期末数学模考练习试卷2025-2026学年第二学期浙江温州市八年级下册

**基本信息** 立足八年级数学核心内容，以“哪吒2”票房、足球表面图形等时代与生活情境为载体，梯度设计24题（120分），考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、反比例函数性质|6题通过校际成绩表考查数据意识| |填空题|6/18|一元二次方程解、正方形与反比例函数综合|13题结合足球图形考多边形内角和| |解答题|8/72|平行四边形证明、统计图表分析、“圆满四边形”探究|21题以手办销售为背景设计利润问题，24题正方形综合题分层考查迁移应用能力|

2025-2026学年第二学期浙江省温州市八年级期末数学模考练习试卷 全卷共24小题，满分为120分．考试时间为120分钟. 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ 　　） A． B． C． D． 2.下列计算结果正确的是（ 　　） A． B． C． D． 3．在直角坐标系中，设反比例函数y＝，其中k＞0． 若点A（﹣2，a），B（1，b），C（3，c）均在该函数的图象上，则（ 　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 4．把方程的左边配方后可得方程（ 　　） A． B． C． D． 5．用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设（ 　　） A．等腰三角形的底角大于 B．等腰三角形的底角等于 C．等腰三角形的底角小于 D．等腰三角形的底角大于或等于 6. 在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（ 　　） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 7. 某商店销售连衣裙，每条盈利元，每天可以销售条．商店决定降价销售，经调查，每降价元， 商店每天可多销售条连衣裙．若想要商店每天盈利元，每条连衣裙应降价（ 　　） A． 元 B． 元 C． 元 D．元或元 8． 如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于F，连接； 再分别以B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G， 连接并延长交于E．则以下结论： ①平分；②平分；③垂直平分线段；④． 其中正确的是（ 　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 9． 如图，正方形ABCD的顶点A的坐标为（-1，0），点D在反比例函数y=的图象上， B点在反比例函数y=的图象上，AB的中点E在y轴上，则m的值为（ 　　） A． B． C． D． 10. 如图，在矩形中，交于点，点在上，连结交于点， 且．若，则的长为（ 　　） A. 6 B. 8 C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11．若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为 ． 12．小丽参加“强国有我”主题演讲比赛，其形象、内容、表达三项的成绩分别是85分、90分、80分， 13．足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ． 14．如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为_____． 15． 如图，正方形的顶点，分别在轴正半轴和轴正半轴上， 过点的反比例函数的图象交正方形对角线于点． 若正方形的面积为40，且点是的中点，则的值为 ． 16． 如图，矩形中，是边上一点，将沿翻折，得到， 延长交线段的延长线于点，交线段于点，若，，， 则线段的长为_______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．计算： (1) (2) 18．选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 19．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF， (1)求证：AE＝CF； (2)求证：四边形AECF是平行四边形． 20. 为了解同学们上学年参加社会实践活动的天数，调研组随机抽查了该市部分八年级学生， 并用得到的数据绘制了以下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题： (1) 本次共抽查了______人； (2) 补全条形统计图； (3) 在这次调查中，参加社会实践活动天数的众数是______，中位数是_____； (4) 本市共有八年级学生14400人，请你估计“参加社会实践活动时间不少于9天”的有多少人？ 21.列方程，解应用题 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 22．综合与实践 【定义学习】 若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为），则称这个四边形为“圆满四边形”． 【概念理解】 （1）在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是 _____ ；（请填写序号） 【性质探究】 （2） 如图1，已知四边形是“圆满四边形”，若，，对角线， 求四边形的周长． 【判定探究】 （3） 如图2，已知平分，点在射线上，于点，于点， 点在射线上，点在线段上，，连接，． 求证：四边形GOHC为“圆满四边形”． 23. 如图，点和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点． (1)求m、n的值； (2)求一次函数的表达式； (3)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 24．在正方形中． (1)【发现】 如图1，为对角线上一点，连接，．则与相等吗？说明理由． (2)【应用】 如图2，点在上，连接，，延长交于点，交的延长线于点， 若，且，求正方形的边长． (3)【迁移】 若正方形的边长为，点在射线上，连接，，射线交直线于点，请问： 是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出该三角形的腰长；若不存在，试说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期浙江省温州市八年级期末数学模考练习试卷（解析版） 全卷共24小题，满分为120分．考试时间为120分钟. 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 下列各图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ 　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 2.下列计算结果正确的是（ 　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B、C、D进行判断． 【详解】解：A、，故错误； B、，故正确； C、，故错误； D、，故错误； 故选：B． 3．在直角坐标系中，设反比例函数y＝，其中k＞0． 若点A（﹣2，a），B（1，b），C（3，c）均在该函数的图象上，则（ 　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【分析】根据反比例函数的性质即可得出结论． 【解答】解：∵k＞0， ∴反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限， ∴在每一象限内y随x的增大而减小， ∵点A（﹣2，a），B（1，b），C（3，c）在反比例函数y＝，的图象上，且﹣2＜0＜1＜3， ∴a＜0，b＞c＞0， ∴a＜c＜b， 故选：B． 4．把方程的左边配方后可得方程（ 　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把常数项移项后，再在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，继而可求得答案. 【详解】， ， ， . 故选：. 5．用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设（ 　　） A．等腰三角形的底角大于 B．等腰三角形的底角等于 C．等腰三角形的底角小于 D．等腰三角形的底角大于或等于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设等腰三角形的底角大于或等于， 故选： D． 6.在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（ 　　） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的概念及应用，利用加权平均数的概念分析人数是解决本题的关键． 根据加权平均数的概念，年级平均分由男生和女生的平均分及其人数比例决定，比较各校年级平均分与男女平均分的距离，可推断男生比例高低． 【详解】解：甲学校分析：年级平均分92分，介于男生95分和女生85分之间， 92距95差3分，距85差7分，说明男生人数多于女生，男生比例更高； 乙学校分析：年级平均分91分，介于男生97分和女生87分之间， 91距97差6分，距87差4分，说明女生人数多于男生，女生比例更高， A：年级平均分无法推断总人数，错误； B：男生人数需结合总人数，无法确定，错误； C：甲校男生比例高于乙校，正确； D：甲校男生多于女生，错误． 故选：C． 7.某商店销售连衣裙，每条盈利元，每天可以销售条．商店决定降价销售，经调查，每降价元， 商店每天可多销售条连衣裙．若想要商店每天盈利元，每条连衣裙应降价（ 　　） A． 元 B． 元 C． 元 D．元或元 【答案】D 【分析】假设每条连衣裙降价元，根据题意可列出每天可售出多少条，再根据总利润单件利润销售数量，即可列出关于的一元二次方程，解出即为结论． 【详解】设每条连衣裙降价元，则每天售出条， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 每条连衣裙应降价元或元， 故选：． 8． 如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于F，连接； 再分别以B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G， 连接并延长交于E．则以下结论： ①平分；②平分；③垂直平分线段；④． 其中正确的是（ 　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据作图可知平分，判断①；和平行四边形的性质，推出，判断②；交于点，角平分线和平行四边形的性质，推出，，判断③；条件不足，无法得到，判断④． 【详解】解：由作图方法可知：，平分，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分；故②正确； 如图：交于点，      ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴垂直平分线段；故③正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 综上：正确的是①②③； 故选A． 9． 如图，正方形ABCD的顶点A的坐标为（-1，0），点D在反比例函数y=的图象上， B点在反比例函数y=的图象上，AB的中点E在y轴上，则m的值为（ 　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设B（a，），由A点和中点坐标公式可得a的值，从而得出B点坐标；过B作BM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，由△DAN≌△ABM可得DN、AN的长度，便可求得D点坐标，再代入反比例函数y=求m即可； 【详解】解：B点在反比例函数y=的图象上，设B（a，）， ∵AB的中点E在y轴上，A的坐标为（-1，0）， ∴（-1+a）=0，解得：a=1，即B（1，2）， 如图，过B作BM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N， ABCD是正方形，则AD=BA，∠BAD=90°， ∵∠DAN+∠ADN=90°，∠DAN+∠BAM=90°， ∴∠ADN=∠BAM，又∵∠AND=∠BMA=90°，AD=BA， ∴△DAN≌△ABM（AAS），∴DN=AM=2，NA=MB=2， ∵A（-1，0），∴D（-3，2），代入比例函数y=得：m=-6， 故选： C． 10. 如图，在矩形中，交于点，点在上，连结交于点，且．若，则的长为（ 　　） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，对顶角相等和余角的性质等，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．连接交于点O，连接，令交于点M，根据三角形中位线定理、平行线的性质、对顶角相等和余角的性质可得，设，，则，解方程求出x的值，即可求出的值． 【详解】解：连接交于点O，连接，令交于点M， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 则， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11．若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 12．小丽参加“强国有我”主题演讲比赛，其形象、内容、表达三项的成绩分别是85分、90分、80分，若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小丽的最终比赛成绩为______分． 【答案】86 【分析】本题主要考查了求加权平均数，根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：小丽的最终比赛成绩为（分）． 故答案为：． 13．足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ． 【答案】12°/12度 【分析】先由多边形的内角和公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是360°即可求出∠AOB的大小． 【详解】解：因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形每个内角都相等， 所以正五边形的每个内角的度数为（5-2）•180°=108°， 正六边形的每个内角的度数为（6-2）•180°=120°． ∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°． 故答案为：12°． 14．如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】24 【分析】此题考查了二次根式的应用，利用二次根式化简求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，求出大正方形的面积，即可得到阴影面积，正确掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分面积为 故答案为24． 15． 如图，正方形的顶点，分别在轴正半轴和轴正半轴上， 过点的反比例函数的图象交正方形对角线于点． 若正方形的面积为40，且点是的中点，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质．依据题意，作轴于，设，又由四边形为正方形，进而证明，可得，，故，，从而，则，结合四边形为正方形，对角线与互相平分，可得为的中点，故，又在反比例函数，则，即，又正方形的面积为，且，最后列出，进而建立，计算即可得解． 【详解】解：作轴于，设， 又由四边形为正方形， ，． ． 又， ， ． 又， ． ，． 又，， ． ． 四边形为正方形， 对角线与互相平分． 为的中点， 为的中点． ， 又在反比例函数， ． ． 又正方形的面积为， 且， ． ． ． ． 故答案为：16． 16． 如图，矩形中，是边上一点，将沿翻折，得到， 延长交线段的延长线于点，交线段于点，若，，， 则线段的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，由矩形的性质得到，由平行线的性质可得，再证明，得到；证明，得到，则可证明，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘法及减法可进行求解； （2）根据二次根式的混合运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 19．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF， (1)求证：AE＝CF； (2)求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF． （2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD． ∴∠ABE=∠CDF． 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）． ∴AE=CF． （2）∵△ABE≌△DCF， ∴∠AEB=∠CFD， ∴∠AEF=∠CFE， ∴AE∥CF， ∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 20. 为了解同学们上学年参加社会实践活动的天数，调研组随机抽查了该市部分八年级学生， 并用得到的数据绘制了以下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题： (1) 本次共抽查了______人； (2) 补全条形统计图； (3) 在这次调查中，参加社会实践活动天数的众数是______，中位数是_____； (4) 本市共有八年级学生14400人，请你估计“参加社会实践活动时间不少于9天”的有多少人？ 【答案】(1) (2)画图见解析 (3)， (4)估计“参加社会实践活动时间不少于9天”的共有3900人． 【分析】（1）用8天的人数除以其所占百分比可得总人数； （2）总人数减去其它天数的人数可得9天的人数，据此即可补全图形； （3）根据众数和中位数的定义求解可得； （4）用总人数乘以样本中9天和10天人数和所占比例可得． 【详解】（1）解：本次抽查的人数为（人）； 故答案为：48． （2）解：9天的人数为（人）， 补全图形如下： （3）∵数据7出现的次数最多， ∴参加社会实践活动天数的众数7天， 中位数是第24、25个数据的平均数，即（天）； 故答案为：7，8； （4）（人）， 答：估计“参加社会实践活动时间不少于9天”的共有3900人． 21.列方程，解应用题 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；任务2：下调后每个手办的售价为50元；任务3：不能 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，根据题意得到，进而问题可求解． 任务3：假设平均每天能获利2100元，设此时下调后每个手办的售价为元，列出方程求解即可． 【详解】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又 ∵要尽量减少库存， ， 答：下调后每个手办的售价为50元． 任务3：设下调后每个手办的售价为元， 则， 整理得：， ， 故平均每天不能获利2100元． 22．综合与实践 【定义学习】 若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为），则称这个四边形为“圆满四边形”． 【概念理解】 （1）在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是 _____ ；（请填写序号） 【性质探究】 （2） 如图1，已知四边形是“圆满四边形”，若，，对角线， 求四边形的周长． 【判定探究】 （3） 如图2，已知平分，点在射线上，于点，于点， 点在射线上，点在线段上，，连接，． 求证：四边形GOHC为“圆满四边形”． 【答案】（1）①；（2）14；（3）见解析． 【分析】（1）根据“圆满四边形”定义即可解决问题； （2）证明，得，根据“圆满四边形”定义和勾股定理即可解决问题； （3）证明，得，然后证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：矩形的四个内角都是， 矩形的两组对角的和为， 矩形是“圆满四边形”， 故答案为：①； （2）解：，，， ， ， 四边形是“圆满四边形”， ， ， ，， ， 四边形的周长； （3）证明：平分，于点，于点， ，， ， ， ， ， ， 四边形为“圆满四边形”． 23. 如图，点和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点． (1)求m、n的值； (2)求一次函数的表达式； (3)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) (4)，或，或 【分析】（1）点和分别代入反比例函数，即可求得m、n的值； （2）将点和分别代入一次函数，解方程组求出k、b的值即得； （3）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P为所求点，设的表达式为，将点、分别代入求得，得到的表达式为，当时，，即得点P的坐标； （4）设点D的坐标为，根据点A、B、P的坐标分别为、、，当是边时，则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点向右平移2个单位向下平移4个单位得到，得到或；当AB是对角线时，根据中点公式得到；得到点D的坐标为，或，或． 【详解】（1）将点代入反比例函数， 得，，， ∴， 将代入， 得，，， ∴，； （2）将点和分别代入一次函数， 得，， 解得，， ∴； （3）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P为所求点， 理由：的周长为最小， 设的表达式为 ∵点、， ∴， 解得，， ∴的表达式为， ∴时，， 故点P的坐标为； （4）D的坐标为，或，或．理由： 由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、， 设点D的坐标为， ①当是边时， 则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点向右平移2个单位向下平移4个单位得到， 则0+2=s，5﹣4=t或0﹣2=s，5+4=t， 解得或； ②当AB是对角线时， 由中点公式得：， ， 解得； 故点D的坐标为，或，或． 24．在正方形中． (1)【发现】 如图1，为对角线上一点，连接，．则与相等吗？说明理由． (2)【应用】 如图2，点在上，连接，，延长交于点，交的延长线于点， 若，且，求正方形的边长． (3)【迁移】 若正方形的边长为，点在射线上，连接，，射线交直线于点，请问： 是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出该三角形的腰长；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2) (3)存在点，使得为等腰三角形，该三角形的腰长为或或 【分析】（1）相等．利用正方形的性质证明即可； （2）利用正方形的性质和等边对等角可得，结合和等角对等边，可得，再利用三角形外角的性质有，根据直角三角形的两锐角互余可得，设正方形的边长为，得到， 在中，，得到关于的方程，求解即可； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：相等．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴正方形的边长为． （3）①如图，点在线段上，且点靠近点， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴， ∴，即是钝角三角形， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； ②如图，点在线段上，且点靠近点， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴， ∴，即是钝角三角形， 当时，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； ③如图，点在线段的延长线上， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴， ∴，即是钝角三角形， 当时，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 综上所述，存在点，使得为等腰三角形，该三角形的腰长为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $