝉鸣响起，暑假如约而至，这本讲义将是你最特别的暑期伙伴。这不仅仅是一本练习册，而是一份为你量身定制的成长地图，一场关于知识、方法与思维的深度探索，一次让你在假期中悄然超越、开学惊艳的宝贵机会。 为什么需要暑假专项提升？ 暑假，是时间的礼物——它不是学习的暂停键，而是调整节奏、巩固根基、拓展视野的黄金期。 对上学期：它是你查漏补缺的“放大镜”，帮你将那些似懂非懂的知识点，变成扎实稳固的基石。 对下学期：它是你预习探索的“望远镜”，让你带着准备和信心，从容面对新一程的学习挑战。 对你自己：它更是一个培养自主学习力、时间管理力和深度思考力的绝佳训练场。在这里，你获得的不仅是分数，更是受益一生的学习能力。 这套讲义将如何帮助你？ 我们坚信，真正的提升，不是重复刷题，而是系统的梳理、方法的掌握与思维的升级。因此，我们为你设计了这样的学习路径： 体系重建，让知识“连成线、织成网” 我们针对每个单元进行知识点梳理及易错点讲解，帮你巩固知识，打破易错，做到没有错题。 易错点剖析，让学习“抓要害、提效率” 我们深入分析每个知识板块的高频错题，为你揭示错误背后的思维陷阱与概念盲区。不仅指出“哪里容易错”，更讲透“为什么错”及“如何避免再错”，让你在精准排雷中实现高效学习，从容避坑。 方法精讲，让解题“有套路、有章法” 每个习题，我们都提炼了最核心的解题方法、最易错的避坑指南和最实用的应试技巧。我们不止告诉你“是什么”，更告诉你“为什么”和“怎么做”，让你从“听懂”到“会做”，再到“精通”。 在这个暑假结束时，当你合上这本讲义，你收获的将不仅是： ✅对上学期知识的全面掌握与深刻理解​ ✅一套属于自己的、高效实用的学习方法论​ ✅更重要的是，那份对学习的掌控感、对挑战的自信力，以及“我可以通过规划与努力实现目标”的成长心态。 现在，就让我们翻开第一页，从你最想点亮的那一个知识点开始。用笔尖思考，用汗水灌溉，用整个夏天的专注，兑换一个更从容、更强大、更令自己骄傲的新学期。 这个暑假，超越不止于成绩，成长发生在每一天。 五年级数学暑假专项提升 专题03 因数与倍数 知识点一：因数与倍数 1、利用整数乘法认识因数和倍数。 在乘法算式中，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 2、求一个数的因数的方法。 （1）利用写“乘法算式”的方法来找一个数的因数，就是看这个数能写成哪两个整数相乘的形式，这些整数就是这个数的 因数。 （2）一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3、求一个数的倍数的方法。 （1）求一个数的倍数，可以用这个数分别乘1、2、3、4...... （2）一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 知识点二：2、5、3的倍数与特征 1、2、5的倍数的特征。 （1）个位上的数字是5或0的数是5的倍数。个位上的数字是2、4、6、8或0的数是2的倍数； （2）是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数； （3）个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 2、3的倍数的特征。 把一个数的各个数位上的数字加起来，如果所得的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。 引伸拓展：把一个属的各个数位上的数字加起来，如果所得的和是9的倍数，那么这个数就是9的倍数。 3、奇数和偶数。 是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。 4、2、5、3倍数的数的特征。 个位上是0，且各位上数的和是3的倍数的数，既是5、2的倍数又是3的倍数。 知识点三：质数和合数 1、质数和合数的意义。 一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数。一个数除了1和它本身意外还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数。 最小的质数是2，最小的合数是4。 2、认识质因数。 如果一个数的因数是质数，那么这个因数就是它的质因数。 3、分解质因数。 把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 知识点四：公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数 1、公因数的含义。 几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。 2、求公因数、最大公因数的方法。 （1）求两个数的公因数，可以用列举法先找出每个数的因数，再找出两个数的公因数；也可以先找一个数的因数，再从这个数的因数中找出另一个数的因数。 （2）两个数的公因数的个数是有限的，其中最大的公因数叫作这两个数的最大公因数。 3、公倍数的含义。 两个自然数公有的倍数叫作这两个自然数的公倍数。一个数的倍数是最小的，但没有最大的，故两个自然数的公倍数的个数是无限的。 4、求两个数的公倍数和最小公倍数的方法。 用列举法可以找出两个数的公倍数和最小公倍数，先列举出较大数的倍数，再从较大数的倍数中找出较小数的倍数，确定这两个数的公倍数及最小公倍数。 易错点1：没有充分理解因数和倍数的意义，不能正确地进行判断。 【典例1】判断:因为5.7÷0.3=19，所以5.7是0.3的倍数，0.3是5.7的因数。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】因数和倍数是对于整数除法算式而言的，而题目中的被除数和除数都是小数，小数之间不存在因数和倍数的关系。 因数和倍数的概念是对于整数除法来说的。如果被除数、除数和商有一个数不是整数，那么它们之间就不存在因数和倍数的关系。 易错点2：2、3、5的倍数特征应用错误。 【典例2】在□里填上一个数字，使三位数“4□5”是3的倍数。 【错误答案 】3，6，9。 （只考虑了□本身是3的倍数） 【错解分析】误用了3的倍数特征。判断一个数是不是3的倍数，要看所有数位上的数字之和，而不是看某一位。正确做法是计算已知数位的和，再看□填什么能让总和是3的倍数。 【正确解答】已知数位和：4 + 5 = 9。 要使“4+□+5”是3的倍数，即“9+□”是3的倍数。 因为9已经是3的倍数，所以□里可以填的数字是：0，3，6，9。另外，因为9+0=9，9+3=12，9+6=15，9+9=18，都是3的倍数，但答案中必须明确是基于“各位数字之和是3的倍数”来判断的。 易错点3：质数与合数、奇数与偶数的概念混淆。 【典例3】判断:所有的奇数都是质数。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】因为有些奇数因数的个数不止两个，如15的因数有4个，所以不是所有的奇数都是质数。在分析此类问题时要注意一些特殊的数，如0，1，2，3，4等数的特征。 质数中除了2都是奇数，但并不是所有的奇数都是质数。 【正确答案】错误 易错点4：分解质因数时，概念不清或过程错误。 【典例4】把15分解质因数。 【错误答案】3×5=15 【错解分析】错误解答错在没能正确把握什么是分解质因数，错误地写成乘法算式。把一个数用几个质因数相乘的形式表示出来才是分解质因数。 【正确答案】15=3×5 易错点5：最大公因数与最小公倍数求解混淆。 【典例5】如果a和b是互质数，那么它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 【错误答案】a×b， 1 【错解分析】对“互质”这一特殊情况下的结论记忆不清。两个数互质，意味着它们只有公因数1，所以最大公因数是1。而它们的最小公倍数就是这两个数的乘积，因为它们没有除了1以外的公因数。 【正确解答】最大公因数是 1，最小公倍数是 a×b。 易错点6：对题意分析不清，解题错误。 【典例6】把长为20厘米、宽为16厘米的长方形剪成大小完全相同的小正方形(边长都是整厘米)，且面积尽可能大，纸没有剩余，至少可以剪多少个? 【错误答案】 【错解分析】错误解答错在最后计算剪成的总个数时，将每行可以剪成的个数加上每列可以剪成的个数。将大长方形剪成小正方形时，因为20和16的最大公因数是4，所以每个小正方形的边长就是4厘米，20÷4=5(个)表示大长方形的长是小正方形的边长的5倍，这样就可以得出每行可以剪5个小正方形。而16÷4=4(个)表示大长方形的宽是小正方形边长的4倍，得出的是每列可以剪4个小正方形。因为每行可以剪5个正方形，可以剪4列，所以用乘法来计算，5×4=20(个)。 【正确答案】 一、选择题 1．若m＝7n（m、n均不为0），则m和n的最小公倍数是（    ）。 A．m B．n C．mn D．7 2．著名的关于偶数的哥德巴赫猜想说的是“任意一个大于2的偶数都可以写成两个质数的和”。下面（    ）算式可以验证这个猜想。 A． B． C． D．6＝2＋4 3．已知34这个三位数既是3的倍数，又是5的倍数，里的数是（    ）。 A．0 B．2 C．5 D．8 4．如果三位数76a同时是2和3的倍数，那么符合条件的数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 5．学校举行美食文化节，小轩妈妈要把126个小蛋糕装箱，选择每箱装（    ）个的包装盒，正好可以将蛋糕完全装完。 A．6 B．8 C．10 D．12 6．下列各数中，既是合数又是奇数的是（    ）。 A．14 B．15 C．17 D．23 7．同时是2、3、5的倍数的最大三位数是（    ）。 A．990 B．995 C．998 D．999 8．有一张长24dm，宽18dm的长方形台面，上面要铺正方形瓷砖，要求正好铺满（用的瓷砖必须都是整块），下面几种规格的正方形瓷砖中不能用的是（    ）。 A．边长1分米 B．边长2分米 C．边长4分米 D．边长6分米 9．暑假期间，乐乐每3天去一次游泳馆，笑笑每4天去一次游泳馆，7月20日两人在游泳馆相遇，他们下一次相遇时的日期是（    ）。 A．7月27日 B．8月1日 C．7月31日 D．8月2日 10．将一副扑克牌中同花色的A－K这13张牌打乱顺序，反扣在桌面上，任意抽一张。抽中（    ）的可能性大。（将A看作1，J看作11，Q看作12，K看作13） A．质数 B．合数 C．偶数 D．奇数 11．如果A＝2×a×7，B＝3×a×5，且A和B的最小公倍数是420，那么a等于（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．5 12．在烟花节上，每12秒可以看到一次星星图案的礼花，每16秒可以看到一次花朵图案的礼花。在同时看到这两种礼花后，至少还要过（    ）秒才可以再次同时看到这两种礼花。 A．48 B．32 C．4 D．无法计算 二、填空题 13．两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是（ ）和（ ），它们相差（ ）。 14．将36本日记本和48支签字笔平均分给若干名同学。如果日记本和签字笔都没有剩余，且保证分到日记本和签字笔的同学人数相同，最多能分给（ ）名同学。 15．月季花每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水。李阿姨6月3日给月季和君子兰同时浇了水，下一次再给这两种花同时浇水应是6月（ ）日。 16．一个三位数46□，如果使它成为2和5的倍数，□里应该填（ ）；如果使它成为3的倍数，□里最小填（ ）。 17．学校人工智能社团分组开展探究活动，如果每4人一组，多出1人；如果每6人一组，也多出1人，这个社团至少有（ ）人。 18．“14□”是一个三位数，当□里填（ ）时，它既是2的倍数，也是5的倍数；当□里填（ ）时，它既含有因数3，又是偶数。 19．第24届冬奥会于2022年2月4日20∶04在北京开幕，以24节气开启倒计时，再辅之以诗词名谚，24秒，24种惊艳，中国队24分出场，“24”诉说着中国独有的文化魅力。在24的因数中，（ ）是合数，（ ）是奇数，把24分解质因数是（ ）。 20．将一个数的因数按从小到大排列，两两求和，其中最小的两个因数的和是3，最大的两个因数的和是81，这个数是（ ），将这个数分解质因数是（ ）。 21．课间游戏。翩鹊和同学们玩“抱团”游戏，口令为几，就几个人抱成一团。同学们发现当抱团口令为6或8时，每个人都可以抱团成功。抱团游戏的人数在20和30人之间，有（ ）人在玩游戏。 22．猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种文娱活动形式，是元宵节的特色活动。下面是一个“数字猜灯谜”游戏，请你将谜底写在灯笼中。 23．周一李老师让我们帮忙记她的手机密码。她告诉我们，密码是一个四位数：千位是最小的质数，百位是最小的奇数，十位是最小的偶数，个位是最小的合数。我算了一下，密码就是（ ）。 24．王叔叔的手机屏幕解锁密码提示：第一个数字既是偶数又是质数，第二个数字既不是质数又不是合数，第三个数字是最小的合数，最后一个数字既是奇数又是合数。解锁的密码是（ ）。 三、计算题 25．写出每组中两个数的最大公因数。 11和33    10和9    20和12    9和15 26．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 5和7     9和36     15和20 四、作图题 27．把一张长18厘米、12厘米的长方形纸裁成同样大的正方形。如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正方形？（1个小方格边长为1厘米）（先在方格中画一画，再回答） 五、解答题 28．妈妈今年40岁，乐乐和爷爷今年的年龄分别是妈妈年龄的因数和倍数，并且爷爷的年龄是乐乐的10倍，乐乐和爷爷今年各多少岁？ 29．永定土楼是世界文化遗产之一，位于福建省西南部的龙岩市永定区。五（1）班的同学准备去参观永定土楼，学校为同学们准备了95个面包，有如图三种包装（每个圈处放一个面包），选哪种包装盒正好可以装完？为什么？ 30．五（3）班积极参与学校发起的植树节劳动实践活动，全班同学要合力栽种52棵树苗。为了让树苗排列得整齐规范，方便后期浇水养护，老师提出要求：每行种树的棵数必须相等，且行数和每行棵数都不能为1。这次植树活动有几种不同的种法？ 31．拗九节在农历正月廿九日，是福州的民间传统节日。每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”）；或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫做过“九”。安安的爸爸今年50岁，他过了几次“九”？ 32．青青鲜花店鲜花销售价格如下，小华的妈妈在该鲜花店购买了一些康乃馨和郁金香，付给售货员50元，找回了13元。请你运用因数和倍数的有关知识，帮小华的妈妈判断找回的钱对不对，请说明理由。 鲜花销售价格 玫瑰3元/枝 康乃馨10元/枝 郁金香5元/枝 33．乐乐在一家花店买了8枝玫瑰，9枝康乃馨，付给店长阿姨100元，找回了15元。乐乐发现玫瑰的价格是3元1枝，每枝康乃馨的价格是整元数，就说：“阿姨，您把账算错了。”乐乐是如何判断出店长阿姨算错的？请说明理由。 34．六一儿童节到啦！同学们装扮教室时需要将一张长32厘米、宽24厘米的彩纸裁成同样大小的正方形，要求彩纸没有剩余。裁出正方形的边长最大是多少厘米？可以裁出多少个这样的正方形？ 35．美术课上，老师把30把剪刀和36张彩纸平均分给每个学习小组，正好分完。最多有几个学习小组？每个学习小组可以分得几把剪刀和几张彩纸？ 36．妈妈买回30多个鸡蛋。如果把这些鸡蛋装进4个一盒的蛋托中，正好装完；如果把它们装进6个一盒的蛋托中，也正好装完。一共有多少个鸡蛋？ 37．中小学生艺术展演活动即将开始，青少年用健康、阳光、积极的表演展现属于他们的风采，其中校园舞蹈是具有校园风格的集体舞蹈。学校舞蹈队的队员总人数在70~80人范围内，站队时每排人数相同，每排8人或每排12人都可以站成整数排，学校舞蹈队有多少人？ 38．剪纸是一种民间艺术，是国家级非物质文化遗产。学校剪纸兴趣小组创作了一些剪纸作品，这些剪纸作品无论是平均分给20个同学，还是平均分给15个同学，都全部分完。这些剪纸作品至少有多少件？ 39．希望小学的劳动基地里种植了若干玫瑰花，每行的玫瑰花棵数相同。下表是几位五年级同学数出的玫瑰花总棵数，其中只有一位同学数对了，你知道是谁吗？请说明理由。 王双 徐强 张雪 韦丽 71棵 73棵 75棵 79棵 40．为了积极响应环保号召、大力推动绿色生活理念，绿苑社区正在筹备亲子环保活动。活动筹备期间，社区精心采购了108个环保帆布袋与84个可降解餐盒，要把它们组成“绿色家庭奖励礼包”，奖励参与活动的优秀亲子家庭。要求每个礼包都含帆布袋与餐盒，每个礼包中帆布袋的数量相同，餐盒的数量也相同，确保物尽其用，带动更多家庭重视、支持环保。那么最多能组成多少个礼包？每个礼包中共有多少个礼品？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 编者的话 当蝉鸣响起，暑假如约而至，这本讲义将是你最特别的暑期伙伴。这不仅仅是一本练习册，而是一份为你量身定制的成长地图，一场关于知识、方法与思维的深度探索，一次让你在假期中悄然超越、开学惊艳的宝贵机会。 为什么需要暑假专项提升？ 暑假，是时间的礼物——它不是学习的暂停键，而是调整节奏、巩固根基、拓展视野的黄金期。 对上学期：它是你查漏补缺的“放大镜”，帮你将那些似懂非懂的知识点，变成扎实稳固的基石。 对下学期：它是你预习探索的“望远镜”，让你带着准备和信心，从容面对新一程的学习挑战。 对你自己：它更是一个培养自主学习力、时间管理力和深度思考力的绝佳训练场。在这里，你获得的不仅是分数，更是受益一生的学习能力。 这套讲义将如何帮助你？ 我们坚信，真正的提升，不是重复刷题，而是系统的梳理、方法的掌握与思维的升级。因此，我们为你设计了这样的学习路径： 体系重建，让知识“连成线、织成网” 我们针对每个单元进行知识点梳理及易错点讲解，帮你巩固知识，打破易错，做到没有错题。 易错点剖析，让学习“抓要害、提效率” 我们深入分析每个知识板块的高频错题，为你揭示错误背后的思维陷阱与概念盲区。不仅指出“哪里容易错”，更讲透“为什么错”及“如何避免再错”，让你在精准排雷中实现高效学习，从容避坑。 方法精讲，让解题“有套路、有章法” 每个习题，我们都提炼了最核心的解题方法、最易错的避坑指南和最实用的应试技巧。我们不止告诉你“是什么”，更告诉你“为什么”和“怎么做”，让你从“听懂”到“会做”，再到“精通”。 在这个暑假结束时，当你合上这本讲义，你收获的将不仅是： ✅对上学期知识的全面掌握与深刻理解​ ✅一套属于自己的、高效实用的学习方法论​ ✅更重要的是，那份对学习的掌控感、对挑战的自信力，以及“我可以通过规划与努力实现目标”的成长心态。 现在，就让我们翻开第一页，从你最想点亮的那一个知识点开始。用笔尖思考，用汗水灌溉，用整个夏天的专注，兑换一个更从容、更强大、更令自己骄傲的新学期。 这个暑假，超越不止于成绩，成长发生在每一天。 五年级数学暑假专项提升 专题03 因数与倍数 知识点一：因数与倍数 1、利用整数乘法认识因数和倍数。 在乘法算式中，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 2、求一个数的因数的方法。 （1）利用写“乘法算式”的方法来找一个数的因数，就是看这个数能写成哪两个整数相乘的形式，这些整数就是这个数的 因数。 （2）一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3、求一个数的倍数的方法。 （1）求一个数的倍数，可以用这个数分别乘1、2、3、4...... （2）一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 知识点二：2、5、3的倍数与特征 1、2、5的倍数的特征。 （1）个位上的数字是5或0的数是5的倍数。个位上的数字是2、4、6、8或0的数是2的倍数； （2）是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数； （3）个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 2、3的倍数的特征。 把一个数的各个数位上的数字加起来，如果所得的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。 引伸拓展：把一个属的各个数位上的数字加起来，如果所得的和是9的倍数，那么这个数就是9的倍数。 3、奇数和偶数。 是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。 4、2、5、3倍数的数的特征。 个位上是0，且各位上数的和是3的倍数的数，既是5、2的倍数又是3的倍数。 知识点三：质数和合数 1、质数和合数的意义。 一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数。一个数除了1和它本身意外还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数。 最小的质数是2，最小的合数是4。 2、认识质因数。 如果一个数的因数是质数，那么这个因数就是它的质因数。 3、分解质因数。 把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 知识点四：公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数 1、公因数的含义。 几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。 2、求公因数、最大公因数的方法。 （1）求两个数的公因数，可以用列举法先找出每个数的因数，再找出两个数的公因数；也可以先找一个数的因数，再从这个数的因数中找出另一个数的因数。 （2）两个数的公因数的个数是有限的，其中最大的公因数叫作这两个数的最大公因数。 3、公倍数的含义。 两个自然数公有的倍数叫作这两个自然数的公倍数。一个数的倍数是最小的，但没有最大的，故两个自然数的公倍数的个数是无限的。 4、求两个数的公倍数和最小公倍数的方法。 用列举法可以找出两个数的公倍数和最小公倍数，先列举出较大数的倍数，再从较大数的倍数中找出较小数的倍数，确定这两个数的公倍数及最小公倍数。 易错点1：没有充分理解因数和倍数的意义，不能正确地进行判断。 【典例1】判断:因为5.7÷0.3=19，所以5.7是0.3的倍数，0.3是5.7的因数。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】因数和倍数是对于整数除法算式而言的，而题目中的被除数和除数都是小数，小数之间不存在因数和倍数的关系。 因数和倍数的概念是对于整数除法来说的。如果被除数、除数和商有一个数不是整数，那么它们之间就不存在因数和倍数的关系。 易错点2：2、3、5的倍数特征应用错误。 【典例2】在□里填上一个数字，使三位数“4□5”是3的倍数。 【错误答案 】3，6，9。 （只考虑了□本身是3的倍数） 【错解分析】误用了3的倍数特征。判断一个数是不是3的倍数，要看所有数位上的数字之和，而不是看某一位。正确做法是计算已知数位的和，再看□填什么能让总和是3的倍数。 【正确解答】已知数位和：4 + 5 = 9。 要使“4+□+5”是3的倍数，即“9+□”是3的倍数。 因为9已经是3的倍数，所以□里可以填的数字是：0，3，6，9。另外，因为9+0=9，9+3=12，9+6=15，9+9=18，都是3的倍数，但答案中必须明确是基于“各位数字之和是3的倍数”来判断的。 易错点3：质数与合数、奇数与偶数的概念混淆。 【典例3】判断:所有的奇数都是质数。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】因为有些奇数因数的个数不止两个，如15的因数有4个，所以不是所有的奇数都是质数。在分析此类问题时要注意一些特殊的数，如0，1，2，3，4等数的特征。 质数中除了2都是奇数，但并不是所有的奇数都是质数。 【正确答案】错误 易错点4：分解质因数时，概念不清或过程错误。 【典例4】把15分解质因数。 【错误答案】3×5=15 【错解分析】错误解答错在没能正确把握什么是分解质因数，错误地写成乘法算式。把一个数用几个质因数相乘的形式表示出来才是分解质因数。 【正确答案】15=3×5 易错点5：最大公因数与最小公倍数求解混淆。 【典例5】如果a和b是互质数，那么它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 【错误答案】a×b， 1 【错解分析】对“互质”这一特殊情况下的结论记忆不清。两个数互质，意味着它们只有公因数1，所以最大公因数是1。而它们的最小公倍数就是这两个数的乘积，因为它们没有除了1以外的公因数。 【正确解答】最大公因数是 1，最小公倍数是 a×b。 易错点6：对题意分析不清，解题错误。 【典例6】把长为20厘米、宽为16厘米的长方形剪成大小完全相同的小正方形(边长都是整厘米)，且面积尽可能大，纸没有剩余，至少可以剪多少个? 【错误答案】 【错解分析】错误解答错在最后计算剪成的总个数时，将每行可以剪成的个数加上每列可以剪成的个数。将大长方形剪成小正方形时，因为20和16的最大公因数是4，所以每个小正方形的边长就是4厘米，20÷4=5(个)表示大长方形的长是小正方形的边长的5倍，这样就可以得出每行可以剪5个小正方形。而16÷4=4(个)表示大长方形的宽是小正方形边长的4倍，得出的是每列可以剪4个小正方形。因为每行可以剪5个正方形，可以剪4列，所以用乘法来计算，5×4=20(个)。 【正确答案】 一、选择题 1．若m＝7n（m、n均不为0），则m和n的最小公倍数是（    ）。 A．m B．n C．mn D．7 【答案】A 【分析】两数成倍数关系，最小公倍数是较大数。 【解答】若m＝7n（m、n均不为0），即m是n的7倍，则m和n的最小公倍数是m。 2．著名的关于偶数的哥德巴赫猜想说的是“任意一个大于2的偶数都可以写成两个质数的和”。下面（    ）算式可以验证这个猜想。 A． B． C． D．6＝2＋4 【答案】C 【分析】质数是只有1和它本身两个因数的自然数，1既不是质数也不是合数，而根据题意，加数是两个质数，据此逐项判断。 【解答】A．21是合数（因数有1、3、7、21），不符合加数是两个质数的条件，不可以验证这个猜想； B．1既不是质数也不是合数，不符合加数是两个质数的条件，不可以验证这个猜想； C．36是大于2的偶数，13和23都是质数，符合加数是两个质数的条件，可以验证这个猜想； D．4是合数，不符合加数是两个质数的条件，不可以验证这个猜想。 3．已知34这个三位数既是3的倍数，又是5的倍数，里的数是（    ）。 A．0 B．2 C．5 D．8 【答案】C 【分析】3的倍数特征：各数位上的数的和是3的倍数，5的倍数特征：个位上的数是0或5，据此解答。 【解答】这个数是5的倍数：340或345， 3＋4＋0 ＝7＋0 ＝7 7不是3的倍数，所以340不是3的倍数， 3＋4＋5 ＝7＋5 ＝12 12÷3＝4 12是3的倍数，所以345是3的倍数。 4．如果三位数76a同时是2和3的倍数，那么符合条件的数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数； 3的倍数特征：各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 先根据2的倍数特征确定个位数字可以取哪些数，再根据3的倍数特征确定的具体数值，最后统计符合条件的数的个数。 【解答】因为三位数是2的倍数，所以可以是0、2、4、6、8。 是3的倍数，各数位上的数字之和应为3的倍数，则，为3的倍数。 当时，，13不是3的倍数，不符合题意； 当时，，15是3的倍数，符合题意； 当时，，17不是3的倍数，不符合题意； 当时，，19不是3的倍数，不符合题意； 当时，，21是3的倍数，符合题意。 综上所述，符合条件的有和，即符合条件的数有和，共个。 5．学校举行美食文化节，小轩妈妈要把126个小蛋糕装箱，选择每箱装（    ）个的包装盒，正好可以将蛋糕完全装完。 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据题意，若126个小蛋糕装箱正好装完，则小蛋糕的个数是每箱装的包装盒个数的倍数，每箱装的包装盒的个数是小蛋糕个数的因数，判断一个数是不是另一个数的倍数用除法，计算看能不能整除，对四个选项逐一判断即可． 【解答】A．126÷6＝21（箱），可以正好装完 B．126÷8＝15（箱）6（个），有剩余无法装完 C．126÷10＝12（箱）6（个），有剩余无法装完 D．126÷12＝10（箱）6（个），有剩余无法装完 6．下列各数中，既是合数又是奇数的是（    ）。 A．14 B．15 C．17 D．23 【答案】B 【分析】不是2的倍数的数叫做奇数，奇数的个位上是1、3、5、7、9，据此先筛选出选项中的奇数。 如果一个大于1的整数除了1和本身之外还有其他正因数，那么该数是合数，据此对筛选出的奇数判断是否为合数。 【解答】15、17、23是奇数； 15的因数：1、3、5、15，15是合数； 17的因数：1、17，17是质数； 23的因数：1、23，23是质数； 7．同时是2、3、5的倍数的最大三位数是（    ）。 A．990 B．995 C．998 D．999 【答案】A 【分析】同时是2、3、5的倍数，就是30的倍数。最大的三位数是999，从999往回找，找出最大的30的倍数。 30的倍数个位必须是0，990符合，再试990除以3，9＋9＋0＝18，18是3的倍数，所以990同时是2、3、5的倍数。995个位是5，不是2的倍数。998个位是8，不是5的倍数。999个位是9，不是2和5的倍数。只有990符合。 【解答】根据分析，999÷30＝33余9，999－9＝990； 990个位是0，是2和5的倍数，9＋9＋0＝18是3的倍数，所以同时是2、3、5倍数的最大三位数是990。 8．有一张长24dm，宽18dm的长方形台面，上面要铺正方形瓷砖，要求正好铺满（用的瓷砖必须都是整块），下面几种规格的正方形瓷砖中不能用的是（    ）。 A．边长1分米 B．边长2分米 C．边长4分米 D．边长6分米 【答案】C 【分析】要正好铺满，用整块正方形瓷砖，瓷砖边长必须是24和18的公因数，即24和18均为瓷砖边长的倍数，则能铺满，反之则不能。 【解答】A．24÷1＝24，18÷1＝18，24和18都是1的倍数，能铺满。 B．24÷2＝12，18÷2＝9，24和18都是2的倍数，能铺满。 C．24÷4＝6，18÷4＝4.5，18不是4的倍数，不能铺满。 D．24÷6＝4，18÷6＝3，24和18都是6的倍数，能铺满。 9．暑假期间，乐乐每3天去一次游泳馆，笑笑每4天去一次游泳馆，7月20日两人在游泳馆相遇，他们下一次相遇时的日期是（    ）。 A．7月27日 B．8月1日 C．7月31日 D．8月2日 【答案】B 【分析】两人要再次同去，间隔的天数必须同时是3和4的倍数，所以此题先求3和4的最小公倍数。 起始时刻＋经过的时间＝结束时刻。此题要注意7月有31天，这个题目跨月了，需要处理月份的进位。 【解答】3和4互质，所以3和4的最小公倍数是3×4＝12，说明每隔12天会相遇一次。 20＋12＝32，7月有31天，32日就是7月过完后再过1天，所以是8月1日。选B。 10．将一副扑克牌中同花色的A－K这13张牌打乱顺序，反扣在桌面上，任意抽一张。抽中（    ）的可能性大。（将A看作1，J看作11，Q看作12，K看作13） A．质数 B．合数 C．偶数 D．奇数 【答案】D 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 据此比较质数、合数、偶数、奇数的数量，哪种数的个数多，抽中哪种数的可能性就大。 【解答】扑克牌A－K代表的数值分别为：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13。 A．质数有2、3、5、7、11、13，共6个； B．合数有4、6、8、9、10、12，共6个； C．偶数有2、4、6、8、10、12，共6个； D．奇数有1、3、5、7、9、11、13，共7个。 7＞6，抽中奇数的可能性大。 11．如果A＝2×a×7，B＝3×a×5，且A和B的最小公倍数是420，那么a等于（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；据此求出用a表示的A和B的最小公倍数，列出方程，解方程即可。 【解答】A＝2×a×7，B＝3×a×5。 A和B的最小公倍数是2×a×7×3×5。 2×a×7×3×5＝420 解：210a＝420 a＝420÷210 a＝2 12．在烟花节上，每12秒可以看到一次星星图案的礼花，每16秒可以看到一次花朵图案的礼花。在同时看到这两种礼花后，至少还要过（    ）秒才可以再次同时看到这两种礼花。 A．48 B．32 C．4 D．无法计算 【答案】A 【分析】12和16的最小公倍数即为下一次同时看到两种礼花最少需要的时间。先将两个数分解质因数，公有质因数与独有质因数的乘积是最小公倍数。 【解答】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 12和16的最小公倍数为： 2×2×2×2×3 ＝4×2×2×3 ＝8×2×3 ＝16×3 ＝48 所以至少还要过48秒才可以再次同时看到这两种礼花。 二、填空题 13．两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是（ ）和（ ），它们相差（ ）。 【答案】5 13 8 【分析】质数是指大于1的自然数，除了1和它本身之外没有其他因数。据此列举乘积为65的所有正整数组合；分别计算每组数的和，筛选符合条件的质数对；最后计算两个质数的差。 【解答】65＝1×65 65＝5×13 第一组1和65的和为1＋65＝66，不符合和为18的要求，且65不是质数。 第二组5和13的和为5＋13＝18，符合要求，且5和13均为质数。 因此这两个质数是5和13。 两数的差是13－5＝8 14．将36本日记本和48支签字笔平均分给若干名同学。如果日记本和签字笔都没有剩余，且保证分到日记本和签字笔的同学人数相同，最多能分给（ ）名同学。 【答案】12 【分析】根据题意，同学人数是36的因数，也是48的因数，也就是36和48的公因数；题目要求最多的人数，也就是求36和48的最大公因数。 【解答】36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。 48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 36和48的公因数有1，2，3，4，6，12。 36和48的最大公因数是12。 所以最多能分给12名同学。 15．月季花每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水。李阿姨6月3日给月季和君子兰同时浇了水，下一次再给这两种花同时浇水应是6月（ ）日。 【答案】15 【分析】下一次再给这两种花同时浇水应是什么时候，表示至少再过几天两种花再次同时浇水，需要求出4和6的最小公倍数。利用短除法求4和6的最小公倍数。用短除法时，短除号面前的数是除数，所有的除数必须是质数，短除号下面的数是商，必须除到两个数的商是互质数为止，此时，将所有的除数和商连乘，结果就是两个数的最小公倍数。求出最小公倍数后，用3加上最小公倍数就是浇水的时间。 【解答】4和6的最小公倍数： 所以，4和6的最小公倍数是： （日） 下一次再给这两种花同时浇水应是6月15日。 16．一个三位数46□，如果使它成为2和5的倍数，□里应该填（ ）；如果使它成为3的倍数，□里最小填（ ）。 【答案】0 2 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 要使这个数是2和5的倍数，那么个位上一定是0。根据3的倍数特征，个位上从0开始，逐个判断是否是3的倍数。 【解答】如果使46□成为2和5的倍数，□里应该填0； 如果个位填0，4＋6＋0＝10，10÷3＝3⋯⋯1，10不是3的倍数，所以460不是3的倍数。 如果个位填1，4＋6＋1＝11，11÷3＝3⋯⋯2，11不是3的倍数，所以461不是3的倍数。 如果个位填2，4＋6＋2＝12，12÷3＝4，12是3的倍数，所以462是3的倍数。 所以，如果使46□成为3的倍数，□里最小填2。 17．学校人工智能社团分组开展探究活动，如果每4人一组，多出1人；如果每6人一组，也多出1人，这个社团至少有（ ）人。 【答案】13 【分析】求出4和6的最小公倍数（将两个数分解质因数，公有质因数与独有质因数的乘积是最小公倍数）；再用最小公倍数加上1即为社团人数最少的情况。 【解答】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＋1 ＝4×3＋1 ＝12＋1 ＝13（人） 18．“14□”是一个三位数，当□里填（ ）时，它既是2的倍数，也是5的倍数；当□里填（ ）时，它既含有因数3，又是偶数。 【答案】0 4 【分析】根据2、5倍数特征，所填的数值需要同时满足既是2的倍数，也是5的倍数；由偶数定义、3的倍数特点，所填数值同时满足条件即可。 【解答】2的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是2的倍数。 5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 “14□”同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字只能是0。 “14□”含有因数3，说明“14□”是3的倍数；3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 又因为“14□”是一个偶数（整数中，是2的倍数的数叫偶数），□只能是0、2、4、6、8。 当□＝0时，，不能被3整除，所以0不符合。 当□＝2时，，不能被3整除，所以2不符合。 当□＝4时，，能够被3整除，所以4满足条件。 当□＝6时，，不能被3整除，所以6不符合。 当□＝8时，，不能被3整除，所以8不符合。 所以当□＝4时，符合上述条件。 “14□”是一个三位数，当□里填0时，它既是2的倍数，也是5的倍数；当□里填4时，它既含有因数3，又是偶数。 19．第24届冬奥会于2022年2月4日20∶04在北京开幕，以24节气开启倒计时，再辅之以诗词名谚，24秒，24种惊艳，中国队24分出场，“24”诉说着中国独有的文化魅力。在24的因数中，（ ）是合数，（ ）是奇数，把24分解质因数是（ ）。 【答案】4、6、8、12、24 1、3 24＝2×2×2×3 【分析】先用列乘法算式的方式找出24全部因数，再根据合数是大于1、除1和自身外还有别的因数、奇数是不能被2整除的整数这两个定义筛选对应数字，最后用短除法，从最小质数开始除至商为质数，完成24的质因数分解。 【解答】1×24＝24、2×12＝24、3×8＝24、4×6＝24， 所以24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24。 合数：4、6、8、12、24， 奇数：1、3。 24＝2×2×2×3 20．将一个数的因数按从小到大排列，两两求和，其中最小的两个因数的和是3，最大的两个因数的和是81，这个数是（ ），将这个数分解质因数是（ ）。 【答案】54 54＝2×3×3×3 【分析】一个数的最小因数是1，根据“最小的两个因数的和是3”求出第二小的因数；一个数最大的因数是这个数本身，则最小的因数×这个数＝第二小的因数×第二大的因数，由此得出，这个数＝第二大的因数×2，即这个数是第二大因数的2倍，最大的两个因数的和是81，根据“较小数＝和÷（倍数＋1）”求出第二大的因数，最后求出这个数；每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数，分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，把这个数写成所有除数和商连乘的形式。 【解答】分析可知，一个数最小的因数是1，且最小的两个因数的和是3，则第二小的因数是3－1＝2；一个数最大的因数是这个数本身，则1×这个数＝2×第二大的因数，这个数＝第二大的因数×2，说明这个数是第二大因数的2倍，且它们的和是81。 第二大的因数：81÷（2＋1） ＝81÷3 ＝27 这个数：27×2＝54 所以，这个数是54，将这个数分解质因数是54＝2×3×3×3。 21．课间游戏。翩鹊和同学们玩“抱团”游戏，口令为几，就几个人抱成一团。同学们发现当抱团口令为6或8时，每个人都可以抱团成功。抱团游戏的人数在20和30人之间，有（ ）人在玩游戏。 【答案】24 【分析】“同学们发现当抱团口令为6或8时，每个人都可以抱团成功”说明抱团游戏的人数既是6的倍数又是8的倍数，因为抱团游戏的人数在20和30人之间，找到在20到30之间两个数共同的倍数即是抱团游戏的人数。 【解答】6的倍数：6、12、18、24、30、36……； 8的倍数：8、16、24、32、40、48……； 抱团游戏的人数在20和30人之间； 所以，有24人在玩游戏。 22．猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种文娱活动形式，是元宵节的特色活动。下面是一个“数字猜灯谜”游戏，请你将谜底写在灯笼中。 【答案】见详解 【分析】图一：根据最大公因数和最小公倍数都是本身，所以这个数字是10÷2＝5； 图二：6的最大因数是6，6也是6的最小的倍数，因此，要满足既是6的因数又是6的倍数，这个数只能是6； 图三：根据1是所有非零的自然数的因数，所以这个数是1； 图四：根据1只有本身一个因数，所以这个数是1。 【解答】见下图 23．周一李老师让我们帮忙记她的手机密码。她告诉我们，密码是一个四位数：千位是最小的质数，百位是最小的奇数，十位是最小的偶数，个位是最小的合数。我算了一下，密码就是（ ）。 【答案】2104 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；据此解答。 【解答】根据分析： 最小的质数是2，所以千位是2； 最小的奇数是1，所以百位是1； 最小的偶数是0，所以十位是0； 最小的合数是4，所以个位是4。 因此，密码就是2104。 24．王叔叔的手机屏幕解锁密码提示：第一个数字既是偶数又是质数，第二个数字既不是质数又不是合数，第三个数字是最小的合数，最后一个数字既是奇数又是合数。解锁的密码是（ ）。 【答案】2149 【分析】根据解锁密码提示，既是偶数又是质数的数是2，既不是质数又不是合数的数是1，最小的合数是4，一位数中既是奇数又是合数的数是9，以此得出答案。 【解答】第一个数字是2，第二个数字是1，第三个数字是4，第四个数字是9，此解锁密码是2149。 三、计算题 25．写出每组中两个数的最大公因数。 11和33    10和9    20和12    9和15 【答案】11；1；4；3 【分析】两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数；两个数为一般关系时，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；两个数为互质关系时，它们的最大公因数是1。 【解答】11和33是倍数关系，最大公因数是11； 10和9是互质关系，最大公因数是1； 20和12是一般关系，20＝2×2×5，12＝2×2×3，最大公因数是2×2＝4； 9和15是一般关系，9＝3×3，15＝3×5，最大公因数是3。 26．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 5和7     9和36     15和20 【答案】5和7的最大公因数是1，最小公倍数是35。 9和36的最大公因数是9，最小公倍数是36。 15和20的最大公因数是5，最小公倍数是60。 【分析】最大公因数：几个数公有的因数中，数值最大的那个。 最小公倍数：几个数公有的倍数中，数值最小的那个。 （1）5和7都是质数，它们的公因数只有1，属于互质数关系，可直接用互质数的规律求解；互质数的最小公倍数是两数的乘积 （2）36是9的4倍，属于倍数关系，可直接用倍数关系的规律求解，倍数关系最大公因数是较小数本身，倍数关系的最小公倍数是较大数本身。 （3）15和20既不是互质数，也不是倍数关系，属于一般关系，用分解质因数法或短除法求解。 【解答】（1）5的因数：1、5 7的因数：1、7 5×7＝35 所以5和7的最大公因数是1，最小公倍数是35。 （2）36÷9＝4，属于倍数的关系 所以9和36的最大公因数是9，最小公倍数是36； （3）15＝3×5 20＝2×2×5 15的因数：1、3、5、15 20的因数：1、2、4、5、10、20 2×2×3×5＝60 所以15和20的最大公因数是5，最小公倍数是60。 四、作图题 27．把一张长18厘米、12厘米的长方形纸裁成同样大的正方形。如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正方形？（1个小方格边长为1厘米）（先在方格中画一画，再回答） 【答案】6厘米；6个；见详解 【分析】把一张长方形纸裁成同样大的正方形，求长方形长与宽的最大公因数确定正方形的最大边长，长和宽分别除以最大边长的商相乘得到正方形的个数。 【解答】18和12的最大公因数是6，则正方形的最大边长是6厘米。 18÷6＝3（个） 12÷6＝2（个） 3×2＝6（个）。 五、解答题 28．妈妈今年40岁，乐乐和爷爷今年的年龄分别是妈妈年龄的因数和倍数，并且爷爷的年龄是乐乐的10倍，乐乐和爷爷今年各多少岁？ 【答案】乐乐8岁，爷爷80岁 【分析】根据乐乐和爷爷今年的年龄分别是妈妈年龄的因数和倍数，判断出爷爷今年年龄是妈妈年龄的2倍，用乘法计算，此时计算出的爷爷年级符合常理；因为乐乐今年的年龄是妈妈年龄的因数，再结合爷爷今年的年龄是乐乐的10倍，除法计算出乐乐的年龄。 【解答】妈妈今年40岁，爷爷年龄是妈妈年龄的倍数，满足条件的倍数是2倍， 爷爷年龄：（岁） 爷爷年龄是乐乐年龄的10倍，乐乐年龄：（岁） 答：乐乐和爷爷今年分别是8岁，80岁。 29．永定土楼是世界文化遗产之一，位于福建省西南部的龙岩市永定区。五（1）班的同学准备去参观永定土楼，学校为同学们准备了95个面包，有如图三种包装（每个圈处放一个面包），选哪种包装盒正好可以装完？为什么？ 【答案】③；95是5的倍数，不是3和4的倍数 【分析】包装盒的数量＝面包的总数量÷每个包装盒可以装面包的数量，如果包装盒正好可以装完，那么面包的总数量应该是每个包装盒可以装面包数量的倍数，学校为同学们准备了95个面包，95的个位数是5，符合5的倍数特征，所以选择每个盒子可以装5个面包的包装盒。 【解答】95÷3＝31（个）……2（个），不能整除，不能正好装完； 95÷4＝23（个）……3（个），不能整除，不能正好装完； 95÷5＝19（个），95是5的倍数能整除，能正好装完。 答：选包装盒③正好可以装完，因为95是5的倍数，不是3和4的倍数。 30．五（3）班积极参与学校发起的植树节劳动实践活动，全班同学要合力栽种52棵树苗。为了让树苗排列得整齐规范，方便后期浇水养护，老师提出要求：每行种树的棵数必须相等，且行数和每行棵数都不能为1。这次植树活动有几种不同的种法？ 【答案】4种 【分析】每行棵数相等，行数和每行棵数都不能为1，也就是把52写成两个大于1的整数的乘积。这就要找52的因数。52的因数中，去掉1和52本身，剩下的因数两两配对，就是行数和每行棵数的组合。 注意，行数和每行棵数可以互换，也算是不同的种法。 【解答】52的因数：1，2，4，13，26，52； 去掉1和52，剩下2，4，13，26； 两两配对：2×26＝52，4×13＝52。 所以有4种不同的种法。 答：有4种不同的种法，分别为：行数2、每行26棵，行数26每行2棵；或行数4、每行13棵，行数13每行4棵。 31．拗九节在农历正月廿九日，是福州的民间传统节日。每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”）；或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫做过“九”。安安的爸爸今年50岁，他过了几次“九”？ 【答案】9次 【分析】先分别找出50岁内的明九（末尾是9）和暗九（9的倍数）年龄，再去掉重复的9岁，最后把两类年龄的数量相加即可。 【解答】50里“明九”有：9、19、29、39、49（5个） “暗九”有：9、18、27、36、45（5个） 5＋5－1＝9（次） 答：他过了9次“九”。 32．青青鲜花店鲜花销售价格如下，小华的妈妈在该鲜花店购买了一些康乃馨和郁金香，付给售货员50元，找回了13元。请你运用因数和倍数的有关知识，帮小华的妈妈判断找回的钱对不对，请说明理由。 鲜花销售价格 玫瑰3元/枝 康乃馨10元/枝 郁金香5元/枝 【答案】 不对，过程见详解 【分析】已知康乃馨10元/枝，郁金香5元/枝。10是5的倍数，5本身是5的倍数，所以不管购买几枝康乃馨和郁金香，花费的总金额一定是5的倍数。小华妈妈付给售货员50元，找回13元，则花费的金额为50−13＝37元。37不是5的倍数，这与前面分析的 “花费总金额一定是5的倍数” 相矛盾。 【解答】50－13＝37（元） 设购买康乃馨a枝，郁金香b枝， 则总共花费：10a＋5b＝5×（2a＋b） 5×（2a＋b）有因数5，所以妈妈买花的钱必是5的倍数。 37÷5＝7……2，因此37不是5的倍数。 答：实际花费37元不符合总花费的倍数性质，因此找回的13元不正确。 33．乐乐在一家花店买了8枝玫瑰，9枝康乃馨，付给店长阿姨100元，找回了15元。乐乐发现玫瑰的价格是3元1枝，每枝康乃馨的价格是整元数，就说：“阿姨，您把账算错了。”乐乐是如何判断出店长阿姨算错的？请说明理由。 【答案】理由是：玫瑰总价8×3＝24元，付款100元找回15元，康乃馨总价100−15−24＝61元；61是质数，不能被9整除，而康乃馨买了9枝且单价为整元数，总价应是9的倍数，故账算错了。 【分析】康乃馨的价格是整元数，则总价必须是数量9的倍数。首先通过付款金额和找回金额计算出实际花费，再减去玫瑰的总价得到康乃馨的总价，最后验证该总价是否为9的倍数即可得出结论。 【解答】100－15＝85（元） 8×3＝24（元） 85－24＝61（元） 因为，，61不是9的倍数。 已知每枝康乃馨的价格是整元数，则康乃馨的总价应是9的倍数。 所以店长阿姨把账算错了。 34．六一儿童节到啦！同学们装扮教室时需要将一张长32厘米、宽24厘米的彩纸裁成同样大小的正方形，要求彩纸没有剩余。裁出正方形的边长最大是多少厘米？可以裁出多少个这样的正方形？ 【答案】边长最大8厘米；12个 【分析】要把长方形彩纸裁成同样大小的正方形且没有剩余，正方形的边长既是长的因数，又是宽的因数，即长和宽的公因数。要求裁出的正方形边长最大，就是求长和宽的最大公因数。求出正方形的边长后，分别计算长和宽方向各能裁出多少个正方形，再将两个方向的数量相乘，即可得到可以裁出的正方形总个数。 【解答】的因数有。 的因数有。 和的公因数有， 最大公因数是。 所以，裁出正方形的边长最大是厘米。 （个） 答：裁出正方形的边长最大是厘米，可以裁出个这样的正方形。 35．美术课上，老师把30把剪刀和36张彩纸平均分给每个学习小组，正好分完。最多有几个学习小组？每个学习小组可以分得几把剪刀和几张彩纸？ 【答案】6个；5把，6张 【分析】要把30把剪刀和36张彩纸平均分给每个小组且正好分完，说明小组的数量既是30的因数，也是36的因数。要求最多有几个小组，就是求30和36的最大公因数。确定小组数量后，再用物品总数除以小组数量，即可计算出每个小组分得的数量。 【解答】30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36 30和36的公因数有：1，2，3，6 其中最大公因数是6，所以最多有6个学习小组。 （把） （张） 答：最多有6个学习小组，每个学习小组可以分得5把剪刀和6张彩纸。 36．妈妈买回30多个鸡蛋。如果把这些鸡蛋装进4个一盒的蛋托中，正好装完；如果把它们装进6个一盒的蛋托中，也正好装完。一共有多少个鸡蛋？ 【答案】36个 【分析】根据题意，鸡蛋的数量是4和6的公倍数。找出30至40之间4和6的公倍数即可。 【解答】4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40… 6的倍数：6，12，18，24，30，36… 30至40之间4和6的公倍数是36。 答：一共有36个鸡蛋。 37．中小学生艺术展演活动即将开始，青少年用健康、阳光、积极的表演展现属于他们的风采，其中校园舞蹈是具有校园风格的集体舞蹈。学校舞蹈队的队员总人数在70~80人范围内，站队时每排人数相同，每排8人或每排12人都可以站成整数排，学校舞蹈队有多少人？ 【答案】72人 【分析】每排8人或每排12人都可以站成整数排，说明总人数是8和12的公倍数，再在70~80之间找符合条件的数即可。 【解答】分解质因数 8＝2×2×2 12＝2×2×3 最小公倍数：2×2×2×3＝24 24的倍数：24×1＝24，24×2＝48，24×3＝72，24×4＝96，…… 在70~80之间的只有72。 答：学校舞蹈队有72人。 38．剪纸是一种民间艺术，是国家级非物质文化遗产。学校剪纸兴趣小组创作了一些剪纸作品，这些剪纸作品无论是平均分给20个同学，还是平均分给15个同学，都全部分完。这些剪纸作品至少有多少件？ 【答案】60件 【分析】剪纸作品无论是平均分给20个同学，还是平均分给15个同学，都全部分完，说明作品的数量是20和15的公倍数，求至少有多少件，也就是求20和15的最小公倍数。 【解答】20＝2×2×5     15＝3×5 20和15的最小公倍数为：2×2×3×5＝60。 答：这些剪纸作品至少有60件。 39．希望小学的劳动基地里种植了若干玫瑰花，每行的玫瑰花棵数相同。下表是几位五年级同学数出的玫瑰花总棵数，其中只有一位同学数对了，你知道是谁吗？请说明理由。 王双 徐强 张雪 韦丽 71棵 73棵 75棵 79棵 【答案】只有张雪数对了。 【分析】除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。因为总棵数＝行数×每行棵数，总棵数的因数除了1和它本身，还有行数和每行棵数，根据实际情况，总棵数应该是合数，据此分析。 【解答】71 的因数只有1和71，71是质数； 73 的因数只有1和73，73是质数； 75 的因数有1、3、5、15、25、75，75是合数； 79 的因数只有1和79，79是质数。 在 71、73、75、79 中，只有75是合数，所以是张雪数对了。 答：只有张雪数对了。 40．为了积极响应环保号召、大力推动绿色生活理念，绿苑社区正在筹备亲子环保活动。活动筹备期间，社区精心采购了108个环保帆布袋与84个可降解餐盒，要把它们组成“绿色家庭奖励礼包”，奖励参与活动的优秀亲子家庭。要求每个礼包都含帆布袋与餐盒，每个礼包中帆布袋的数量相同，餐盒的数量也相同，确保物尽其用，带动更多家庭重视、支持环保。那么最多能组成多少个礼包？每个礼包中共有多少个礼品？ 【答案】12个；16个 【分析】求最多能组成多少个礼包，就是求108和84的最大公因数，两个数的公有质因数的连乘积，求出最多能组成礼包的数量，再用108和84的和除以它们最大公因数，就是每个礼包中共有多少个礼品。 【解答】108＝2×2×3×3×3 84＝2×2×3×7 108和84的最大公因数是2×2×3＝12，最多能组成12个礼包。 （108＋84）÷12 ＝192÷12 ＝16（个） 答：至多能组成12个礼包，每个礼包中共有16个礼品。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $