11.4直角三角形 随堂练 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级下册

第十一章·三角形的证明及其应用 4 直角三角形 第1课时 勾股定理与互逆命题 列清单·划重点 知识点① 勾股定理 直角三角形 等于 . 知识点② 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的 等于 ，那么这个三角形是直角三角形. 符号语言：如图，在△ABC 中,B ∵ , ∴△ABC 是直角三角形. 知识点③ 互逆命题与互逆定理 1.互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的 分别是另一个命题的 ，那么这两个命题称为互逆命题.如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题.例如，原命题：两直线平行，同位角相等；逆命题：同位角相等，两直线平行. 2.互逆定理：如果一个定理的 经过证明是 ，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 注意(1)任何一个命题均有逆命题.(2)原命题是真命题时，逆命题不一定是真命题.(3)不是所有的定理都有逆定理. 明考点·识方法 考点① 勾股定理 典例1 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何?其大意：如图，推开双门(大小相同),双门间隙 CD=2寸,点 C、点 D与门槛AB 的距离CE=DF=1尺(1尺=10寸),则 AB 的长是 ( ) A.26寸 B.50.5寸 C.52寸 D.101寸 思路导析设 BF 为 x 寸,则 BD=(x+1)寸,DF=10寸，根据勾股定理列方程求解即可. 变式1 如图1是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由 4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.已知大正方形的边长 AD 为 13,AE 的长为5,则小正方形的边长 EF 为 ( ) A.7 B.6 C.5 D.12 变式2 如图，四边形ABCD 的对角线AC，BD 交于点O,若AC⊥BD,AB=5,CD= 则 考点② 勾股定理逆定理 典例2 如图,在长方形ABCD 中,AB=5,AD=3,点 E,F 分别是BC,CD 边上一点,且 BE=1,CF=2,则图中的直角三角形有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 思路导析根据已知可得CE，DF，根据勾股定理可得AF²,AE²,EF²,根据勾股定理的逆定理,可判断△AFE 的形状，从而可得直角三角形的个数. 变式1 如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c(线段端点都在格点上)，以这三条线段为边能否组成一个直角三角形?答： (填“能”或“不能”). 变式 2 如图是一块试验田，已知 CD =3m,AD=4m ,AB=13 m,BC=12 m,∠ADC=90°,求这块试验田的面积. 考点③ 互逆命题与互逆定理 典例3 下列命题的逆命题不成立的是 ( ) A.两直线平行，内错角相等 B.三边对应相等的两个三角形全等 C.直角三角形的两个锐角互余 D.若a=b,则 思路导析根据已学知识逐一判断即可. 变式 1 已知下列命题： ①若 则a<b ②若a+b=0,则|a|=|b| ③三个内角相等的三角形是等边三角形 ④底角相等的两个等腰三角形全等. 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 变式2 下列定理中，没有逆定理的是( ) A.直角三角形的两个锐角互余 B.等腰三角形的两个底角相等 C.全等三角形的周长相等 D.等边三角形的三个角都相等 变式3 写出符合下列条件的一个原命题： (1)原命题和逆命题都是真命题； (2)原命题是假命题，但逆命题是真命题； (3)原命题是真命题，但逆命题是假命题； (4)原命题和逆命题都是假命题. 第2课时“HL”定理 列清单·划重点 知识点●“HL”定理 定理： 和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 符号语言:在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, 或AC=DF), ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). 注意“HL”只适合直角三角形，不适合一般的三角形，判定两个直角三角形全等，也可以用“SSS”“ASA”“SAS”和“AAS”. 明考点·识方法 考点●“HL”定理 典例 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=5cm,在AC上取一点 E,使 EC=BC,过点 E 作EF⊥AC,连接CF,使CF=AB,若EF=12 cm,求 AB的长. 思路导析利用“HL”判定△ABC≌△FCE,得EF=AC，再利用勾股定理求 AB 即可. 变式1 如图,要用“HL”判定 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'全等的条件是 ( ) A. AC=A'C',BC=B'C' B.∠A=∠A',AB=A'B' C. AC=A'C',AB=A'B' D.∠B=∠B',BC=B'C' 变式 2 如图,有一个直角△ABC,∠C=90°,AC=6,BC=3,一条线段 PQ=AB,P，Q 两点分别在AC 和过点 A 且垂直于AC 的射线 AX 上运动,问:当 AP = 时，才能使以点 P，A，Q为顶点的三角形与△ABC 全等. 变式 3 如图,在△ABC 和△DEF 中,∠A =∠D = 90°,AC=DE,点 B,E,C,F 在同一条直线上,且BE=FC,求证:Rt△ABC≌Rt△DFE. 第1课时 勾股定理与互逆命题 【列清单·划重点】 知识点1 两直角边的平方和 斜边的平方 知识点2 平方和 第三边的平方 知识点3 1.条件和结论 结论和条件 2.逆命题 真命题 【明考点·识方法】 典例1 D 变式1 A 变式2 38 典例2 D 变式1 不能 变式2 解：如图，连接AC， ∵CD=3m,AD=4m ,∠ADC=90°, 在△ABC中,AC=5m,AB=13m,BC=12m, ∴△ABC 是直角三角形,且∠ACB=90°, ∴这块试验田的面积 典例3D 变式1D 变式2C 变式3 解：(答案不唯一) (1)同位角相等，两直线平行； (2)相等的角是对顶角； (3)等边三角形是锐角三角形； (4)如果a 是质数，那么a 是奇数. 第2课时 “HL”定理 【列清单·划重点】 知识点 斜边 【明考点·识方法】 典例 解:∵EF⊥AC, ∴∠FEC=∠ACB=90°, 在 Rt△ABC 和 Rt△FCE 中, (AB=CC,C, ∴Rt△ABC≌Rt△FCE(HL), ∴AC=FE=12cm, 变式1 C 变式2 3或6 变式3 证明:∵BE=FC, ∴BE+EC=FC+EC,即 BC=FE. ∵∠A=∠D=90°, ∴△ABC 和△DFE 为直角三角形,在Rt△ABC 和Rt△DFE 中, ∴Rt△ABC≌Rt△DFE(HL). 学科网（北京）股份有限公司 $