精品解析：上海市金山区四校联考2023-2024学年九年级下学期月考练习数学试题

2024学年金山区四校联考3月自适应性练习数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具． 2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 一、选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 数轴上某一个点表示数为a，比a小4的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（　　） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 《九章算术》卷八方程第十题原文为∶“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 4. 若数a使关于x的不等式组有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程+3=有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 已知，为抛物线图象上的两点，且，则下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，已知上的两条弦和互相垂直于点C，点D在弦上，点E在弦上，且，连接和，点P为中点，点Q为中点，射线与线段交于点N，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 分解因式：______． 8. 当a＝1时，分式的值是______． 9. 不等式组的解是________． 10. “如果，那么”的逆命题是___________． 11. 看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为__________________． 马匹 姓名 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 12. 如图，已知在中，D，E分别是AB，AC上的点，，．若，则______． 13. 图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若，则BC长为_______cm（结果保留根号）． 14. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______． 15. 某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为_______（N）（用含n，k的代数式表示）． 16. 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B（-2,1），将矩形OABC绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，若反比例函数（x＜0）的图象经过点E，则k的值为_________． 17. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示正五角星（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中的余弦值是_______． 18. 如图，在扇形中，点，在弧AB上，将弧CD沿弦折叠后恰好与，相切于点，．已知，，则折痕的长为 __． 三、解答题（满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程组. 21. 如图，正方形边长为，点的坐标为，点在轴上，轴，若反比例函数的图象过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在反比例函数图象上，当面积为时，求点坐标． 22. 如图，AB，CD是两个过江电缆的铁塔，塔高均为40米，AB的中点为P，小丽在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E，P，C在一直线上，且P，D离江面的垂直高度相等．跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知塔底B距江面的垂直高度为6米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求． （1）求电缆最低点与河岸EB的垂直高度h及两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）． （2）求电缆AC形成的抛物线的二次项系数． 23. 如图所示，ABC和ADE是全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC与AD、AE分别交于点F、G，AP⊥AD，CP⊥BC，垂足分别为点A，C，AP，CP交于点P． （1）证明：ACP≌ABF； （2）BF，FG，GC之间有怎样的数量关系，请说明理由． 24. 定义：二元一次不等式是指含有两个未知数（即二元），并且未知数的次数是1次（即一次）的不等式；满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，如：是二元一次不等式，等都是该不等式的解．因为有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，二元一次不等式（组）的解集就可看成直角坐标系内的点构成的集合．所以的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为如图，阴影部分区域G． （1）设的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为F． ①在图1中画出图形F（用阴影部分表示），并求出图形F的面积； ②反比例函数（）的图象和图形F有公共点，求k的取值范围； （2）设的解集围成的图形为M，直接写出抛物线与图形M有交点时m的取值范围． 25. 已知的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点F． （1）如图1，若，求线段的长． （2）如图2，若，求的正切值． （3）连结，，，若是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年金山区四校联考3月自适应性练习数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具． 2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 一、选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，熟练掌握上述运算法则，是解题的关键．根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，不是同类项不能合并，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D错误，不符合题意； 故选：C． 2. 数轴上某一个点表示的数为a，比a小4的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（　　） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题首先用含a的代数式表示b，代入绝对值中，利用绝对值的几何意义分析即可得出最小值． 【详解】解：∵b＝a﹣4， ∴|a|+|b|＝|a﹣0|+|a﹣4|， 表示的是a到0和4的距离的和， 所以当a在0和4之间时，有最小值4． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，数形结合是本题的关键． 3. 《九章算术》卷八方程第十题原文为∶“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，甲的钱乙所有钱的一半，乙的钱甲所有钱的，据此列方程组可得． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 4. 若数a使关于x的不等式组有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程+3=有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可． 【详解】不等式组整理得：， 由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3， 即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4， 分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=， 由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个， 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5. 已知，为抛物线图象上的两点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式求出抛物线的对称轴直线，分类讨论及时各自的选项即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴抛物线的对称轴直线为， ①当时，抛物线的开口向上， ∵， ∴当时，点与点在对称轴的左侧，或点在左侧，点右侧，且点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大， ∴，故选项A错误； ②当时，抛物线的开口向下， ∵， ∴当时，点与点在对称轴的右侧，或点在左侧，点右侧，且点离对称轴的距离比点离对称轴的距离小， ∴，故选项B错误； ③若， 当时， ，则时，抛物线的开口向下， ∵， ∴当时，点与点在对称轴的左侧，或点在左侧，点右侧，且点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大， ∴； 当时， ，则时，抛物线的开口向上， ∵， ∴当时，点与点在对称轴的右侧，或点在左侧，点右侧，且点离对称轴的距离比点离对称轴的距离小， ∴； 故选项C错误； ④若， 当时， ，则时，抛物线的开口向上， ∵， ∴时，点与点在对称轴的左侧，或点在左侧，点右侧，且点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大， ∴； 当时， ，则时，抛物线的开口向下， ∵， ∴时，点与点在对称轴的右侧，或点在左侧，点右侧，且点离对称轴的距离比点离对称轴的距离小， ∴； 故选项D正确， 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系． 6. 如图，已知上的两条弦和互相垂直于点C，点D在弦上，点E在弦上，且，连接和，点P为中点，点Q为中点，射线与线段交于点N，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、、，利用可得为圆的直径，再利用点为中点，点为中点，可得，分别为三角形的中位线，则得，，，，从而，，则得；利用，可得，，，则得，所以；过点作于点，则为等腰直角三角形，；在中，利用直角三角形的边角关系即可解答． 【详解】解：连接、、，如图， ， ． 为的直径， ． 点为中点，点为中点， 是的中位线，是的中位线． ，，，． ， ． ， ． 为等腰直角三角形． ． ，， ． ． ， ． ． ， ． 过点作于点，则为等腰直角三角形， ． 在中， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、特殊角的三角函数值、解直角三角形、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及推论等知识点．灵活利用解直角三角形的知识是解题的关键． 二、填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式和公式法因式分解是解答本题． 8. 当a＝1时，分式的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】直接把a的值代入计算即可． 【详解】解：当a=1时， ． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可． 9. 不等式组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 10. “如果，那么”的逆命题是___________． 【答案】如果，那么 【解析】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案． 【详解】解：“如果，那么”的逆命题是： “如果，那么”， 故答案为：如果，那么． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义． 11. 看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为__________________． 马匹 姓名 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法求概率，列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：齐王的三匹马出场顺序为10，8，6； 而田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；共6种，田忌能赢得比赛的有5，9，7；一种 ∴田忌能赢得比赛的概率为 故答案为： 【点睛】本题考查概率的求法，解题的关键是要注意列举法需要做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12. 如图，已知在中，D，E分别是AB，AC上的点，，．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，向量，先证明，根据相似三角形的性质求出，然后把代入求解即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 故答案为∶ ． 13. 图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若，则BC长为_______cm（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意即可求得∠MOD=2∠NOD，即可求得∠NOD=30°，从而得出∠ADB=30°，再解直角三角形ABD即可． 【详解】解：∵时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O， ∴∠MOD=2∠NOD， ∵∠MOD+∠NOD=90°， ∴∠NOD=30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC，∠A=90°，AD=BC， ∴∠ADB=∠NOD=30°， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的矩形的性质、解直角三角形等知识；理解题意灵活运用所学知识得出∠NOD=30°是解题的关键． 14. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据裁剪和拼接的线段关系可知，，在中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵地毯平均分成了3份， ∴每一份的边长为， ∴， 在中，根据勾股定理可得， 根据裁剪可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键． 15. 某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为_______（N）（用含n，k的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据杠杆的平衡条件是：动力×动力臂=阻力×阻力臂，计算即可． 【详解】设弹簧秤新读数为x 根据杠杆的平衡条件可得： 解得 故答案为：． 【点睛】本题是一个跨学科的题目，熟记物理公式动力×动力臂=阻力×阻力臂是解题的关键． 16. 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B（-2,1），将矩形OABC绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，若反比例函数（x＜0）的图象经过点E，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作垂直轴于点，得出，代入求出点的坐标即可得出答案． 【详解】如图所示，过点作垂直轴于点， 点坐标为， ， 即， ， ， ， ， ， 设，则， ，即， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例解析式的求法，关键是求出过反比例函数上点的坐标，解题的方法是寻找相似三角形，利用勾股定理求解． 17. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中的余弦值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正多边形内角和求出，从而求出的三内角度数，在中，作的角平分线交于点P，过点P作，垂足为，利用等腰三角形性质，三角形外角性质求出，，设为1，，则，证明，得到，求出x的值，进而得出答案． 【详解】解：如图， ∵正五角星中，五边形是正五边形， ， ， ， 则如图，在中，作的角平分线交于点P，过点P作，垂足为， ， ， ， ，， 设为1，，则， ，, ， ，即， 解得：或（舍去）， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的求解，正多边形内角和定理，三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，准确求出三角形边长是解题关键． 18. 如图，在扇形中，点，在弧AB上，将弧CD沿弦折叠后恰好与，相切于点，．已知，，则折痕的长为 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性作关于的对称点，则，连接交于，则点都在以为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可． 【详解】作关于的对称点，则 连接交于 ∵将沿弦折叠 ∴点都在以为圆心，半径为6的圆上 ∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点． ∴ ∴ ∵ ∴四边形MEOF中 即的度数为； ∵， ∴（） ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根的定义分别化简，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ． 20. 解方程组. 【答案】或或或 【解析】 【分析】可得或，或，从而可得或或或，即可求解． 【详解】 解：由①得 ， 或， 由②得 或， 或或或， 解得或或或， 原方程组的解为或或或． 【点睛】本题考查了解特殊方程组，将二元二次方程组化为二元一次方程进行求解，掌握解法是解题的关键． 21. 如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，轴，若反比例函数的图象过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在反比例函数图象上，当面积为时，求点坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数解析式； （1）依据题意，先求出，再根据勾股定理得出，再由，进而求出点的坐标，即可得出结论； （2）依据题意，由，再结合面积为，从而到的距离为，又的纵坐标为，故的纵坐标为或，进而代入反比例函数解析式可以得解． 【小问1详解】 解：， ． 在中，，根据勾股定理得，， ． 四边形是正方形， ，． ． 轴， ． ． ． ． ，． ． ． 反比例函数数的图象过点， ． 所求反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 由题意，，， ，即从而到的距离为． 又的纵坐标为， 的纵坐标为或． 又在反比例函数上， 的横坐标为或． 或． 22. 如图，AB，CD是两个过江电缆的铁塔，塔高均为40米，AB的中点为P，小丽在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E，P，C在一直线上，且P，D离江面的垂直高度相等．跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知塔底B距江面的垂直高度为6米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求． （1）求电缆最低点与河岸EB的垂直高度h及两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）． （2）求电缆AC形成的抛物线的二次项系数． 【答案】（1）电缆最低点与河岸EB的垂直高度米；两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）为米 （2）电缆AC形成的抛物线的二次项系数为 【解析】 【分析】（1）根据题意，作出图形，把题中各个相关线段长度求出来，由跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求，得到电缆最低点与河岸EB的垂直高度米；再根据，利用相似比得到两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）为米； （2）以中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示，得到、，利用待定系数法设抛物线的解析式为，联立方程即可得到电缆AC形成的抛物线的二次项系数为或，然后检验舍去不符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：连接，过作于，设江面所在直线为，电缆AC下垂最低点距江面的高度为，如图所示： AB，CD是两个过江电缆的铁塔，塔高均为40米， 米， AB的中点为P， 米， 小丽在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E，P，C在一直线上， 米， 塔底B距江面的垂直高度为6米， 米， P，D离江面的垂直高度相等， ， ， 跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求， 米， 电缆最低点与河岸EB的垂直高度米； 由题意及图形可知， ，即， ，解得米， 两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）为米； 【小问2详解】 解：以中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示： 由（1）知米，米， 、， 设抛物线的解析式为，则 ， 由②①得， 由②①得， 将，代入③得，由一元二次方程求根公式解得或， 当时，对称轴，故不符合题意，舍去， 电缆AC形成的抛物线的二次项系数为． 【点睛】本题是一道实际应用问题，考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求函数解析式，体现了数学来源于生活，服务于生活的本质，灵活使用数形结合是解决问题的关键． 23. 如图所示，ABC和ADE是全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC与AD、AE分别交于点F、G，AP⊥AD，CP⊥BC，垂足分别为点A，C，AP，CP交于点P． （1）证明：ACP≌ABF； （2）BF，FG，GC之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）BF2+CG2＝FG2，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，AP⊥AD，可以得到∠BAC＝∠PAD＝90°，所以∠BAF＝∠PAC，再由CP⊥BC，∠ACB＝45°，可以证得∠ABF＝∠ACP＝45°，即可以证明△ACP≌△ABF； （2）由（1）可得，△ACP≌△ABF，所以BF＝CP，AF＝AP，利用CP⊥BC，∠DAE＝45°，可以证得∠FAG＝∠PAG＝45°，先证△FAG≌△PAG，得到FG＝PG，在直角△PGC中，利用勾股定理得到三边的等式关系，等量代换，即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°， ∵AP⊥AD， ∴∠PAD＝∠BAC＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠PAD﹣∠DAC， ∴∠BAF＝∠CAP， ∵PC⊥BC， ∴∠PCB＝90°， ∵∠ACP＝∠ACB＝45°， ∴∠ABF＝∠ACP， 在△ABF与△ACP中， ， ∴△ABF≌△ACP（ASA）； 解：（2）BF2+CG2＝FG2，理由如下： 如图1，连接PG， 由（1）可得，△ABF≌△ACP， ∴BF＝CP，AF＝AP， ∵△ADE是等腰直角三角形，∠PAD＝90°， ∴∠FAG＝∠PAG＝45°， 在△AFG与△APG中， ， ∴△AFG≌△APG（SAS）， ∴FG＝PG， 在Rt△PGC中， PG2＝CG2+CP2， ∴BF2+CG2＝FG2． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，利用已知条件，找到证明全等的条件，是解决本题的关键，例如第（1）问中的∠BAF＝∠PAC，∠ABF＝∠ACP的推导，同时，要注意第（1）问的结论给第（2）问提供了条件，例如由（1）的结论可以得到BF＝CP． 24. 定义：二元一次不等式是指含有两个未知数（即二元），并且未知数的次数是1次（即一次）的不等式；满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，如：是二元一次不等式，等都是该不等式的解．因为有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，二元一次不等式（组）的解集就可看成直角坐标系内的点构成的集合．所以的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为如图，阴影部分区域G． （1）设解集在坐标系内所对应的点形成的图形为F． ①在图1中画出图形F（用阴影部分表示），并求出图形F的面积； ②反比例函数（）的图象和图形F有公共点，求k的取值范围； （2）设的解集围成的图形为M，直接写出抛物线与图形M有交点时m的取值范围． 【答案】（1）①见解析，4.5；② （2）且 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数以及二次函数综合问题，还涉及到二元一次不等式组的有关知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①在直角坐标系中画出直线，，，它们所围成的图形即为所求；②求出函数（）经过点时，，当有唯一一个解时，，进而即可求解； （2）分别画出直线所围成图形M，再根据当时， 当时，求出对应的m值，从而求出m的取值范围． 【小问1详解】 解：①， 由①得， 由②得， 由③得， 如图所示： ∴； ②图象F为等腰直角三角形，三个顶点分别为， 当函数（）经过点时，， 当有唯一一个解时，即， ∴， 解得， ∴时，反比例函数（）的图象和图形F有公共点； 【小问2详解】 图形M如图： 当时，当有唯一一个解时，即， 解得； 当时，当经过点时，， 解得； ∴且时，抛物线与图形M有交点． 25. 已知的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点F． （1）如图1，若，求线段的长． （2）如图2，若，求的正切值． （3）连结，，，若是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由知，得，根据知，从而得，即可知，利用可得答案； （2）连接，，由题意易证，则有，设，则，然后根据勾股定理及三角函数可进行求解； （3）先求出、、所对圆心角的度数，从而求得、，从而根据三角形面积公式计算可得． 【小问1详解】 解：连接， ， ，， 又， ， 即， ， ， ，， ∴， ， ， ， 则； ∴， ∴ 【小问2详解】 解：如图1，连接，， 为直径，， ，， ， ， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2， 是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边， 、， 则， 解得：， 、， ， ， ， 则， ． 【点睛】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$