期末复习专题第五章 数列章末复习卷-2025-2026学年高二数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 以数列核心概念为基础，通过选择、填空、解答题梯度设计，系统覆盖等差等比基本量计算、性质应用、递推证明及实际应用，突出数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本量计算|第2、4题（5题）|基础计算（单选）|定义→通项公式→前n项和公式的直接应用| |性质应用|第7、9题（4题）|性质辨析（多选）|中项性质→单调性→前n项和最值的推理| |递推与证明|第13、17题（4题）|逻辑证明（解答）|递推关系→归纳猜想→数学归纳法证明| |实际应用与综合|第11、19题（6题）|跨情境应用（解答）|数列模型→概率结合→实际问题的数学表达|

第五章 数列章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏．塔群依山而建，共12行，总数恰为108座，自上而下每行的塔数构成数列，已知的前4项和，从第5项到第12项构成等差数列，，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先利用等差数列求和公式，得到与的关系，再求的值． 【详解】因为数列从第5项开始是等差数列， 所以， ． 2．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．30 B．32 C．35 D．40 【答案】C 【详解】在等差数列中，因为，所以， 又，所以， 因为，即，解得， 所以， 所以. 3．在公差为2的等差数列中，，，成等比数列，则的前7项和为（    ） A．3 B．5 C．9 D．21 【答案】D 【分析】利用等比中项及等差数列的通项公式、求和公式得解. 【详解】因为，，成等比数列， 所以，即，解得， 所以. 4．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解. 【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为, 由题意易知， 设奇数项之和为,偶数项之和为， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 所以,即. 所以这个数列的公比为2. 故选:D. 5．设 则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的各项构成一个首项为，公比为的等比数列， 指数为，共计项， ． 6．已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列前n项和的性质，可设、，计算即可得. 【详解】由，为等差数列，故可令、， 则. 故选：C. 7．已知等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，（   ） A．6或7 B．7 C．8 D．7或8 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式的性质及符号法求解即可. 【详解】由题可知．因为，所以， 所以当取最大值时． 8．已知单调递增等比数列的前9项积为1，且，若数列的前项和为，则使的最小正整数为（   ） A．5 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由等比数列的前9项积为1，结合等比中项得；根据，求得公比和；得到数列是等差数列，利用等差数列的求和公式得到，解的不等式，求出满足条件的最小正整数. 【详解】设等比数列的公比为. 等比数列是单调递增，. 等比数列的前9项积为1，，得. ，，即，解得或. 等比数列是单调递增，； ，得. 数列是以为首项，1为公差的等差数列，则. 当时，即，解得或. ，，则使的最小正整数为10. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前n项和为，，且，则（   ） A．，，成等差数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】ABC 【分析】分别求出，，，再根据等差数列的判定即可判断选项A；先根据递推关系，及等比数列的判定，即等比数列前n项和公式即可判断选项B，C，D． 【详解】A，因为，所以，，， 又，所以，，成等差数列，故A正确； B，由，得， 又，则， 所以是首项为，公比为的等比数列，故B正确； C，结合选项B，有，又， 所以是首项为，公比为的等比数列，故C正确； D，结合选项B，有， 又，， 所以，则， 所以不是等比数列，故D错误． 10．已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．成立的最大正整数的值为15 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质可得，进而求得，再结合等差数列前项和公式及性质逐一判断. 【详解】在等差数列中，由，得， 则，即，因此， 对于A，由，得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，等差数列是首项为正，公差为负的递减等差数列， 且是开口向下的二次函数，无最小值，C错误； 对于D，由选项C知，，当时，，当时，， 因此成立的最大正整数的值为15，D正确. 故选：AD 11．某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2430元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 【答案】ABD 【分析】对于BC选项，根据等额本金的还款方案分析结合等差数列求和公式计算即可；对于A选项，等额本息的还款方案，结合等比数列的判定及求和公式计算；对于D选项，通过比较两种还款方案的利息进行判断. 【详解】对等额本金的还款方案，设每月的还款额为（万元）， 则，，…，， 所以B选项正确； 所还的利息总数为（万元）， 所以C选项错误； 对等额本息的还款方案，设第个月的贷款利息为（万元），偿还本金为（万元）， 则，，，， 同理可得：，，…，. 所以是以为首项，为公比的等比数列， 其前12项的和为：，解得. 所以每月的还款额为，故A选项正确； 所以等额本息的还款方案，所还利息总和为万元， 又等额本金的还款方案，所还的利息总数为万元， 因为，所以等额本息还款的利息多，故D正确. 综上所述，选项ABD正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．等比数列中，为其前项的和．若，，则_______． 【答案】90 【分析】根据等比数列关于片段和的性质求解即得. 【详解】在等比数列中，为其前项的和， 则也成等比数列， 又因，， 则成等比数列，且公比为2， 则，解得, 故 解得. 13．记为数列的前项和，若，，则______. 【答案】1013 【分析】利用等差数列的定义，等差数列通项公式以及等差数列前项和公式分析求解即可. 【详解】因为，所以数列是公差的等差数列， 设首项为，由，则，解得：， 所以， 所以. 14．已知数列满足点在直线上，数列的前项和为，则的最小值为______． 【答案】15 【分析】由题意求出，进而判断其为等差数列，然后根据等差数列求和公式求出，最后将目标式合理转化，进而结合基本不等式求解最值即可. 【详解】数列满足点在直线上，， ， 数列是首项为，公差为的等差数列， ，， 则，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为15． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知在公差为的等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公差为，然后由题设及等差数列通项公式可得答案； （2）设数列的前项和为，由可得，据此可得答案. 【详解】（1）设的公差为，由题意，，解得， 则； （2）设数列的前项和为，因为， 所以， 所以 16．已知数列和满足，数列的前项和为． (1)若，求； (2)若为等比数列，，求数列和的通项公式． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）， ， ， 所以. （2）将前项和式子变形：， 观察到的表达式可拆分为一个等差数列前项和与一个等比数列前项和的形式， 且为等比数列，可猜测为的前项和， 所以，公比为，所以， 所以，所以的前项和为，和变形一致， 所以. 17．已知数列满足： (1)求； (2)猜想数列的通项公式并给出证明； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2)通项公式为 ， 由题设，当时，有​， ①－②得：， 将替换为，得， ④－③得：，即​， 结合，知数列是首项为，公比为的等比数列， 故通项公式为，得证； (3) 【分析】（1）将、依次代入列方程求对应项即可； （2）根据已知等量关系，应用作差法得，即，结合等比数列的定义证明即可； （3）由题意 ，应用错位相减法求即可. 【详解】（1）已知对任意正整数，有 当时，， 当时， ，代入，得 ， 所以，； （2）略 （3）已知 ，则 ， 令 ， 用错位相减法：， ， 两式相减得： 所以 所以 ，从而 18．已知数列的首项且，． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前2n项的和； (3)若，且不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)利用等比数列的定义证明即可； (2)由（1）知，当为奇数时，，.当为偶数时，，利用等差数列和的等比数列的前项和公式求解即可； (3)根据题意可将问题化为，分为奇数和为偶数两种情况结合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由，得， 又，则，所以，即. 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列 （2）由（1）知，， 当为奇数时，；.当为偶数时，； 所以 ． （3）由（2）知，. 则不等式可化为． ①当为奇数时，不等式可化为， 则， 令，因为为奇数，则， 结合对勾函数的性质可知，函数在上的最小值为，所以的最大值为， 所以 ②当为偶数时，不等式可化为， 则，令，因为为偶数，则， 函数在上的最小值为，所以的最小值为， 所以.    综上，.所以实数的取值范围． 19．在棱长为个单位的正四面体中，一个质点从顶点出发，每次等可能地沿着棱移动个单位，移动的方向是随机的. (1)若质点移动了次，记其经过点的次数为，求的分布列及数学期望； (2)若质点移动了次，质点回到点的概率为. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设，证明：. 【答案】(1)分布列见详解， (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见详解 【分析】（1）根据的所有可能取值依次求概率即可得到的分布列，最后通过数学期望的公式求出期望； （2）（i）根据次后质点到三点的概率相同，再根据次后质点从三点回到点的概率也相同，即可得到数列的通项公式；（ii）先写出数列的表达式，构造函数，利用函数的单调性即可证明. 【详解】（1）依题意可得，的所有可能取值为， 则，， ， 则的分布列为 X P 所以. （2）（ⅰ）由质点每次等可能地随机沿棱移动个单位可知，若质点移动了次，次后质点到三点的概率相同，记为，易知，， 若质点移动了次，， 若质点移动了次，由三点等可能地向点移动，故， 则，即，所以，， 数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. （ⅱ）， ，所以，是递减数列， 设，，， 所以函数在上单调递增， 所以由得， 即， 所以， 则. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 数列章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏．塔群依山而建，共12行，总数恰为108座，自上而下每行的塔数构成数列，已知的前4项和，从第5项到第12项构成等差数列，，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．30 B．32 C．35 D．40 3．在公差为2的等差数列中，，，成等比数列，则的前7项和为（    ） A．3 B．5 C．9 D．21 4．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 5．设 则等于（   ） A． B． C． D． 6．已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，（   ） A．6或7 B．7 C．8 D．7或8 8．已知单调递增等比数列的前9项积为1，且，若数列的前项和为，则使的最小正整数为（   ） A．5 B．9 C．10 D．12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前n项和为，，且，则（   ） A．，，成等差数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 10．已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．成立的最大正整数的值为15 11．某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2430元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．等比数列中，为其前项的和．若，，则_______． 13．记为数列的前项和，若，，则______. 14．已知数列满足点在直线上，数列的前项和为，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知在公差为的等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 16．已知数列和满足，数列的前项和为． (1)若，求； (2)若为等比数列，，求数列和的通项公式． 17．已知数列满足： (1)求； (2)猜想数列的通项公式并给出证明； (3)设，求数列的前项和． 18．已知数列的首项且，． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前2n项的和； (3)若，且不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19．在棱长为个单位的正四面体中，一个质点从顶点出发，每次等可能地沿着棱移动个单位，移动的方向是随机的. (1)若质点移动了次，记其经过点的次数为，求的分布列及数学期望； (2)若质点移动了次，质点回到点的概率为. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设，证明：. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $