精品解析：上海市金山区初级中学2025-2026学年九年级5月学情诊断数学试题

2025学年九年级数学5月学情诊断 一、选择题（共6小题，每题4分，满分24分） 1. 下列实数中，是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数与无理数的定义，根据定义判断各选项即可得到结果，有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：A、，是无限不循环小数，故A是无理数，不符合要求； B、是无限不循环小数，故B是无理数，不符合要求； C、是分数，属于有理数，故C符合要求； D、开方开不尽，是无限不循环小数，故D是无理数，不符合要求． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法和除法法则及合并同类项的法则进行计算即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，符合题意； D．，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查整式的加减乘除运算，熟练掌握同底数幂的乘法和除法法则及合并同类项的法则是解题的关键． 3. 一次函数的图像经过第一、二、三象限，它的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图像经过第一、二、三象限可知，然后问题可求解． 【详解】解：由一次函数的图像经过第一、二、三象限可知，所以符合题意的只有A选项； 故选A． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 4. 如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，画出图形，在直角三角形OAM中，直接利用三角函数即可得到OA. 【详解】如图，正十边形的中心角∠AOB=360°÷10=36°，AB=a ∴∠AOM=∠BOM=18°，AM=MB=a； ∴OA== 故选C. 【点睛】本题考查三角函数，能够画出图形，找到正确的三角函数关系是解题关键. 5. 贾老师从某班随机选取了10位同学上周在校的劳动次数，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组包括最小值，不包括最大值）．随后他将其中2个同学的劳动次数分别用字母a、b代替，得到数据：1，5，4，1，a，3，2，b，3，4．假如，那么a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是数据的整理，频数分布直方图，直接整理数据可得答案． 【详解】解：∵， 整理数据可得：大于等于0小于3的数据有1， 1， 2，共3个； 大于等于3小于6的数据有5，4，a，3，3，4．共6个； ∴， 故选B 6. 如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有⋯（ ）． A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆相切分为外切合内切两种情况，据此分与和一内切和一外切，与和两两外切，与和两两内切，三种情况画出示意图求解即可． 【详解】解：如图所示，与和一内切和一外切有两种情况，与和两两外切有两种情况，与和两两内切有两种情况， 故选：C． 二、填空题（共11小题，每题4分，满分44分） 7. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法因式分解即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题可通过两边平方，将原无理方程转化为一元一次方程求解，再检验得到原方程的解. 【详解】解：对两边平方，得， 整理得，解得， 检验：当时，，满足二次根式被开方数非负的要求， 因此是原方程的解. 9. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，根据求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 年月，我国天龙三号大运力火箭成功首飞，推动商业航天快速发展．已知某微型卫星芯片的厚度为米，用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 如果抛物线向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据平移规则得到平移后抛物线的解析式，再将原点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度后，平移后的抛物线解析式为， 平移后抛物线经过原点， ∴， 解得． 12. 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是__． 【答案】. 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况， ∴小灯泡发光的概率为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，能够根据题意画树状图是解题的关键. 13. 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为______． 【答案】1：1.5 【解析】 【分析】根据坡度的概念计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴斜面AB的坡度为2：3=1：1.5， 故答案为：1：1.5． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 14. 如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DC、BE交于点O，AB＝3AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示是__． 【答案】﹣+ 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理求出，根据三角形法则求出，证明DO＝DC即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ＝＝， ∴BC＝3DE， ∵＝， ∴＝3， ∵△DOE∽△COB， ∴＝＝， ∴OD＝OC＝CD， ∵＝+， ∴＝﹣+3， ∴＝﹣+， 故答案为：﹣+ 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例和平面向量的知识点 15. 温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为______米． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，设半径为米，则米，由垂径定理可得米，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接， ， 设半径为米，则米， ∵跨度为24米，， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴这个弧形石拱桥设计的半径为米， 故答案为：． 16. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知中，，较短的一条直角边边长为1，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、直角三角形的性质等知识．分三种情况，进行解答即可． 【详解】解：设该直角三角形较短的直角边为，根据题意可知的“有趣中线”有三种可能情况：①若“有趣中线”为斜边上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不合题意； ②若“有趣中线”为边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立； ③若“有趣中线”为另一直角边上的中线，如解图所示，，可设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得， 则这个三角形“有趣中线”长等于． 故答案为： 17. 图，已知在中，，，，点P是斜边上一点，过点P作交AC于点M，过点P作的平行线，与过点M作的平行线交于点Q．如果点Q恰好在的平分线上，那么的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的边角关系可求出，，再根据相似三角形，用含有的代数式表示，再根据角平分线的定义以及等腰三角形的判定得出，进而列方程求出即可． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴＝＝， 设，则，， ∴， ∵， ∴＝＝， ∴，， ∵平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提，用含有的代数式表示、、是正确解答的关键． 三、解答题（共7小题，满分82分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 19. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集是，解集在数轴上表示如图 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集是． 在数轴上表示如图： 20. 如图，在中，．分别以点B、C为圆心、大于的同样长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线分别交于点D、E． （1）直线是线段的___________，___________； （2）求点A到直线的距离． 【答案】（1）垂直平分线，4 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据作图可得直线是线段的垂直平分线，再根据垂直平分线的定义可得的长度； （2）过点A作，垂足为点H． 先证明 再在中，求解，AD，利用从而可得答案． 【小问1详解】 由作图可得：直线是线段的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线，4； 【小问2详解】 过点A作，垂足为点H． 在中，∵， ∴． 由，得． ∴． 即点A到直线的距离为2． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图理解，锐角三角函数的应用，熟练的利用锐角三角函数求解直角三角形的边长是解本题的关键． 21. 已知：如图，在菱形中，，，垂足分别为、，射线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明，即可得证； （2）根据已知可得出，根据（1）的结论得出，根据对顶角相等，平行线的性质得出，可得，根据相似三角形的性质得出，进而得出，根据互余关系得出，根据正切的定义得出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，菱形的性质，正切的定义，熟练掌握相似三角形的性质与判定，正切的定义是解题的关键． 22. 半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，公里，E，E为折返点，拐弯路段EF的长度忽略不计，公里，为半圆路段，O为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：◆第一枪发令时间，A区选手出发；◆第二枪发令时间，B区选手出发；◆第三枪发令时间，C区选手出发．若甲为B区选手，平均配速为5分钟/公里：乙为A区选手，平均配速为分钟/公里．（平均配速是指每公里所需要的时间） （1）在整个赛程中，甲、乙共有________次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇； （2）此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为C区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为S，R，T，当S，R，T三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速． 【答案】（1）1，甲、乙在距离起点10公里处相遇 （2）丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里 【解析】 【分析】本题考查了一元一次函数的应用，分情况讨论是几天的关键； （1）设甲、乙在距离起点x公里处相遇，列方程，进而得出答案； （2）先求出冠军的平均配速约为3分钟/公里，则丙的平均配速分钟/公里，设丙的平均配速为y分钟/公里，在分别求出，，进而得出，画图，分3中情况进行讨论即可。 【小问1详解】 设甲、乙在距离起点x公里处相遇， ， 解得：， 答：甲、乙在距离起点10公里处相遇．且共有1次相遇， 故答案为：1； 【小问2详解】 冠军用时1小时3分钟， 冠军的平均配速约为3分钟/公里， 丙的平均配速分钟/公里． （法一）设丙的平均配速为y分钟/公里， ，， ． ①如图，当S为中点时，得， 即， ， 丙的平均配速为分钟/公里． ②如图，当T为中点时，得， 即， ， ∴丙的平均配速为分钟/公里． ③如图，当R为中点时，得， 即 （舍去）． 综上，丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里． （法二）设丙的平均速度为y公里/分， ，，， ，． ①如图，当S为中点时，得， 即， ，， 丙的平均配速为分钟/公里． ②如图，当T为中点时，得， 即 ，， ∴丙的平均配速为分钟/公里， ③如图，当R为中点时，得， 即 ， （舍去）． 综上，丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求点和点的坐标； （2）若点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，若平分，求抛物线的表达式； （3）若点是抛物线第四象限上一动点，连接、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，得，消去因式分解得，结合点在左侧，得、； （2）将抛物线化为顶点式得对称轴，令得，与关于对称，故，由轴得，又平分，故，即，用勾股定理列出方程求即可； （3）由，得，因两三角形共边，故，求得直线方程，联立抛物线方程解得，过、作轴垂线得，，由相似比得． 【小问1详解】 解：令，则， ∵，两边除以得， 因式分解得， 解得或， ∵点在点左侧， ∴，； 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵， ∴抛物线的对称轴为， 令，得，故， ∵点与关于对称， ∴， ∴，． ∵轴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，解得(舍去正值)， 故抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：由（1）（2）知，，，如图，过点作轴，过点作轴，连接． 设直线的方程为， 将代入得：，解得． ∵， ∴，即， ∵与有公共边，面积相等， ∴点、到直线的距离相等，故， 设直线的方程为， 将代入得：，解得， 所以直线的方程为． 联立，得， 整理得，解得(对应点)或， 将代入得，故， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题综合考查二次函数的图象与性质，涉及一元二次方程解法、等腰三角形判定、三角形面积转化、相似三角形判定与性质等，融合代数运算与几何推理．本题核心是数形结合与转化思想，（1）侧重函数与方程转化，（2）巧用角与线段关系转化，（3）通过面积转化推导平行关系，最终利用相似求比值，需注意的符号细节． 24. 如图，在中，，，，过点A作射线，点D、E是射线上的两点（点E在点D右侧），连接分别交边于点F，G，． （1）当时，求的长； （2）设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）连接并延长交边于点H，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）， （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段定理、勾股定理、等腰三角形的性质和判定、解高次方程等知识点，灵活利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用勾股定理计算和的长，再证明，根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （2）如图1，先证明得，再证明，得，再分别表示和的长，然后代入比例式计算即可；根据无限接近时，的值接近4，当点E在直线上时，可求得x的取值； （3）分、、三种情况时，分别根据平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定与性质列比例式，并结合方程可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：如图1：∵，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得： ∵， ∴，整理得：． 如图2，当点E在直线上时，， ∵， ∴， ∴， ∴x的取值范围是． 【小问3详解】 解：①当时，如图3，过点D作于P， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，解得：， ∴ ∴，解得：（舍）， ∴； ②如图4：当时， 由勾股定理得：， 由（2）同理得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：； ∴； ③当时，如图5，过点D作于K，则， 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∴． 综上，的长是或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年九年级数学5月学情诊断 一、选择题（共6小题，每题4分，满分24分） 1. 下列实数中，是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数的图像经过第一、二、三象限，它的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（　　） A. B. C. D. 5. 贾老师从某班随机选取了10位同学上周在校的劳动次数，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组包括最小值，不包括最大值）．随后他将其中2个同学的劳动次数分别用字母a、b代替，得到数据：1，5，4，1，a，3，2，b，3，4．假如，那么a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有⋯（ ）． A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 二、填空题（共11小题，每题4分，满分44分） 7. 分解因式：______． 8. 方程的解是_____． 9. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是_____． 10. 年月，我国天龙三号大运力火箭成功首飞，推动商业航天快速发展．已知某微型卫星芯片的厚度为米，用科学记数法表示为______． 11. 如果抛物线向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为___________． 12. 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是__． 13. 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为______． 14. 如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DC、BE交于点O，AB＝3AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示是__． 15. 温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为______米． 16. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知中，，较短的一条直角边边长为1，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于_____． 17. 图，已知在中，，，，点P是斜边上一点，过点P作交AC于点M，过点P作的平行线，与过点M作的平行线交于点Q．如果点Q恰好在的平分线上，那么的长为________． 三、解答题（共7小题，满分82分） 18. 计算：． 19. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 20. 如图，在中，．分别以点B、C为圆心、大于的同样长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线分别交于点D、E． （1）直线是线段的___________，___________； （2）求点A到直线的距离． 21. 已知：如图，在菱形中，，，垂足分别为、，射线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 22. 半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，公里，E，E为折返点，拐弯路段EF的长度忽略不计，公里，为半圆路段，O为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：◆第一枪发令时间，A区选手出发；◆第二枪发令时间，B区选手出发；◆第三枪发令时间，C区选手出发．若甲为B区选手，平均配速为5分钟/公里：乙为A区选手，平均配速为分钟/公里．（平均配速是指每公里所需要的时间） （1）在整个赛程中，甲、乙共有________次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇； （2）此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为C区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为S，R，T，当S，R，T三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求点和点的坐标； （2）若点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，若平分，求抛物线的表达式； （3）若点是抛物线第四象限上一动点，连接、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求的值． 24. 如图，在中，，，，过点A作射线，点D、E是射线上的两点（点E在点D右侧），连接分别交边于点F，G，． （1）当时，求的长； （2）设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）连接并延长交边于点H，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $