5.2菱形的复习 2025-2026学年八年级第二学期期末复习专题二

**基本信息** 本练习以菱形性质为核心，分层设计基础理解、能力应用、综合创新三层次题目，覆盖从单一性质到动态综合问题，培养几何直观与推理能力，适配期末复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|菱形性质（对角线、中点）、面积计算|如第1题结合对角线与中点求线段长，直接应用性质| |能力应用|特殊角（60°/120°）、动点路径、折叠变换|如第2题动点运动中线段和不变，训练动态思维| |综合创新|多结论判断、规律探究、最值问题|如第10题中点四边形周长规律，培养创新意识与推理能力|

2025学年八年级第二学期期末复习专题二：菱形的复习 【例】如图，在菱形ABCD中，点E是边AD的中点，点F在边AB上，若AF＝2，∠A＝60°，∠BFC＝2∠DCE，则菱形的边长为 　 ． 【变式练习】 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AD边中点．若菱形ABCD的面积为24，OA＝3，则OE的长为（　　） A．2.5 B．5 C． D． 2.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　） A．逐渐增加 B．逐渐减小 C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等 3.如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 2； B. ； C. 4； D. ． 4．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+的值最小时，线段PD的长是（　　） A． B． C． D．版权所有 5.如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E是线段AB上一点（不与A，B重合），作∠EDF交BC于点F，且∠EDF＝60°，则△BEF周长的最小值是（　　） A．6 B．4 C．4+ D．4+2 6．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，点E是边AB上一点，点F在BC上，在以下四个结论中不正确的是（　　） A．若AE+CF＝4，则△ADE≌△BDF B．若DF⊥AD，DE⊥CD，则EF＝2 C．若∠DEB＝∠DFC，则△BEF周长的最小值（4+2） D．若DE＝DF，则∠ADE+∠FDC＝60° 7.如图，在菱形ABCD中，对角形AC，BD相交于点O．过点D作DE⊥AB于E，点F是AD边中点，若BD＝6，菱形ABCD的面积为24，则EF长为 　 ． 8.如图，在菱形ABCD中，E为边AB上的一点，将菱形沿DE折叠后，点A恰好落在边BC上的F处．若EF垂直对角线BD，则∠A＝　 　 度． 9如图，在菱形ABCD中，AC和BD为两条对角线，分别作∠BAO和∠DAO的角平分线交BD于点N和M，且∠MAN＝∠ABC，则∠ABC＝　 　 °． 10.如图，在菱形中，边长为10，，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是 ；四边形的周长 ． 11．如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．四边形A12B12C12D12的周长是（　　） A． B． C． D．5 12.如图，已知菱形ABCD的面积为，，点P，Q分别是在边BC，CD上（不与C点重合），且CP＝CQ，连结DP，AQ，则DP+AQ的最小值为 　 　 ． 13.．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝16cm，BD＝12cm． （1）求菱形ABCD的边长； （2）求菱形ABCD的高DM． 14.在边长为1的菱形ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交对角线BD于点E． （1）若AE＝DE时，求∠ABD的度数； （2）设AB＝k•AE， ①当k＝2时，求BD的长； ②用含k的代数式表示． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年八年级第二学期期末复习专题二：菱形的复习 【例】如图，在菱形ABCD中，点E是边AD的中点，点F在边AB上，若AF＝2，∠A＝60°，∠BFC＝2∠DCE，则菱形的边长为 　5　 ． 【分析】先证∠EFC＝∠DCE，再延长CE与BA的延长线于G，过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H，在Rt△BCH中，设BH＝x，则BC＝CD＝AB＝2x，，再证△DEC和△AEG全等，得AG＝CD＝2x，从而得GF＝CF＝AG+2＝2x+2，FH＝3x﹣2，然后在Rt△FCH中由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x即可得出菱形的边长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，CD∥AB，BC∥AD， ∴∠FCD＝∠BFC， ∵∠BFC＝2∠DCE， ∴∠FCD＝2∠DCE， 即：∠DCE+∠EFC＝2∠DCE， ∴∠EFC＝∠DCE， 延长CE与BA的延长线于G，过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H，如图所示： ∵BC∥AD，∠A＝60°， ∴∠CBH＝60°， ∴∠BCH＝30°， 设BH＝x，则BC＝CD＝AB＝2x，由勾股定理得：， ∵CD∥AB， ∴∠G＝∠DCE＝∠EFC， ∴CF＝GF， ∵点E为AD的中点， ∴AE＝DE， 在△DEC和△AEG中， ， ∴△DEC≌△AEG（AAS）， ∴AG＝CD＝2x， ∵AF＝2， ∴GF＝CF＝AG+2＝2x+2， ∴FH＝AB+BH﹣AF＝3x﹣2， 在Rt△FCH中，FH＝3x﹣2，，CF＝2x+2， 由勾股定理得：CF2＝FH2+CH2， 即（2x+2）2＝（3x﹣2）2+（√3x）2， 解得：x＝2.5， ∴BC＝2x＝5． 即菱形的边长为5． 故答案为：5。 【变式练习】 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AD边中点．若菱形ABCD的面积为24，OA＝3，则OE的长为（　　） A．2.5 B．5 C． D． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【分析】根据菱形的性质和面积，可以得到BD的长，从而可以得到OD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到OE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵菱形ABCD的面积为24，OA＝3， ∴AC＝2OA＝6，24， ∴BD＝8， ∴OD＝4， ∴AD5， ∵E为AD边中点， ∴OEAD＝2.5， 故选：A． 2.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　） A．逐渐增加 B．逐渐减小 C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等 【分析】证明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF，根据线段的和可知：AE+CF＝AB，是一定值，可作判断． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝BD，∠ABD＝60°， ∵DC∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD＝60°， ∴∠A＝∠CDB， ∵∠EBF＝60°， ∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF， ∴∠ABE＝∠DBF， 在△ABE和△DBF中， ∵， ∴△ABE≌△DBF（AAS）， ∴AE＝DF， ∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB， 故选：D． 3.如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 2； B. ； C. 4； D. ． 【答案】B． 【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时，PK+QK的最小值，然后求解即可． 【解答】解：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q， ∵AB＝4，∠A＝120°， ∴点P′到CD的距离为4×＝2， ∴PK+QK的最小值为2，故选：B． 4．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+的值最小时，线段PD的长是（　　） A． B． C． D．版权所有 【分析】先过P作PE⊥BC于E，连接AP，根据△ABP≌△CBP可得AP＝CP，当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，此时，PC+的值最小，再根据含30°角的直角三角形的性质进行计算，即可得到线段PD的长． 【解答】解：如图，过P作PE⊥BC于E，连接AP， 由菱形ABCD，可得AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝∠ADP＝30°， ∴△ABP≌△CBP，BP＝2PE，∴AP＝CP， ∴PC+＝AP+PE，∵当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短， ∴此时，PC+的值最小，AP⊥AD，∵Rt△ABE中，AB＝2， ∴BE＝1，AE＝，∴Rt△BEP中，PE＝， ∴AP＝，∵∠ADP＝30°， ∴Rt△ADP中，PD＝2AP＝， 故选：A． 5.如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E是线段AB上一点（不与A，B重合），作∠EDF交BC于点F，且∠EDF＝60°，则△BEF周长的最小值是（　　） A．6 B．4 C．4+ D．4+2 【答案】D 【分析】只要证明△DBE≌△DCF得出△DEF是等边三角形，因为△BEF的周长＝BE+BF+EF＝BF+CF+EF＝BC+EF＝4+EF，所以等边三角形△DEF的边长最小时，△BEF的周长最小，只要求出△DEF的边长最小值即可． 【解答】解：连接BD， ∵菱形ABCD中，∠A＝60°， ∴△ADB与△CDB是等边三角形， ∴∠DBE＝∠C＝∠60°，BD＝DC， ∵∠EDF＝60°， ∴∠BDE＝∠CDF， 在△BDE和△CDF中，， ∴△DBE≌△DCF， ∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，BE＝CF， ∴∠EDF＝∠BDC＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∵△BEF的周长＝BE+BF+EF＝BF+CF+EF＝BC+EF＝4+EF， ∴等边三角形△DEF的边长最小时，△BEF的周长最小， 当DE⊥AB时，DE最小＝2， ∴△BEF的周长最小值为4+2， 故选：D． 6．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，点E是边AB上一点，点F在BC上，在以下四个结论中不正确的是（　　） A．若AE+CF＝4，则△ADE≌△BDF B．若DF⊥AD，DE⊥CD，则EF＝2 C．若∠DEB＝∠DFC，则△BEF周长的最小值（4+2） D．若DE＝DF，则∠ADE+∠FDC＝60° 【分析】A、正确，只要证明△ADE≌△BDF即可证明． B、正确，只要证明DF⊥BC，△DEF是等边三角形即可． C、正确，只要证明△DBE≌△DCF得出△DEF是等边三角形，因为△BEF的周长＝BE+BF+EF＝BF+CF+EF＝BC+EF＝4+EF，所以等边三角形△DEF的边长最小时，△BEF的周长最小，只要求出△DEF的边长最小值即可． C、错误，当EF∥AC时，DE＝DF，由此即可判断． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120° ∴AD＝DC＝BC＝AB＝4，∠ABD＝∠DBC＝60°， ∴△ADB、△BDC都是等边三角形，∴AD＝BD，∠DAE＝∠DBF＝60°， ∵AE+CF＝4，BF+CF＝4，∴AE＝BF， 在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF．故A正确． B、∵DF⊥AD，AD∥BC，∴DF⊥BC， ∵△DBC是等边三角形，∴∠BDF＝30°，DF＝CD＝2， 同理∠BDE＝30°，DE＝2，∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∴△EDF是等边三角形，∴EF＝DE＝2．故B正确． C、在△BDE和△CDF中，， ∴△DBE≌△DCF， ∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，BE＝CF， ∴∠EDF＝∠BDC＝60°，∴△DEF是等边三角形， ∵△BEF的周长＝BE+BF+EF＝BF+CF+EF＝BC+EF＝4+EF， ∴等边三角形△DEF的边长最小时，△BEF的周长最小， 当DE⊥AB时，DE最小＝2，∴△BEF的周长最小值为4+2，故C正确 D、错误，当EF∥AC时，DE＝DF，此时∠ADE+∠FDC是变化的不是定值．故D错误． 故选：D． 7.如图，在菱形ABCD中，对角形AC，BD相交于点O．过点D作DE⊥AB于E，点F是AD边中点，若BD＝6，菱形ABCD的面积为24，则EF长为 　　 ． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】由菱形的面积公式可求AC的长，由勾股定理可求AD的长，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6， ∴AO＝CO，BO＝DO＝3，AC⊥BD， ∵菱形ABCD的面积为24， ∴24， ∴AC＝8， ∴AO＝CO＝4， ∴AD5， ∵DE⊥AB，点F是AD边中点， ∴EFAD， 故答案为：． 8.如图，在菱形ABCD中，E为边AB上的一点，将菱形沿DE折叠后，点A恰好落在边BC上的F处．若EF垂直对角线BD，则∠A＝　72　 度． 【专题】矩形 菱形 正方形；展开与折叠；几何直观；推理能力． 【分析】利用菱形的性质设，求得∠EFD＝α，∠FED＝2α，∠CFD＝2α，利用平角的性质计算即可求解． 【解答】解：连接AC、BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD＝CD，， 设， ∵EF垂直对角线BD， ∴EF∥AC， ∴∠BEF＝∠BFE＝∠BAC＝∠BCA＝α， 由折叠的性质知∠EFD＝∠BAD＝2α，AD＝FD， ∴CD＝FD， ∴∠CFD＝∠FCD＝2α， ∵∠BFE+∠EFD+∠CFD＝180°， ∴5α＝180°， 解得 α＝36°， ∴∠BAD＝72°， 故答案为：72． 9如图，在菱形ABCD中，AC和BD为两条对角线，分别作∠BAO和∠DAO的角平分线交BD于点N和M，且∠MAN＝∠ABC，则∠ABC＝　60　 °． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】根据菱形的性质和角平分线的定义证明∠ABO＝30°，进而可以解决问题． 【解答】解：∵AN，AM分别是∠BAO和∠DAO的角平分线， ∴∠OANOAB，∠OAMOAD， ∴∠MAN＝∠OAN+∠OAM（∠OAB+∠OAD）BAD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC＝2∠ABO，AC⊥BD，∠BAD＝∠BAO， ∵∠MAN＝∠ABC， ∴∠BAO＝2∠ABO， ∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴3∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝30°， ∴∠ABC＝2∠ABO＝60°， 故答案为：60． 10.如图，在菱形中，边长为10，，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是 ；四边形的周长 ． 【答案】20，． 【分析】根据菱形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长，得出规律求出即可． 【解答】解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°，顺次连结菱形ABCD各边中点， ∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形， ∴A1D1＝5，C1D1＝AC＝5，A2B2＝C2D2＝C2B2＝A2D2＝5， ∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4＝20， 同理可得出：A3D3＝5×，C3D3＝C1D1＝×5， A5D5＝5×（）2，C5D5＝C3D3＝（）2×5， … ∴四边形A2015B2015C2015D2015的周长是： 故答案为：20；． 11．如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．四边形A12B12C12D12的周长是（　　） A． B． C． D．5 【分析】根据题意求出菱形ABCD的周长，根据中点四边形的性质得到A12B12C12D12是菱形，根据题意总结规律得到答案． 【解答】解：根据中点四边形的性质可知，A1B1C1D1、A3B3C3D3…是矩形， A2B2C2D2、A4B4C4D4…是菱形， ∵菱形ABCD的周长是10×4＝40， ∴菱形A2B2C2D2的周长是40×， 菱形A4B4C4D4的周长是40×， … 则四边形A12B12C12D12的周长是40×＝＝， 故选：B． 12.如图，已知菱形ABCD的面积为，，点P，Q分别是在边BC，CD上（不与C点重合），且CP＝CQ，连结DP，AQ，则DP+AQ的最小值为 　　 ． 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【分析】过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM，根据菱形的性质和勾股定理可得BM＝3，以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，可得B（0，0），A（1，2），C（，0），D（1，2），A′（1，﹣2），然后证明△ABP≌△ADQ（SAS），可得AP＝AQ＝A′P，连接A′D，AP，A′P，由A′P+PD＞A′D，可得A′，P，D三点共线时，PD+A′P取最小值，所以PD+AQ的最小值＝PD+A′P的最小值＝A′D，利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠ADC， ∵菱形ABCD的面积为，， ∴AM＝2， 在Rt△ABM中，根据勾股定理得： BM1， 以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系， ∴B（0，0），A（1，2），C（，0），D（1，2），A′（1，﹣2）， ∵PC＝CQ，BC＝CD， ∴BP＝DQ， 在△ABP和△ADQ中， ， ∴△ABP≌△ADQ（SAS）， ∴AP＝AQ＝A′P， 连接A′D，AP，A′P， ∵A′P+PD＞A′D， ∴A′，P，D三点共线时，PD+A′P取最小值， ∴PD+AQ的最小值＝PD+A′P的最小值＝A′D． 故答案为：． 13.．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝16cm，BD＝12cm． （1）求菱形ABCD的边长； （2）求菱形ABCD的高DM． 【分析】（1）直接利用菱形的性质结合勾股定理得出其边长即可； （2）利用菱形的面积公式即可求出答案． 【解答】解：（1）∵菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝16cm，BD＝12cm， ∴AO＝CO＝8cm，BO＝DO＝6cm， ∴菱形的边长AB为：＝10（cm）； （2）由题意可得：AB×DM＝×16×12， ∴菱形的高DM＝9.6cm． 14.在边长为1的菱形ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交对角线BD于点E． （1）若AE＝DE时，求∠ABD的度数； （2）设AB＝k•AE， ①当k＝2时，求BD的长； ②用含k的代数式表示． 【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力． 【分析】（1）根据圆的性质AB＝BE，则∠BAE＝∠AEB，根据菱形的性质∠ABD＝∠ADB，又AE＝DE，∠ADB＝∠DAE，设∠ABD＝x°，根据三角形的内角和即可求出x，进而作答即可； （2）①过点B作BM⊥AE于点M，连接AC交BD于点O，根据菱形性质AC⊥BD，根据k＝2，在直角三角形ABM中，根据勾股定理求出BM，根据等面积求出AO的长，再根据勾股定理求出BO的长，根据BD＝2BO，即可作答； ②过点B作BT⊥AE于点T，连接AC交BD于点Q，根据菱形性质AC⊥BD，在直角三角形ABT中，根据勾股定理求出BT，根据等面积求出AQ的长，再根据勾股定理求出BQ和QE的长，根据DE＝QD﹣QE＝QB﹣QE，即可作答； 【解答】解：（1）∵以点B为圆心，BA长为半径画弧，交对角线BD于点E， ∴AB＝BE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∵菱形ABCD， ∴∠ABD＝∠ADB， 又AE＝DE， ∴∠ADE＝∠DAE， 设∠ABD＝x°， 则∠ADE＝∠DAE＝x°， ∴∠AEB＝∠EAB＝（2x）°， ∠ABD+∠EAB+∠AEB＝180°， 即x+2x+x＝180， 解得x＝36°， ∴∠ABD的度数为36°； （2）①过点B作BM⊥AE于点M，连接AC交BD于点O， ∵AC和BD是菱形ABCD对角线， ∴AC⊥BD，且BD＝2BO， ∵k＝2，AB＝k•AE，AB＝1， ∴AE， 又∵AB＝BE， ∴AMAE， 在直角三角形ABM中， AB2＝AM2+BM2， ∴BM， S△ABEAE•BMBE•AO， 即1×AO， ∴AO， 在Rt△AOB中， AB2＝AO2+BO2， ∴BO， ∴BD＝2BO， ∴BD的长为； ②过点B作BT⊥AE于点T，连接AC交BD于点Q， ∵AC和BD是菱形ABCD对角线， ∴AC⊥BD，且BD＝2BQ， ∵AB＝k•AE，AB＝1， ∴AE， 又∵AB＝BE， ∴AMAE， 在直角三角形ABM中， AB2＝AT2+BT2， ∴BT， S△ABEAE•BTBE•AO， 即1×AO， ∴AQ， 在Rt△AQB中， AB2＝AQ2+BQ2， ∴BQ， 在Rt△AQE中， AE2＝AQ2+QE2， ∴QE， ∴DE＝QD﹣QE＝QB﹣QE， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $