《11.4直角三角形》同步测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 鲁教版五四制七年级数学下册《11.4直角三角形》同步测试，含选择（24分）、填空（24分）、解答（72分），分层覆盖基础概念到综合探究，强化推理与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直角三角形判定、性质、逆命题|单选1-3直接考查概念，填空9-11强化基础应用，培养抽象能力| |能力提升|勾股定理及逆定理、全等应用|填空12-14结合中线、角平分线综合，解答17-20需推理计算，发展推理意识| |综合拓展|动态几何、实际应用、探究迁移|解答23-25涉及生活情境（购物车、绿化设计）及变式探究，体现数学眼光与应用意识|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.4直角三角形》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列命题中，其逆命题是假命题的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．对顶角相等 C．等边三角形的每个内角都是 D．全等三角形的对应边相等 2．下列条件中，不能判断为直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D． 3．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，在等边中，E为的中点，过点E作于点D，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 5．如图，在四边形中，，，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，小杰想测量旗杆的高度，他站在点处，利用无人机在点处测得，当小杰走到点位置时，测得，若米，米，旗杆与地面垂直，则旗杆顶端与小杰的初始位置之间的距离为（   ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 7．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是，甲客轮用到达处，乙客轮用到达处．若，两处的直线距离为，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 8．一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是_____________． 10．如图，已知，若以“”判定，需添加的条件是___________． 11．如图，已知，则_______． 12．如图，在中，已知，，边上的中线，则的面积为___________． 13．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 14．如图，在中，，，，与的平分线交于点，则的度数为_____． 15．如图，在中，，，的平分线交边于，且，若，则_____． 16．如图，在四边形中，，，于点B，于点D，E、F分别是上的点，且，则下列结论正确的有_____． ①；②；③；④平分． 三、解答题（满分72分） 17．（6分）如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． (1)用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，连接，求的度数． 18．（6分）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点作交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若D为中点，，，求的长． 19．（8分）如图，在中，，E为边上的点，且，D为线段的中点，过点E作，过点A作，且相交于点F． (1)求证： (2)求证： 20．（8分）将与按如图所示的方式摆放，延长交于点F，连接，其中，，． (1)证明：； (2)若，，求长． 21．（8分）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． (1)判断支架，是否垂直； (2)求点C到的距离 22．（8分）渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线的长． 23．（8分）某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，小华和小明分别提交了绿化地引水灌溉方案的设计．如图，，，，，上，两点为浇灌点． 小华设计的铺设管道方案：从水源点处直接铺设管道引水分别到浇灌点，． 小明设计的铺设管道方案：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点，铺设管道． 社区管理人员在绿化地施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量，两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量出，两点之间的距离为________； (2)若建造绿化地每平方米的费用为100元，求建造绿化地的总费用； (3)若，，，管道铺设费用为50元/米，请比较小华和小明设计的两种铺设管道方案所需的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 24．（10分）【探究感悟】 （1）如图1，，都是等边三角形，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，若是等边三角形，，平分，； ①求的度数； ②试判断、、之间的数量关系，并证明． 25．（10分）已知：在中，点D在直线上，连接，在的右侧作连接． (1)发现问题：如图1， ①当点D在边上时，线段和线段的数量关系是 ，位置关系是 ． ②线段，，之间的数量关系是 ． (2)探究问题：如图2，点D在B右侧．上述①②结论是否仍然成立，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，求线段的长． 参考答案 1．解：A．原命题的逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形，该逆命题是真命题，故该选项不符合题意， B．原命题的逆命题为相等的角是对顶角，该逆命题是假命题，故该选项符合题意， C．原命题的逆命题为每个内角都是的三角形是等边三角形，该逆命题是真命题，故该选项不符合题意， D．原命题的逆命题为对应边相等的三角形是全等三角形，该逆命题是真命题，故该选项不符合题意． 2．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，以及三角形的内角和为． 用勾股定理的逆定理，即可判断A、B；根据三角形的内角和即可判断C、D． 【详解】解：A、∵， ∴是直角三角形，不符合题意； B、设， ∵， ∴不是直角三角形，符合题意； C、∵，， ∴，解得：， ∴是直角三角形，不符合题意； D、设，则， 解得：， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，需分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况讨论，分别计算底角． 【详解】解：设等腰三角形中，，作腰上的高，垂足为D， 则，． ∵与的夹角为，即， ∴在中，． 当为锐角三角形时， 点D在上，， ∴底角． 当为钝角三角形时， 点D在的延长线上，， ∴， ∴底角． 综上，底角为或， 故选：C． 4．A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，直角三角形两锐角互余，先由等边三角形的性质得，结合以及直角三角形的两个锐角互余得，，故，，证明得到，证明可得，据此可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 连接，根据，用勾股定理求出的长度，再用勾股定理的逆定理，证是直角三角形，根据四边形的面积等于和面积之差，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 又， ， 是直角三角形， 四边形的面积为． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的锐角互余，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先证明为等边三角形，然后推出，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据速度和时间计算甲、乙行驶路程，利用勾股定理逆定理判断两路线垂直，再根据甲的方向推导乙的可能方向. 【详解】∵甲行驶路程：， 乙行驶路程：， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵甲航行方向为北偏东， ∴乙航行方向与甲垂直，可能为北偏西或南偏东， 选项中南偏东对应C， ∴乙客轮航行方向可能为南偏东. 故答案为：C． 8．A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，延长交于点，构造直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余找角之间的关系． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 故选：A． 9．如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等 【分析】本题考查命题与定理，关键掌握三角形全等的判定定理及性质．将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题． 【详解】解：∵原命题的条件是：如果两个三角形全等， 结论是：那么这两个三角形的对应边相等， ∴其逆命题是：如果两个三角形的对应边相等，那么两个三角形全等． 故答案为：如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等． 10．或 【分析】根据两直角三角形全等的判定定理：即在一对直角三角形中，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等．题干已经有公共边—斜边，由此即可得出需要添加的条件是直角边对应相等． 本题考查了根据证明三角形全等，掌握判定三角形全等是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是公共边，且为斜边，根据“”判定三角形全等，缺少的是对应相等的直角边， 由， 故应该添加的条件是或， 故答案为：或． 11．/25度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形两锐角互余，是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出，根据已知条件证明，由三角形全等性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 故答案为：． 12．30 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理；延长到E，使，连接，先运用证明，得出．再由勾股定理的逆定理证明出，即可求解． 【详解】解：延长到E，使，连接． 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴， 故答案为：30． 13． 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 14．/45度 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，与角平分线有关的三角形内角和问题，由得到，再根据角平分线得到即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．延长交于点F，由且平分，证得，可得，再根据，，，证得，进一步证明，则可得，从而得到． 【详解】解：如图，延长交于点F， 且平分， ，， ， ， ， ，，， ， 在和中 ， ， ， ， 故答案为：3． 16．①③④ 【分析】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接，由、可得，进而可证得，于是可得，故结论①正确；根据已知条件不能推出，故结论②错误；延长到，使，连接，利用可证得，于是可得，，，根据角的和差关系可得，进而可证得，于是可得，故结论③正确，可得，即平分，故结论④正确；综上所述，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； 根据已知条件不能推出，故结论②错误； 如图，延长到，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，故结论③正确； ， ∵， ∴平分，故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 17．(1)图见解析； (2)． 【分析】本题考查作图—作三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，翻折变换，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，连接，，，即可； （2）证明是等边三角形，求得，，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，得，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）∵沿着折叠得， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，， ，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用相关性质与勾股定理． （1）利用等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余，证明； （2）利用勾股定理在中求解，先求出的长度，再计算． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 在中，； 在中，． ∵ ， ∴ ． 又∵ （对顶角相等）， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形． （2）解：∵ ，为中点， ∴ 在中，，， 由勾股定理得： ． 答：的长为． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由余角的性质可得； （2）由“”可证，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形 又∵为的中点， ∴（等腰三角形三线合一） 在和中，， ∴；. （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）利用证明，然后利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）先利用勾股定理求得，证明得到 设， 在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，又，， ∴， ∴； （2）解：在中， ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 设，则， 在中， 则 解得 ∴的长为． 21．(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）过C作于D，利用等面积法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （2）解：如图，过C作于D， ∵， ∴，解得， 即点C到的距离为． 22．(1)见解析 (2)原来的路线的长为 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果； （2）设，则在中，，，，最后结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， ∴， 是直角三角形，即， 是从村庄到渭河边的最短路线； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理，得，即， 解这个方程，得， ∴原来的路线的长为． 23．(1)15 (2)元 (3)小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】（1）运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）运用勾股逆定理进行列式计算，可得，再计算出总面积即可求解； （3）先计算出，则可计算出小华的方法费用为（元），利用等面积法计算出，则可计算出小明的方法费用为（元），可得小华设计的方案所需费用较少为700元． 【详解】（1）解：当测量时，， ∴． （2）解：如图，连接， ， ， ，， 四边形的面积， 建造绿化地的总费用为（元）． （3）解：，，， ， ， ， ， 小华设计的铺设管道方案所需的费用为（元），小明设计的铺设管道方案所需的费用为（元）， ∵． 答：小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元． 24．（1）见解析；（2）①；②，证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）利用边角边易证； （2）①设，则，再求出，利用外角性质即可得解； ②连接，过D作，交其延长线于点E，易证，，分别证、，可得，，再根据直角三角形性质求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴； （2）①设， ∵是等边三角形， ∴ ，则， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②； 证明：如图，连接，过D作，交其延长线于点E， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，则， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 整理得， ∴． 25．(1)①；② (2)①成立②不成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定； （1）①由，，可证明，即可得出线段和线段的数量关系和位置关系； ②由可得，即可得出线段，，之间的数量关系； （2）①成立②不成立，正确应为，证明可得，即可得出，； （3）过点作交于，设与相交于点，则，可证明可得出，，再由勾股定理可求出的长． 【详解】（1）解：（1）①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； ②∵，点D在边上， ∴， 故答案为：． （2）解：①成立②不成立，正确应为， 理由如下： ， ∴，即， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：过点作交于，设与相交于点，则， ∴， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $