期末复习专题第六章 导数章末复习卷-2025-2026学年高二人数学人教B版选择性必修第三册

第六章 导数章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出导函数，然后令即可求解. 【详解】对函数求导得，令得，解得. 2．某函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图象可知，函数单调递增，所以图象上每个点的导数都大于0，又函数在某点的导数的几何意义等于该点切线的斜率，从图象可得该函数切线的斜率是随着自变量的增大而逐渐增大的，因此函数的切线斜率是递增的，. 3．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】求导，与直线垂直，求出的值. 【详解】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D 4．已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为.若函数的图象如图所示， 则（    ） A．在区间(-1,+∞)上单调递增 B．在区间(-∞,0)上单调递减 C． D． 【答案】C 【分析】利用图像即可得函数的单调性即可判断AB，由在的单调性即可判断CD. 【详解】由图可知，当时，，当时，，当时，， 所以单调增区间为，减区间为，故AB错误； 因为，所以，故C正确； 由，函数在为减区间，所以，故D错误， 故选：C. 5．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数在区间上单调递增等价于导函数在该区间上恒非负，将问题转化为求二次函数在给定区间的最小值，即可得到的取值范围。 【详解】因为， 所以， 因为函数 在区间 上单调递增， 所以 在区间恒成立，即在区间恒成立 即，在区间恒成立 令 ，， 这是一个开口向上的二次函数，对称轴为，对称轴 ， 因此 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以当 ，取得最小值 要使 对所有 恒成立，只需 ，即：， 因此 的取值范围为 . 6．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为与的图象有两个不同的交点，设，求得，求得函数的单调性与最大值，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由函数有两个不同的零点， 即有两个不同的实数根，即有两个不同的实数根， 即与的图象有两个不同的交点， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，取得最大值，最大值为， 又因为当时，；当时，， 作出函数的图象，如图所示， 结合图象，可得，所以实数的取值范围为. 7．已知函数在处取得极大值，则（ ） A．3或1 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据极值点处的导数等于0，求得，代回，通过函数在处是否取得极大值，确定. 【详解】因为函数，定义域为R， 所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 若，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以在处取得极小值，不符合题意，所以； 若，则， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 所以在处取得极大值，符合题意. 综上，. 8．若函数，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要比较的大小，只需要比较三个自变量的大小即可，构造辅助函数，通过讨论单调性来比较三个自变量的大小即可. 【详解】 因为由基本不等式，对任意实数，都有， 当且仅当时等号成立，又， 所以，所以在上单调递增， 因为，所以比较的大小即可， 设，因为，当时，， 所以在单调递减，从而有， 所以，因为在上单调递增，所以， 即，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小明从家里到学校行走的路程与时间的函数关系如图所示，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（    ） A．对于，存在，使得 B．整个过程小明行走的速度一直在加快 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用导数的几何意义（位移 - 时间图像的切线斜率表示瞬时速度）分析瞬时速度，结合平均速度的定义（位移与时间的比值）比较平均速度大小，逐一判断各选项的正误. 【详解】对于A：由图根据导数的几何意义可得对于，存在，使得，故A正确； 对于B：由图结合导数的几何意义可知，小明行走的速度开始在段逐步加快，在段又逐步减慢，故B错误. 对于C：是处的切线斜率，是割线的斜率， 由图可知，处的切线比割线更陡，即切线斜率割线斜率，故，故C正确 对于D：设，由图延长线与的交点在点下方，可知， ，，故D正确. 10．已知的导函数为，且，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D． 【答案】ACD 【分析】由题可得(为常数)，构造，可得，结合导数依次判断选项即可. 【详解】由，可得， 即(为常数)， 设，则， 由于，所以，则， 解得：，所以， 所以， 则，所以，故A正确； 对于B，， 即，故B错误； 对于C，令，所以，即在上单调递增，故C正确； 对于D，令， 所以， 令，解得：，所以在上单调递增， 令，解得：，所以在上单调递减， 则，即， 所以成立，故D正确. 11．设函数，，则下列说法正确的是（    ） A．是的最小值点 B．方程有且仅有一个实根 C．若，则方程有三个实根 D．在R上有最大值 【答案】ABC 【分析】求出函数的导数，确定单调区间及对应的函数值集合，再逐项分析判断即可. 【详解】函数，求导得，当或时，； 当时，，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 对于A，，因此是的最小值点，A正确； 对于B，，直线与函数的图象仅有一个交点，方程有且仅有一个实根，B正确； 对于C，当时，直线与函数的图象有三个交点，则方程有三个实根，C正确； 对于D，当时，，函数在R上无最大值，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数在区间上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】求导，利用函数在区间内的单调性转化为不等式能成立问题，结合基本不等式求解． 【详解】函数定义域为，求导得， 函数在区间上存在单调递增区间， 在区间上有解，即在区间上有解， 即在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等号， ，故实数的取值范围是． 故答案为：． 13．已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案. 【详解】当时，，设切点为， 则切线斜率为，那么切线方程为， 将代入方程中解得，故切线方程为； 由于为偶函数，其图像关于轴对称， 故当时，切线方程为. 综上可知，切线方程为和. 故答案为：. 14．已知函数，关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【分析】将恒成立的不等式转化为，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】由题知，原不等式在上恒成立⇔在上恒成立， 即在上恒成立，若设， 有，令， 有， ，易得， 所以在上递减；在上递增 故， 所以，即实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为. (2)的极大值为，极小值为. (3)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求导，利用导数分析单调性，进而求得单调区间； （2）结合单调性和极值定义求解即可； （3）计算区间端点和区间内所有极值点处的函数值，比较求解最值. 【详解】（1），令，解得，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减。 所以单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）根据（1）可得是极大值点，代入得： 是极小值点，代入得： 所以的极大值为，极小值为. （3）由（2）知函数极值为：，； 因为， ， 故， 所以区间上的最大值为，最小值为. 16．已知函数． (1)若函数在定义域上不单调，求实数的取值范围； (2)若，且函数有三个零点，求实数的取值范围； (3)若，过点作函数的切线，求切线方程． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）对求导，由不单调可得有两个不相等的实数根，利用根的判别式求解即可. （2）先利用导数确定的单调性，然后根据有三个零点确定实数的取值范围. （3）设出切点坐标，写出切线方程，利用切线经过列出关于的方程，求解出，然后写出切线方程即可. 【详解】（1）的定义域为. . 函数在定义域上不单调，说明有两个不相等的实数根， 所以，解得或. （2），，. 令，即，或，列表如下： 极小值 极大值 . 要使函数有三个零点，则，解得. 故实数的取值范围是. （3）时，，. 设切点，则切线的斜率. 故切线方程为. 又切线经过，，整理得：， 解得或. 当时，切点坐标为，切线方程为. 当时，切点坐标为，切线方程为. 综上，切线方程为或. 17．已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上的最大值为1，求实数的值. 【答案】(1)，证明见解析 (2)当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． (3) 【分析】（1）先对原函数求导，根据导数几何意义，利用处导数值等于0列方程求，再分析导数符号变化，证明导数无变号零点，得无极值点； （2）整理导数后分子为二次式，根据判别式取值分类讨论，依据导数正负判断单调性； （3）结合第二问的单调性结论，分类讨论在上的最大值，令最大值为1，求解得到符合条件的. 【详解】（1）对函数求导：​， 因为恒成立，故的符号由分子决定. 曲线在处切线斜率为，代入得： ，解得. 此时 ，故恒成立，仅处， 因此在上单调递减，无极值点. （2）对二次函数，判别式，分情况讨论： ①当时，，恒成立，故，在上单调递减； ②当时，的两根为​，​， 则当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． （3）①当时，在单调递减，最大值为，由最大值为1得，符合条件； ②时，函数在处取得极大值，显然， 则最大值可能在或处取得． 若，则，不符合． 下面证明同样不可能成立． 令，则，代入得． 此时，由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，同样不可能有． 综上所述，实数的值为1． 18．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)因为的极值点满足，即，即． 因为存在两个极值点等价于方程有两个不同的实根． 令，则的定义域为，， 当时，，则在上单调递减，且； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故在处取得极小值，且． 又当时，，当时，， 所以当，即时，方程有两个不同的实根，且， 故． 由，变形得． 令，则，代入上式得， 两边同时取自然对数，得，因此． 要证，即证，只需证，即. 令，，则， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，即恒成立， 即，得证． 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先将不等式转化为，再构造函数，进而只需求函数在上的最小值，运用导数研究函数单调性及最值可得； （3）先将函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实根，进而可得，且，再令，进而可得及，从而只须证明，即，再构造函数，，用导数求得函数的最小值，从而可得所证不等式. 【详解】（1）当时，，，所以，， 所以切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即． （2）由，即，因为，所以不等式可变形为． 令，则“存在，使得成立”等价于大于等于在上的最小值， ． 令，，则． 当时，，故，所以在上单调递增． 因此，故，所以在上单调递增． 所以，因此的取值范围为． （3）略 19．已知函数，，. (1)若曲线与曲线在点处有相同的切线，求的值； (2)设，且. ①求的极值； ②证明：函数有3个不同的零点. （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)①极小值为；极大值为； ②证明过程如下 【分析】（1）由两条曲线在一点处的切线相同，则根据导数的几何意义即在该点处的斜率相等，即可求出的值； （2）①先求导，根据导函数的符号判断原函数的单调性，从而确定极值点； ②通过判断极大值大于，极小值小于，再结合端点的函数值，即可判断零点的个数. 【详解】（1）解：由题意知，，所以点在 两条曲线上， 分别求导得，， 由曲线与曲线在点处有相同的切线，则， 即，所以. （2）①解：，， 所以， 令，则或， 因为，所以， 又，所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取极大值为； 在处取极小值为. ②由①可知，，，， 则，所以. 又在处取极小值为，， 令，则，， 因为，所以，因此在单调递减， 又，所以，即. 因为当时，；当时，，，则， 因此在有1个零点；在存在1个零点；在存在1个零点， 因此，函数有3个不同的零点. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 导数章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．某函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 4．已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为.若函数的图象如图所示， 则（    ） A．在区间(-1,+∞)上单调递增 B．在区间(-∞,0)上单调递减 C． D． 5．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在处取得极大值，则（ ） A．3或1 B．3 C．2 D．1 8．若函数，，，，则（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小明从家里到学校行走的路程与时间的函数关系如图所示，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（    ） A．对于，存在，使得 B．整个过程小明行走的速度一直在加快 C． D． 10．已知的导函数为，且，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D． 11．设函数，，则下列说法正确的是（    ） A．是的最小值点 B．方程有且仅有一个实根 C．若，则方程有三个实根 D．在R上有最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数在区间上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是__________． 13．已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 14．已知函数，关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最大值与最小值． 16．已知函数． (1)若函数在定义域上不单调，求实数的取值范围； (2)若，且函数有三个零点，求实数的取值范围； (3)若，过点作函数的切线，求切线方程． 17．已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上的最大值为1，求实数的值. 18．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在两个极值点，证明：． 19．已知函数，，. (1)若曲线与曲线在点处有相同的切线，求的值； (2)设，且. ①求的极值； ②证明：函数有3个不同的零点. （参考数据：，，） 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $