期末复习专题一：新定义题型2025-2026学年八年级数学第二学期

**基本信息** 聚焦新定义题型，通过代数与几何多维度变式，系统训练抽象概念转化与知识迁移能力，强化数学眼光与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数新定义|邻根方程、倍根方程等|以方程根关系定义新概念，设置判断、参数计算、最值问题|从新定义生成到转化为根与系数关系，构建方程思想应用链条| |几何新定义|筝形、垂等四边形等|以图形性质定义新图形，涉及证明、计算、探究|从图形定义到利用已有几何性质，形成概念→性质→应用的逻辑闭环|

2025学年八年级第二学期期末复习专题一：新定义题型 【例】如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； （3）若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】（1）根为2，，不是邻根方程 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分别解出方程的根，根据两根差值是否为1进行判断； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值为1，从而得到关于m的方程； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值； 本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， ∵， 不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程是邻根方程， ∴， ∴， 故或； 【小问3详解】 解：∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 答：t的最大值为4． 【变式练习】 1.如果关于一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若、满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则． A. ①② B. ②③④ C. ①③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． ①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程 ， ∴或， 解得，，，得，， 方程是倍根方程，故①正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ∴，故②错误； ③∵，则， ，， ， 因此是倍根方程，故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则，， 则， ， ， ， ， ，故④正确。 综上所述，正确的是①③④． 故选：D． 2.定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x值是或， 故答案为：或． 3.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有__________(填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． ①根据倍根方程定义即可得到方程是倍根方程；②解方程求得方程的根，然后根据倍根方程的定义得到或即或，则；③根据已知条件得到，解方程得到方程的根即可判断；④利用“倍根方程”的根与系数的关系判断即可． 【详解】解：①， ， 解得：， 方程是倍根方程； 故①正确； ②解方程， 解得： 是倍根方程， 或即或 ， 故②不正确； ③， 解方程得： ， 故③正确； ④设方程的根为， 关于的方程是倍根方程， 令， ；故④正确． 故答案为：①③④． 4.定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则______． 【答案】0或4 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征和一元二次方程根的判别式，设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，根据“积和点”定义可得，再由唯一一个“积和点”可知关于a的方程只有一个解，一元二次方程的根判别式等于0即可求解． 【详解】解：设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，依题意得：， 代入得：， 整理得：， 由点是唯一一个“积和点”可知：，解得：，． 故答案为：0或4． 5.定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线．例：如图1，在中，连结，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明与的面积相等，即是的等积线． （1）请利用图1完成例的证明． （2）如图2，在四边形中，连结．已知点与上一点的连线段是四边形的等积线，过点作的平行线，交于点，若，求的长度． （3）如图3，在（2）的条件下，延长，交于点．若，请在图中找出一条不同于的四边形的等积线，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）线段是四边形的等积线 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行线间的距离； （1）过作于，过作于，由得到，，根据夹在两条平行线间的垂线段相等得到，再根据等底（同底）等高的两个三角形面积相等证明即可． （2）连接，，过作于，过作于，由得到，再根据线段是四边形的等积线，得到，即可推出，表示出面积即可得到； （3）连接，，由和得到四边形是平行四边形，推出，得到，即可得到，线段是四边形的等积线． 【小问1详解】 解：过作于，过作于， ∵， ∴，， ∵夹在两条平行线间的垂线段相等， ∴， ∵，， ∴，即是的等积线． 【小问2详解】 解，连接，，过作于，过作于， ∵， ∴， ∵线段是四边形的等积线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 连接，， 由（2）可得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵线段是四边形等积线， ∴， ∴， ∴线段是四边形的等积线． 6.我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中、为有理数，那么_________，_________； （2）如果，其中、为有理数，求的算术平方根； （3）若、都是有理数，且，试求的立方根． 【答案】（1） （2）的算术平方根为5 （3）的立方根为1或 【解析】 【分析】本题考查了立方根，实数的运算，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知可得，，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可得，从而可得，进而可得：，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答； （3）根据已知可得，从而可得，，进而可得，，然后分两种情况进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，其中a、b为有理数， ∴，， ，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：， ， ∵a、b为有理数， ∴， 解得：， ∴， ∴其算术平方根为5； 【小问3详解】 解：， ， ∴， 解得：或， ∴∴当，时，，立方根为1； 当，时，，的立方根为． 7.类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上． （2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； （3）如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）-或或 【解析】 【分析】（1）根据”等邻边四边形”的定义，直接画出符合题意的图形即可； （2）利用证明，得，可证明结论； （3）首先利用含角的直角三角形的性质求出的长，再分或或三种情形，分别画出图形，从而解决问题． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求； 【小问2详解】 连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， )， ， 四边形是“等邻边四边形”； 【小问3详解】 作于， 四边形平行四边形， ，，， 平分， ， ， ， 四边形是“等邻边四边形”， 当时，； 当时，作于， ， 在中，由勾股定理得，， ； 当时，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 8.【新知学习】 定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形中，若，，则四边形是“筝形”． （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”，要求点是格点； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，“筝形”的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且，求对角线的长； 【拓展思考】 （3）如图3，在“筝形”中，，，，、分别是、上的点，平分，，，求“筝形”的面积． 【答案】（1）图见解析；（2）的长是12或；（3）72 【解析】 【分析】（1）根据“筝形”的定义，结合网格性质画图即可； （2）分，两种情况，画出图形，分别求解； （3）过A作，证明，得到，，再证明，从而说明四边形是正方形，设，表示出相应边，在中，利用勾股定理列出方程，求出，再计算面积． 【详解】解：（1）如图1，点D是所求作的点， 由勾股定理得， ， ， 由图可得， ∴，， ∴四边形是“筝形”； （2）如图，当时， ∵是中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，又，， ∴四边形为矩形． ∴． ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 如图，，， 过点G作于点M， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点E是的中点，， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ； 综上所述，或． （3）如图，过A作， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 又，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ，， 在中，， 即， 解得． ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题是四边形综合题，正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，有一定综合性和拓展性，通过新图形“筝形”关联所学知识点，能够更好地体现知识点的应用． 9.定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】（1）是“C方程”，理由见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，理解“C方程”的定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据“C方程”定义即可判断； （2）根据“C方程”定义，得到，利用配方法，非负数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：是“C方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， 解得：， ∵， ∴一元二次方程是“C方程”； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程是“C方程”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 10. 小明同学在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为他积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是他尝试着给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． 特殊四边形（筝形）的探究学习单 观察猜想 定义： 四边形中，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 他在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形有一组对角应该是相等的．进一步观察后，发现这类“筝形”应该还具有其它性质，请再猜想一条筝形的性质： ；（除定义外） 推理验证 根据数学探究的步骤，小明需要对自己的猜想进行推理验证： 任务二： 如图，筝形中，，求证：． 性质应用 任务三： 如图，筝形中， ，，求筝形的面积． 任务四： 如图，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数为__________． 拓展推广 注意：以下两个任务的难度分别由易到难，分值分别为1分和2分，同学们可以根据自己的能力自主选择其中一道作答，多做的按高分值给分，不另外加分． 任务五： 如图，在筝形，若，求证： 任务六： 如图，四边形中，，，，点是的中点，，求的最大值． 【答案】任务一：筝形的两条对角线互相垂直；任务二：见解析；任务三：；任务四：的度数为或；理由见解析；任务五：见解析；任务六：40 【解析】 【分析】任务一：连接，根据，可得是的垂直平分线，即可得到一条筝形的性质； 任务二：连接，证明即可； 任务三：可得，证明是等边三角形，则是的中垂线，再由求解； 任务四：当四边形为筝形时，分两种情况讨论：①如图，当，时，可得是等边三角形，则，同上理得：垂直平分，，那么；②如图，当，时，再由等边对等角和外角求解； 任务五：将绕点顺时针旋转60度至，连接，证明，得到为直角三角形则，则，，那么，则； 任务六：将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接，，则为等边三角形，故，当三条线段共线时，有最大值． 【详解】解：任务一：连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴筝形的两条对角线互相垂直；（答案不唯一）； 任务二：如图，连接， 在和中， ， ， ； 任务三：，， 是等腰直角三角形， ， 四边形为筝形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等边三角形， ，， 是的中垂线， ， ，， ， ； 任务四：的度数为或；理由如下： 当四边形为筝形时，分两种情况讨论： ①如图，当，时， ，， ， 是等边三角形， ， 同上理得：垂直平分， ， ， ； ②如图，当，时， ， ，， ， ， ， 综上可知，的度数为或； 任务五：证明：如图，将绕点顺时针旋转60度至，连接， ∴， ∵， 为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， ， 又， ， 为直角三角形， ， ∵， ∴ ； 任务六：如图，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 当三条线段共线时，有最大值， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了新定义，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质与判定，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，灵活运用各知识点是解题的关键． 11.定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是_________． （2）如图1，在方格纸中，在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使是对角线，点在格点上． （3）如图2，在正方形中，点分别在上，且，求证：四边形是垂等四边形． 【答案】（1）正方形 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知正方形和矩形的性质是解题的关键。 （1）邻边垂直的特殊平行四边形有正方形和矩形，对角线相等的特殊四边形有正方形和矩形，据此可得答案； （2）左边一幅图中四边形是矩形，符合题意；右边一幅图，可证明； （3）先证明，再求出，则，证明，得到，导角证明，得到，则，即可证明四边形是垂等四边形． 【小问1详解】 解：邻边垂直且对角线相等的特殊平行四边形有矩形和正方形； 【小问2详解】 解：如图1中，四边形即为所求． 【小问3详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂等四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年八年级第二学期期末复习专题一：新定义题型 【例】如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； （3）若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【变式练习】 1.如果关于一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若、满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则． A. ①② B. ②③④ C. ①③ D. ①③④ 2.定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 3.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有__________(填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 4.定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则______． 5.定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线．例：如图1，在中，连结，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明与的面积相等，即是的等积线． （1）请利用图1完成例的证明． （2）如图2，在四边形中，连结．已知点与上一点的连线段是四边形的等积线，过点作的平行线，交于点，若，求的长度． （3）如图3，在（2）的条件下，延长，交于点．若，请在图中找出一条不同于的四边形的等积线，并说明理由． 6.我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中、为有理数，那么_________，_________； （2）如果，其中、为有理数，求的算术平方根； （3）若、都是有理数，且，试求的立方根． 7.类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上． （2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； （3）如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度． 8.【新知学习】 定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形中，若，，则四边形是“筝形”． （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”，要求点是格点； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，“筝形”的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且，求对角线的长； 【拓展思考】 （3）如图3，在“筝形”中，，，，、分别是、上的点，平分，，，求“筝形”的面积． 9.定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 10. 小明同学在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为他积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是他尝试着给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． 特殊四边形（筝形）的探究学习单 观察猜想 定义： 四边形中，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 他在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形有一组对角应该是相等的．进一步观察后，发现这类“筝形”应该还具有其它性质，请再猜想一条筝形的性质： ；（除定义外） 推理验证 根据数学探究的步骤，小明需要对自己的猜想进行推理验证： 任务二： 如图，筝形中，，求证：． 性质应用 任务三： 如图，筝形中， ，，求筝形的面积． 任务四： 如图，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数为__________． 拓展推广 注意：以下两个任务的难度分别由易到难，分值分别为1分和2分，同学们可以根据自己的能力自主选择其中一道作答，多做的按高分值给分，不另外加分． 任务五： 如图，在筝形，若，求证： 任务六： 如图，四边形中，，，，点是的中点，，求的最大值． 11.定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是_________． （2）如图1，在方格纸中，在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使是对角线，点在格点上． （3）如图2，在正方形中，点分别在上，且，求证：四边形是垂等四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $