专题09数据的初步分析期末复习讲义(23大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题09数据的初步分析期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记频数、频率的定义与计算公式，掌握数据分组、频数分布表、频数分布直方图的相关概念，区分频数直方图与普通条形图的差异。 2.精准掌握数据集中趋势统计量：算术平均数、加权平均数、中位数、众数的定义、计算方法及各自统计意义。 3.掌握数据离散程度统计量：极差、方差的概念与计算公式，理解方差越小、数据波动越小、稳定性越强的核心规律。 4.明晰用样本估计总体的统计思想，理清各类统计量的适用场景、区别与联系，构建完整统计知识体系。 1.具备规范计算能力，能准确计算平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差，熟练处理分组数据、频数数据。 2.具备数据整理与作图能力，能独立完成数据分组、绘制频数分布表、频数分布直方图，并能准确读取图表信息、分析数据特征。 3.具备数据分析与决策能力，能根据实际情境，合理选择统计量分析数据，评判数据平均水平、波动稳定性，做出科学判断与决策。 4.培养统计思维，提升数形结合、数据分析、解决生活中实际统计问题的综合能力 1.熟练应对概念辨析、统计量求值、频率计算等基础选择填空题，杜绝公式混淆、计算失误，保证基础满分。 2.熟练掌握频数分布表补全、频数直方图绘制与读图题型，规范答题格式，拿满基础步骤分。 3.攻克加权平均数、方差计算及数据分析应用题，熟练掌握 “用方差判断稳定性、用统计量做决策” 的必考答题模板。 4.掌握统计综合题型解题思路，能结合实际场景分析数据、归纳结论，突破期末统计压轴应用题，提升综合得分率。 题型01.由数据描述求频数与频率 题型02.频数分布表 题型03.频数分布直方图 题型04.用样本频数估计总体频数 题型05.由样本所占百分比估计总体数量 题型06.用样本率估计总体相应率 题型07.样本频率区间估计总体数量 题型08.求一组数据的平均数 题型09.由已知平均数求未知数据的值 题型10.用平均数做决策 题型11.求加权平均数 题型12.用加权平均数做决策 题型13.求中位数 题型14.由中位数求未知数据的值 题型15.由中位数做决策 题型16.求众数 题型17.由众数做决策 题型18.求离差平方和 题型19.求方差 题型20.由方差求未知数据的值 题型21.由方差作决策 题型22.由方差判断稳定性 题型23.求四分位数与画箱线图 模块一:数据的整理与表示 1. 基本概念 （1）频数与频率 频数：一组数据中，某个数据（或某组数据）出现的次数。 频率：某个组的频数与数据总数的比值，反映数据出现的频繁程度。 核心公式（必考）：频率= 变形公式：频数=数据总数频率，数据总数= 重要结论： ① 各组频数之和 = 数据总数； ② 各组频率之和 = 1 （2）组数、组距 组距：把所有数据分成若干组，每个小组两个端点之间的距离。 组数：所划分小组的个数。 分组原则：数据分组时，一般要求组距相等；为避免数据落在分界点上，通常将端点数值多取一位小数。 2. 频数分布表 制作步骤： ① 计算数据最大值与最小值，求出极差； ② 确定组距与组数； ③ 确定分点，划分分组区间； ④ 统计每组频数，列出表格。 作用：清晰呈现每组数据的个数，是绘制统计图的基础。 3:频数分布直方图（重难点，解答大题必考） (1). 绘制四步骤 ①计算极差（最大值−最小值）；②确定组距与组数；③列频数分布表；④画频数直方图。 极差 ÷ 组距≈组数，组数通常 5～12 组。 (2). 直方图与条形图区别 对比项 频数分布直方图 普通条形统计图(柱状图) 数据类型 连续型数据（分组区间） 离散型数据（独立类别） 图形间隙 长方形之间无空隙 长方形之间有空隙 横轴含义 数据分组区间 独立类别 纵轴含义 频数（或频率 / 组距） 频数（或数量） 模块二:数据的集中趋势 集中趋势：描述一组数据平均水平、整体中心位置，包含算术平均数、加权平均数、中位数、众数。 (一)算术平均数（普通平均分） 含义：所有数据求和后除以个数，反映整组数据整体平均水平。 公式：=​ 特点 用到每一个数据，易受极端值（偏大 / 偏小数据） 影响； 是日常最常用的统计量。 （二）加权平均数（本章重难点，高频考点） 1.概念 当各个数据的重要程度不同时，需给数据赋予 “权”，计算得到的平均数即为加权平均数。 权：反映数据所占比重、频次、重要程度，形式可为整数、百分数、比值。 2.公式 若数据x1,x2,....,xn 对应权f1,f2,..,fn，则:= 3.常见考法:成绩计分、综合评分、商品单价、样本统计等，权越大，对应数据对结果影响越大。 4.易错提醒：区分普通平均数与加权平均数，不可直接套用算术平均数公式。 (三）中位数 1.定义 将一组数据从小到大（或从大到小） 有序排列后： 数据个数为奇数：取中间位置的数； 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数。 2.特点 只和数据排列位置有关，不受极端值影响； 代表数据的 “中等水平”。 3.解题关键：先排序，再找中间数（学生最易忽略排序步骤）。 (四）众数 1.定义：一组数据中出现次数最多的数据。 2.补充说明 (1)一组数据可以有一个众数、多个众数，也可以没有众数； (2)只关注数据出现频次，与数据大小、位置无关，不受极端值影响； (3)代表数据的 “多数水平”。 （五）集中趋势四大统计量对比表 统计量 核心意义 优点 缺点 适用场景 算术平均数 平均水平 利用所有数据，信息全面 易受极端值干扰 数据分布均匀、无极端值 加权平均数 综合平均水平 体现数据权重差异 计算稍复杂 评分、评比、比例类问题 中位数 中等水平 不受极端值影响 不能利用全部数据信息 数据有极端值、偏态数据 众数 多数水平 简单直观，不受极端值影响 有时不唯一 关注出现频次、日常销量、尺码等 模块三: 数据的离散程度（难点，计算 + 理解并重） 用来判断一组数据波动大小、稳定性，波动越小，数据越稳定。 （一）极差 定义：一组数据中 最大值 -最小值。 公式：极差 = 最大值 - 最小值 特点 计算最简单，仅反映数据变化范围； 只用到最值，易受极端值影响，描述波动较粗略。 （二）方差（核心难点，期末必考计算） 1.定义：衡量一组数据偏离平均数的程度，方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定。 2.计算公式 数据x1,x2,.....,xn，平均数为 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 3.核心规律（必背） 方差s2 越大 → 数据波动大，稳定性差； 方差s2 越小 → 数据波动小，稳定性强。 4.拓展结论（解题提速） 一组数据同时加 / 减同一个数，平均数改变，方差不变； 一组数据同时乘同一个正数，平均数、方差均发生变化。 （三）极差与方差对比 统计量 计算难度 反映程度 受极端值影响 极差 简单 粗略（仅看最值） 影响大 方差 复杂 精准（反映整体波动） 影响较小 (四):数据变化规律（拓展考点，选择填空高频） 设原数据：x1,x2,...,xn，平均数，方差s2 模块四:全章高频易错点（课堂重点强调） 1.频数与频率混淆：频数是次数（整数），频率是比值（小数 / 分数，0 频率1）；牢记各组频率和为 1。 2.样本容量带单位：样本容量是数字，没有单位，属于选择填空高频陷阱。 3.中位数计算漏步骤：求中位数必须先排序，再看数据个数奇偶性，不可直接取中间数。 4.众数理解误区：一组数据可以有多个众数，也可以没有众数，不是唯一值。 5.方差计算错误：严格按照 “求平均→求差值→平方→求平均” 四步计算，不要漏平方、漏除以数据个数。 6.统计图区分错误：直方图无间隔，条形图有间隔，读图、作图题务必注意。 7.加权平均数权重理解：权越大，对应数据对结果影响越大，不可直接套用算术平均数公式。 8.稳定性判断颠倒：牢记 “方差越小，数据越稳定”，答题不要写反。 题型01.由数据描述求频数与频率 1．某商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表： 牙膏品牌 合计 售出支数 下列关于品牌牙膏销售量的说法中，错误的是（    ）． A．频数是 B．频率是 C．品牌的销售量占总销售量的 D．每卖出支牙膏，估计有支是品牌 2．有50个数据，共分成6组，前4个小组的频数分别为5，9，10，6，第5组的频率为0.2，若将这50个数据绘制成扇形统计图，则第6组数据所对应的扇形的圆心角度数为______． 3．八年级某班有男生人，女生占全班人数的，则男生出现的频率和女生出现的频数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．德国有个叫鲁道夫的人，用毕生的精力，把圆周率π算到小数点后35位：3.14159265358979323846264338327950288． (1)试用画“正”字的方法记录圆周率的上述近似值中各数字出现的频数，并完成下表． 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 画记 出现的频数 (2)在这串数字中“3”“6”“9”出现的频率各是多少（结果保留小数点后两位）？ 题型02.频数分布表. 5．一个样本数据中，最大值是，最小值是，若组距为，则至少应分______组才能包含所有数据． 6．一个频数分布表共分为6组，其中5组的频数分别为20，40，30，60，28．若频数为28这组的频率为0.14，则样本容量为____________，剩下1组的频率为____________． 7．有个数据，其中最大值为44，最小值为21，若取组距为，则应该分的组数是（    ） A． B． C． D． 8．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．某中学九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是：A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生必须且只能选择一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图表． 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 (1)填空：　　　，　　　； (2)若该中学九年级共有600名学生，那么估计选择“B（人工智能机器人）”项目的学生有　　　人； (3)学校计划在A，C两个项目中优先开设校本课程，结合本次调查结果，你认为优先开设哪个项目更合适?请说明理由． 题型03.频数分布直方图 9．已知有一个20个数据的数列中最大值为38，最小值为13；若组距是5，则将这些数据分为________组． 10．如图，是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在次的频率是_____________． 11．在频数直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的频数等于其他10个小长方形的频数和的，且共有160个数据，则中间一组数据的频数是（   ） A．32 B．0．2 C．40 D．0．25 12．为了解某长跑俱乐部成员的跑步成绩情况，某学校的长跑社团收集了该俱乐部2023年和2024年半程马拉松“大师赛”的比赛成绩，分为两个研究小组进行调查研究． (1)第一个研究小组随机抽取了该俱乐部2023年一些成员的比赛成绩，部分统计结果如下： 成绩x（分钟） 频数（人） 频率 2 0.04 0.08 8 17 0.34 10 0.20 3 0.06 5 0.10 1 0.02 合计 1 ①请把上面的频数分布直方图补充完整； ②在2023年，该俱乐部共有300名成员，根据上面的统计结果估计该年俱乐部中成绩x满足的人数为______（结果精确到个位）； (2)第二个研究小组从该俱乐部2023年和2024年均参加了半程马拉松“大师赛”的选手中抽取了30名选手的跑步成绩，绘制了统计图（如图所示）． 请根据以上信息解答下面的问题： ①小赵2024年的比赛用时比2023年的比赛用时______（填“多”“少”）； ②将这30名选手中2024年成绩优于2023年成绩的人数记为m，其余选手人数记为n，则m______n（填“”“”“”）． 题型04.用样本频数估计总体频数 13．某社区为配合教育部劳动教育要求，与辖区中学合作开展“青少年家务劳动习惯”调研．调研小组从该校1000名学生中随机选取100名进行面对面访谈，请学生回忆并记录最近一周内家务劳动的总时长（单位：小时），现将收集到的数据整理如下： 家务劳动时长 学生人数 8 16 23 32 16 5 根据以上数据，估计这1000名学生中一周内家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为________名． 14．某校为了解全校学生课后参与“德育、智育、体育、美育、劳育”五育实践活动的偏好，随机抽取400名学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制为如下条形统计图，若该校共有3600名学生，则课后愿意参与体育和美育实践活动的学生约有_________人． 15．为了解某校学生每周参加社团活动时间的情况，随机抽查了100名学生的社团活动时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1200名学生，依此估计，该校每周参加社团活动的时间在6～8小时之间的学生数大约是（    ）    A．240名 B．300名 C．360名 D．480名 题型05.由样本所占百分比估计总体数量 16．为了解学生对体育用品的需求量，某兴趣小组在校园内随机调查了100名该校学生（每名被调查的学生选择且只选择一种体育用品），将收集的数据整理，并绘制成如图所示的扇形统计图。若该校共有1800名学生，则该校选择篮球的学生大约有___________名． 17．北京的生活垃圾分类已进入全面实施、常态化运行的阶段．某社区共有1200户居民，为了解该社区居民对垃圾分类的了解程度，社区居委会从中选取100户居民进行问卷调查，结果整理如下： 了解程度 非常了解 了解 一般了解 不了解 完全不了解 户数/户 60 30 6 3 1 根据以上信息，估计该社区1200户居民对垃圾分类“非常了解”的户数是________户． 18．创新是引领发展的第一动力．某省科技创新能力不断增强，如图所示的统计图反映了2015年-2023年该省每万人发明专利申请数与授权数的情况．下列推断合理的是（   ） A．2015年-2023年，该省每万人发明专利授权数逐年增长 B．2015年-2023年，该省每万人发明专利申请数逐年增长 C．2015年申请后得到授权的比例最低 D．2023年申请后得到授权的比例最高 题型06.用样本率估计总体相应率 19．2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”对应蛇，其古文“巳”是蛇的形象表达（如图）．在对某地区初中学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了200名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有60名，若该地区共有初中学生6000名，据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生大约有__________名． 20．为了估计某个鱼塘里的鱼的数量，养殖工人网住了50条鱼，在每条鱼的尾巴上做个记号后，又将鱼放回鱼塘．等鱼游散后再随机撒网，网住60条鱼，发现其中有2条鱼的尾巴上有记号．设该鱼塘里有x条鱼，依据题意，可以列出方程：_____． 21．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得其中夹有谷子．现从中抽取一把米，数得粒中夹有谷子14粒，则这批米内夹有谷子约（    ） A．67石 B．85石 C．169石 D．273石 22．泰州高港区某中学为推进“书香校园”建设，对九年级500名学生的月均课外阅读量进行了抽样调查，按以下四个等级进行统计：A．本（含1本）；B．本（不含1本，含3本）；C．本（不含3本，含5本）；D．5本以上（不含5本）．随机抽取了部分学生进行问卷调查，得到如下不完整的统计图表： 月均课外阅读量频数分布表 等级 阅读量（本） 频数 频率 A 4 0.08 B 18 C 0.40 D 5本以上 8 0.16 (1)本次调查共抽取了______名学生，表中C等级的频数为______； (2)将上述频数分布表补充完整； (3)请估计该校九年级学生中，月均课外阅读量不超过3本的学生人数； (4)为鼓励学生多读书、读好书，学校决定为月均阅读量在D等级的学生颁发“阅读之星”奖品．根据以上调查数据，请你对“阅读之星”评选标准的设置提出一条合理建议． 题型07.样本频率区间估计总体数量 23．某中学九年级共有名学生，为了解他们一周（天）课外阅读的时长分布情况，从中随机抽取了名学生，获得他们阅读时长的数据（单位：小时），数据整理如下： 时长x 人数 8 12 25 5 根据以上信息，估计该校九年级名学生中这一周课外阅读时长不少于小时的人数是________． 24．如图，上海某有机草莓农场为了解今年草莓的收成情况，随机选择了一个大棚摘取草莓并逐一称重（精确到1g），绘制出频率分布直方图（每组数据含最低值，不含最高值）．如果质量不小于20g的草莓为“大果”，则可估计500kg草莓中“大果”的总质量是（　　） A．35kg B．170kg C．175kg D．380kg 25．为了解区内赋能教学实践的情况，从名九年级学生中，随机抽取名学生进行了关于辅助教学工具使用满意度的调查，调查结果如下： . 频数 频率 根据统计表中的信息，估计区内九年级学生中，选择“满意”的人数是______． 题型08.求一组数据的平均数 26．植树节到来之际，某校在“爱护地球，绿化祖国”的活动中，组织了20名学生开展植树造林活动，其植树情况整理如表： 植树棵数 4 5 7 8 9 人数 8 5 2 3 2 若这20名学生所植树棵数的众数为m，中位数为n，则m与n的平均数为______． 27．某班全部43名同学某次数学考试成绩的统计结果如表所示，设男、女生的平均成绩分别为，，男、女生成绩的中位数分别为，，则 _____ ， _____．（填“”“ ”或“”） 成绩/分 70 80 90 男生人数 5 10 7 女生人数 4 13 4 28．如图是呼和浩特市某地区5月1日至5日天气预报的部分截图，下列说法错误的是（   ） A．这五天中，温差最大的是5月1号 B．这五天中，每日最低气温的众数是 C．这五天中，每日最高气温的中位数是 D．这五天中，每日最高气温的平均数为 29．人参是吉林省特色药材，人参皂苷含量是衡量人参品质的核心指标．某科研小组从吉林省抚松产区采摘的1000株人参中，随机抽取20株作为样本，测定其皂苷含量（单位：%），数据整理如表： 人参组别 皂苷含量 频数/株 A 2 B 5 C 9 D 4 根据以上信息，回答下列问题： (1)抽取的20株人参皂苷含量的中位数落在________组（填组别字母）； (2)吉林省人参品质标准规定：皂苷含量不低于6%为优质人参．根据样本数据，估计科研小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量； (3)科研小组复查时发现，样本中A组的2株人参因生长环境异常导致皂苷含量异常偏低，属于数据异常值，若剔除这2个数据，则剩余18株人参的统计量与原数据相比： ①平均数将________（填“增大”“减小”或“不变”）； ②中位数所在的组别将________（填“改变”或“不变”）． 题型09.由已知平均数求未知数据的值 30．若一组数据3，4，4，x，5，5，7，8的平均数是5，则这组数据的中位数为_________． 31．某兴趣小组开展“党史知识竞赛，满分10分，某小组10名同学的成绩统计如下表所示．若这组成绩的平均数是9.1分，则这组成绩的中位数是_________分． 成绩/分 8 9 10 人数 2 m 3 32．在一次中考体育模拟测试中，某班第一组6名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖） 组员 甲 乙 丙 丁 戊 己 平均成绩 中位数 得分 94 92 ▲ 96 99 98 96 ■ 则被遮盖的两个数据从左至右依次是（    ） A． B．96，97 C．97，97 D． 题型10.用平均数做决策 33．某服装店为调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据每月销售目标完成情况发放奖金．该店统计了每位营业员前半年的月均销售额，并算出所得数据的平均数、众数、中位数，分别为22，18，20（单位：万元）若想让一半左右的营业员都能达到月销售目标，则月销售额定为______万元较为合适． 34．在某校组织的“数学π节”创意设计活动中，初二同学以小组为单位上交了创意作品，在本次活动中，评委从数学元素和美术表现两项对作品打分，各项得分均按百分制计．对所有作品的得分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．所有作品数学元素和美术表现的单项得分的平均数、中位数如下： 评分项 平均数 中位数 数学元素 86.5 85 美术表现 86 88 b．甲、乙两组同学作品的得分如下： 数学元素 美术表现 甲组 86 87 乙组 88 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）在所有作品中，在数学元素这一项中，得分高于该项平均分的作品个数记为；在美术表现这一项中，得分高于该项平均分的作品个数记为，则_______ (填“＞”，“=”或“＜”)． （2）若按数学元素占，美术表现占计算每组同学作品的平均得分，甲、乙两组同学作品的平均得分排名更靠前的组别是_______组．(填“甲”或“乙”)． 35．小明同学将某班级毕业升学体育测试成绩（满分30分）统计整理，得到下表，则下列说法错误的是（    ）． 分数 25 26 27 28 29 30 人数 3 5 10 14 12 6 A．该组数据的众数是28分 B．该组数据的平均数是28分 C．该组数据的中位数是28分 D．超过一半的同学体育测试成绩在平均水平以上 题型11.求加权平均数 36．小明参加演讲比赛，他的演讲形象，内容，效果三项分别是9分，8分，8分，若将三项得分依次按的比例确定成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 37．2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松赛于4月19日鸣枪开跑，某科创团队对旗下的三款参赛机器人从“步态与动态”“续航与散热”“自主导航与避障”三个方面进行评分，其各项评分（单位：分）如表所示．若三项评分按的比例确定最终成绩，则最终成绩最好的是______（填“A”“B”或“C”）款机器人． 机器人 评分/分 步态与动态 续航与散热 自主导航与避障 A款 10 8 9 B款 9 10 8 C款 9 8 10 38．为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份7元，乙种套餐每份5元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（    ） A．6 B．6.2 C．6.4 D．6.6 39．人工智能作为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着社会生产生活方式，也为教育创新发展带来了新机遇．某校人工智能社团引入AI智能导学系统，通过智能辅导、精准练习、即时反馈等方式提升学生学习效率．一段时间后，分别从参加该社团的七、八年级中随机抽取10名学生进行测试，并将测试数据（10分为满分，不低于8分为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下：   七、八年级测试数据统计表 统计量 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 8 8 80% 八年级 8.1 70% (1)________，________，________． (2)结合上表中的统计量，你认为哪个年级的测试结果更好？请说明理由． 题型12.用加权平均数做决策 40．某中学举行朗诵比赛．甲、乙、丙三名参赛选手的成绩如表所示，每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 分 分 分 评委（老师） 分 分 分 经过最后汇总，总分最高的是______选手．（填“甲”“乙”或“丙”） 41．某校学生会举行换届选举，分笔试和演讲两部分，笔试和演讲成绩按计算最终成绩．若小明的笔试和演讲成绩分别为分，分，小亮的笔试和演讲成绩分别为分，分，则两名同学中最终成绩较高的是______．（填“小明”或“小亮”） 42．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，三名应聘者测试成绩如下表 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 经验 8 6 9 能力 7 8 8 态度 5 7 5 如果将学历、经验、能力和态度四项得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么（    ）将被录用 A．甲 B．乙 C．丙 43．为提升学生的消防安全意识，某校开展消防安全知识竞赛活动．为了解七、八年级学生对消防安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取名学生进行测试（满分分，分及以上为优秀），对测试得分进行整理、分析，并绘制成统计图表： 平均数 中位数 优秀率 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：____，____； (2)求七年级所抽取的名学生测试成绩的平均数； (3)根据以上数据，至少从两个角度比较七、八年级学生本次消防安全知识竞赛中，哪个年级表现更好？ 题型13.求中位数 44．为了了解某市学生课后参加体育锻炼的时间，教育厅对该市随机抽样调查了若干名学生的每天锻炼时间，统计结果如下表．学生每天锻炼时间的中位数是________． 每天锻炼时间（分钟） 30 40 60 80 学生数（人） 40 70 80 10 45．某校组织八年级期末体育测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如表所示（每组只含最低值，不含最高值）．该样本的中位数落在第________组 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 人数 46．某校开展“文明之星”评选活动，已知每位学生最多可获得个文明徽章．现从参赛学生中随机抽取人，统计他们获得的徽章个数，将结果绘制成条形图（如图所示），则这位学生所获徽章个数的众数和中位数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 47．2026年4月23日是第31个世界读书日，为营造书香校园氛围，某校开展“经典诵读”知识竞赛．全校七年级共10个班，每班选派8名选手参赛．其中701班选手的得分整理如下：85，92，85，90，85，88，92，91． (1)求701班参赛选手成绩的众数和中位数． (2)若91分及以上为“优秀”，小滨在统计时发现全校七年级参赛选手的优秀率与701班相同，请求出全校七年级参赛选手中“优秀”的总人数． 题型14.由中位数求未知数据的值 48．一组数据从小到大排列为1，2，4，x，7，9．这组数据的中位数是5，则x的值为（   ） A．4 B．5 C．5.5 D．6 49．数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时，算出中位数是80分，但后来发现其中一位同学的成绩记录有误，将75分写成了55分，那么实际这次考试成绩的中位数是______分． 50．有一组数据：1、2、3、4、x、3、2、1，如果该组数据中位数和众数相等，那么x的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型15.由中位数做决策 51．在某次赛制为“12进4”且当场公布分数的舞蹈比赛中，小华所在的队伍当第10支队伍分数公布后仍排名第二而欢呼，请问她们判定自己已进入下一轮比赛的依据与________（从平均数、众数、中位数、方差中选择）有关． 52．为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表． 班级 人数 中位数 平均数 甲班 27 104 97 乙班 27 106 96 如果每分钟跳绳次数次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是_____． 53．某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（    ） A．分钟，分钟 B．分钟，分钟 C．分钟，分钟 D．分钟，分钟 54．河西走廊葡萄酒，甘肃省特产，自2000多年前丝绸之路时期起，葡萄种植与酿造技艺代代相传，融合东西方文化．2012年7月31日，原国家质检总局批准对“河西走廊葡萄酒”实施地理标志产品保护．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中500株甲、乙两种葡萄树中各抽取100株的产量（用x表示）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲种葡萄树产量的频数分布表： 频数 信息二：乙种葡萄树产量的频数直方图： 信息三：甲、乙两种葡萄树产量的部分统计量： 葡萄树 平均数（） 中位数出现的组别 方差 甲种 乙种 ________ 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值：________，并补全频数分布直方图； (2)乙种葡萄树产量中位数的组别为________； (3)请从平均数、中位数、方差三个数据中任选一个数据，分析本题中哪种葡萄树的产量较好． 题型16.求众数 55．适量的运动有助于身体健康，经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某班的班主任随机测量了10名学生的心率，统计结果如下表所示，则这10名学生的心率数据的众数是_____． 心率/（次/分） 60 66 74 80 人数 2 3 4 1 56．开封举办第四十二届菊花文化节，主会场龙亭公园的4幅由菊花组成的宋代名画《听琴图》《瑞鹤图》《枇杷孔雀图》《千里江山图》尤为别致．某工作人员为了解游客对这4幅名画的喜爱程度，随机对50名游客在这个景点驻足停留的时间进行了统计，并形成如下统计图，其中有两个数据被遮盖，则关于这组数据的统计量中，与被遮盖的数据无关的是______．（填“平均数”“中位数”或“众数”）． 57．小明所在班级部分同学身高情况统计如下： 身高/ 160 161 162 163 164 165 人数 4 6 6 11 4 1 则这组统计数据的中位数、众数分别为（     ） A．162.5，163 B．163，162 C．162，162 D．163，163 题型17.由众数做决策 58．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示．从众数的角度给这家鞋店提供建议，多进___________的鞋子．（选择一个尺码） 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 59．某班50名同学参加了“预防溺水，珍爱生命”为主题的安全知识竞赛，竞赛成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖．关于成绩的三个统计量：①平均数，②方差，③众数，与被遮盖的数据无关的是___．（填写序号即可） 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 1 2 3 5 7 7 10 12 60．某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 61．开学已过半，临近年级体育联赛预热阶段，某校体育组在复盘近期篮球队、足球队的训练情况时，发现当前的训练反馈仅以“任务完成/未完成”的勾选方式记录呈现．为提升训练质量，体育组对校篮球队、校足球队的成员开展了更详细的训练评分调查，训练评分以分数呈现．（从低到高为1分、2分、3分、4分、5分，共5档） 数据整理： 数据分析： 校篮球队、校足球队评分分数统计表 评分分数平均数 评分分数中位数 评分分数众数 校篮球队 3.5 3 校足球队 4 4 请认真阅读以上信息，回答下列问题： (1)填空：______；______； (2)结合统计数据（平均数、中位数、众数等），为篮球队设计1条针对性的训练优化措施，并说明该措施的设计依据． 题型18.求离差平方和 62．学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 63．数据组，的组内离差平方和为_______． 64．将10位求职者的综合测试成绩分成“优秀”和“一般”两组，不同的分法共有（    ） A．8 种 B．9 种 C．10 种 D．11 种 65．下表是某商店 5 天的日销售额数据： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 销售额 / 元 1200 1500 1800 2100 2400 将这些销售额按从低到高排列后，计算按第2个间隔分组时的组内离差平方和． 题型19.求方差 66．某校九（1）班与两年前相比学生没有变动，则该班学生年龄的平均数和方差，与两年前相比分别（     ） A．不变，改变 B．增大两岁，不变 C．增大两岁，改变 D．不变，不变 67．已知一组数据，，，…，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，…，的平均数是______，方差是______． 68．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 69．为了解A，B两款品质相近的无人机满电运行的最长时间，分别抽样调查了两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并进行数据整理． 平均数/ 中位数/ 众数/min 方差/ 无人机A 70 69.5 72 无人机B 72 a b (1)填空：________，________，________（填写“、或”）； (2)根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由； (3)如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为，那么A款无人机最长运行时间的方差将________（填“变大”，“变小”或“不变”）． 题型20.由方差求未知数据的值 70．某组数据的方差，则该组数据的总和是（    ） A．8 B．20 C．40 D．无法确定 71．若一组数据，，…，的平均数为17，方差为3，则另一组数据，，…的平均数是_______，方差是_______. 72．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 题型21.由方差作决策 73．“完全人格，首在体育”．为增强学生体质，某区举办了中小学体育传统项目竞赛，某校准备从A、B、C、D四个小组中选出一组去参加该项竞赛，下表记录了各组平时体育总成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个总成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是________组． A B C D 平均数 95 98 98 96 方差 1.12 1.21 0.99 1.83 74．综合与实践课上，老师对同学们的综合表现给出了评价．下表是甲、乙、丙、丁四名同学本学期综合成绩的平均分和方差．成绩较好且稳定的是________． 甲 乙 丙 丁 平均分 93 方差 2 75．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近10次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型22.由方差判断稳定性 76．为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取20株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是，由此可知_______种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 77．某企业对员工进行综合素质测试，测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则，根据图中信息，比较甲的方差与乙的方差的大小：___．（填“＞”“＝”或“＜”） 78．为落实教育部“健康教育专项工程”，引导学生积极锻炼、增强体质．某校对九年级1班和2班男生的引体向上成绩进行调查，从两班各随机抽取10名男生测试，并将测试成绩绘制成折线统计图（如图所示）．九年级1班引体向上成绩的方差记为，九年级2班引体向上成绩的方差记为，已知这两个班引体向上成绩的平均数相等，则可估计和的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 79．为传承中华经典诗词文化，增强学生文化自信，学校举办了一场诗词知识竞赛．满分100分，85分及以上获奖．现从甲，乙两班各随机抽取8名学生的竞赛成绩： 甲班8名学生竞赛成绩（分）：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生竞赛成绩（分）：100，90，79，90，83，85，56，75． 甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 甲班 80 n 乙班 m 90 请根据以上信息，解决以下问题： (1)填空：______，______，______（填“”“”或“”）； (2)你认为哪个班成绩比较好，并说明理由（写出一条即可）； (3)甲班有学生48人，乙班有学生46人，按竞赛规定：85分及85分以上的学生可以获奖，估计这两个班获奖的总人数是多少？ 题型23.求四分位数与画箱线图 80．在学校组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八（1）班学生成绩的箱线图如图所示，则八（1）班学生成绩的上四分位数是______分． 81．已知A，B两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级成绩的箱线图如图所示，则A，B两个班级平均分较高的是________班． 82．如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09数据的初步分析期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记频数、频率的定义与计算公式，掌握数据分组、频数分布表、频数分布直方图的相关概念，区分频数直方图与普通条形图的差异。 2.精准掌握数据集中趋势统计量：算术平均数、加权平均数、中位数、众数的定义、计算方法及各自统计意义。 3.掌握数据离散程度统计量：极差、方差的概念与计算公式，理解方差越小、数据波动越小、稳定性越强的核心规律。 4.明晰用样本估计总体的统计思想，理清各类统计量的适用场景、区别与联系，构建完整统计知识体系。 1.具备规范计算能力，能准确计算平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差，熟练处理分组数据、频数数据。 2.具备数据整理与作图能力，能独立完成数据分组、绘制频数分布表、频数分布直方图，并能准确读取图表信息、分析数据特征。 3.具备数据分析与决策能力，能根据实际情境，合理选择统计量分析数据，评判数据平均水平、波动稳定性，做出科学判断与决策。 4.培养统计思维，提升数形结合、数据分析、解决生活中实际统计问题的综合能力 1.熟练应对概念辨析、统计量求值、频率计算等基础选择填空题，杜绝公式混淆、计算失误，保证基础满分。 2.熟练掌握频数分布表补全、频数直方图绘制与读图题型，规范答题格式，拿满基础步骤分。 3.攻克加权平均数、方差计算及数据分析应用题，熟练掌握 “用方差判断稳定性、用统计量做决策” 的必考答题模板。 4.掌握统计综合题型解题思路，能结合实际场景分析数据、归纳结论，突破期末统计压轴应用题，提升综合得分率。 题型01.由数据描述求频数与频率 题型02.频数分布表 题型03.频数分布直方图 题型04.用样本频数估计总体频数 题型05.由样本所占百分比估计总体数量 题型06.用样本率估计总体相应率 题型07.样本频率区间估计总体数量 题型08.求一组数据的平均数 题型09.由已知平均数求未知数据的值 题型10.用平均数做决策 题型11.求加权平均数 题型12.用加权平均数做决策 题型13.求中位数 题型14.由中位数求未知数据的值 题型15.由中位数做决策 题型16.求众数 题型17.由众数做决策 题型18.求离差平方和 题型19.求方差 题型20.由方差求未知数据的值 题型21.由方差作决策 题型22.由方差判断稳定性 题型23.求四分位数与画箱线图 模块一:数据的整理与表示 1. 基本概念 （1）频数与频率 频数：一组数据中，某个数据（或某组数据）出现的次数。 频率：某个组的频数与数据总数的比值，反映数据出现的频繁程度。 核心公式（必考）：频率= 变形公式：频数=数据总数频率，数据总数= 重要结论： ① 各组频数之和 = 数据总数； ② 各组频率之和 = 1 （2）组数、组距 组距：把所有数据分成若干组，每个小组两个端点之间的距离。 组数：所划分小组的个数。 分组原则：数据分组时，一般要求组距相等；为避免数据落在分界点上，通常将端点数值多取一位小数。 2. 频数分布表 制作步骤： ① 计算数据最大值与最小值，求出极差； ② 确定组距与组数； ③ 确定分点，划分分组区间； ④ 统计每组频数，列出表格。 作用：清晰呈现每组数据的个数，是绘制统计图的基础。 3:频数分布直方图（重难点，解答大题必考） (1). 绘制四步骤 ①计算极差（最大值−最小值）；②确定组距与组数；③列频数分布表；④画频数直方图。 极差 ÷ 组距≈组数，组数通常 5～12 组。 (2). 直方图与条形图区别 对比项 频数分布直方图 普通条形统计图(柱状图) 数据类型 连续型数据（分组区间） 离散型数据（独立类别） 图形间隙 长方形之间无空隙 长方形之间有空隙 横轴含义 数据分组区间 独立类别 纵轴含义 频数（或频率 / 组距） 频数（或数量） 模块二:数据的集中趋势 集中趋势：描述一组数据平均水平、整体中心位置，包含算术平均数、加权平均数、中位数、众数。 (一)算术平均数（普通平均分） 含义：所有数据求和后除以个数，反映整组数据整体平均水平。 公式：=​ 特点 用到每一个数据，易受极端值（偏大 / 偏小数据） 影响； 是日常最常用的统计量。 （二）加权平均数（本章重难点，高频考点） 1.概念 当各个数据的重要程度不同时，需给数据赋予 “权”，计算得到的平均数即为加权平均数。 权：反映数据所占比重、频次、重要程度，形式可为整数、百分数、比值。 2.公式 若数据x1,x2,....,xn 对应权f1,f2,..,fn，则:= 3.常见考法:成绩计分、综合评分、商品单价、样本统计等，权越大，对应数据对结果影响越大。 4.易错提醒：区分普通平均数与加权平均数，不可直接套用算术平均数公式。 (三）中位数 1.定义 将一组数据从小到大（或从大到小） 有序排列后： 数据个数为奇数：取中间位置的数； 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数。 2.特点 只和数据排列位置有关，不受极端值影响； 代表数据的 “中等水平”。 3.解题关键：先排序，再找中间数（学生最易忽略排序步骤）。 (四）众数 1.定义：一组数据中出现次数最多的数据。 2.补充说明 (1)一组数据可以有一个众数、多个众数，也可以没有众数； (2)只关注数据出现频次，与数据大小、位置无关，不受极端值影响； (3)代表数据的 “多数水平”。 （五）集中趋势四大统计量对比表 统计量 核心意义 优点 缺点 适用场景 算术平均数 平均水平 利用所有数据，信息全面 易受极端值干扰 数据分布均匀、无极端值 加权平均数 综合平均水平 体现数据权重差异 计算稍复杂 评分、评比、比例类问题 中位数 中等水平 不受极端值影响 不能利用全部数据信息 数据有极端值、偏态数据 众数 多数水平 简单直观，不受极端值影响 有时不唯一 关注出现频次、日常销量、尺码等 模块三: 数据的离散程度（难点，计算 + 理解并重） 用来判断一组数据波动大小、稳定性，波动越小，数据越稳定。 （一）极差 定义：一组数据中 最大值 -最小值。 公式：极差 = 最大值 - 最小值 特点 计算最简单，仅反映数据变化范围； 只用到最值，易受极端值影响，描述波动较粗略。 （二）方差（核心难点，期末必考计算） 1.定义：衡量一组数据偏离平均数的程度，方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定。 2.计算公式 数据x1,x2,.....,xn，平均数为 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 3.核心规律（必背） 方差s2 越大 → 数据波动大，稳定性差； 方差s2 越小 → 数据波动小，稳定性强。 4.拓展结论（解题提速） 一组数据同时加 / 减同一个数，平均数改变，方差不变； 一组数据同时乘同一个正数，平均数、方差均发生变化。 （三）极差与方差对比 统计量 计算难度 反映程度 受极端值影响 极差 简单 粗略（仅看最值） 影响大 方差 复杂 精准（反映整体波动） 影响较小 (四):数据变化规律（拓展考点，选择填空高频） 设原数据：x1,x2,...,xn，平均数，方差s2 模块四:全章高频易错点（课堂重点强调） 1.频数与频率混淆：频数是次数（整数），频率是比值（小数 / 分数，0 频率1）；牢记各组频率和为 1。 2.样本容量带单位：样本容量是数字，没有单位，属于选择填空高频陷阱。 3.中位数计算漏步骤：求中位数必须先排序，再看数据个数奇偶性，不可直接取中间数。 4.众数理解误区：一组数据可以有多个众数，也可以没有众数，不是唯一值。 5.方差计算错误：严格按照 “求平均→求差值→平方→求平均” 四步计算，不要漏平方、漏除以数据个数。 6.统计图区分错误：直方图无间隔，条形图有间隔，读图、作图题务必注意。 7.加权平均数权重理解：权越大，对应数据对结果影响越大，不可直接套用算术平均数公式。 8.稳定性判断颠倒：牢记 “方差越小，数据越稳定”，答题不要写反。 题型01.由数据描述求频数与频率 1．某商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表： 牙膏品牌 合计 售出支数 下列关于品牌牙膏销售量的说法中，错误的是（    ）． A．频数是 B．频率是 C．品牌的销售量占总销售量的 D．每卖出支牙膏，估计有支是品牌 【答案】C 【分析】利用频率频数总数量计算，再逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，牙膏的频数是，故A选项说法正确，不符合题意； B选项，牙膏的频数是，总销售量为，频率为，故B选项说法正确，不符合题意； C选项，牙膏的频率为，即销售量占总销售量的，故C选项说法错误，符合题意； D选项，牙膏的频率为，可得每卖出支牙膏，估计有支，故D选项说法正确，不符合题意． 2．有50个数据，共分成6组，前4个小组的频数分别为5，9，10，6，第5组的频率为0.2，若将这50个数据绘制成扇形统计图，则第6组数据所对应的扇形的圆心角度数为______． 【答案】72 【分析】先根据频率公式求出第5组的频数，再求出第6组的频数，进而得到第6组的频率，最后用乘以第6组的频率得到对应扇形圆心角的度数． 【详解】解：由题意得，数据总数为， 第组的频数为：， 第组的频数为： ， 第组的频率为：， 第组对应扇形圆心角度数为：． 3．八年级某班有男生人，女生占全班人数的，则男生出现的频率和女生出现的频数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1． 首先根据各小组频率之和等于1求出男生出现的频率．再根据频率、频数的关系先求出全班人数，再求出女生出现的频数． 【详解】解：男生出现的频率， 全班人数，女 生出现的频数． 故选：D． 4．德国有个叫鲁道夫的人，用毕生的精力，把圆周率π算到小数点后35位：3.14159265358979323846264338327950288． (1)试用画“正”字的方法记录圆周率的上述近似值中各数字出现的频数，并完成下表． 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 画记 出现的频数 (2)在这串数字中“3”“6”“9”出现的频率各是多少（结果保留小数点后两位）？ 【答案】(1)见解析 (2)数字“3”的频率是，数字“6”的频率是，数字“9”的频率是 【分析】 本题考查了频数，频率的计算公式，理解频率的计算公式是解题的关键．（1）根据频数、频率的概念解题； （2）频数即一组数据中出现符合条件的数据的个数，频率=频数÷总数，由此即可解答． 【详解】（1）解：如表： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 画记 正 正 正 出现的频数 1 2 5 7 3 4 3 2 5 4 （2）解：数字“3”的频率是， 数字“6”的频率是， 数字“9”的频率是． 题型02.频数分布表. 5．一个样本数据中，最大值是，最小值是，若组距为，则至少应分______组才能包含所有数据． 【答案】 【详解】解：样本数据的极差为，组距为， 则组数为，向上取整得， 故至少应分组才能包含所有数据． 6．一个频数分布表共分为6组，其中5组的频数分别为20，40，30，60，28．若频数为28这组的频率为0.14，则样本容量为____________，剩下1组的频率为____________． 【答案】 200 0.11 【分析】根据频率公式计算样本容量，再通过总频数求剩余组频数，最后计算频率． 【详解】设样本容量为，由频数为28组的频率为0.14， 得， 解得． 故答案为：200. 已知五组频数之和为， 故剩余组频数为． 剩余组频率为． 故答案为：0.11． 【点睛】本题考查了频率公式计算样本容量，再通过总频数求剩余组频数，最后计算频率，解决本题的关键是熟练掌握概念及公式． 7．有个数据，其中最大值为44，最小值为21，若取组距为，则应该分的组数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若(最大值－最小值)÷组距的结果为整数,则该整数就是分的组数;若该结果为小数,则整数部分加1就是分的组数. 【详解】根据题意:(44－21)÷4=23÷4=， ∴应该分的组数是6， 故选A. 【点睛】本题考查对数据进行整理的题目,解题关键在于掌握求组数的方法. 8．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．某中学九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是：A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生必须且只能选择一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图表． 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 (1)填空：　　　，　　　； (2)若该中学九年级共有600名学生，那么估计选择“B（人工智能机器人）”项目的学生有　　　人； (3)学校计划在A，C两个项目中优先开设校本课程，结合本次调查结果，你认为优先开设哪个项目更合适?请说明理由． 【答案】(1)， (2)150 (3)先开设C项目的校本课程，理由见详解 【分析】（1）根据“D．视觉类人工智能”的人数和频率得到样本容量，由此得到b的值，再根据频率的计算得到a的值； （2）根据样本百分比估算总体数量即可； （3）根据频率大小作决策即可． 【详解】（1）解：“D．视觉类人工智能”的人数为24，频率为， ∴， ∴，； （2）解：（人）， ∴选择“B（人工智能机器人）”项目的学生有约有150人； （3）解：先开设C项目的校本课程，理由如下， ， ∵， ∴选择C项目的频率高于选择A项目的频率，先开设C项目的校本课程． 题型03.频数分布直方图 9．已知有一个20个数据的数列中最大值为38，最小值为13；若组距是5，则将这些数据分为________组． 【答案】5 【分析】本题考查了组距与组数．先计算数据的极差，再通过极差除以组距确定分组数.，即可作答． 【详解】解：数据的极差， ∵组距是5， ∴ ∴将这些数据分为5组． 10．如图，是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在次的频率是_____________． 【答案】 【详解】解：由频数分布直方图可知，仰卧起坐次数在次的频数为，数据总数为30，所以仰卧起坐次数在次的频率为． 11．在频数直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的频数等于其他10个小长方形的频数和的，且共有160个数据，则中间一组数据的频数是（   ） A．32 B．0．2 C．40 D．0．25 【答案】A 【分析】本题主要考查了频数直方图、一元一次方程的应用等知识点，掌握总频数等于所有小长方形频数之和是解题的关键． 设中间一组频数为x，则其他10组频数之和为，再根据总频数列方程求解即可． 【详解】解：设中间一组数据的频数为x． ∵ 中间一组频数等于其他10组频数和的， ∴ 其他10组频数之和为． ∵ 总频数为160， ∴，解得：． ∴中间一组数据的频数为32． 故选A． 12．为了解某长跑俱乐部成员的跑步成绩情况，某学校的长跑社团收集了该俱乐部2023年和2024年半程马拉松“大师赛”的比赛成绩，分为两个研究小组进行调查研究． (1)第一个研究小组随机抽取了该俱乐部2023年一些成员的比赛成绩，部分统计结果如下： 成绩x（分钟） 频数（人） 频率 2 0.04 0.08 8 17 0.34 10 0.20 3 0.06 5 0.10 1 0.02 合计 1 ①请把上面的频数分布直方图补充完整； ②在2023年，该俱乐部共有300名成员，根据上面的统计结果估计该年俱乐部中成绩x满足的人数为______（结果精确到个位）； (2)第二个研究小组从该俱乐部2023年和2024年均参加了半程马拉松“大师赛”的选手中抽取了30名选手的跑步成绩，绘制了统计图（如图所示）． 请根据以上信息解答下面的问题： ①小赵2024年的比赛用时比2023年的比赛用时______（填“多”“少”）； ②将这30名选手中2024年成绩优于2023年成绩的人数记为m，其余选手人数记为n，则m______n（填“”“”“”）． 【答案】(1)①图见解析；②48 (2)①少；② 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布表，频数分布折线图： （1）①用成绩为的人数除以其人数占比求出参与调查的人数再乘以成绩在分钟的人数占比，求出成绩在分钟的人数，进而补全统计图即可；②用300乘以样本中成绩在的人数占比即可得到答案； （2）①根据统计图即可得到答案；②根据统计图即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∴成绩在分钟的人数为4人， 补全统计图如下： ②人， ∴估计该年俱乐部中成绩x满足的人数为人； （2）解：①由统计图可知，小赵2024年的比赛用时为80分钟，小赵2023年的比赛用时大于90分钟， ∴小赵2024年的比赛用时比2023年的比赛用时少， 故答案为：少； ②如图所示，由统计图可知在左上方的点少于右下方的点，即2024年成绩比2023年成绩好的人数多于不好的人数， ∴． 题型04.用样本频数估计总体频数 13．某社区为配合教育部劳动教育要求，与辖区中学合作开展“青少年家务劳动习惯”调研．调研小组从该校1000名学生中随机选取100名进行面对面访谈，请学生回忆并记录最近一周内家务劳动的总时长（单位：小时），现将收集到的数据整理如下： 家务劳动时长 学生人数 8 16 23 32 16 5 根据以上数据，估计这1000名学生中一周内家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为________名． 【答案】530 【详解】解：估计这1000名学生中家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为（名）． 14．某校为了解全校学生课后参与“德育、智育、体育、美育、劳育”五育实践活动的偏好，随机抽取400名学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制为如下条形统计图，若该校共有3600名学生，则课后愿意参与体育和美育实践活动的学生约有_________人． 【答案】 【详解】解：课后愿意参与体育和美育实践活动的学生约有（人）． 15．为了解某校学生每周参加社团活动时间的情况，随机抽查了100名学生的社团活动时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1200名学生，依此估计，该校每周参加社团活动的时间在6～8小时之间的学生数大约是（    ）    A．240名 B．300名 C．360名 D．480名 【答案】D 【分析】根据频数分布直方图计算样本中参加社团活动时间在6～8小时的学生数，进而可以估算全校参加社团活动时间在6～8小时之间的学生人数． 【详解】解：由图可知，随机抽查的100名学生中参加社团活动时间在6～8小时之间的学生有40名， 该校每周参加社团活动的时间在6～8小时之间的学生数大约是（名）， 故选：D． 【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，根据样本的频数估计总体的频数． 题型05.由样本所占百分比估计总体数量 16．为了解学生对体育用品的需求量，某兴趣小组在校园内随机调查了100名该校学生（每名被调查的学生选择且只选择一种体育用品），将收集的数据整理，并绘制成如图所示的扇形统计图。若该校共有1800名学生，则该校选择篮球的学生大约有___________名． 【答案】576 【详解】解：由题可知，样本内选择篮球的人数占比为32%，则该校内选择篮球的学生大约为． 17．北京的生活垃圾分类已进入全面实施、常态化运行的阶段．某社区共有1200户居民，为了解该社区居民对垃圾分类的了解程度，社区居委会从中选取100户居民进行问卷调查，结果整理如下： 了解程度 非常了解 了解 一般了解 不了解 完全不了解 户数/户 60 30 6 3 1 根据以上信息，估计该社区1200户居民对垃圾分类“非常了解”的户数是________户． 【答案】 【分析】先求出样本中“非常了解”的居民户数占样本的频率，再用总体总户数乘以该频率，得到总体中“非常了解”户数的估计值． 【详解】解：由题意得，样本中“非常了解”的频率为：， 估计该社区1200户居民中“非常了解”的户数为：． 18．创新是引领发展的第一动力．某省科技创新能力不断增强，如图所示的统计图反映了2015年-2023年该省每万人发明专利申请数与授权数的情况．下列推断合理的是（   ） A．2015年-2023年，该省每万人发明专利授权数逐年增长 B．2015年-2023年，该省每万人发明专利申请数逐年增长 C．2015年申请后得到授权的比例最低 D．2023年申请后得到授权的比例最高 【答案】B 【分析】本题考查了条形统计图，用样本估计总体，根据统计图得出各年的具体数据，依据增长情况和百分比概念逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、2015年-2023年，该省每万人发明专利授权数在2017年-2028年保持不变，故选项不符合题意； B、2015年-2023年，该省每万人发明专利申请数逐年增长，说法正确，故选项符合题意； C、2019年申请后得到授权的比例最低，故选项不符合题意； D、2022年申请后得到授权的比例最高，故选项不符合题意； 故选：B． 题型06.用样本率估计总体相应率 19．2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”对应蛇，其古文“巳”是蛇的形象表达（如图）．在对某地区初中学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了200名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有60名，若该地区共有初中学生6000名，据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生大约有__________名． 【答案】1800 【分析】本题考查了利用样本估计总体，熟练掌握利用样本估计总体的方法是解题关键．利用该地区初中学生的总人数乘以知道上述传统文化知识的学生人数所占的百分比即可得． 【详解】解： （名）． 故答案为：1800． 20．为了估计某个鱼塘里的鱼的数量，养殖工人网住了50条鱼，在每条鱼的尾巴上做个记号后，又将鱼放回鱼塘．等鱼游散后再随机撒网，网住60条鱼，发现其中有2条鱼的尾巴上有记号．设该鱼塘里有x条鱼，依据题意，可以列出方程：_____． 【答案】 【解析】分别求出鱼塘中尾巴上有记号的鱼占的比例和随机网住的60条鱼中有记号的鱼占的比例，即可建立方程． 【详解】解：由题可知，鱼塘中尾巴上有记号的鱼占的比例为， 随机网住的60条鱼中，有记号的鱼占的比例为， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了用样本估计总体的知识点的相关应用，要求学生在理解题意的基础上牢记相关概念，对学生的概念理解与应用等方面都进行了一定的考查． 21．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得其中夹有谷子．现从中抽取一把米，数得粒中夹有谷子14粒，则这批米内夹有谷子约（    ） A．67石 B．85石 C．169石 D．273石 【答案】B 【分析】本题考查的是通过样本去估计总体． 根据总体频率约等于样本频率列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： （石， 故选：B． 22．泰州高港区某中学为推进“书香校园”建设，对九年级500名学生的月均课外阅读量进行了抽样调查，按以下四个等级进行统计：A．本（含1本）；B．本（不含1本，含3本）；C．本（不含3本，含5本）；D．5本以上（不含5本）．随机抽取了部分学生进行问卷调查，得到如下不完整的统计图表： 月均课外阅读量频数分布表 等级 阅读量（本） 频数 频率 A 4 0.08 B 18 C 0.40 D 5本以上 8 0.16 (1)本次调查共抽取了______名学生，表中C等级的频数为______； (2)将上述频数分布表补充完整； (3)请估计该校九年级学生中，月均课外阅读量不超过3本的学生人数； (4)为鼓励学生多读书、读好书，学校决定为月均阅读量在D等级的学生颁发“阅读之星”奖品．根据以上调查数据，请你对“阅读之星”评选标准的设置提出一条合理建议． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)（人） (4)适当提高D等级阅读量标准，鼓励学生多阅读（答案不唯一） 【分析】（1）用A组的频数除以A组的频率即可求出抽取的学生数；用抽取的学生数乘以C的频率可期初C等级的频数； （2）先求出B等级的频率，然后补全频数分布表即可； （3）用500乘以A等级和B等级的频率和即可； （4）从鼓励阅读的角度提出一条合理建议即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：抽取总人数：（名）； C等级的频数为：； （2）解：B等级频率：； 月均课外阅读量频数分布表 等级 阅读量（本） 频数 频率 A 4 0.08 B 18 0.36 C 20 0.40 D 5以上 8 0.16 （3）解：（人） （4）解：建议：适当提高D等级阅读量标准，鼓励学生多阅读． 题型07.样本频率区间估计总体数量 23．某中学九年级共有名学生，为了解他们一周（天）课外阅读的时长分布情况，从中随机抽取了名学生，获得他们阅读时长的数据（单位：小时），数据整理如下： 时长x 人数 8 12 25 5 根据以上信息，估计该校九年级名学生中这一周课外阅读时长不少于小时的人数是________． 【答案】 【分析】先求出抽取样本中课外阅读时长不少于小时的频率，再用九年级总人数乘以该频率，即可得到估计结果． 【详解】解：由表格可得，抽取的名学生中，一周课外阅读时长不少于小时的人数为， 该组数据的频率为， 估计该校九年级名学生中这一周课外阅读时长不少于小时的人数为． 24．如图，上海某有机草莓农场为了解今年草莓的收成情况，随机选择了一个大棚摘取草莓并逐一称重（精确到1g），绘制出频率分布直方图（每组数据含最低值，不含最高值）．如果质量不小于20g的草莓为“大果”，则可估计500kg草莓中“大果”的总质量是（　　） A．35kg B．170kg C．175kg D．380kg 【答案】C 【分析】用总质量乘以质量不小于20g的频率和即可． 【详解】解：估计500kg草莓中“大果”的总质量是500×（0.046+0.016+0.008）×5＝175（kg）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 25．为了解区内赋能教学实践的情况，从名九年级学生中，随机抽取名学生进行了关于辅助教学工具使用满意度的调查，调查结果如下： . 频数 频率 根据统计表中的信息，估计区内九年级学生中，选择“满意”的人数是______． 【答案】人 【分析】本题考查用样本估计总体，先求得样本中选择“满意”的人数的频率，然后用样本估计总体即可．解题的关键是掌握：频率等于频数除以数据总数，各组的频率之和等于． 【详解】解：选择“不满意”的人数的频率为：， 选择“比较满意”的人数的频率为：， 选择“满意”的人数的频率为：， ∴（人）， ∴选择“满意”的人数是人． 故答案为：人． 题型08.求一组数据的平均数 26．植树节到来之际，某校在“爱护地球，绿化祖国”的活动中，组织了20名学生开展植树造林活动，其植树情况整理如表： 植树棵数 4 5 7 8 9 人数 8 5 2 3 2 若这20名学生所植树棵数的众数为m，中位数为n，则m与n的平均数为______． 【答案】4.5 【分析】根据题意可得，众数为4，总共有20个数据，中位数为从小到大排序后第10个数和第11个数的平均数，求出中位数，求解即可． 【详解】解：根据题意可得，植树棵数为4的人数为8，人数最多，则众数为4，即， 总共有20个数据，中位数为从小到大排序后第10个数和第11个数的平均数， 第10个数和第11个数都为5，则中位数为5，即， 则m与n的平均数为． 27．某班全部43名同学某次数学考试成绩的统计结果如表所示，设男、女生的平均成绩分别为，，男、女生成绩的中位数分别为，，则 _____ ， _____．（填“”“ ”或“”） 成绩/分 70 80 90 男生人数 5 10 7 女生人数 4 13 4 【答案】 【分析】本题考查了求中位数和平均数． 通过计算男女生平均成绩和中位数进行比较即可． 【详解】解：男生平均成绩， 女生平均成绩， 故； 男生成绩排序后第11和第12个值均为80分，中位数， 女生成绩排序后第11个值为80分，中位数， 故； 故答案为：，． 28．如图是呼和浩特市某地区5月1日至5日天气预报的部分截图，下列说法错误的是（   ） A．这五天中，温差最大的是5月1号 B．这五天中，每日最低气温的众数是 C．这五天中，每日最高气温的中位数是 D．这五天中，每日最高气温的平均数为 【答案】C 【分析】本题考查求中位数，众数，平均数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题从截图中获取信息，根据中位数，众数和平均数的计算方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、观察可知，这五天中，5月1日的最高气温最高，最低气温最低，故温差最大的是5月1号；该选项正确，不符合题意； B、这五天中，每日最低气温出现次数最多的是，故众数为；该选项正确，不符合题意； C、将每日最高气温排序后，第3个数据为，故中位数为；该选项错误，符合题意； D、这五天中，每日最高气温的平均数为；该选项正确，不符合题意； 故选：C； 29．人参是吉林省特色药材，人参皂苷含量是衡量人参品质的核心指标．某科研小组从吉林省抚松产区采摘的1000株人参中，随机抽取20株作为样本，测定其皂苷含量（单位：%），数据整理如表： 人参组别 皂苷含量 频数/株 A 2 B 5 C 9 D 4 根据以上信息，回答下列问题： (1)抽取的20株人参皂苷含量的中位数落在________组（填组别字母）； (2)吉林省人参品质标准规定：皂苷含量不低于6%为优质人参．根据样本数据，估计科研小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量； (3)科研小组复查时发现，样本中A组的2株人参因生长环境异常导致皂苷含量异常偏低，属于数据异常值，若剔除这2个数据，则剩余18株人参的统计量与原数据相比： ①平均数将________（填“增大”“减小”或“不变”）； ②中位数所在的组别将________（填“改变”或“不变”）． 【答案】(1)C； (2)科研小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量为650株； (3)①增大；②不变． 【分析】（1）中位数是指将数列从小到大依次排列最中间的数，偶数个数时取最中间两位数的平均值； （2）总体符合条件的数量总体数量样本中符合条件的频率，利用该式子即可解出答案； （3）平均数所有数之和数的个数，剔除掉数据组较小的数，平均数会增大． 【详解】（1）解：中位数是指将数列从小到大依次排列最中间的数， 共20株人参， ∴最中间的数是第10个和第11个， 从小到大，A组频数为2，B组频数为5， ∵， ∴中位数在C组； （2）解：C，D两组人参皂苷含量不小于，共（株）， ∴小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量为： （株）； （3）解：A组的人参皂苷含量较少，剔除较小的数据后，整体数据的平均值会增大， 剔除A组后剩余18株人参，中位数是第9个和第10个数据， 此时B组有5株， ∵， ∴中位数仍落在C组，组别不变． 题型09.由已知平均数求未知数据的值 30．若一组数据3，4，4，x，5，5，7，8的平均数是5，则这组数据的中位数为_________． 【答案】4.5 【分析】根据这组数据的平均数为5可求出的值，进而根据中位数的概念可以求解． 【详解】解： 一组数据3，4，4，x，5，5，7，8的平均数是5， ， 解得， 这组数据从小到大排列为3，4，4，4， 5，5，7，8， 这组数据的中位数为． 31．某兴趣小组开展“党史知识竞赛，满分10分，某小组10名同学的成绩统计如下表所示．若这组成绩的平均数是9.1分，则这组成绩的中位数是_________分． 成绩/分 8 9 10 人数 2 m 3 【答案】9 【分析】本题考查了平均数、中位数等知识，根据总人数为10，求出m的值，再验证平均数是否符合条件，最后计算中位数． 【详解】解：∵总人数10人， ∴， 解得， ∴平均数为，符合条件， ∴成绩从小到大排列：8，8，9，9，9，9，9，10，10，10， ∴第5和第6个数据均为9， ∴中位数为分， 故答案为：9． 32．在一次中考体育模拟测试中，某班第一组6名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖） 组员 甲 乙 丙 丁 戊 己 平均成绩 中位数 得分 94 92 ▲ 96 99 98 96 ■ 则被遮盖的两个数据从左至右依次是（    ） A． B．96，97 C．97，97 D． 【答案】D 【分析】先根据平均数的定义计算出被遮盖的丙的成绩，再将所有成绩从小到大排序，根据中位数的定义计算中位数，即可得到结果． 【详解】解：∵6名同学的平均成绩为96， ∴6人的总成绩为 ， 可得， 将6人的成绩从小到大排列为：， ∵6个数据的中位数为第3个和第4个数据的平均数， ∴中位数为， 因此被遮盖的两个数据从左至右依次是． 故选：D． 题型10.用平均数做决策 33．某服装店为调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据每月销售目标完成情况发放奖金．该店统计了每位营业员前半年的月均销售额，并算出所得数据的平均数、众数、中位数，分别为22，18，20（单位：万元）若想让一半左右的营业员都能达到月销售目标，则月销售额定为______万元较为合适． 【答案】20 【分析】本题考查了众数、中位数和平均数，反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．根据中位数的意义进行解答，即可得出答案． 【详解】解：想让一半左右的营业员都能达到销售目标，则月销售额定为20万合适． 因为中位数为20，即大于20与小于20的人数一样多， 所以月销售额定为20万，有一半左右的营业员能达到销售目标； 故答案为：20． 34．在某校组织的“数学π节”创意设计活动中，初二同学以小组为单位上交了创意作品，在本次活动中，评委从数学元素和美术表现两项对作品打分，各项得分均按百分制计．对所有作品的得分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．所有作品数学元素和美术表现的单项得分的平均数、中位数如下： 评分项 平均数 中位数 数学元素 86.5 85 美术表现 86 88 b．甲、乙两组同学作品的得分如下： 数学元素 美术表现 甲组 86 87 乙组 88 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）在所有作品中，在数学元素这一项中，得分高于该项平均分的作品个数记为；在美术表现这一项中，得分高于该项平均分的作品个数记为，则_______ (填“＞”，“=”或“＜”)． （2）若按数学元素占，美术表现占计算每组同学作品的平均得分，甲、乙两组同学作品的平均得分排名更靠前的组别是_______组．(填“甲”或“乙”)． 【答案】 ＞ 乙 【分析】本题考查中位数和平均数的定义、求加权平均数， （1）根据平均数和中位数的定义进行判断即可； （2）根据加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，在数学元素这一项中，平均数大于中位数， ∴得分高于该项平均分的作品个数小于总人数的一半， 在美术表现这一项中，平均数小于中位数， ∴得分高于该项平均分的作品个数大于总人数的一半， ∴， 故答案为：＞； （2）根据题意得，甲组同学作品的平均得分为（分）， 乙组同学作品的平均得分为（分）， ， ∴乙组同学作品的平均得分排名更靠前， 故答案为：乙． 35．小明同学将某班级毕业升学体育测试成绩（满分30分）统计整理，得到下表，则下列说法错误的是（    ）． 分数 25 26 27 28 29 30 人数 3 5 10 14 12 6 A．该组数据的众数是28分 B．该组数据的平均数是28分 C．该组数据的中位数是28分 D．超过一半的同学体育测试成绩在平均水平以上 【答案】B 【分析】由众数的含义可判断A，由平均数的含义可判断B，D，由中位数的含义可判断C， 从而可得答案. 【详解】解：由分出现次，出现的次数最多，所以该组数据的众数是28分，故A不符合题意； 该组数据的平均数是 故B符合题意； 50个数据，按照从小到大的顺序排列，第25个，26个数据为28分，28分， 所以中位数为：（分），故C不符合题意； 因为超过平均数的同学有： 所以超过一半的同学体育测试成绩在平均水平以上，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数的含义，掌握“根据平均数，众数，中位数的含义求解一组数据的平均数，众数，中位数”是解本题的关键. 题型11.求加权平均数 36．小明参加演讲比赛，他的演讲形象，内容，效果三项分别是9分，8分，8分，若将三项得分依次按的比例确定成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 【答案】8.3 【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得（分）， 故小明的最终比赛成绩为8.3分． 37．2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松赛于4月19日鸣枪开跑，某科创团队对旗下的三款参赛机器人从“步态与动态”“续航与散热”“自主导航与避障”三个方面进行评分，其各项评分（单位：分）如表所示．若三项评分按的比例确定最终成绩，则最终成绩最好的是______（填“A”“B”或“C”）款机器人． 机器人 评分/分 步态与动态 续航与散热 自主导航与避障 A款 10 8 9 B款 9 10 8 C款 9 8 10 【答案】C 【分析】根据给定的权重，利用加权平均数公式分别计算三款机器人的最终成绩，比较成绩大小后得到最终成绩最好的机器人． 【详解】解：由题意得，三项评分的权重和为． 计算A款机器人的最终成绩：（分）． 计算B款机器人的最终成绩：（分）． 计算C款机器人的最终成绩：（分）． 因为， 所以C款机器人最终成绩最好． 38．为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份7元，乙种套餐每份5元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（    ） A．6 B．6.2 C．6.4 D．6.6 【答案】D 【分析】本题考查加权平均数的计算，以订购不同套餐的人数占比为权重计算平均花费即可求解． 【详解】解：设该校订餐学生总人数为， ∵订购甲种套餐的人数为 ，订购乙种套餐的人数为 ， ∴总花费为 ， ∴平均花费为 ． 39．人工智能作为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着社会生产生活方式，也为教育创新发展带来了新机遇．某校人工智能社团引入AI智能导学系统，通过智能辅导、精准练习、即时反馈等方式提升学生学习效率．一段时间后，分别从参加该社团的七、八年级中随机抽取10名学生进行测试，并将测试数据（10分为满分，不低于8分为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下：   七、八年级测试数据统计表 统计量 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 8 8 80% 八年级 8.1 70% (1)________，________，________． (2)结合上表中的统计量，你认为哪个年级的测试结果更好？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)八年级的测试结果更好，理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数（8.5 分）和众数（9 分）均高于七年级，说明八年级中等及以上水平的学生成绩更突出．（答案不唯一） 【分析】（1）从七年级测试数据扇形统计图中提取各分数对应的人数，再利用加权平均数公式计算七年级的平均数即可；从八年级测试数据条形统计图中提取所有学生的成绩，将成绩从小到大排列，取第5和第6个数的平均数即可得到八年级的中位数；从八年级测试数据条形统计图中找出出现次数最多的成绩即可得到八年级的众数； （2）结合表格中的平均数、中位数、众数、优秀率这些统计量，任选个统计量对七、八年级的测试结果进行对比分析，从不同角度说明哪个年级的测试结果更好，理由合理即可． 【详解】（1）解：七年级平均数：根据扇形统计图，10名学生中，6分1人、7分1人、8分5人、9分2人、10分1人， ∴； 八年级中位数b：根据条形统计图，将10名学生成绩从小到大排列为：6，6，7，8，8，9，9，9，9，10，中位数为第5、6个数的平均数，即； 八年级众数c：成绩中9分出现的次数最多（4次），故． （2）略 题型12.用加权平均数做决策 40．某中学举行朗诵比赛．甲、乙、丙三名参赛选手的成绩如表所示，每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 分 分 分 评委（老师） 分 分 分 经过最后汇总，总分最高的是______选手．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了运用加权平均数做决策，求加权平均数，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 计算甲、乙、丙三名选手的加权平均分，观众评分权重为，评委评分权重为，比较总分即可． 【详解】解：甲的总分为：（分）； 乙的总分为：（分）； 丙的总分为：（分）； ∵， ∴总分最高的是乙选手， 故答案为：乙． 41．某校学生会举行换届选举，分笔试和演讲两部分，笔试和演讲成绩按计算最终成绩．若小明的笔试和演讲成绩分别为分，分，小亮的笔试和演讲成绩分别为分，分，则两名同学中最终成绩较高的是______．（填“小明”或“小亮”） 【答案】小明 【分析】由加权平均数计算公式代入数据计算后，比较两名同学最终成绩大小即可 【详解】解：小明的成绩为（分）；小亮的成绩为（分）； ∵， ∴小明的最终成绩较高． 42．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，三名应聘者测试成绩如下表 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 经验 8 6 9 能力 7 8 8 态度 5 7 5 如果将学历、经验、能力和态度四项得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么（    ）将被录用 A．甲 B．乙 C．丙 【答案】B 【分析】此题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式，分别求出甲、乙、丙的最终得分，即可得出答案． 【详解】甲的最终得分为：， 乙的最终得分为：， 丙的最终得分为：， ∴乙的最终得分高，乙将被录用． 故选：B 43．为提升学生的消防安全意识，某校开展消防安全知识竞赛活动．为了解七、八年级学生对消防安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取名学生进行测试（满分分，分及以上为优秀），对测试得分进行整理、分析，并绘制成统计图表： 平均数 中位数 优秀率 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：____，____； (2)求七年级所抽取的名学生测试成绩的平均数； (3)根据以上数据，至少从两个角度比较七、八年级学生本次消防安全知识竞赛中，哪个年级表现更好？ 【答案】(1)， (2) (3)七年级的平均数和优秀率高于八年级，说明七年级学生本次消防安全知识竞赛表现更好． 【分析】（1）根据中位数的定义求出的值，用八年级成绩优秀的人数除以总人数，求出即可； （2）利用加权平均数的计算公式进行求解即可； （3）根据平均数和优秀率进行判断即可. 【详解】（1）解：把七年级50名学生的成绩按照从低到高的顺序排列，第25个数据和第26个数据均为8分， 七年级的中位数为8，即； 八年级得9分或9分以上的人数为人， 八年级的优秀率为，即； （2）解：七年级所抽取的名学生测试成绩的平均数 ． （3）略 题型13.求中位数 44．为了了解某市学生课后参加体育锻炼的时间，教育厅对该市随机抽样调查了若干名学生的每天锻炼时间，统计结果如下表．学生每天锻炼时间的中位数是________． 每天锻炼时间（分钟） 30 40 60 80 学生数（人） 40 70 80 10 【答案】40 【分析】先计算抽样的总人数，再根据中位数的定义确定从小到大排列后中间位置的两个数据，计算两个数据的平均数即可得到结果． 【详解】计算抽样总人数： 将所有学生的锻炼时间从小到大排列后，总共有个数据，因此中位数为排序后第个数据和第个数据的平均数． 累加人数得：前个数据为，第~个数据为，因此第个数据和第个数据都是， 则中位数为 ． 故答案为：． 45．某校组织八年级期末体育测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如表所示（每组只含最低值，不含最高值）．该样本的中位数落在第________组 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 人数 【答案】 三 【分析】先计算样本总人数，再根据中位数的定义确定中位数对应的位置，最后判断中位数所在的组别． 【详解】解：计算抽查的总人数，可得，总数据个数为偶数， 因此中位数是数据排序后第位和第位数据的平均数， 累加各组人数可得，第一组共有个数据，前两组共有个数据，前三组共有个数据， 因此第个和第个数据都落在第三组，该样本的中位数落在第三组． 46．某校开展“文明之星”评选活动，已知每位学生最多可获得个文明徽章．现从参赛学生中随机抽取人，统计他们获得的徽章个数，将结果绘制成条形图（如图所示），则这位学生所获徽章个数的众数和中位数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将数据排序后位于中间的一位或者两位的平均数，进行求解即可. 【详解】解：由图可知，所获徽章个数为7个的人数最多，故众数为7； 将数据排序后，第10个和第11个数据分别为7和8， ∴中位数为. 47．2026年4月23日是第31个世界读书日，为营造书香校园氛围，某校开展“经典诵读”知识竞赛．全校七年级共10个班，每班选派8名选手参赛．其中701班选手的得分整理如下：85，92，85，90，85，88，92，91． (1)求701班参赛选手成绩的众数和中位数． (2)若91分及以上为“优秀”，小滨在统计时发现全校七年级参赛选手的优秀率与701班相同，请求出全校七年级参赛选手中“优秀”的总人数． 【答案】(1)众数为，中位数为 (2)全校七年级参赛选手中“优秀”的总人数为人 【分析】（1）众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数需要先将数据从小到大排序，数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数； （2）先算出701班的优秀率，全校优秀率和701班相同，先求出全校参赛总人数，再用总人数优秀率得到优秀总人数． 【详解】（1）解：先把701班选手成绩从小到大排序： 85，85，85，88，90，91，92，92， 数字85出现了3次，出现次数最多，因此众数为85； 一共8个数据，中间两个是第4个88和第5个90， 中位数． （2）解：701班优秀人数：成绩里91、92、92满足91分及以上，共3人． 701班参赛总人数：8人， 701班优秀率， 共10个班，每班8人，总人数（人）， 全校优秀率和701班相同，因此优秀总人数：， 综上，全校七年级参赛选手中“优秀”总人数为30人． 题型14.由中位数求未知数据的值 48．一组数据从小到大排列为1，2，4，x，7，9．这组数据的中位数是5，则x的值为（   ） A．4 B．5 C．5.5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了中位数的定义，掌握中位数定义是解题的关键． 先根据中位数的定义即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故选D． 49．数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时，算出中位数是80分，但后来发现其中一位同学的成绩记录有误，将75分写成了55分，那么实际这次考试成绩的中位数是______分． 【答案】80 【分析】本题主要考查了中位数的定义，中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为这组数据的中位数成为解题的关键． 根据中位数的定义即可解答． 【详解】解：由于该班有35人参加考试，35是奇数． 将35个学生的成绩按从小到大排序后，中位数是第个数． 把75分写成55分，两个数都比中位数小，那么第18个数不会改变． 因为原来的中位数是80分，即原来排序后第18个数是80分，所以修改成绩后，第18个数依然是80分，即实际这次考试成绩的中位数还是80分． 答案为：80． 50．有一组数据：1、2、3、4、x、3、2、1，如果该组数据中位数和众数相等，那么x的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】该组数据共8个，为偶数个，中位数是排序后第4个和第5个数据的平均数，众数是出现次数最多的数，结合选项逐一验证即可． 【详解】解：当时，排序后数据为， 众数为，中位数为，则，故不符合要求； 当时，排序后数据为， 众数为，中位数为，则，故符合要求； 当时，排序后数据为， 众数为，中位数为，则，故不符合要求； 当时，排序后数据为， 数据均出现2次，中位数为，不存在中位数与众数相等的情况，不符合要求； 因此的值可以是2． 题型15.由中位数做决策 51．在某次赛制为“12进4”且当场公布分数的舞蹈比赛中，小华所在的队伍当第10支队伍分数公布后仍排名第二而欢呼，请问她们判定自己已进入下一轮比赛的依据与________（从平均数、众数、中位数、方差中选择）有关． 【答案】中位数 【分析】此题考查统计量的选择，要熟练掌握解答此题的关键是要明确：数据的平均数，众数，中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，属于基础题，难度不大，根据中位数的意义分析解答即可． 【详解】在某次赛制为“12进4”且当场公布分数的舞蹈比赛中，小华所在的队伍当第10支队伍分数公布后仍排名第二而欢呼，请问她们判定自己已进入下一轮比赛的依据与中位数有关, 故答案为：中位数． 52．为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表． 班级 人数 中位数 平均数 甲班 27 104 97 乙班 27 106 96 如果每分钟跳绳次数次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是_____． 【答案】 【分析】要比较甲、乙两班的优秀率，只要比较一下中位数即可，甲、乙两班的中位数都为第13位同学的成绩，所以，通过比较甲、乙两班的中位数即可比较优秀率． 【详解】解： 从表格中可看出甲班的中位数为104，，乙班的中位数为106，， 即甲班大于105次的人数少于乙班， ∴甲、乙两班的优秀率的关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位数，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 53．某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（    ） A．分钟，分钟 B．分钟，分钟 C．分钟，分钟 D．分钟，分钟 【答案】A 【分析】本题主要考查中位数的定义及性质，首先根据散点图确定原来5名选手演讲时长的中位数范围，然后根据中位数不变的条件，逐个分析各选项． 【详解】解：由图可知，编号为3、4的选手演讲时长均在3.5分钟以下，其中编号2的点位于分钟虚线上，编号为1、5的选手演讲时长在3.5分钟以上，则原来5名选手演讲时长从小到大排列，第3个数（中位数）等于3.5分钟， 若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，即新中位数仍为， 选项A、，，则新增一个小于m的数和一个大于的数，中位数保持为，符合题意； 选项B、、，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意； 选项C、、，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意； 选项D、、，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意； 故选：A． 54．河西走廊葡萄酒，甘肃省特产，自2000多年前丝绸之路时期起，葡萄种植与酿造技艺代代相传，融合东西方文化．2012年7月31日，原国家质检总局批准对“河西走廊葡萄酒”实施地理标志产品保护．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中500株甲、乙两种葡萄树中各抽取100株的产量（用x表示）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲种葡萄树产量的频数分布表： 频数 信息二：乙种葡萄树产量的频数直方图： 信息三：甲、乙两种葡萄树产量的部分统计量： 葡萄树 平均数（） 中位数出现的组别 方差 甲种 乙种 ________ 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值：________，并补全频数分布直方图； (2)乙种葡萄树产量中位数的组别为________； (3)请从平均数、中位数、方差三个数据中任选一个数据，分析本题中哪种葡萄树的产量较好． 【答案】(1) (2) (3)从中位数可得，乙种葡萄树产量中位数高于甲种葡萄树产量，乙种葡萄树的产量较好 【分析】（1）根据频数分布表求得的值，根据频数直方图求得乙种葡萄树中的频数，进而不全统计图； （2）根据中位数的定义，即可求解． （3）根据中位数的意义即可求解． 【详解】（1）解：， 乙种葡萄树中的频数为：，图略； （2）解：第和个数在． ∴乙种葡萄树产量中位数的组别为． （3）解：从中位数可得，乙种葡萄树产量中位数高于甲种葡萄树产量，乙种葡萄树的产量较好． 题型16.求众数 55．适量的运动有助于身体健康，经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某班的班主任随机测量了10名学生的心率，统计结果如下表所示，则这10名学生的心率数据的众数是_____． 心率/（次/分） 60 66 74 80 人数 2 3 4 1 【答案】 【详解】解：由表格可得，这10个数据中，出现的次数最多，共出现次， 因此这组数据的众数是． 56．开封举办第四十二届菊花文化节，主会场龙亭公园的4幅由菊花组成的宋代名画《听琴图》《瑞鹤图》《枇杷孔雀图》《千里江山图》尤为别致．某工作人员为了解游客对这4幅名画的喜爱程度，随机对50名游客在这个景点驻足停留的时间进行了统计，并形成如下统计图，其中有两个数据被遮盖，则关于这组数据的统计量中，与被遮盖的数据无关的是______．（填“平均数”“中位数”或“众数”）． 【答案】中位数 【详解】解：这组数据的中位数为从小到大第、位的平均值， 又，则这组数据的中位数为； 被遮盖的两组数据共， 又，故众数有可能为，也有可能是被遮盖的两组数据， 综上，与被遮盖的数据无关的是中位数． 57．小明所在班级部分同学身高情况统计如下： 身高/ 160 161 162 163 164 165 人数 4 6 6 11 4 1 则这组统计数据的中位数、众数分别为（     ） A．162.5，163 B．163，162 C．162，162 D．163，163 【答案】A 【分析】本题考查中位数和众数的概念，先计算总数据个数，再根据定义分别计算中位数和众数即可求解． 【详解】解：先计算总数据个数：，即共有个数据， 将数据从小到大排列后，中位数为第个和第个数据的平均数． ，即前三个身高段累计有个数据，第个数据为，第个数据为， 中位数为， 众数是一组数据中出现次数最多的数， 身高的人数最多， 众数为． 题型17.由众数做决策 58．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示．从众数的角度给这家鞋店提供建议，多进___________的鞋子．（选择一个尺码） 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 【答案】23.5 【分析】一般来讲，鞋店比较关心哪种尺码的鞋销售量最大，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数，一段时间内卖出的30双女鞋的尺码组成一个样本数据，通过分析样本数据可以找出样本数据的众数，进而可以估计这家鞋店销售哪种尺码的鞋最多． 【详解】解：由表可以看出，在鞋的尺码组成的数据中，23.5是这组数据的众数，即的鞋销售量最大．因此可以建议鞋店多进的鞋． 故答案为23.5． 59．某班50名同学参加了“预防溺水，珍爱生命”为主题的安全知识竞赛，竞赛成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖．关于成绩的三个统计量：①平均数，②方差，③众数，与被遮盖的数据无关的是___．（填写序号即可） 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 1 2 3 5 7 7 10 12 【答案】③ 【分析】通过计算成绩为91、92的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，即可进行选择． 【详解】解：由表格数据可知，成绩为91、92的人数为50-（1+2+3+5+7+7+12+10）=3（人）， 成绩为100出现次数最多，因此成绩的众数是100， 所以众数与被遮盖的数据无关， 故答案为：③． 【点睛】本题考查众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提． 60．某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】根据不同统计量所反映的数据特征：平均数反映平均水平，中位数反映中等水平，方差反映数据的波动程度，而众数反映的是数据中出现次数最多(即最热门，最集中)的情况，商场经理根据销量决定进货，关注的是销量最大的品牌，这与众数的定义相符，据此即可解答． 【详解】解：从表格数据可知，品牌空调的销售量(480台)高于其他所有品牌，是销量最高的品牌，众数表示一组数据中出现次数最多的数，对应本题情境中代表销量最高、最受欢迎的品牌，而平均数反映平均销售量，中位数反映销售量的中间水平，方差反映数据的波动程度，都无法直接体现哪个品牌最畅销，故经理的决定可以用众数解释． 61．开学已过半，临近年级体育联赛预热阶段，某校体育组在复盘近期篮球队、足球队的训练情况时，发现当前的训练反馈仅以“任务完成/未完成”的勾选方式记录呈现．为提升训练质量，体育组对校篮球队、校足球队的成员开展了更详细的训练评分调查，训练评分以分数呈现．（从低到高为1分、2分、3分、4分、5分，共5档） 数据整理： 数据分析： 校篮球队、校足球队评分分数统计表 评分分数平均数 评分分数中位数 评分分数众数 校篮球队 3.5 3 校足球队 4 4 请认真阅读以上信息，回答下列问题： (1)填空：______；______； (2)结合统计数据（平均数、中位数、众数等），为篮球队设计1条针对性的训练优化措施，并说明该措施的设计依据． 【答案】(1)3.5，3.5； (2)见解析 【分析】（）中位数是一组数从小到大排列中间的数就是中位数（偶数个数则为中间两个数的平均数），平均数是一组数据的和个数即可求得； （）结合中位数众数平均数等情况给出个性化的建议即可． 【详解】（1）解：篮球队的总人数为（人），从小到大排列，中位数为第 10、11 个数的平均数，，，所以第10位的分数为3，第11位的分数为4，所以； 足球队的总人数为， ∴； （2）解：优化措施： 针对评分为3分的成员，增加“训练内容个性化调整”环节．（如根据成员体能/技术短板设计专属训练小任务） 设计依据： 篮球队的众数是3分，说明中等分值成员人数较多，提升他们的评分能直接改善整体训练情况，且大多数人分数在3~5分，说明整体训练框架合理，无需大规模调整，仅需针对“中等评分群体”做个性化优化即可． 题型18.求离差平方和 62．学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题根据组内离差平方和的定义求解，分别计算两组的组内离差平方和，再相加即可得到结果． 【详解】首先计算第一组的离差平方和 ， 第一组的平均数， 第一组离差平方和， 再计算第二组的离差平方和， 第二组的平均数， 第二组离差平方和， 总组内离差平方和为 ． 63．数据组，的组内离差平方和为_______． 【答案】7 【分析】先分别计算两组数据的平均数，再分别计算每组的离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 【详解】解：对于第一组数据，其平均数为 ， 第一组离差平方和为 ； 对于第二组数据，其平均数为 ， 第二组离差平方和为 ； 总的组内离差平方和为． 64．将10位求职者的综合测试成绩分成“优秀”和“一般”两组，不同的分法共有（    ） A．8 种 B．9 种 C．10 种 D．11 种 【答案】B 【分析】根据每个间隔都可以作为分组的界限，因此分法数量等于间隔数量． 【详解】解：每个间隔都可以作为分组的界限，因此分法数量等于间隔数量． 10个数据有9个间隔，所以有9种不同的分法． 65．下表是某商店 5 天的日销售额数据： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 销售额 / 元 1200 1500 1800 2100 2400 将这些销售额按从低到高排列后，计算按第2个间隔分组时的组内离差平方和． 【答案】组内离差平方和为． 【分析】先按照按2个间隔分组，然后分别计算第一组离差平方和和第二组离差平方和，然后相加即可得出答案． 【详解】解：步骤1：销售额已按从低到高排列：1200，1500，1800，2100，2400． 步骤2：按第2个间隔分组，两组为和． 步骤3：计算第一组的离差平方和： 第一组平均数：， 离差平方和：． 步骤4：计算第二组的离差平方和：第二组平均数：， 离差平方和：． 步骤5：组内离差平方和：． 题型19.求方差 66．某校九（1）班与两年前相比学生没有变动，则该班学生年龄的平均数和方差，与两年前相比分别（     ） A．不变，改变 B．增大两岁，不变 C．增大两岁，改变 D．不变，不变 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的定义计算变化即可得出结论． 【详解】设该班有名学生，两年前学生年龄分别为，，，，两年前年龄平均数为，方差为， 则，， 现在每名学生年龄都增加岁，则学生年龄分别为，，，， ， ， 平均数增大两岁，方差不变． 67．已知一组数据，，，…，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，…，的平均数是______，方差是______． 【答案】 / 【分析】根据平均数和方差的定义，可推导出数据变换后的平均数和方差，若一组数据中每个数变为原数的倍后再加，平均数变为原平均数的倍加，方差变为原方差的倍，据此推导即可解答． 【详解】解：∵ 数据，，，…，的平均数是，方差是， ∴，， 设新数据，，…，的平均数为，方差为， 则 ； ． 68．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 【答案】B 【分析】从给出的方差公式中可直接得到数据个数和这组数据的平均数，依次计算，中位数和方差，即可判断各选项正误． 【详解】解：∵方差公式为， ∴这组数据共5个，平均数为3，可得，C结论正确，不符合题意； 由平均数的定义得， 解得，A结论正确，不符合题意； 将这组数据从小到大排列为，共5个数，中位数为第3个数，即中位数为， ∴B结论错误，符合题意； 计算方差得：， ∴D结论正确，不符合题意． 69．为了解A，B两款品质相近的无人机满电运行的最长时间，分别抽样调查了两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并进行数据整理． 平均数/ 中位数/ 众数/min 方差/ 无人机A 70 69.5 72 无人机B 72 a b (1)填空：________，________，________（填写“、或”）； (2)根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由； (3)如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为，那么A款无人机最长运行时间的方差将________（填“变大”，“变小”或“不变”）． 【答案】(1)71，69， (2)B款无人机运行时间更有优势，理由： ∵B款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机， ∴B款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）． (3)变小 【分析】（1）根据方差，中位数，众数的定义求解即可； （2）运用平均数或其他统计量进行比较即可； （3）根据方差的计算方法判断即可． 【详解】（1）解：A款无人机数据方差， B款数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80， 所以其中位数为，出现次数最多的数据为69，故； 方差． ∴； （2）略 （3）解：新增数据70与A款无人机的平均数相等，故加入后会减小数据的方差． 题型20.由方差求未知数据的值 70．某组数据的方差，则该组数据的总和是（    ） A．8 B．20 C．40 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了方差的定义，解题的关键是对方差公式的理解． 根据方差的求解公式可知这组数的平均数以及这组数的个数，据此即可作答． 【详解】解：∵数据的方差， ∴该组数据共有8个，平均数为5， ∴该组数据的总和是． 故选：C 71．若一组数据，，…，的平均数为17，方差为3，则另一组数据，，…的平均数是_______，方差是_______. 【答案】 34 12 【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：34，12． 【点睛】本题考查了方差与平均数，掌握相关知识并正确计算是解题的关键． 72．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【分析】本题考查方差公式的意义，以及平均数和方差的计算，解题思路是先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有4个平方项， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为，，，，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数后，新数据为，，，，，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∵， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 题型21.由方差作决策 73．“完全人格，首在体育”．为增强学生体质，某区举办了中小学体育传统项目竞赛，某校准备从A、B、C、D四个小组中选出一组去参加该项竞赛，下表记录了各组平时体育总成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个总成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是________组． A B C D 平均数 95 98 98 96 方差 1.12 1.21 0.99 1.83 【答案】C 【详解】解：首先比较四个小组的平均数，可得， 因此B组和C组的平均数大于A组和D组，B、C两组总成绩更好， 再比较B组和C组的方差，可得， 方差越小，数据波动越小，状态越稳定，因此C组状态比B组更稳定， 综上，应选择C组． 74．综合与实践课上，老师对同学们的综合表现给出了评价．下表是甲、乙、丙、丁四名同学本学期综合成绩的平均分和方差．成绩较好且稳定的是________． 甲 乙 丙 丁 平均分 93 方差 2 【答案】乙 【分析】平均分越高代表成绩越好，方差越小代表成绩波动越小，稳定性越高，解题时先根据平均分筛选出成绩较好的同学，再比较方差判断稳定性即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴乙和丁的平均分更高，即乙和丁的成绩更好； ∵ ， 因此乙的方差更小，成绩更稳定． 75．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近10次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】要选择成绩好且发挥稳定的运动员，需先通过平均数判断成绩好坏，平均数越大成绩越好，再通过方差判断稳定性，方差越小发挥越稳定． 【详解】解：∵由表中数据可知 ∴甲和丙的平均成绩更好． 又∵，，可得 ∴丙的方差更小，发挥更稳定． 综上，应选择丙参加比赛． 题型22.由方差判断稳定性 76．为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取20株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是，由此可知_______种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小；据此比较方差大小即可求解． 【详解】解：， 甲种秧苗长势更整齐． 77．某企业对员工进行综合素质测试，测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则，根据图中信息，比较甲的方差与乙的方差的大小：___．（填“＞”“＝”或“＜”） 【答案】 【分析】观察统计图可知数据的波动性，根据方差越小数据越稳定解答即可． 【详解】解：由折线统计图可知，甲的得分的波动比乙大，所以甲的方差大于乙的方差，即． 78．为落实教育部“健康教育专项工程”，引导学生积极锻炼、增强体质．某校对九年级1班和2班男生的引体向上成绩进行调查，从两班各随机抽取10名男生测试，并将测试成绩绘制成折线统计图（如图所示）．九年级1班引体向上成绩的方差记为，九年级2班引体向上成绩的方差记为，已知这两个班引体向上成绩的平均数相等，则可估计和的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】方差是反映一组数据离散程度的统计量，方差越大，数据的上下波动越大，数据越不稳定，从两组数据的波动情况可以直观得出答案． 【详解】解：从每组数据的波动情况看，九年级二班的数据波动比九年级一班的数据波动大， 所以九年级一班数据的方差小于九年级二班数据的方差，即． 79．为传承中华经典诗词文化，增强学生文化自信，学校举办了一场诗词知识竞赛．满分100分，85分及以上获奖．现从甲，乙两班各随机抽取8名学生的竞赛成绩： 甲班8名学生竞赛成绩（分）：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生竞赛成绩（分）：100，90，79，90，83，85，56，75． 甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 甲班 80 n 乙班 m 90 请根据以上信息，解决以下问题： (1)填空：______，______，______（填“”“”或“”）； (2)你认为哪个班成绩比较好，并说明理由（写出一条即可）； (3)甲班有学生48人，乙班有学生46人，按竞赛规定：85分及85分以上的学生可以获奖，估计这两个班获奖的总人数是多少？ 【答案】(1)84，80， (2)乙班成绩比较好，理由：甲乙两班平均数相同，但乙班中位数比甲班高； (3)41人 【分析】（1）按照求中位数与众数的方法进行即可；根据两个班抽取学生成绩的波动程度可判断方差的大小； （2）从中位数考虑或方差考虑即可； （3）样本估计总体，求出甲班优秀人数与乙班优秀人数的和即可． 【详解】（1）解：将乙班学生成绩按高低排列，第4、5两个数分别为85、83， ∴； 甲班抽取的学生成绩中，80分出现的次数最多，则； 由折线统计图知，甲班的成绩波动程度小于乙班，则； （2）略 （3）解：（人）， 答：这两个班获奖的总人数是41人． 题型23.求四分位数与画箱线图 80．在学校组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八（1）班学生成绩的箱线图如图所示，则八（1）班学生成绩的上四分位数是______分． 【答案】 【分析】本题主要考查箱线图及四分位数，熟练掌握箱线图及四分位数是解题的关键；因此此题可根据箱线图的相关概念进行求解即可． 【详解】解：由箱线图可知：八（1）班学生成绩的上四分位数是90分． 故答案为：． 81．已知A，B两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级成绩的箱线图如图所示，则A，B两个班级平均分较高的是________班． 【答案】B 【分析】本题主要考查了箱线图的应用，熟练掌握箱线图中各统计量（分位数、最值等）的意义是解题的关键． 通过观察两个班级成绩箱线图中各分位数（上四分位数、下四分位数）以及最低分的情况，来比较两个班级的平均分高低． 【详解】解：由两个班级的成绩箱线图可知， A班的上四分位数与B班的中位数一致，均为120， B班的下四分位数大于A班的下四分位数， B班的最低分也大于A班的最低分， 所以B班的平均分较高， 故答案为：B． 82．如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【分析】根据箱线图的信息解答即可． 【详解】解：由题意可知： 三个班级中，甲班分数的方差最小，故选项A说法正确，不符合题意； 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大，故选项B说法正确，不符合题意； 丙班的中位数比80分稍多，所以丙班得分低于80分的人数不可能多于得分高于80分的学生人数，故选项C说法错误，符合题意； 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大， ∴若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，最高的是丙班，故选项D说法正确，不符合题意． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $