专题05多边形期末复习讲义(16大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题05多边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握多边形、内角、外角、对角线、正多边形等基本概念，区分凸多边形与凹多边形。 2.熟记多边形内角和公式、外角和定理，理解公式推导过程。 3.掌握多边形对角线数量计算公式，能计算对角线条数、分割出的三角形个数。 4.理解正多边形的性质，掌握正多边形内角、外角的计算方法。 1.熟练运用内角和、外角和公式，求解多边形边数、内角度数、外角度数。 2.能结合对角线相关公式，解决计数、线段分割类计算问题。 3.会利用外角和为定值的特点，巧解多边形相关求值、推理题。 4.能综合运用多边形知识，解决含参数、缺条件的拓展计算与简单推理题 1.基础题型零失误，快速解答概念辨析、公式直接计算类选择、填空题。 2.规范解答计算题步骤，准确完成求边数、角度、对角线条数等解答题。 3.突破已知内 / 外角求边数、多边形角度取值范围等高频易错题。 4.灵活处理多边形与三角形结合的综合题型，适应期末中档考题。 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后边数问题 题型03.多边形的周长 题型04.网格中多边形面积比较 题型05.多边形对角线条数问题 题型06.对角线分成三角形个数问题 题型07.多边形内角和问题 题型08.多少算一个角问题 题型09.多边形截角后内角和问题 题型10.复杂图形的内角和 题型11.多边形外角和的实际应用 题型12.正多边形概念辨析 题型13.正多边形内角问题 题型14.正多边形外角问题 题型15.多边形内角和与外角和综合 题型16.四边形的不稳定性 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.相关组成元素 元素 定义 数量 图示 边 组成多边形的各条线段 n 条 顶点 相邻两边的公共端点 n 个 内角 相邻两边组成的角 n 个 外角 多边形的边与它的邻边延长线组成的角 n 个（每个顶点 1 个） 对角线 连接不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发：n-3条 总条数：条 3.多边形分类 凸多边形：画出多边形任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧。（初中主要研究凸多边形） 凹多边形：存在一条边所在直线，多边形分布在直线两侧。 4. 正多边形 定义：各边都相等，各内角也都相等的多边形叫做正多边形。 两个条件缺一不可：边相等 + 内角相等； 常见正多边形：正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。 知识点02:多边形对角线相关公式（高频计算考点） 设多边形边数为 n(n3)，n为整数） 1.从一个顶点出发的对角线条数 公式：n-3 推导：自身顶点 + 左右相邻 2 个顶点不能连对角线，剩余可连顶点数 n-3。 2.被对角线分割成的三角形个数 公式：n-2 3.n边形总对角线条数 公式： 推导：每个顶点可连n-3条，n个顶点共n(n-3)条；每条对角线被两个顶点重复计算，因此除以 2。 例题提示：已知边数求对角线、已知对角线条数求边数，均直接套用公式。 知识点03:多边形内角和: n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 1.常见应用题型及变形 (1).已知边数，求内角和； (2).已知内角和，反求多边形边数； (3).正多边形单个内角度数计算：正n边形一个内角= 2.重要性质 (1)多边形边数每增加1，内角和增加180； (2)内角和一定是180的整数倍，可用于检验计算结果。 知识点04:多边形外角和（重难点、易考点） 1. 外角和定理 任意凸多边形的外角和都等于 360。 关键点：与边数无关，无论三角形、四边形、n边形，外角和恒为360。 2. 正多边形单个外角度数 正n边形一个外角= 3. 内角与外角的关系 多边形同一个顶点处：内角 + 外角 = 180（互为邻补角） 4. 常考解题思路 (1)已知正多边形一个外角，求边数：n=； (2)已知正多边形一个内角，先求对应外角，再求边数； (3)多边形外角取值范围：凸多边形每个外角均大于0且小于180。 知识点05:高频易错点（课堂重点强调） 1.混淆内角和与外角和：误认为外角和随边数变化，牢记外角和恒为360； 2.计算总对角线条数时，忘记除以2，出现重复计数错误； 3.判断正多边形时，忽略 “边相等、角相等” 两个条件； 4.利用内角和求边数时，计算出错，未利用 “内角和是180整数倍” 检验； 5.忽略隐含条件：凸多边形每个内角小于180，每个外角大于0。 知识点06:内角和与外角和公式汇总表 项目 公式 备注 n边形内角和 (n−2)×180∘ 随边数变化 n边形外角和 360∘ 定值，与边数无关 正n边形一个内角 两个必备条件：等边、等角 正n边形一个外角 计算边数最常用 从一个顶点出发对角线条数 n-3 n3 n边形总对角线条数 易重复计算，务必除以 2 一个顶点分得多边形三角形个数 n-2 用于推导内角和 题型01.多边形的概念与分类 1．下列图形中，属于凸多边形的是（     ） A． B． C． D． 2．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． . 3．如图，凸四边形，有两种剖分方法：（如图示）世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（表示凸边形的三角剖分数），请你用上面的公式计算______． 题型02.多边形截角后边数问题 4．下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 6．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 题型03.多边形的周长 7．如图，将周长为的沿方向平移个单位长度得到，则四边形的周长为________．    8．如图，小明从A点出发，前进6m到点B处后向右转，再前进6m到点C处后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 _____m． 9．如图是一个风筝设计图，其主体部分(四边形)关于所在的直线对称，与相交于点O，若，，则四边形的周长是_____． 题型04.网格中多边形面积比较 10．如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的面积是________． 11．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 12．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 题型05.多边形对角线条数问题 13．如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 14．连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线。如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，……，则十三边形的对角线条数为（   ） A．54 B．60 C．65 D．72 15．已知一个n边形的各内角都等于，则这个n边形的对角线的总条数为（    ）． A．9 B．54 C．12 D．60 16．如图，要使四边形木架（由四根木条钉成）不变形，可以再钉上几根木条． (1)请在图①中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？ (2)五边形呢？请在图②中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？ (3)由以上探究猜想，要使n边形的木架不变形，至少要钉上几根木条？ 题型06.对角线分成三角形个数问题 17．已知从九边形的一个顶点出发，可引出m条对角线，这些对角线可以把这个九边形分成n个三角形，则_______ ． 18．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2026个三角形，那么这个多边形的边数是_____． 19．过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了2025个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 20．某个人从多边形一个顶点出发引对角线可以把这个多边形分成八个三角形，这个多边形是（ ）边形 A．六 B．八 C．十 D．十一 题型07.多边形内角和问题 21．祐国寺塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东北部，是园内重要的文物，素有“天下第一塔”之称．祐国寺塔呈八角结构，那么一个八边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 22．已知，点P为内一点，点A为上一点，点B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为_______． 23．如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则一定等于（　　） A． B． C． D． 24．如图，在五边形中，平分，平分．若，，，求的度数． 题型08.多少算一个角问题 25．一个多边形的内角和加上一个外角的和为，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 26．马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 27．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 28．看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 题型09.多边形截角后内角和问题 29．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加___________度． 30．将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知，，，则剪去的这个角的度数为（   ） A．或 B．或 C． D． 31．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 题型10.复杂图形的内角和 32．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 33．如图，的度数为___________． 34．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 题型11.多边形外角和的实际应用 35．如图是甘肃平凉延恩寺塔，又名大明宝塔，始建于多年前的明弘治年间．从上面看该塔，得到的平面图形是八边形，该八边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 36．如图，七边形中，，的延长线交于点O，若，，，的和等于，则的度数为______． 37．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 38．如图1，嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是__________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且 求行程中珍珍转过的角度的和（即的值）． 题型12.正多边形概念辨析 39．如图，定州开元寺塔（料敌塔）共十一层，高米，被誉为“中华第一塔”．塔身平面呈正八边形，是宋代砖塔的杰出代表．下列同为正八边形的是（    ） A． B． C． D． 40．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 41．正六边形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2．像这样连续翻转，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A． B． C． D． 题型13.正多边形内角问题 42．如果一个多边形的每一个内角都等于，那么这个多边形是________边形． 43．五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同足球烯分子中的微粒一样团结在一起．一个足球烯分子由12个正五边形，20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 44．如图，正六边形和等腰Rt的一边重合，，则的度数为__________． . 45．如下图，已知正五边形，，交的延长线于点．求的度数． 题型14.正多边形外角问题 46．如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 47．将一个正六边形与一个正五边形，按如图所示的位置摆放，使点A为公共顶点，顶点B、C、D、E都在直线上，则________． 48．如图，图中表示被撕掉一块的正边形纸片，若，则的值是（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 49．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，……，如此反复下去，直到第一次回到出发点A停止，他所走的路径构成了一个正n边形． (1)______； (2)若小明的速度是，求小明的运动时间． 题型15.多边形内角和与外角和综合. 50．一个正多边形每个内角是，则这是一个正____边形． 51．若一个多边形的内角和与外角和之差为，则这个多边形的边数______． 52．如图，作平分线的反向延长线，现要分别以，，为内角作正多边形，且边长均为，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以为内角，可作出一个边长为的正方形，此时，而是（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图所示．图中的图案外轮廓周长是．在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是（  ） A． B． C． D． 53．某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探索研究四边形的某两个外角和与它们不相邻的内角之间的关系．已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论探究】 (1)如图，当，时，计算___________； 【结论推导】 (2)如图，观察猜想与之间的关系，并证明你的结论； 【结论应用】 若直线分别平分四边形的外角和． (3)如图，当直线时，试判断之间的数量关系是___________； (4)当，时，若直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点顺时针旋转，直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点逆时针旋转，两条直线同时出发，设旋转时间为（单位：），在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值．（写出个即可）． 题型16.四边形的不稳定性 54． 2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了________________． 55．以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（     ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 56．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 57．科学知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个 情景请你作出判断： (1)木工师傅在做完门框后，为防止变形，常常像图中所示的样子钉上两条斜拉的木板 条，这样做的数学道理是 ； (2)在科技创新大赛期间，八年级 A 班的小强有一个设想，他计划设计一个内角和是的多边形图案，他认为这非常有意义，他的愿望能实现吗？ 用数学知识说明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05多边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握多边形、内角、外角、对角线、正多边形等基本概念，区分凸多边形与凹多边形。 2.熟记多边形内角和公式、外角和定理，理解公式推导过程。 3.掌握多边形对角线数量计算公式，能计算对角线条数、分割出的三角形个数。 4.理解正多边形的性质，掌握正多边形内角、外角的计算方法。 1.熟练运用内角和、外角和公式，求解多边形边数、内角度数、外角度数。 2.能结合对角线相关公式，解决计数、线段分割类计算问题。 3.会利用外角和为定值的特点，巧解多边形相关求值、推理题。 4.能综合运用多边形知识，解决含参数、缺条件的拓展计算与简单推理题 1.基础题型零失误，快速解答概念辨析、公式直接计算类选择、填空题。 2.规范解答计算题步骤，准确完成求边数、角度、对角线条数等解答题。 3.突破已知内 / 外角求边数、多边形角度取值范围等高频易错题。 4.灵活处理多边形与三角形结合的综合题型，适应期末中档考题。 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后边数问题 题型03.多边形的周长 题型04.网格中多边形面积比较 题型05.多边形对角线条数问题 题型06.对角线分成三角形个数问题 题型07.多边形内角和问题 题型08.多少算一个角问题 题型09.多边形截角后内角和问题 题型10.复杂图形的内角和 题型11.多边形外角和的实际应用 题型12.正多边形概念辨析 题型13.正多边形内角问题 题型14.正多边形外角问题 题型15.多边形内角和与外角和综合 题型16.四边形的不稳定性 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.相关组成元素 元素 定义 数量 图示 边 组成多边形的各条线段 n 条 顶点 相邻两边的公共端点 n 个 内角 相邻两边组成的角 n 个 外角 多边形的边与它的邻边延长线组成的角 n 个（每个顶点 1 个） 对角线 连接不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发：n-3条 总条数：条 3.多边形分类 凸多边形：画出多边形任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧。（初中主要研究凸多边形） 凹多边形：存在一条边所在直线，多边形分布在直线两侧。 4. 正多边形 定义：各边都相等，各内角也都相等的多边形叫做正多边形。 两个条件缺一不可：边相等 + 内角相等； 常见正多边形：正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。 知识点02:多边形对角线相关公式（高频计算考点） 设多边形边数为 n(n3)，n为整数） 1.从一个顶点出发的对角线条数 公式：n-3 推导：自身顶点 + 左右相邻 2 个顶点不能连对角线，剩余可连顶点数 n-3。 2.被对角线分割成的三角形个数 公式：n-2 3.n边形总对角线条数 公式： 推导：每个顶点可连n-3条，n个顶点共n(n-3)条；每条对角线被两个顶点重复计算，因此除以 2。 例题提示：已知边数求对角线、已知对角线条数求边数，均直接套用公式。 知识点03:多边形内角和: n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 1.常见应用题型及变形 (1).已知边数，求内角和； (2).已知内角和，反求多边形边数； (3).正多边形单个内角度数计算：正n边形一个内角= 2.重要性质 (1)多边形边数每增加1，内角和增加180； (2)内角和一定是180的整数倍，可用于检验计算结果。 知识点04:多边形外角和（重难点、易考点） 1. 外角和定理 任意凸多边形的外角和都等于 360。 关键点：与边数无关，无论三角形、四边形、n边形，外角和恒为360。 2. 正多边形单个外角度数 正n边形一个外角= 3. 内角与外角的关系 多边形同一个顶点处：内角 + 外角 = 180（互为邻补角） 4. 常考解题思路 (1)已知正多边形一个外角，求边数：n=； (2)已知正多边形一个内角，先求对应外角，再求边数； (3)多边形外角取值范围：凸多边形每个外角均大于0且小于180。 知识点05:高频易错点（课堂重点强调） 1.混淆内角和与外角和：误认为外角和随边数变化，牢记外角和恒为360； 2.计算总对角线条数时，忘记除以2，出现重复计数错误； 3.判断正多边形时，忽略 “边相等、角相等” 两个条件； 4.利用内角和求边数时，计算出错，未利用 “内角和是180整数倍” 检验； 5.忽略隐含条件：凸多边形每个内角小于180，每个外角大于0。 知识点06:内角和与外角和公式汇总表 项目 公式 备注 n边形内角和 (n−2)×180∘ 随边数变化 n边形外角和 360∘ 定值，与边数无关 正n边形一个内角 两个必备条件：等边、等角 正n边形一个外角 计算边数最常用 从一个顶点出发对角线条数 n-3 n3 n边形总对角线条数 易重复计算，务必除以 2 一个顶点分得多边形三角形个数 n-2 用于推导内角和 题型01.多边形的概念与分类 1．下列图形中，属于凸多边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据凸多边形的定义判断，满足两点：一是多边形，各顶点首尾顺次相接；二是整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧． 【详解】解：画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫作凸多边形， 因此选项A、D都不符合题意，选项C符合题意； 多边形各顶点要首尾顺次相接，因此选项B不符合题意． 2．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． . 【答案】3 【分析】本题考查多边形，理解“邻等四边形”的定义是正确解答的关键． 据“邻等四边形”以及网格点的意义在网格中找出符合条件的点D的位置即可． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格点的意义可知， 所有符合条件的点D共有3个，即图形中的， 故答案为：3 3．如图，凸四边形，有两种剖分方法：（如图示）世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（表示凸边形的三角剖分数），请你用上面的公式计算______． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的概念，代数式求值，由题意得，，求出，然后再通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02.多边形截角后边数问题 4．下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体．根据正方体的截面形状判断即可． 【详解】解：正方体的截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴上列图形中，能通过切正方体得出来的共有：4个， 故选：D． 5．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 6．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 【答案】D 【分析】先根据多边形内角和公式求出新多边形的边数，再根据多边形截去一个角的三种情况，讨论得到原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的新多边形的边数是，根据多边形内角和公式可得 ， 解得， ∵多边形截去一个角共有三种情况， ①截线不过原多边形顶点时，新多边形边数比原多边形多， ②截线过原多边形一个顶点时，新多边形边数与原多边形相等， ③截线过原多边形两个顶点时，新多边形边数比原多边形少， ∴原多边形边数为或或，即原来多边形的边数是或或． 题型03.多边形的周长 7．如图，将周长为的沿方向平移个单位长度得到，则四边形的周长为________．    【答案】 【分析】根据平移的性质可得，，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解． 【详解】沿方向平移个单位长度得到 ，， 四边形的周长 的周长， 四边形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质得到相等的线段是解本题的关键． 8．如图，小明从A点出发，前进6m到点B处后向右转，再前进6m到点C处后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 _____m． 【答案】 【分析】根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可． 【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 由于正多边形的外角和是，且每一个外角为， ， 所以它是一个正十八边形， 因此所走的路程为（m）， 故答案为：． 【点睛】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理以及正多边形的判定是解决问题的前提． 9．如图是一个风筝设计图，其主体部分(四边形)关于所在的直线对称，与相交于点O，若，，则四边形的周长是_____． 【答案】/16厘米 【分析】根据轴对称的性质即可解决问题． 【详解】解：∵主体部分(四边形)关于所在的直线对称， ，， ∴四边形的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，四边形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． 题型04.网格中多边形面积比较 10．如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的面积是________． 【答案】5 【分析】本题考查了方格中图形面积的计算，掌握用总面积减去空白部分面积求目标图形面积是解题的关键． 先算出整个方格纸的面积，再直接计算正方形周围空白部分的面积，用总面积减去空白面积，就能得到正方形的面积． 【详解】解：方格纸总面积是 ： 观察图形，正方形周围有个直角三角形，每个三角形的两条直角边分别是和， 单个三角形面积，个三角形的总面积是： 正方形面积方格纸总面积空白面积是：． 故答案为：． 11．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 12．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 【答案】 【分析】根据网格，计算正方形、正方形的面积，利用面积计算线段，，从而得到，，三条线段的数量关系． 【详解】解：，正方形、正方形的顶点均在格点上， 正方形面的积，正方形的面积，， ，， ， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了网格图形面积计算，正方形面积与边长关系，算术平方根计算，熟练掌握网格图形面积计算是解题的关键． 题型05.多边形对角线条数问题 13．如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据从n边形的一个顶点最多能引出条对角线求解即可． 【详解】解：从该九边形的一个顶点最多能引出条对角线， 故选：． 14．连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线。如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，……，则十三边形的对角线条数为（   ） A．54 B．60 C．65 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了规律探究问题．从四边形、五边形、六边形等对角线的条数进行分析，总结规律即可得到n边形的对角线条数． 【详解】解：四边形的对角线条数（条）， 五边形的对角线条数（条）， 六边形的对角线条数（条）， …， ∴n边形的对角线条数（条）， ∴十三边形的对角线条数（条）， 故选：C． 15．已知一个n边形的各内角都等于，则这个n边形的对角线的总条数为（    ）． A．9 B．54 C．12 D．60 【答案】B 【分析】先根据多边形的外角和等于可得，再根据边形的对角线的总条数等于即可得． 【详解】解：一个边形的各内角都等于， ， 解得， 则这个边形的对角线的总条数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的外角和、多边形的对角线条数问题，熟练掌握边形的对角线的总条数等于是解题关键． 16．如图，要使四边形木架（由四根木条钉成）不变形，可以再钉上几根木条． (1)请在图①中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？ (2)五边形呢？请在图②中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？ (3)由以上探究猜想，要使n边形的木架不变形，至少要钉上几根木条？ 【答案】(1)1 (2)2 (3)根 【分析】（1）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，据此解答； （2）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，据此解答； （3）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，据此解答． 【详解】（1）解：如图①根据三角形具有稳定性可知：要使木架不变形，则需要将四边形木架钉木条转化为三角形，至少需再钉（根）木条； （2）解：如图②五边形木架钉木条转化为三角形，至少需再钉（根）木条； （3）解：四边形木架至少需再钉1根木条，五边形木架至少需再钉2根木条，综上可得要使n边形木架不变形，至少需要再钉根木条． 题型06.对角线分成三角形个数问题 17．已知从九边形的一个顶点出发，可引出m条对角线，这些对角线可以把这个九边形分成n个三角形，则_______ ． 【答案】 【分析】多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为条；组成的三角形的个数为个，分别求出m、n的值即可得出． 【详解】解：从九边形的一个顶点出发，可引出条对角线，这些对角线可以把这个九边形分成个三角形， ∴， ∴． 18．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2026个三角形，那么这个多边形的边数是_____． 【答案】2028 【分析】本题主要考查了多边形的对角线、一元一次方程的应用等知识点，掌握从n边形的一个顶点出发作对角线，最多将多边形分成个三角形是解题的关键． 设多边形的边数为n，再根据多边形对角线的特点列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n，根据多边形性质，从一个顶点出发作对角线，最多分成个三角形． 由题意可得，，解得：． 故答案为：2028． 19．过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了2025个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】本题需要根据多边形过一个顶点的对角线分成三角形的个数与多边形边数的关系来求解． 【详解】设这个多边形的边数为 根据过边形的一个顶点的所有对角线把边形分成个三角形这一规律 已知过该多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了个三角形 所以可列方程： 移项可得． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握过边形的一个顶点的所有对角线把边形分成个三角形，利用这一规律建立方程求解多边形的边数是解题的关键． 20．某个人从多边形一个顶点出发引对角线可以把这个多边形分成八个三角形，这个多边形是（ ）边形 A．六 B．八 C．十 D．十一 【答案】C 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，依此可得n的值． 【详解】根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形， ∴n−2＝8，即n＝10． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 题型07.多边形内角和问题 21．祐国寺塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东北部，是园内重要的文物，素有“天下第一塔”之称．祐国寺塔呈八角结构，那么一个八边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形内角和公式，边形的内角和公式为，直接代入八边形的边数计算即可得到结果． 【详解】解：一个八边形的内角和为． 22．已知，点P为内一点，点A为上一点，点B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为_______． 【答案】 【分析】作P点关于的对称点，连接，可知当的周长取最小值时，在一条直线上，根据垂线的定义及三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图，作P点关于的对称点，然后连接，    ∵点与点P关于直线对称，点与点P关于对称， ∴， ∴， ∵的周长 ∴当的周长取最小值时，在一条直线上， ∵， ∴， ∴， 在中，由三角形的内角和定理可知：， ∴， ∴． 23．如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则一定等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查四边形的内角和，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长到点，使，连接，则，根据，得到，，证得，从而得到，，再推导，证得，进而得到，故，完成求解． 【详解】解：延长到点，使，连接，则， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 24．如图，在五边形中，平分，平分．若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和，角平分线定义，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 先求出五边形内角和，进而得到，再利用角平分线定义得到，最后结合三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】解：五边形内角和为， ，，， ， 平分，平分， ， ， ． 题型08.多少算一个角问题 25．一个多边形的内角和加上一个外角的和为，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】C 【分析】设该多边形的边数为n，则该多边形的内角和为，则该多边形的这个外角的度数为，再根据这个外角大于0度且小于180度建立不等式组求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∵n为正整数， ∴， ∴这个多边形是九边形． 26．马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 【答案】7或8 【分析】n边形的内角和为，多边形每个内角大于小于，因此少算的2个内角和的范围为，根据多边形内角和定理列出不等式，求解得到正整数n即可． 【详解】解：设少算的2个内角和为，该多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得：， 整理得， 多边形每个内角满足内角， ∴少算的2个内角和的范围， 即， 移项得， 不等式同除以得， 为正整数， ∴或． 27．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 28．看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)13边形的内角和 (3)能，这个外角为 【分析】本题主要考查了多边形内角和，一元一次不等式的应用．解决本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．n边形的内角和是． （1）n边形的内角和是，因而内角和一定是180度的倍数，据此可进行解答； （2）设这个多边形的边数为n，根据已知可得，进行求解即可，注意n为正整数； （3）根据上面的结果求出这个多边形的内角和，再用减去求出的结果，计算即可． 【详解】（1）∵不是的整数倍， ∴小明说不可能． （2）设这个多边形的边数为n， 由题意，得． 解得． ∵n为整数， ∴． ∴小华求的是13边形的内角和． （3）∵当时，， ， ∴这个外角为． 题型09.多边形截角后内角和问题 29．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加___________度． 【答案】180 【分析】本题考查了多边形内角和．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 根据n边形的内角和公式求解作差即可． 【详解】解：五边形的内角和为 将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6， 则， ∴内角和增加 故答案为：180． 30．将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知，，，则剪去的这个角的度数为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别画出图形，根据三角形和四边形的内角和进行解答即可． 【详解】解：在四边形中，内角和等于． ∵，，， ∴． 若剪去的三角形与边重合，如图（1）所示， ∴． 若剪去的三角形与边重合，如图（2）所示， ∴． 综上所述，剪去的这个角的度数是或． 31．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 【答案】(1)8 (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和、多边形外角和以及剪去一个角的问题，熟练掌握多边形的相关知识是解题的关键． （1）设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为，根据平角定义可求出a的值，再利用多边形的外角和为，可求出多边形的个数； （2）剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，因此分情况讨论，即可求出答案． 【详解】（1）解：设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为， 由题意得，， 解得， 又多边形的外角和为， 多边形的外角个数为， 这个多边形的边数为8； （2）因为剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变， 若剪掉一个角后，边数增加了1条，即变成九边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数减少了1条，即变成七边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数不变，即还是八边形，则此时内角和； 将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是或或． 题型10.复杂图形的内角和 32．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 33．如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 34．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 题型11.多边形外角和的实际应用 35．如图是甘肃平凉延恩寺塔，又名大明宝塔，始建于多年前的明弘治年间．从上面看该塔，得到的平面图形是八边形，该八边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵多边形的外角和等于， ∴该八边形的外角和为． 36．如图，七边形中，，的延长线交于点O，若，，，的和等于，则的度数为______． 【答案】/50度 【分析】延长交于点H，根据，得到，结合，得到，结合计算即可． 【详解】如图，延长交于点F， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握多边形的外角和定理是解题的关键． 37．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 【答案】D 【分析】根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，他需要转次才会回到原点， 所以一共走了（米）． 38．如图1，嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是__________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且 求行程中珍珍转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1)360 (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵在五边形中， ∴ ． 题型12.正多边形概念辨析 39．如图，定州开元寺塔（料敌塔）共十一层，高米，被誉为“中华第一塔”．塔身平面呈正八边形，是宋代砖塔的杰出代表．下列同为正八边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，据此求解即可. 【详解】解：根据题意可得：图形为正八边形的是选项B. 40．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 41．正六边形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2．像这样连续翻转，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正六边形边长和周长，再计算2026与起始点F的距离，利用周期性确定对应点． 【详解】解： 点，对应的数分别为， 正六边形边长 正六边形周长为 初始位置点对应数为，且每翻转6次为一个循环，向右移动12个单位 计算与的距离： 数轴上对应的点相当于从点开始顺时针翻转，移动个单位长度所对应的点 数轴上2026这个数所对应的点是 题型13.正多边形内角问题 42．如果一个多边形的每一个内角都等于，那么这个多边形是________边形． 【答案】八 【分析】设这个多边形的边数为，由该多边形每一个内角都等于，可得其内角和为，结合多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据多边形内角和公式可得： ， 解得， 这个多边形是八边形． 43．五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同足球烯分子中的微粒一样团结在一起．一个足球烯分子由12个正五边形，20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出正六边形的一个内角的度数，根据正六边形的性质，结合等边对等角，平行线的判定和性质，进行求解即可. 【详解】解：正六边形的每个内角度数为， 由题意可知： ，， ∴，， ∴， ∴ 44．如图，正六边形和等腰Rt的一边重合，，则的度数为__________． . 【答案】/45度 【分析】先根据正多边形的内角和公式，可得正六边形的内角，再根据角的和差即可得答案． 【详解】解：正六边形的内角为：， ， 为等腰直角三角形，， ， ∴， ∴． 45．如下图，已知正五边形，，交的延长线于点．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质与平行线的性质，掌握正五边形的内角计算方法，及利用等腰三角形、平行线转化角的关系是解题的关键． 先利用正五边形的性质求出内角及等腰三角形的角，再结合平行线的性质得到相等的角，最后通过角的差计算出的度数． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ， ， ． ． 题型14.正多边形外角问题 46．如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正多边形的外角公式求出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∴． 47．将一个正六边形与一个正五边形，按如图所示的位置摆放，使点A为公共顶点，顶点B、C、D、E都在直线上，则________． 【答案】84 【详解】解：∵正六边形每个内角为，每个外角为，正五边形每个内角为，每个外角为， ∴， ∴． 48．如图，图中表示被撕掉一块的正边形纸片，若，则的值是（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和及外角度数的计算，根据垂直的定义以及三角形内角和为，可以计算正边形的两个外角的度数，从而根据外角和为即可解出边数． 【详解】解：将残缺的两边、延长，两者交于一点，如图所示 由可知该交点处夹角为， 根据三角形内角和为，剩余两个锐角和为，这两个锐角正好是正边形的两个外角， ∴正边形每个外角为， 任意多边形的外角和恒为， ∴边数 ． 49．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，……，如此反复下去，直到第一次回到出发点A停止，他所走的路径构成了一个正n边形． (1)______； (2)若小明的速度是，求小明的运动时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多边形的外角和，一元一次方程的应用，有理数的乘、除运算的应用．熟练掌握多边形外角和为是解题的关键． （1）由多边形外角和为可得，，计算求解即可； （2）由题意知，小明的路程为，根据小明的运动时间为，求解作答即可． 【详解】（1）解：由多边形外角和为可得，， 解得，， 故答案为：； （2）解：由题意知，小明的路程为， ∵， ∴小明的运动时间为． 题型15.多边形内角和与外角和综合. 50．一个正多边形每个内角是，则这是一个正____边形． 【答案】/九 【分析】本题考查多边形的内角与外角，解题思路为先根据邻补角的性质求出正多边形的一个外角度数，再利用多边形外角和定理计算边数． 【详解】解：正多边形的一个内角是， 它的一个外角是：， 多边形的外角和为， 这个正多边形的边数是：． 51．若一个多边形的内角和与外角和之差为，则这个多边形的边数______． 【答案】 【分析】任意多边形的外角和恒为，根据已知条件先求出该多边形的内角和，再利用多边形内角和公式列方程求解边数即可． 【详解】解：设该多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 整理得： ， 解得． 52．如图，作平分线的反向延长线，现要分别以，，为内角作正多边形，且边长均为，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以为内角，可作出一个边长为的正方形，此时，而是（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图所示．图中的图案外轮廓周长是．在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和和外角和，分式的运算，解题的关键是明确正多边形的各内角相等，且外角和为，并利用数形结合的思想解决问题． 设以为内角的正多边形的边数为，根据多边形的内角和公式求出则，再根据多边形的外角和定理得到以为内角的正多边形的边数为，根据是整数求出可能的值，再通过计算其周长即可得出结论． 【详解】解：设以为内角的正多边形的边数为， 则， ∴以为内角的正多边形的边数为， 由题意得，是整数， ∴是8的因数， ∴的值可能是3，4，6，10， 由题意得，图案外轮廓周长是， 当时，周长是； 当时，周长是； 当时，周长是； 当时，周长是； ∴当时，周长最大，此时图案定为会标， ∴会标的外轮廓周长是21． 故选：C． 53．某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探索研究四边形的某两个外角和与它们不相邻的内角之间的关系．已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论探究】 (1)如图，当，时，计算___________； 【结论推导】 (2)如图，观察猜想与之间的关系，并证明你的结论； 【结论应用】 若直线分别平分四边形的外角和． (3)如图，当直线时，试判断之间的数量关系是___________； (4)当，时，若直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点顺时针旋转，直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点逆时针旋转，两条直线同时出发，设旋转时间为（单位：），在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值．（写出个即可）． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)； (4)在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值为或或（写出个即可）． 【分析】（）连接，根据三角形的外角性质即可求解； （）连接，根据三角形的外角性质即可求解； （）过作，则，所以，，又平分，平分，则，，从而可得由（）得，，则，然后通过等式的性质即可求解； （）分当在内部时，当在内部时，如图，当在内部时，分别通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：， 证明：连接， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴ ， ∴； （3）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴ 由（）得，， ∴， ∴； （4）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（）得， ∴， ∴， 当在内部时，如图，设与交于点， ∴，， ∴      ， ∴， 解得：， 当在内部时，如图，设与交于点， ∴， ∴， 解得：； 如图，当在内部时， 同理， ∴， 解得：， 综上可得：在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值为或或（写出个即可）． 题型16.四边形的不稳定性 54． 2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了________________． 【答案】四边形的不稳定性 【详解】解：由题意，其原理主要是运用了四边形的不稳定性. 55．以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（     ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 【答案】B 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性； 选项B伸缩门是用到了四边形的不稳定性． 56．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 57．科学知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个 情景请你作出判断： (1)木工师傅在做完门框后，为防止变形，常常像图中所示的样子钉上两条斜拉的木板 条，这样做的数学道理是 ； (2)在科技创新大赛期间，八年级 A 班的小强有一个设想，他计划设计一个内角和是的多边形图案，他认为这非常有意义，他的愿望能实现吗？ 用数学知识说明你的结论． 【答案】(1)四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性； (2)不能实现， 理由见解析． 【分析】本题主要考查三角形的稳定性和多边形的内角和， 根据四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性即可解答； 根据多边形的内角和定理可求得多边形的变数，即可判定不可能实现． 【详解】（1）解：四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性． （2）解：不能实现．理由如下： 设边数为n，根据题意，得 ， 解得 ． ∵边数n为正整数， ∴他的愿望不能实现． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $