四川省彭州中学2025-2026学年上学期高一期中考试数学试卷

**基本信息** 高一上期中数学试题，以集合、函数、不等式为核心，通过基础题（如集合运算）、能力题（如抽象函数单调性证明）梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与表达能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合交集、命题真假判断、幂函数性质|第2题结合存在量词与充要条件，考查逻辑推理（数学思维）| |多选题|3/18|集合关系、基本不等式应用|第10题正实数条件下求最值，体现数学眼光| |填空题|3/15|集合交集元素个数、不等式最值|第12题抽象分析集合元素关系，考查抽象能力| |解答题|5/77|函数性质证明、不等式恒成立|第18题抽象函数单调性证明与应用，综合数学思维与语言表达|

四川省彭州中学2025-2026学年度高2025级高一上期中试题 数学学科试题 考试注意事项： 1. 开考前，请先将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在答题卡的对应位置。 2. 选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔或者钢笔书写，请不要用蓝笔和红笔作答。 3. 考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸一并交回！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.下列命题中的真命题是(    ) A. ， B. ， C. “”的充要条件是“” D. “，”是“”的充分条件 3.已知命题“，”，命题“，”，若命题，均为真命题，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知幂函数在内单调递增，则的值为(    ) A. B. C. D. 或 5.已知幂函数，，，在第一象限的图象如图所示，则(    ) A. B. C. D. 6.下列命题是假命题的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 7.已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A. B. C. D. 8.已知函数，则“”是“在上单调递增”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9.已知集合，若，则的取值可以是(    ) A. B. C. D. 10.已知正实数满足，则(    ) A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11.定义域为的函数满足，且为偶函数，当时，，函数且的图象与的图象有个交点，记为，，，，则下列说法正确的是(    ) A. B. 在内单调递减 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.集合A有8个元素，集合B有3个元素，集合A和集合B的交集可能有______个元素 13.若，则的最大值是          ． 14.给定正实数，对任意正实数，，记，则的最大值为           四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知全集，集合，． 若，求； 若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 16.本小题分 证明： 若，则； 若，则． 17.本小题分 已知函数，其中，． 若，求实数的值； 若时，求不等式的解集； 求不等式的解集． 18.本小题分 定义在上的函数满足下面三个条件： 对任意正数，，都有 当时， ． 求和的值 试用单调性的定义证明：函数在上是减函数 若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 19.本小题分 已知函数． 若函数为偶函数，求的值； 设函数，已知当时，存在最大值，记为． (ⅰ)求的表达式； (ⅱ)求的最大值． 四川省彭州中学2025-2026学年度高2025级高一上期中试题 数学学科试题答案 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查交集运算，解不含参的一元二次不等式，属于基础题． 先把集合表示出来，再根据交集的定义计算即可． 【解答】 解：， ，或， ， 则． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查命题的真假的判断，涉及充要条件的应用，存在量词命题与全称量词命题的真假的判断，属于基础题． 利用表达式的最值判断，举反例判断，充要条件判断，充分条件判断，即可解决． 【解答】 解：对于，因为，所以，不正确，即不正确； 对于，当时，不成立，所以不正确； 对于，若“”，举例，推不出“”，反之“”得，能推出“”， 所以“”的充要条件是“”不成立，即不正确； 对于，“，”可得“”成立， 反之，若“”，则“，”不成立，如，， 所以“，”是“”的充分条件，正确． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查全称量词命题和存在量词命题，考查恒成立和存在性问题，属于基础题． 分别求出，为真时的范围，即可求出命题，均为真命题，实数的取值范围． 【解答】 解：当为真命题时， 当为真命题时，，解得， 故当命题，均为真命题时，实数的取值范围是 4.【答案】  【解析】由题意可得解得所以故选A． 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查利用不等式的基本性质判断不等关系，命题的概念与真假，属于基础题． 列举反例可判断选项，根据不等性质可判断选项． 【解答】 解：选项： 取，，，，故A错误； 选项：若，又， 则，故B正确； 选项： 若，则，则， 又因为， 由不等式的性质可得，故C正确； 选项：若且， 则， 所以，故D正确． 故选：． 7.【答案】  【解析】【详解】解：因为函数的定义域为， 即，所以，令，解得， 所以函数的定义域为； 故选： 8.【答案】  【解析】解：根据题意，若在上单调递增， 则解得， 又由， 所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件． 故选：． 9.【答案】  【解析】略 10.【答案】  【解析】【详解】解：因为，则，即， 又为正实数，则，所以，，故 A项正确； 因为，所以， 又，所以，故 B项错误； 因为，且为正实数，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故 C项正确； 因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，但由可得，当时，，且，故 D项错误． 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的对称性、周期性、奇偶性，属于难题． 由题意，确定函数的周期，关于对称，关于对称，结合选项分析得出结论． 【解答】 解：由得的图象关于点对称， 由为偶函数得的图象关于直线对称， 画出在上的图象如图所示，则是以为周期的函数， 所以，故A正确 ，由在内单调递增可得在内单调递增，故B错误 由的图象知关于直线对称，则，故C正确 因为与的图象均关于点对称，计算得与在区间上有个交点， 从左向右依次为，，，， 则， 故，故D正确． 故选ACD． 12. 【答案】0，1，2，3 A有8个元素，B有3个元素，说明共同的元素最多只能有3个，两个集合也可以毫不相关，所以最少交集的元素0个。 13.【答案】  【解析】【详解】 ，则 ． 当且仅当，即时，等号成立． 即的最大值是． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数新定义问题，考查基本不等式的应用，属于较难题． 根据定义讨论：当时，，根据基本不等式可知，这时，；当时，，所以，，据此可知的最大值． 【解答】 解：因为， 所以， 当且仅当时，“”成立， 所以当恒成立时，，， 所以 当时，，所以， 这时． 综上可知：的最大值为． 故答案为：． 15.【答案】解：集合， 解不等式，得或， 所以不等式的解集为或， 所以集合或， 所以， 若，则， 所以； 由得， 或， 若“”是“”的充分条件，则， 又集合， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】证明：， ，， 所以． ， ， ， 因为， 即， 所以．   【解析】本题考查根据函数的解析表达式证明函数中的等式和不等式问题，涉及作差法比较大小． 由函数的解析式分别求的，，即得所证； 由函数的解析式分别求得， ，作差并利用配方法可得所求证． 17.【答案】因为，所以； 若时，， 即， 解得， 不等式的解集为； 因为， 所以，即 当时，解集为； 当时，或，解集为．   【解析】略 18.【答案】解：令有，得． 令有，又，得， 又令，得． 又令，得； 证明：任取且， 则， 因且，则，得， 则，故函数在上是减函数． 由知，则由可得． 由以及的定义域为可得． 由知函数在上是减函数，则由可得． 因，，则． 要使任意，恒成立， 只需，其中． 令，任取且， 则， 因且，则，，， 则，故在上单调递增，则， 得． 综上的取值范围是．   【解析】本题考查抽象函数的单调性判断及应用单调性解不等式及不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 令可得；先令可得，令可得，可得． 利用已知结合单调性定义可证明． 利用将转化为，后利用函数单调性解决问题． 19.【答案】解：因为为偶函数，所以， 即，即，所以， 即，所以； 解：(ⅰ)因为， 所以，因为， 所以 当时， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当即时，， 当即时，， 当时， 又在上单调递增， 所以， 因为， 所以当时， 又， 所以当时，当时， 综上可得： (ⅱ)因为函数，与，均在定义域上单调递增，又，， 所以；   【解析】略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $