期末复习专项勾股定理 （核心知识点） 2025-2026学年下学期数学人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦勾股定理核心应用，融合生活情境（如楼梯地毯、卡车过隧道）与文化传承（赵爽弦图、总统证法），梯度设计适配八年级下册期末复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|直角三角形判定、数轴表示、图形面积|基础巩固，结合几何直观| |填空题|3|半圆面积、支架长度、小直角三角形周长|综合计算，关联图形性质| |解答题|6|实际测量、车速检测、定理证明、方案优化|情境化应用，强调建模与推理|

期末复习专项--勾股定理 （核心知识点） 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册 一、单选题 1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．，2， 2．如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，DA=3，且∠ABC=90°，则∠BCD的度数是（    ） A．90° B．120° C．135° D．150° 4．如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为5和11，则的面积为（   ） A．4 B．16 C．22 D．55 5．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）米． A．5 B．7 C．8 D．12 6．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所视的隧道，则卡车的外形高必须低于（    ） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 7．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱的高度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度为0.4米，将踏板往前推送，使秋千绳索到达的位置，测得推送的水平距离为3米，此时秋千踏板离地面的垂直高度为1.4米，则立柱的高度为（   ） A．3米 B．4米 C．米 D．米 8．体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 9．如图，已知，，，，则点C到的距离为（    ）． A． B． C． D． 10．如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，已知中，以的三边为直径向外作3个半圆，以为直径的半圆面积分别为9和5，则以为直径的半圆面积为______． 12．如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为___________． 13．如图，直角中，，，则内部五个小直角三角形的周长和为______． 三、解答题 14．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，在上有一处古建筑D，使得的长不能直接测出，工作人员测得米，米，米，在测出米后，测量工具坏了，使得的长无法测出，请你想办法求出的长度． 15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 16．著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较长的直角边长都为，较短的直角边长都为，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． (1)图为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理； (2)如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 17．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米． (1)求小汽车6秒走的路程； (2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？ 18．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 19．如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B B B D A B D 1．D 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形． 解：A、32+42=52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、62+82=102，能构成直角三角形，故此选项不合题意； C、52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不合题意； D、（）2+22=（）2，不能构成三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 2．C 先根据勾股定理求出斜边长，再结合数轴即可解答． 解：由题可知，图中直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为， ∴点A所表示的数为，即选项C符合题意． 3．C 连接AC，由于，利用勾股定理可求AC，并可求，而，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求∠BCD． 解：如图所示，连接AC， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是连接AC，并证明是直角三角形． 4．B 根据“”可得到，由勾股定理可得到b的面积的面积的面积． 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴b的面积的面积的面积． 5．B 根据勾股定理求得楼梯的水平宽度==4，然后由地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是3+4=7米． 故选B． 点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是要明确地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和. 6．B 根据题意得：OD=0.8米，OC=OB=1米，DH=2.3米，在 中，由勾股定理可得CD=0.6米，从而得到CH=2.9米，即可求解． 解：如图，根据题意得：OD=0.8米，OC=OB=1米，DH=2.3米， 在 中，由勾股定理得： 米， ∴ 米， ∴卡车的外形高必须低于2.9米． 故选：B 本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 7．D 本题考查了一元一次方程的应用，勾股定理，求出绳索的长是解题关键．设绳索的长度为，则，，进而得出，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到立柱的高度． 解：设绳索的长度为， 则，， ∴， 由题意得：，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 即立柱的高度为， 故选：D． 8．A 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出，再证明，，据此根据这块地的面积列式求解即可． 解；如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这块地的面积， 故选：A． 9．B 先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可求解． 解：∵，， ∴， ∵，， ， ∴是直角三角形，且， ∴点C到BD的距离为． 故答案为：B． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟悉勾股定理，勾股定理的逆定理的计算是解题的关键． 10．D 本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键． 首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 解：∵，中为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， 故选：D． 11．4 题目主要考查勾股定理解三角形及圆的面积，根据题意得出，，然后求解即可． 解：∵中， ∴， ∵以为直径的半圆面积分别为9和5， ∴， 即， ∴以为直径的半圆面积为：， 故答案为：4． 12．15 本题考查勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理求出的值即可． 解：由题意，，， 设，则， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴； 故答案为：15． 13． 由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长，通过勾股定理求出的长度，然后计算周长即可． 解：直角中，, 五个小直角三角形的周长为：， 故答案为：． 主要考查了平移的性质、勾股定理，弄清楚内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长是解题关键． 14．米 根据勾股定理的逆定理证出，再利用勾股定理求出的长，然后加上的长就可以求出的长． 解：如图，在，， ， ，即， 在中，， ∴， ∴． 15．这辆小汽车超速了． 本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 16．(1)见解析； (2)新路比原路少千米． 此题考查了勾股定理的证明方法，勾股定理的应用等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （）设千米，则千米，由勾股定理得，解得，即千米，然后通过（千米）即可求解． （1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ∴， ∴； （2）解：设千米， ∴千米， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得，即千米， ∴（千米）， 答：新路比原路少千米． 17．(1)120米 (2)72千米小时，小汽车超速了 （1）过点作，可得米，设汽车经过6秒后到达点，连接，则有米，利用勾股定理可求得的长，即小汽车6秒所走的路程； （2）利用速度路程时间，即可判断． （1）解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示： 由题意可得：米，米， 在中， （米， 答：小汽车6秒走的路程为120米； （2）解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时）， ， 小汽车超速了． 本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形． 18．(1)48米 (2)会造成噪声污染，污染的时间为10秒 本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． （1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 19．(1)是直角三角形．理由见解析 (2)方案一所修的管道较短，理由见解析 本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． （1）解：是直角三角形．理由如下： ，， ， 是直角三角形； （2）解：方案一所铺设的管道较短,理由如下： 的面积， ， ，， ∵ 方案一所铺设的管道较短． 学科网（北京）股份有限公司 $