专题06平行四边形期末复习讲义 (20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题06平行四边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记平行四边形的定义、边、角、对角线相关性质，了解其中心对称特征。 2.熟练掌握平行四边形五种判定定理，明晰定理间区别与联系。 3.理解平行线间距离、三角形中位线概念，掌握中位线性质并识记相关结论。 4.理清平行四边形与后续特殊四边形的知识关联，构建完整知识体系。 1.能运用几何语言规范书写证明过程，提升逻辑推理与几何证明能力。 2.学会结合图形分析已知条件，灵活选择性质、判定定理解决几何问题。 3.提高识图、作图能力，能处理图形变式、简单动点类几何题型。 4.培养数形结合思维，学会将几何问题与线段、角度计算相结合。 1.熟练解答选择、填空基础题型，确保概念辨析、简单计算零失误。 2.掌握线段长度、角度、周长、面积等常考计算题型的解题方法。 3.攻克平行四边形综合证明题，规范答题步骤，拿到步骤分。 4.适应期末试卷中四边形综合压轴题型，掌握基础解题思路，提升得分率。 题型01.平行四边形的性质求解 题型02.平行四边形的性质证明 题型03.求平行线间的距离 题型04.由平行线间距离解决问题 题型05.判断能否构成平行四边形 题型06.添条件成为平行四边形 题型07.证明四边形是平行四边形 题型08.平行四边形判定与性质求解 题型09.平行四边形判定与性质证明 题型10.平行四边形与角平分线综合 题型11.三角形中位线求解问题 题型12.三角形中位线证明问题 题型13.三角形中位线实际应用 题型14.重心的概念与性质 题型15.平行四边形与对角线综合 题型16.平行四边形存在性问题 题型17.平行四边形与坐标系综合 题型18.平行四边形中的折叠问题 题型19.平行四边形中的最值问题 题型20平行四边形中的动点问题 知识点01:平行四边形的基本概念 4.基本要素 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 图示 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行线间的距离（课本拓展知识点） 1. 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度，叫做两条平行线间的距离。 2. 核心性质 (1)两条平行线间的距离处处相等； (2)夹在两条平行线间的平行线段相等； (3)等底等高的平行四边形，面积相等。 已知：直线 l1∥l2，点A.C在l1上，AB⊥l2于 B，CD⊥l2于 D 结论：AB=CD，AC=BD 知识点04:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 图示 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点05:三角形的中位线 1. 定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 · 一个三角形有三条中位线。 · 中位线的两个端点都是边的中点。 2. 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 3. 中位线与中线的区别 中位线：连接两边中点，平行于第三边。 中线：连接顶点与对边中点，经过重心。 4. 三条中位线的性质 三条中位线组成的新三角形，周长为原三角形的一半。 三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形。 . .知识点06:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 . 题型01.平行四边形的性质求解 1．如图，在平行四边形中，，的度数为___________． 【答案】/110度 【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，由已知的度数可直接求得的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， 又， ． 2．如图，在中，对角线，相交于点，，垂足为点，过点，交于点，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】24 【分析】证明，可得，则可推出，由勾股定理求出的长，再根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，，在上取点P，使，连接，过点P作交分别于点E，F．已知，当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，再依次求出，，，由此想到在上取，连接，推出，进而可利用线段间的和差关系解决问题． 【详解】解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 如图，在上取，连接， ∵，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴x，y发生变化时，不变． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，能够发现是的2倍，从而作出辅助线是解题的关键． 4．如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，证明，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型02.平行四边形的性质证明 5．如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则的长为___________． 【答案】 【分析】根据，可得出，继而求出，判断是的中位线即可得出的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵点，分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴． 6．如图，在中，点是边上的动点，连接，，，分别是，的中点，在点从点运动到点的过程中，下列结论一定成立的是（   ） A．的长度逐渐减小 B．的面积逐渐增大 C．始终与平行 D．的周长始终保持不变 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理判断的长度与位置关系，结合平行四边形中 为定长、点到的距离为定值，分析的面积和周长变化，进而选出正确结论． 【详解】解：A、∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵在中的长度固定， ∴的长度始终不变，不会逐渐减小，故A错误，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 点到的距离等于平行四边形边上的高，是定值， ∴，底和高均为定值，面积始终保持不变，故B错误，不符合题意； C、∵是的中位线， ∴，故C正确，符合题意； D、的周长，其中长度固定，但和的长度会随着点在上的移动而变化， ∴的周长会发生改变，故D错误，不符合题意． 7．如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． (1)若，，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据中心对称的性质得出； （2）证明，得出，根据，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点O为平行四边形的对称中心， ∴； （2）略 题型03.求平行线间的距离 8．如图，已知直线，，，则的高是______． 【答案】 【分析】利用平行线间的距离处处相等得到与中边上的高相等，利用面积求出即可． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ，即， ， ，则的高是． 9．如图，，，的面积为，则点到的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式求出平行线间的距离，再利用平行线间距离处处相等的性质求解． 【详解】解：设平行线与之间的距离为， ， ， 解得， ，点在上，点在上， 点到的距离等于平行线与之间的距离， 点到的距离为． 10．如图，在平行四边形中，，，过点A作，垂足为E，，则与之间的距离为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线间的距离，解题的关键是由平行四边形的面积公式得到； 本题根据平行四边形的性质，可得，设与之间的距离为，可得：，然后代入即可求解； 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴与之间的距离为． 故选：A． 11．如图，在五边形中，，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)若，，求平行线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可知，再根据五边形的内角和可得，再根据角平分线的定义求得，再根据四边形的内角和即可求解； （2）根据在直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴, 在五边形中， ∴, ∵平分，平分， ∴, , （2）解：过点作, ∴, ∵，， ∴, ∴, ∴, 则平行线与之间的距离为． 题型04.由平行线间距离解决问题 12．如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_____． 【答案】4 【分析】由点E是的中点，判断出，即可得出的面积，由，可得，故通过等量关系可证出． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图，已知直线，点在直线上，并且，为垂足，，是直线上任意两点，点在直线上．设的面积为，的面积为，的面积为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两平行线间的距离相等和同底等高的两个三角形的面积相等即可解答． 【详解】解：∵直线， ∴，，的底边上的高相等， ∴，，这3个三角形同底，等高， ∴，，这些三角形的面积相等， 即． 14．如图，在梯形中，，，．，，点是边上一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即之间的距离为． 题型05.判断能否构成平行四边形 15．顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是___________（填序号）． 【答案】③⑥/⑥③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟悉平行四边形的判定是解题的关键；根据平行四边形的判定逐一进行判断即可． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形知，①②组合可判定四边形是平行四边形； 由两组对边分别相等的四边形是平行四边形知，③④组合可判定四边形是平行四边形； 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知，①③组合可判定四边形是平行四边形； 由两组对角相等的四边形是平行四边形知，⑤⑥组合可判定四边形是平行四边形； 一组对边相等，一组对角相等的四边形不能判定为平行四边形，即③⑥组合不能得出四边形是平行四边形； 故答案为：③⑥． 16．小马不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号为_____． 【答案】 ③④ 【详解】解：∵只有③④两块的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃． 17．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题根据平行四边形的判定定理对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项中，，，无法推出四边形对边平行或相等，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； B选项中， 四边形内角和为，，， ， ，可得，同理可得， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意； C选项中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故不符合题意； D选项中，，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故不符合题意． 18．如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析； 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，通过选定组合②③，利用三角形全等，即可得到平行四边形判定的条件，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】证明如下：选择②③ ， ， 且满足，， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形． 题型06.添条件成为平行四边形 19．如图，在中，E，F分别是，上的点，连接，，只添加一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， A．∵，∴，无法判断四边形为平行四边形； B．无法判断四边形为平行四边形； C．∵，∴，无法判断四边形为平行四边形； D．∵，∴，∴四边形为平行四边形． 20．如图，在四边形中，，请添加一个条件使四边形是平行四边形，可添加的条件是_____（只填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：添加， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 21．如图，在四边形中，对角线交于点O，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于D，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】解：A、B、C均不能证明四边形为平行四边形，D可以， ∵， ∴ ∵， ∴四边形为平行四边形． 题型07.证明四边形是平行四边形 22．如图，在中，是的中点，且，，，则的面积为_____________________． 【答案】40 【分析】过点D作交的延长线于点F，如图，先根据平行四边形的性质证明，进而得出三角形是直角三角形，且，然后过点D作于点G，利用等积法求出，再根据的面积的面积求解即可． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F，如图， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵M是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在三角形中，∵， ∴三角形是直角三角形，且， 过点D作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴的面积的面积=． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理以及平行四边形的面积等知识，正确作出辅助线、熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 23．如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B，连接并取的中点O． 方案Ⅰ：过点O作任意直线（不与重合，且不与纸条的边平行）交纸条两边于C，D两点（点C在点A所在的边上），连接，； 方案Ⅱ：在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足． 按上述两种方案操作，得到的四边形一定是平行四边形的方案（   ） A．Ⅰ，Ⅱ都是 B．Ⅰ，Ⅱ都不是 C．只有Ⅰ是 D．只有Ⅱ是 【答案】C 【分析】先根据题意画出图形，再根据平行四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：方案Ⅰ： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形一定是平行四边形； 方案Ⅱ： 如图，在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足， 根据，，不能判定四边形是平行四边形，即方案Ⅱ得到的四边形不一定是平行四边形． 综上，只有方案Ⅰ得到的四边形一定是平行四边形． 24．如图，点在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定是解题的关键． 先证明，再根据且证明即可． 【详解】∵， ∴． 在和中 ， ∴． ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 25．如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)试猜想与的数量关系并给予证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的判定及三角形面积的计算，属于几何综合题． （1）利用三角形中位线定理，分别证明和都平行且等于的一半，从而得到与平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证； （2）利用平行四边形对角线互相平分的性质得到，结合是中点的条件，即可推导出； （3）将四边形的面积拆成两个三角形的面积和，再利用已知的线段比例，结合等高三角形面积比等于底边长之比的性质，算出其中一个小三角形面积占对应大三角形面积的三分之一，并用同样的方法推出另一部分三角形的面积占比，最后结合两个相关三角形面积之和的面积，把两部分面积合并得证． 【详解】（1）解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴，且； 又∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，且； ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵是的中点， ∴， ∴； （3）解：猜想，证明如下： 由（1），， ∴，， ∴． ∵与同高， ∴， 同理可得：． 又，， ∴． 题型08.平行四边形判定与性质求解 26．如图，在中，、是的中线，与相交于点，点、分别是、的中点，连接．若，，则四边形的周长是___________． 【答案】/14厘米 【分析】先证是的中位线，是的中位线，是的中位线，进而推出四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解： 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ． 、是的中线， 点D、E分别是、的中点， 又点、分别是、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长． 27．如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】C 【分析】根据，，可得四边形是平行四边形，从而得到，，再由，可得，从而得到，进而得到，再根据四边形的周长是，即可求解． 【详解】解∶∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长是． 28．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）略； （2）解：∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 题型09.平行四边形判定与性质证明 29．如图，，分别在的边和的延长线上，，，若，，则的长是__________． 【答案】 【分析】由平行四边形得，可证四边形是平行四边形，于是．中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：平行四边形，． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ，即， ， ， 在中，，， ∴． ∴． 30．如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： 对以上方案的判断，你认为正确的是：（    ） A．甲方案可行，乙方案不可行 B．甲方案不可行，乙方案可行 C．甲乙两方案均可行 D．甲乙两方案均不可行 【答案】C 【分析】甲方案，由平行四边形的性质得，，则，由，、分别是、的中点，得，可证明，得，，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； 乙方案，由于点，于点，得，，由平行四边形的性质得，，则，可证明，得，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：甲方案：四边形是平行四边形， ，， ， 是对角线的中点， ， 、分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形；故甲方案正确； 乙方案：于点，于点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形，故乙方案正确； 综上所述，甲乙两方案均可行． 31．如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形DEFG是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：的中线，交于点， ，． 点，分别是，的中点， ，． ，． 四边形DEFG是平行四边形． (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定定理即可得证； （2）利用三线合一得，由勾股定理求出，结合平行四边形的性质可求出，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略； （2）解：，，是的中线， ，． ． 由（1）得四边形是平行四边形， ， 是的中点， ， 在中， 32．如图，在四边形中，，对角线、交于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，过点作交的延长线于点． （ⅰ）求证：为的中点． （ⅱ）连接交于点，过点作于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ，； 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形； (2)（ⅰ）证明：， ． ， 四边形是平行四边形， ． 四边形是平行四边形， ， ，即为的中点； （ⅱ）． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得，结合题中给出的条件求出，根据全等三角形的性质得出，即可求证四边形是平行四边形； （2）（ⅰ）根据平行四边形的判定求出四边形是平行四边形，则有，根据平行四边形的性质可知，即可求证； （ⅱ）根据一个角是直角的平行四边形是矩形可判定四边形是矩形，则有，根据求出是等腰直角三角形，根据设，即可求解． 【详解】（1）略； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 设，则，， ． ， ， ， ， ． 题型10.平行四边形与角平分线综合 33．如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点．若，，则的长为______． 【答案】6 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．如图，的对角线，相交于点，平分交于点，点是的中点．连接，若，则的长为_______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 又∵对角线相交于点O， ∴是的中点． ∵平分， ∴． ∴． 将代入上式，得． 在中，是 的中位线. ． 35．如图，在中，，平分分别交于点，若，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】的中点，的中点，连接，三角形的中位线定理，得到，证明，推出，角平分线的定义，平行线的性质，推出，在中，勾股定理求出的长，进而得到的长，的长，再根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】解：取的中点，的中点，连接，则，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分分别交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴. 36．如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点F． (1)请用尺规作的角平分线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ． ①________． 平分，平分， ， ②________． ③________． 四边形是平行四边形． ④________． 四边形为平行四边形． 【答案】(1)如图，的角平分线即为所作 (2)①，②，③，④ 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义等知识． （1）以C为圆心、的长度为半径画弧交于点E，连接，问题得解； （2）根据题干的思路填空即可． 【详解】（1）以C为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接， 作图如答案所示； 作图证明：∵是平行四边形， ∴，， 根据作图有：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （2）略 题型11.三角形中位线求解问题 37．如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，是中点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】取中点，连接，结合是中点由中位线定理可得，，进而得，由是中点可求长，由旋转得长，即可得长，最后在中利用勾股定理求长即可． 【详解】解：如图，取中点，连接， 又∵是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵是中点， ∴， 由旋转得， ∴， 在 中， ． 38．如图，的中线，交于点，连接，点，分别为，的中点，，，则四边形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用三角形中位线定理，先求出四边形的四条边，再把四条边相加得到周长． 【详解】解：点、分别是，的中点，点、分别是，的中点， 且，且，且，且， ，， ． 39．如图，在平行四边形中，点为对角线上一点，连接并延长至，使得，连接．若，则的长度为__________． 【答案】2 【分析】先连接交于点，结合平行四边形的性质以及，得，再计算出的长度，即可作答． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵在平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴． 40．如图，在中，点E，F分别在，上，，连接与对角线相交于点O． . (1)求证：； (2)连接，G为的中点，连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为4 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）由三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，点E，F分别在，上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴O为的中点， ∵G为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴的长为4． 题型12.三角形中位线证明问题. 41．如图，H是的边的中点，平分，点D是上一点，且于点G．已知，，，则的周长为________． 【答案】49 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，熟记性质与定理并准确识图是解题的关键． 判断出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后求出是的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解． 【详解】解：∵平分， ， ， ， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵是的边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长． 故答案为：49． 42．如图，在中，D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．求证： (1)四边形是平行四边形； (2)． 【答案】(1)证明：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． (2)证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， ． ，E分别是，的中点， ． ∴， ， ， ． 【分析】（1）延长交于点G，利用平行四边形的定义，证明四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形，可得．证明．结合，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 43．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)与互相平分，证明见解析 【分析】（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论； 选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，； （2）直接根据中位线性质进行求解即可； （3）连接，，证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：选择方法一： 如图，延长到点F，使，连接，，， ∵E是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，且； 选择方法二： 如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； （2）解：∵D、E分别为，的中点， ∴， ∵的长度为12米， ∴米； （3）解：与互相平分；理由如下： 如图，连接，， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴D、E、F分别是、、的中点， ∴，且， 又， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 题型13.三角形中位线实际应用 44．如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点M和N．如果测得，则A，B两点间的距离为______m． 【答案】 【分析】先理解题意，得出是的中位线，再根据中位线的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点M和N分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵ ∴． 45．用两个图钉将一根橡皮筋的两个端点，固定在墙面，拉动橡皮筋构成，，分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（    ） A．增长 B．缩短 C．不变 D．增长或缩短 【答案】C 【分析】根据中点定义可知为的中位线，由定理可知．由于固定，长度不变，故长度不变． 【详解】解：点、点分别为，的中点， 是的中位线， ， ，为固定点， 的长度不变， 拉动点至的过程中，的长度不变． 46．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 题型14.重心的概念与性质 47．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形重心的概念，掌握重心是三角形中线的交点是关键． 根据网格结构判断出点D是边的中点，从而确定是的中线，进而得出重心的位置． 【详解】解：由图可知，点在边上，且点到点、点的水平距离均为2个单位长度，垂直距离均为1个单位长度， ，即点是边的中点， 是的中线， 三角形三条中线的交点是三角形的重心， 的重心在线段上． 48．如图，的中线、交于点O，连接并延长交于点E，如果，那么______． 【答案】15 【分析】由题意得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵的中线、交于点O，， ∴点O是的重心， ∴，， ∴， ∴． 49．如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【答案】D 【分析】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 【详解】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 50．如图，点O是的重心，若的面积是8，则阴影部分的面积和是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据三角形中线平分三角形面积得到，，，然后得到，由此即可求解． 【详解】解：∵点O是的重心， ∴、、是的中线，即点、、分别是、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线， ∴ ，，， ∵， ∴； 故选：B； 51．在中，，，是的重心． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1)10 (2)40 【分析】（1）延长交于点D，利用重心的意义得出，，再根据勾股定理求出，再根据重心的性质得出即可求出答案． （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点D，    ∵G为重心， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解： 题型15.平行四边形与对角线综合 52．如图，的对角线、相交于点，若，，则的长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质可得，，结合三角形的三边关系得出的取值范围，并判断选项即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由三角形三边关系可得，， ∴，只有选项A符合． 53．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，那么的周长是________． 【答案】10 【分析】由平行四边形性质可得，，，即是中点，从而可得是中位线，所以，求得，然后求周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴是中点， ∵点是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴的周长是． 54．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有_______．（请写序号） 【答案】②③④ 【分析】利用平行四边形的性质及角平分线的定义易证是等边三角形，再根据等边三角形的性质及线段的数量关系即可判断①；根据等腰三角形的性质及角的和差即可得出，再根据三角形的面积公式即可判断②；根据线段的关系及三角形面积公式即可判断③；根据平行四边形的性质及含30度的直角三角形的性质得出，再根据线段间的关系即可判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵， ∴E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确，符合题意． 55．如图，四边形中，，对角线与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的周长为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）先由同时垂直于，推出与平行，再通过证明，得到，结合，从而证明四边形是平行四边形； （）先利用平行四边形对角线互相平分的性质，由得到；再结合周长为，得出；最后在中，通过勾股定理列方程求解，算出的长度为． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中：， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵ 平行四边形对角线互相平分，， ， ∵的周长为，即， ∴，即， 又， ∴是直角三角形， ∴由勾股定理得：，即：， 展开化简：， 解得：． 题型16.平行四边形存在性问题 56．在四边形中，，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向D运动，点F从点B出发以的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t为_____________时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】分情况讨论，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由对边相等建立方程即可求出时间． 【详解】解：（），（）， ∵当其中一点到达终点，而另一点也随之停止， ∴第5秒时，两点运动终止； ①当点F在线段上（不与点重合）， ∵，， ∴， 此时，， 则有， 解得； ②如图，当点F在线段上（不与点重合），即， 则有， 解得． 综上所述，或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 57．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（     ）秒． A．2或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒），， ∴， ∵，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动， 到达的时间为（秒）， ∴当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点为顶点的四边形是平行四边形时， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 58．如图，在平行四边形中，．动点P从点A出发，沿以的速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t（秒）． (1)________； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，直接写出t的值． 【答案】(1)24 (2) (3)存在，或 (4)或 【分析】（1）求出，根据含30度的直角三角形的性质得出； （2）根据勾股定理得到，由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （3）可证明和是以为顶点的平行四边形的一组对边；当点在点左侧时，则四边形是平行四边形，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （4）分两种情况：点在点左侧和点在点右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ； （2）解：∵， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 如图所示，设交于点O， 由题意得，， ∴， ∴， ， ， ， 解得：； （3）解：由题意得，， 由（1）得． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点在点左侧时，则四边形是平行四边形， ， ， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形， ， ， 解得； 综上所述，或； （4）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 如图所示，当点在点左侧时，设点的对应点为， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，设点的对应点为，点为直线上一点， ， ∴由轴对称的性质可得， ， ， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，或． 题型17.平行四边形与坐标系综合 59．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点落在轴的正半轴上，点落在第一象限内．根据尺规作图的痕迹可知，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据尺规作图痕迹可知，是的角平分线，根据平行四边形的性质，等腰三角形的性质可求得，根据勾股定理可求得，即可求得点的坐标． 【详解】解：根据尺规作图痕迹可知，是的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴ ∴， ∴． 60．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】由作图的特点可知，是的角平分线，由平行四边形的性质，可知，证明是等腰三角形，，因为轴，所以点A与点G纵坐标相同，根据勾股定理求出，即，进而得到点G的横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：交y轴于点P，由作图的特点可知，是的角平分线， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 轴，， ，，， 在中，， 即， ， 点的坐标为． 61．如图，O为坐标原点，的顶点，，，则点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平行四边形的对边平行且相等． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点，，， ∴点的纵坐标为，， ∴点的横坐标为， ∴点D的坐标为． 62．如图，在中，是边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为．已知点，点，则当，，三点共线时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，根据平行四边形的性质和点、的坐标得到，，再根据折叠的对应角相等和平行线的性质推出，然后根据等角对等边和勾股定理求出，进而求出，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴，即C、D纵坐标相同， ∵点，点， ∴，， 由折叠的性质，可知， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 题型18.平行四边形中的折叠问题 63．如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠前后对应角相等可得，，由平行四边形的性质可得，，根据四边形内角和为360度列方程即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ， 中， ， 在四边形中，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 64．如图，在平行四边形中，，，将沿折叠，使点落在点处，与交于点．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得出，，从而得到，根据折叠的性质得出，进而判断为等腰直角三角形，求出的长，最后利用求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ． 将沿折叠得到， ． 点在上， ． 在中，， ，． ，， ． 在中，， 即， ． ． 65．如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接，沿折叠使点落在点，延长交于点，且．若，则，两点之间的距离是（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接，由平行四边形的性质得，，由折叠得，由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 由折叠得， ， ，两点之间的距离是． 66．（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出； （2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出． 【详解】证明：（1）四边形为平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 证明：（2）由（1）知，． 由折叠的性质可知，，， ，． ， ， ． 在和中： ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质与全等三角形的判定，掌握平行四边形的性质、折叠的线段与角的对应关系，及全等三角形的判定方法是解题的关键． 题型19.平行四边形中的最值问题 67．如图，在中，，，．H、G分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出，求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 68．如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作高线构造等腰直角三角形． 由平行四边形的性质可知O是、的中点，最短也就是最短，所以过O作的垂线，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵最短也就是最短， 过O作于， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 69．如图，在中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设与交于点，以对角线交点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，将转化为两点间的距离，从而求得最小值． 【详解】解：设与交于点， 根据平行四边形性质，，， 以对角线交点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系：，，，，， 设， 则， 是平行四边形， ，， ， ， ， 则，可表示轴上动点到定点、的距离， 即， 当 、、三点共线时，取得最小值， ， 取得最小值． 70．如图，中，点为线段上一动点，过点作于点，连接，点为中点，连接．则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形判定和性质，三角形中位线的性质等，延长到点，使，连接，由平行四边形的性质和等腰三角形的性质可得，即得，进而可得是等边三角形，得到，即得，又由三角形中位线的性质可得，可知当时，最小，此时为等腰直角三角形，，利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， 当时，最小，此时为等腰直角三角形，， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 题型20平行四边形中的动点问题 71．如图，平行四边形的周长为24，点、分别是边、上的两个动点，若线段长的最大值为10，最小值为6，则平行四边形的面积为（    ） A．33 B．30 C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作，交的延长线于点，根据题意可得，，设，在中和在中，运用两次勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由题意得，的最小值就是与之间的距离，即平行四边形的高， ∴， 当P与重合、与重合时，取到最大值， ∴， ∵平行四边形周长为24， ∴，即， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 在中， 解得， ∴． 72．如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的定义和性质，勾股定理， 先根据中位线的定义和性质可得，再根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，然后根据平行四边形的性质和直角三角形的性质求出，最后根据勾股定理求出，则答案可得. 【详解】解：如图所示，连接， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 可知最小时，最小， 根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴的最小值为． 故选：D． 73．如图，在中，，点E是线段上一动点，连接，过点C作线段的垂线，垂足为F，与交于点G，下列选项正确的有_________． ①； ②四边形是平行四边形； ③连接，当时，四边形是平行四边形； ④当时，． 【答案】①③④ 【分析】过点A作于点H，由平行四边形性质得，由，判断选项①；由与不一定垂直， ，得与不一定平行，判断选项②；当时，由，得，由，判断选项③；由，得，得，当时，得，得，得，由 ，得，判断选项④． 【详解】解：过点A作于点H， ∵在中，， 且， ∴， ∴选项①正确； ∵点E是线段上一动点， ∴与不一定垂直， ∵， ∴与不一定平行， ∴四边形不一定是平行四边形， ∴选项②不正确； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴选项③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴选项④正确； ∴正确的选项有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了三角形与平行四边形综合．熟练掌握平行四边形的判定与性质，三角形面积公式，含30度的直角 三角形性质，勾股定理，添加辅助线，是解题的关键． 74．如图，四边形是平行四边形，，，点的坐标为，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，两个点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点就停止运动．运动时间为秒． . (1)分别求点和点的坐标； (2)当点运动的时间为秒时，在平面直角坐标系中找到一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． (3)设点运动的时间为秒，求当为何值时，的面积是． 【答案】(1)， (2)或或 (3) 【分析】（1）作轴于，利用含角的直角三角形的长，得到点的坐标，再利用平行四边形的性质求解； （2）先求出点的坐标，再根据平行四边形的性质确定点的位置，最后根据平行四边形的性质求出点的所有坐标； （3）使用割补法将的面积表示出来，然后用含的代数式将线段的长度表示出来，代入求解． 【详解】（1）解：作轴于， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 四边形是平行四边形，的坐标为， ， 点的坐标为； （2）解：当时，，点与点重合，如图所示， ①，此时， ∴，即； ②，此时， ∴，即； ③， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴轴，轴， 又∵点的坐标为， ∴， 则的坐标为或或． （3）解：由题意知：， 如图所示：过点作于点，过点作轴于点， ， ∵四边形是平行四边形，， ∴，则， ∴， ， ， ∴， 化简，得， 解得， 当时，的面积是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06平行四边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记平行四边形的定义、边、角、对角线相关性质，了解其中心对称特征。 2.熟练掌握平行四边形五种判定定理，明晰定理间区别与联系。 3.理解平行线间距离、三角形中位线概念，掌握中位线性质并识记相关结论。 4.理清平行四边形与后续特殊四边形的知识关联，构建完整知识体系。 1.能运用几何语言规范书写证明过程，提升逻辑推理与几何证明能力。 2.学会结合图形分析已知条件，灵活选择性质、判定定理解决几何问题。 3.提高识图、作图能力，能处理图形变式、简单动点类几何题型。 4.培养数形结合思维，学会将几何问题与线段、角度计算相结合。 1.熟练解答选择、填空基础题型，确保概念辨析、简单计算零失误。 2.掌握线段长度、角度、周长、面积等常考计算题型的解题方法。 3.攻克平行四边形综合证明题，规范答题步骤，拿到步骤分。 4.适应期末试卷中四边形综合压轴题型，掌握基础解题思路，提升得分率。 题型01.平行四边形的性质求解 题型02.平行四边形的性质证明 题型03.求平行线间的距离 题型04.由平行线间距离解决问题 题型05.判断能否构成平行四边形 题型06.添条件成为平行四边形 题型07.证明四边形是平行四边形 题型08.平行四边形判定与性质求解 题型09.平行四边形判定与性质证明 题型10.平行四边形与角平分线综合 题型11.三角形中位线求解问题 题型12.三角形中位线证明问题 题型13.三角形中位线实际应用 题型14.重心的概念与性质 题型15.平行四边形与对角线综合 题型16.平行四边形存在性问题 题型17.平行四边形与坐标系综合 题型18.平行四边形中的折叠问题 题型19.平行四边形中的最值问题 题型20平行四边形中的动点问题 知识点01:平行四边形的基本概念 4.基本要素 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 图示 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行线间的距离（课本拓展知识点） 1. 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度，叫做两条平行线间的距离。 2. 核心性质 (1)两条平行线间的距离处处相等； (2)夹在两条平行线间的平行线段相等； (3)等底等高的平行四边形，面积相等。 已知：直线 l1∥l2，点A.C在l1上，AB⊥l2于 B，CD⊥l2于 D 结论：AB=CD，AC=BD 知识点04:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 图示 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点05:三角形的中位线 1. 定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 · 一个三角形有三条中位线。 · 中位线的两个端点都是边的中点。 2. 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 3. 中位线与中线的区别 中位线：连接两边中点，平行于第三边。 中线：连接顶点与对边中点，经过重心。 4. 三条中位线的性质 三条中位线组成的新三角形，周长为原三角形的一半。 三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形。 . .知识点06:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 . 题型01.平行四边形的性质求解 1．如图，在平行四边形中，，的度数为___________． 2．如图，在中，对角线，相交于点，，垂足为点，过点，交于点，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是______． 3．如图，在中，，在上取点P，使，连接，过点P作交分别于点E，F．已知，当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 题型02.平行四边形的性质证明 5．如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则的长为___________． 6．如图，在中，点是边上的动点，连接，，，分别是，的中点，在点从点运动到点的过程中，下列结论一定成立的是（   ） A．的长度逐渐减小 B．的面积逐渐增大 C．始终与平行 D．的周长始终保持不变 7．如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． (1)若，，，求的长； (2)求证：． 题型03.求平行线间的距离 8．如图，已知直线，，，则的高是______． 9．如图，，，的面积为，则点到的距离为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平行四边形中，，，过点A作，垂足为E，，则与之间的距离为（   ） A． B．6 C． D． 11．如图，在五边形中，，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)若，，求平行线与之间的距离． 题型04.由平行线间距离解决问题 12．如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_____． 13．如图，已知直线，点在直线上，并且，为垂足，，是直线上任意两点，点在直线上．设的面积为，的面积为，的面积为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 14．如图，在梯形中，，，．，，点是边上一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求之间的距离． 题型05.判断能否构成平行四边形 15．顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是___________（填序号）． 16．小马不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号为_____． 17．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 18．如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 题型06.添条件成为平行四边形 19．如图，在中，E，F分别是，上的点，连接，，只添加一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 20．如图，在四边形中，，请添加一个条件使四边形是平行四边形，可添加的条件是_____（只填一个即可）． 21．如图，在四边形中，对角线交于点O，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 题型07.证明四边形是平行四边形 22．如图，在中，是的中点，且，，，则的面积为_____________________． 23．如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B，连接并取的中点O． 方案Ⅰ：过点O作任意直线（不与重合，且不与纸条的边平行）交纸条两边于C，D两点（点C在点A所在的边上），连接，； 方案Ⅱ：在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足． 按上述两种方案操作，得到的四边形一定是平行四边形的方案（   ） A．Ⅰ，Ⅱ都是 B．Ⅰ，Ⅱ都不是 C．只有Ⅰ是 D．只有Ⅱ是 24．如图，点在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．求证：四边形是平行四边形． 25．如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)试猜想与的数量关系并给予证明． 题型08.平行四边形判定与性质求解 26．如图，在中，、是的中线，与相交于点，点、分别是、的中点，连接．若，，则四边形的周长是___________． 27．如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 28．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 题型09.平行四边形判定与性质证明 29．如图，，分别在的边和的延长线上，，，若，，则的长是__________． 30．如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： 对以上方案的判断，你认为正确的是：（    ） A．甲方案可行，乙方案不可行 B．甲方案不可行，乙方案可行 C．甲乙两方案均可行 D．甲乙两方案均不可行 31．如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形DEFG是平行四边形； (2)若，，求的长． 32．如图，在四边形中，，对角线、交于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，过点作交的延长线于点． （ⅰ）求证：为的中点． （ⅱ）连接交于点，过点作于点，若，，求的长． 题型10.平行四边形与角平分线综合 33．如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点．若，，则的长为______． 34．如图，的对角线，相交于点，平分交于点，点是的中点．连接，若，则的长为_______． 35．如图，在中，，平分分别交于点，若，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 36．如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点F． (1)请用尺规作的角平分线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ． ①________． 平分，平分， ， ②________． ③________． 四边形是平行四边形． ④________． 四边形为平行四边形． 题型11.三角形中位线求解问题 37．如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，是中点，连接，则的长为________． 38．如图，的中线，交于点，连接，点，分别为，的中点，，，则四边形的周长为（     ） A． B． C． D． 39．如图，在平行四边形中，点为对角线上一点，连接并延长至，使得，连接．若，则的长度为__________． 40．如图，在中，点E，F分别在，上，，连接与对角线相交于点O． . (1)求证：； (2)连接，G为的中点，连接．若，求的长． 题型12.三角形中位线证明问题. 41．如图，H是的边的中点，平分，点D是上一点，且于点G．已知，，，则的周长为________． 42．如图，在中，D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．求证： (1)四边形是平行四边形； (2)． 43．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 题型13.三角形中位线实际应用 44．如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点M和N．如果测得，则A，B两点间的距离为______m． 45．用两个图钉将一根橡皮筋的两个端点，固定在墙面，拉动橡皮筋构成，，分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（    ） A．增长 B．缩短 C．不变 D．增长或缩短 46．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 题型14.重心的概念与性质 47．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 48．如图，的中线、交于点O，连接并延长交于点E，如果，那么______． 49．如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 50．如图，点O是的重心，若的面积是8，则阴影部分的面积和是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 51．在中，，，是的重心． (1)求的长； (2)求． 题型15.平行四边形与对角线综合 52．如图，的对角线、相交于点，若，，则的长可能是（     ） A． B． C． D． 53．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，那么的周长是________． 54．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有_______．（请写序号） 55．如图，四边形中，，对角线与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的周长为，求线段的长． 题型16.平行四边形存在性问题 56．在四边形中，，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向D运动，点F从点B出发以的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t为_____________时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 57．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（     ）秒． A．2或 B． C．或 D． 58．如图，在平行四边形中，．动点P从点A出发，沿以的速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t（秒）． (1)________； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，直接写出t的值． 题型17.平行四边形与坐标系综合 59．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点落在轴的正半轴上，点落在第一象限内．根据尺规作图的痕迹可知，点的坐标为_____． 60．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为_________． 61．如图，O为坐标原点，的顶点，，，则点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 62．如图，在中，是边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为．已知点，点，则当，，三点共线时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型18.平行四边形中的折叠问题 63．如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 64．如图，在平行四边形中，，，将沿折叠，使点落在点处，与交于点．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D．1 65．如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接，沿折叠使点落在点，延长交于点，且．若，则，两点之间的距离是（     ） A． B． C．3 D．4 66．（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 题型19.平行四边形中的最值问题 67．如图，在中，，，．H、G分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D． 68．如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D． 69．如图，在中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为________． 70．如图，中，点为线段上一动点，过点作于点，连接，点为中点，连接．则的最小值为______． 题型20平行四边形中的动点问题 71．如图，平行四边形的周长为24，点、分别是边、上的两个动点，若线段长的最大值为10，最小值为6，则平行四边形的面积为（    ） A．33 B．30 C． D． 72．如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．1 D． 73．如图，在中，，点E是线段上一动点，连接，过点C作线段的垂线，垂足为F，与交于点G，下列选项正确的有_________． ①； ②四边形是平行四边形； ③连接，当时，四边形是平行四边形； ④当时，． 74．如图，四边形是平行四边形，，，点的坐标为，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，两个点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点就停止运动．运动时间为秒． . (1)分别求点和点的坐标； (2)当点运动的时间为秒时，在平面直角坐标系中找到一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． (3)设点运动的时间为秒，求当为何值时，的面积是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $