20.2 勾股定理的逆定理及其应用暑期巩固2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦勾股定理逆定理的判定、勾股数性质及实际应用，通过分层题型构建"概念-判定-应用-综合"的完整训练体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直角三角形判定|4题|角度关系转化、边长平方关系验证|从角到边的判定逻辑，结合中点性质拓展| |勾股数|6题|勾股数定义辨析、倍数性质证明|从基础勾股数到参数化推广的概念深化| |实际应用|7题|实际问题数学建模、距离计算|生活场景抽象为直角三角形判定问题| |网格综合|5题|网格坐标距离公式、角度转化|勾股定理与几何图形性质的综合应用| |知识综合|6题|垂直平分线性质、动态问题分类讨论|逆定理与代数运算、几何变换的融合|

人教版（2024）八年级下册 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 暑期巩固 判断能否构成直角三角形 1对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A.①②③    B.②③④    C.①③④    D.①②③④ 2在△ABC中，BC＝13cm，AB＝5cm，AC＝12cm，点D是BC的中点，则AD＝（　　）cm． A.6.5    B.6    C.5.5    D.5 3如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D.E，线段DE的最小值是 　    　cm． 4如图，点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，CD=6，DE=4，AE=，求证：∠ACE=90°. 勾股数 1下列各组数中是勾股数的一组是（　　） A.7，24，25    B.4，6，9      C.0.3，0.4，0.5    D.4，7，8 2下列几组数中，是勾股数的有（　　） ①0.6，0.8，1 ②7，24，25 ③10，24，26 ④，， A.1组    B.2组    C.3组    D.4组 3下列各组数是勾股数的是（　　） A.1.5，2，2.5    B.3，4，5    C.32，42，52    D.，， 4有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　    　． 5（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 6观察下列各组勾股数有哪些规律： 请解答： （1）当a＝11时，求b，c的值； （2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 勾股定理逆定理的实际应用 1如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（　　） A.勾股定理      B.勾股定理的逆定理      C.三角形内角和定理      D.直角三角形的两锐角互余 2如图，某次演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/时的速度航行，二号舰以16海里/时的速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是 A.南偏东30°    B.北偏东30° C.南偏东60°    D.南偏西60° 3古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距.4个结间距.5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A.直角三角形两个锐角互补      B.三角形内角和等于180°      C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边      D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 4木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m，则这个桌面　　　.(填“合格”或“不合格”) 5如图，一根电线杆高8 m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.3 m(不计捆缚部分)，则电线杆与地面　　　(填“垂直”或“不垂直”). 6如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我国沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我国领海？ 7A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？ 两定理在网格中的综合 1如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，则图中表示△ABC重心的点是 A.点D      B.点E      C.点F      D.点G 2如图，正方形ABCD由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF＝（　　） A.30°    B.45°    C.60°    D.35° 3如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①AB＝；②∠ABC＝90°；③△ABC的面积为10；④点A到直线BC的距离是2，其中正确的是 　     　.（填序号） 4如图所示的网格是正方形网格，点A.B.C.D.E是网格线交点，则∠DAE﹣∠BAC的度数为 　      　． 5在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为，4的线段AB. 两定理与其他知识综合求解 1如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，其中AC=12，AE=5，BE=13，则CD的长为 A.10    B.18 C.6      D.4 2如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（　　） A.    B.    C.3    D.4 3如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AB上一点，联结CD，BD＝5，DC＝12，BC＝13，则AB＝　      　． 4已知，如图，∠C＝90°，BC＝4，CD＝3，AD＝12，AB＝13，则四边形ABCD的面积是 　      　． 5如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，CD＝26cm，BC＝24cm，求四边形ABCD的面积． 6如图，在△ABC中，AB=30 cm，BC=35 cm，∠B=60°，有一动点E自点A向点B以2 cm/s的速度运动，动点F自点B向点C以4 cm/s的速度运动，若点E，F同时分别从点A，B出发. (1)试问出发多长时间后，△BEF为等边三角形？ (2)试问出发多长时间后，△BEF为直角三角形？ 人教版（2024）八年级下册 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 暑期巩固（参考答案） 1判断能否构成直角三角形 1对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A.①②③    B.②③④    C.①③④    D.①②③④ 【答案】A 【解析】 解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形；故①正确； ②∵a：b：c＝3：4：5， 设a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝c2， ∴△ABC是直角三角形；故②正确； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形；故③正确； ④∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴5∠C＝180°， ∴∠C＝36°， ∴∠A＝∠B＝2∠C＝72°， ∴△ABC不是直角三角形；故④错误； 综上：能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③； 故选：A． 2在△ABC中，BC＝13cm，AB＝5cm，AC＝12cm，点D是BC的中点，则AD＝（　　）cm． A.6.5    B.6    C.5.5    D.5 【答案】A 【解析】 解：∵BC＝13cm，AB＝5cm，AC＝12cm， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴∠BAC＝90°， ∵点D是BC的中点， ∴AD＝BC＝cm， 故选：A． 3如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D.E，线段DE的最小值是 　    　cm． 【答案】 【解析】 解：∵在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴∠A＝90°， ∵MD⊥AB，ME⊥AC， ∴∠A＝∠ADM＝∠AEM＝90°， ∴四边形ADME是矩形， ∴DE＝AM， 当AM⊥BC时，AM的长最短， 根据三角形的面积公式得：AB•AC＝BC•AM， ∴9×12＝15AM， AM＝， 即DE的最小值是cm． 故答案为：． 4如图，点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，CD=6，DE=4，AE=，求证：∠ACE=90°. 【答案】 证明　在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=2， ∴AC===. 在Rt△EDC中，∠D=90°，CD=6，DE=4， ∴CE===2， ∵AC2=13，CE2=52，AE2=65， ∴AE2=AC2+CE2， ∴△ACE是直角三角形，AE是斜边， ∴∠ACE=90°. 2勾股数 1下列各组数中是勾股数的一组是（　　） A.7，24，25    B.4，6，9      C.0.3，0.4，0.5    D.4，7，8 【答案】A 【解析】 解：A.72+242＝252，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意； B.42+62≠92，故不是勾股数，故选项不符合题意； C.0.3，0.4，0.5，都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意； D.42+（）2≠（8）2，故不是勾股数，故选项不符合题意． 故选：A． 2下列几组数中，是勾股数的有（　　） ①0.6，0.8，1 ②7，24，25 ③10，24，26 ④，， A.1组    B.2组    C.3组    D.4组 【答案】B 【解析】 解：①0.6，0.8，1中0.6，0.8不是正整数，不是勾股数，不符合题意； ②72+242＝252，且7，24，25都是正整数，是勾股数，符合题意； ③102+242＝262，且10，24，26都是正整数，是勾股数，符合题意； ④，，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 故选：B． 3下列各组数是勾股数的是（　　） A.1.5，2，2.5    B.3，4，5    C.32，42，52    D.，， 【答案】B 【解析】 解：A.1.5，2，2.5不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B.32+42＝52，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意； C.322+422≠522，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意． D.，，不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 4有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　    　． 【答案】 25 【解析】 解：设第三个数为x， ∵是一组勾股数， ∴①x2+72＝242， 解得：x＝（不合题意，舍去）， ②242+72＝x2， 解得：x＝25， 故答案为：25． 5（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】 证明：（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵k是正整数， ∴3k，4k，5k都是正整数， ∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2， ∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数； （2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数， ∴ak，bk，ck是三个正整数， ∵a2+b2＝c2， ∴（ak）2+（bk）2＝a2k2+b2k2＝（a2+b2）k2＝c2k2＝（ck）2， ∴ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数． 6观察下列各组勾股数有哪些规律： 请解答： （1）当a＝11时，求b，c的值； （2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【答案】 解：（1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2， 得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121． 解得b＝60，c＝b+1＝61； （2）是勾股数． 理由：∵2212﹣2202＝（221+220）（221﹣220）＝441， 又∵212＝441，∴2212﹣2202＝212， ∴21，220，221是勾股数． 3勾股定理逆定理的实际应用 1如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（　　） A.勾股定理      B.勾股定理的逆定理      C.三角形内角和定理      D.直角三角形的两锐角互余 【答案】B 【解析】 解：∵AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°， 故选：B． 2如图，某次演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/时的速度航行，二号舰以16海里/时的速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是 A.南偏东30°    B.北偏东30° C.南偏东60°    D.南偏西60° 【答案】C 【解析】 如图，由题意得OA=12×0.5=6(海里)，OB=16×0.5=8(海里)， ∵AB=10海里， ∴OA2+OB2=62+82=100=102=AB2， ∴∠AOB=90°， ∵∠AOC=30°， ∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-30°=60°， ∴二号舰航行的方向是南偏东60°. 3古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距.4个结间距.5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A.直角三角形两个锐角互补      B.三角形内角和等于180°      C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边      D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】 解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m，4m，5m， ∵（3m）2+（4m）2＝（5m）2， ∴以3m.4m.5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：D． 4木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m，则这个桌面　　　.(填“合格”或“不合格”) 【答案】 合格 【解析】 ∵长方形桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m， ∴32=9，1.82=3.24，2.42=5.76，  1.82+2.42=3.24+5.76=9， ∴1.82+2.42=32， ∴桌面的角是直角， ∴这个桌面是合格的. 5如图，一根电线杆高8 m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.3 m(不计捆缚部分)，则电线杆与地面　　　(填“垂直”或“不垂直”). 【答案】 不垂直 【解析】 ∵62+82≠10.32，∴电线杆、地面水平距离、拉线，不能构成直角三角形.∴电线杆与地面不垂直. 6如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我国沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我国领海？ 【答案】 解　如图，∵AC=10海里，AB=6海里，BC=8海里， ∴AC2=AB2+BC2， 即△ABC是直角三角形. 设PQ与AC相交于点D，根据三角形面积公式有BC·AB=AC·BD， 即6×8=10BD，解得BD= 海里. 在Rt△BCD中， CD===6.4(海里)， 又∵该船只的速度为12.8海里/时，  6.4÷12.8=0.5(小时)=30(分钟)， ∴需要30分钟进入我国领海，即最早晚上10时58分进入我国领海. 7A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？ 【答案】 解　∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169， ∴BC2+AB2=AC2. 即△ABC是直角三角形，∠B=90°. 故C地在B地的正北方向. 4两定理在网格中的综合 1如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，则图中表示△ABC重心的点是 A.点D      B.点E      C.点F      D.点G 【答案】A 【解析】 如图所示， 由勾股定理可得AN=BN==2，BM=CM==， ∴N，M分别是AB，BC的中点， ∴直线CD经过的AB边上的中线，直线AD经过BC边上的中线， ∴点D是重心. 2如图，正方形ABCD由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF＝（　　） A.30°    B.45°    C.60°    D.35° 【答案】B 【解析】 解：连接EF． ∴AE＝＝，EF＝＝，AF＝＝． ∵AE2+EF2＝AF2，AE＝EF， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴∠EAF＝45°． 故选：B． 3如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①AB＝；②∠ABC＝90°；③△ABC的面积为10；④点A到直线BC的距离是2，其中正确的是 　     　.（填序号） 【答案】 ①④ 【解析】 解：①∵AB2＝22+42＝20， ∴AB＝25，故正确； ②∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°，故错误； ③S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，故错误； ④设点A到直线BC的距离为h， ∵BC2＝32+42＝25， ∴BC＝5， 则×5×h＝5， 解得，h＝2，即点A到直线BC的距离是2，故正确； 故答案为：①④． 4如图所示的网格是正方形网格，点A.B.C.D.E是网格线交点，则∠DAE﹣∠BAC的度数为 　      　． 【答案】 45° 【解析】 解：连接AF，EF，如图所示， 由图可得，△AFG≌△ACB， ∴∠BAC＝∠GAF， ∴∠DAE﹣∠BAC＝∠DAE﹣∠GAF＝∠FAE， 设每个小正方形网格的边长为a， 则AE＝EF＝＝a， AF＝＝a， ∴AE2+EF2＝AF2， ∴△AEF是直角三角形，∠FAE＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAC＝45°， 故答案为：45°． 5在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为，4的线段AB. 【答案】 解　如图所示. 5两定理与其他知识综合求解 1如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，其中AC=12，AE=5，BE=13，则CD的长为 A.10    B.18 C.6      D.4 【答案】C 【解析】 ∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE=13，∵AC=12，AE=5，∴CE2=AC2+AE2， ∴△AEC是直角三角形，∴BC==6. 2如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（　　） A.    B.    C.3    D.4 【答案】A 【解析】 解：∵BC＝3，AC＝4，AB＝5， ∴AC2+BC2＝32+42＝25＝AB2， ∴∠C＝90°， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD＝2， ∴， 故选：A． 3如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AB上一点，联结CD，BD＝5，DC＝12，BC＝13，则AB＝　      　． 【答案】 16.9 【解析】 解：在△BDC中，BD＝5，DC＝12，BC＝13， ∴BD2+CD2＝25+144＝169，BC2＝169， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°， 设AB＝AC＝x，则AD＝AB﹣BD＝x﹣5， 在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2， ∴（x﹣5）2+144＝x2， 解得：x＝16.9， ∴AB＝AC＝16.9， 故答案为：16.9． 4已知，如图，∠C＝90°，BC＝4，CD＝3，AD＝12，AB＝13，则四边形ABCD的面积是 　      　． 【答案】 36 【解析】 解：连接BD， ∵∠C＝90°，BC＝4，CD＝3， ∴BD＝＝＝5， ∵AD＝12，AB＝13， ∴AD2+BD2＝122+52＝169，AB2＝132＝169， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴△ADB是直角三角形， ∴∠ADB＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝△BCD的面积+△ABD的面积 ＝BC•CD+BD•AD ＝×4×3+×5×12 ＝6+30 ＝36， 故答案为：36． 5如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，CD＝26cm，BC＝24cm，求四边形ABCD的面积． 【答案】 解：连接BD， ∵AB⊥AD， ∴∠A＝90°， ∴△ABD为直角三角形， ∵BD2＝AB2+BD2＝82+62＝102， ∴BD＝10cm， 在△BCD中，CD＝26cm，BC＝24cm， ∵DC2+BD2＝BC2， ∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△BCD﹣S△ABD＝×10×24﹣×6×8＝96（cm2）． 6如图，在△ABC中，AB=30 cm，BC=35 cm，∠B=60°，有一动点E自点A向点B以2 cm/s的速度运动，动点F自点B向点C以4 cm/s的速度运动，若点E，F同时分别从点A，B出发. (1)试问出发多长时间后，△BEF为等边三角形？ (2)试问出发多长时间后，△BEF为直角三角形？ 【答案】 解　(1)设出发x s后，△BEF为等边三角形， 则AE=2x cm，BF=4x cm， ∴BE=(30-2x)cm， ∵∠B=60°， ∴当BE=BF时，△BEF为等边三角形， ∴30-2x=4x， 解得x=5， 即出发5 s后，△BEF为等边三角形. (2)设经过t s，△BEF是直角三角形， 则AE=2t cm，BF=4t cm， ∴BE=(30-2t)cm， ①当∠BEF=90°时， ∵∠B=60°， ∴∠BFE=30°， ∴BE=BF， 即30-2t=×4t， 解得t=7.5； ②当∠BFE=90°时， ∵∠B=60°， ∴∠BEF=30°， ∴BF=BE， 即4t=×(30-2t)， 解得t=3， 综上所述，出发3 s或7.5 s后，△BEF是直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $