21.3.3.2 正方形的判定 课件 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

该初中数学课件聚焦正方形的判定与性质，通过知识回顾正方形概念及性质，引导学生从矩形、菱形的特殊性出发猜想判定定理，搭建从性质到判定的学习支架，梳理知识脉络。 其亮点在于以猜想证明和韦恩图构建知识体系，培养推理能力与几何直观，如推导“有一组邻边相等的矩形是正方形”时结合定义严谨论证，辅以当堂检测提升应用意识。学生能深化逻辑思维，教师可高效推进教学。

21.3.3正方形 第二十一章 四边形 人教版(2024) 素养目标 1 理解并掌握正方形的判定办法和推导过程； 2 能熟练运用正方形的判定办法进行计算和证明； 3 经历正方形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力. 知识回顾 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 2.正方形的性质： ①边：对边平行；四边相等 ④对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. ②角：四个角都是直角 ⑤对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴. 1.正方形的概念： A D C B O 性质：正方形四条边都相等，四个角都是直角.  猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 猜想2：有一个角是直角的菱形是正方形. 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知:如图,在矩形ABCD中,AB=AD, 求证: 矩形ABCD是正方形 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°,四边形ABCD也是平行四边形， ∵AB=AD, ∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义） 结论： 有一组邻边相等的矩形是正方形. 猜想2：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知:如图,在菱形ABCD中,∠A=90°, 求证: 菱形ABCD是正方形 证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°, ∴AB=CD=BC=DA,四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 结论： 有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：如图，四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四条边都相等，四个角都是直角. 尝试证明 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形， 所以四边形ABCD是矩形（矩形的定义）， 且四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD. A B C D 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交与点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD. 尝试证明 A B C D O 证明：在四边形ABCD 中， ∵正方形是矩形， ∴AO=BO=CO=DO. 又∵正方形是菱形， ∴AC⊥BD. 正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？ 菱形 矩形 轴对称图形 正方形 对称轴是两条对角线所在的直线 对称轴是过对边中点的两条直线 思考 正方形是不是具有矩形和菱形的一切性质呢？ 平行四边形 性质：正方形＝平行四边形＋矩形＋菱形． 菱形 矩形 正方形 证明结论 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 总结归纳 正方形判定的几条途径： 先判定菱形 ①一个直角②对角线相等 二选一 正方形 先判定矩形 ①一组邻边相等②对角线垂直 二选一 正方形 平行四边形 正方形 ①一邻边相等 ②一内角直角 同时满足 A D C B O 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证： △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC = BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都 是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 分析： 要判断一个三角形是等腰直角三角形的条件是什么？判定两个三角形全等的条件又是什么？ 知识点2： 正方形的判定 问题 你是如何判定矩形、菱形的？ 思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 四个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 探究新知 2. 如图，一个木匠要制作一块矩形的木板. 他在一块对边平行 的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到 矩形木板. 为什么？ 解：如图，∵AB ⊥ BC，CD ⊥ BC， ∴易得 AB∥CD，∠ABC = 90°. ∵AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又∠ABC = 90°，∴ □ ABCD 是矩形. 因此，他能得到矩形木板. 【选自教材第79页 习题21.3 第2题】 3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 2AC . 利用本节所学的直角三角形的性质，求∠A，∠B 的度数. 解：如图，取 AB 的中点 D，连接 CD. ∵CD 是Rt△ABC 斜边上的中线， ∴△ACD 是等边三角形. ∴∠A = 60°. 又∠ACB = 90°，∴∠A + ∠B = 90°，∴∠B = 30°. ∴CD = AB = AD . ∵AB = 2AC，∴AC = AB. ∴AC = CD = AD . 【选自教材第79页 习题21.3 第3题】 当堂检测 2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （　　） A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 A 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD= ∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． AB=BC(答案不唯一) A B C D O 4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是____________（只填写序号）． ②③或①④ 返回 1．如图，四边形ABCD是正方形，AD平行于x轴，A，C两点的坐标分别为(－2，2)，(1，－1)，则 点B的坐标是(　　) A．(－1，－2) B．(－1，－3) C．(－2，－1)　 D．(－3，－1) C 19 返回 2．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB，BC于点E，F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C 20 已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF． 求证：(1)AE=AF；(2)EA⊥AF． 1 2 3 已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF． 求证：(1)AE=AF；(2)EA⊥AF． 1 2 3 证明：(1)∵ ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°. 在△ABF与△ADE中，AD=AB, ∠ADE=∠ABF=90°，DE=BF, ∴ △ABF≌△ADE(SAS). ∴ AE=AF ,∠1=∠3. (2)∵∠2+∠3=90°， ∴∠1+∠2=90°即 EA⊥FA. 归纳 有一个角是直角的菱形是正方形. 通过以上证明，我们得到正方形的一个判定： 数学语言： 在菱形ABCD中，∵ ∠A=90〫, ∴四边形ABCD是正方形. A B D C O 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线相互垂直 一组邻边相等 或对角线相互垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 对角线相等且互相垂直 归纳 $