11.4 第2课时直角三角形全等的判定-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

练测考七年级数学下册LJ 第2课时 直角 基础夯实 1.如图，BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据 “HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添 加一个条件是 A.AE=DF B.∠A=∠D C.ㄥB=∠C D.AB=DC B 第1题图 第2题图 2.如图，已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定 Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条 件是 () A.∠B=∠D B.∠ACB=∠CAD C.AB=CD D.AD=CB 3.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的 是 A.两条直角边对应相等 B.两个锐角对应相等 C.一条直角边和它所对的锐角对应相等 D.一个锐角和锐角所对的直角边对应相等 4.如图，BE,CD是△ABC的高，且BD=EC,判 定△BCD≌△CBE的依据是“ 0 第4题图 第5题图 5.如图，已知∠A=∠D=90°，E,F在线段BC 上，DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF 求证：△OEF是等腰三角形 118 三角形全等的判定 6.[教材P156T2变式]如图，已知CE⊥AB, DF⊥AB,AC=BD,AF=BE.求证：AC∥BD. 7.[教材P155T2变式]如图，已知D为BC的中 点，DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F为垂足，且 BE=CF,∠BDE=30°.求证：△ABC是等边三 角形. 8.如图，C是路段AB的中点，小明和小红两人 从C同时出发，以湘同的速度分别沿两条直 线行走，并同时到达D,E两地，并且DA⊥AB 于点A,EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB 的距离是50m,则小红到路段AB的距离是 多少米？ 小明号D A 小红吴 E 能力提升 9.如图所示，P,Q分别是BC,AC上的点，作 PR⊥AB于点R,作PS⊥AC于点S,若AQ= PQ,PR=PS. B 下面三个结论： ①AS=AR; ②QP∥AR; ③△BRP≌△CSP. 其中正确的是 A.①③ B.②③ C.①② D.①②③ 10.如图，BE⊥CD,BE=DE,BC=DA,则∠CFD= 第十一章三角形的证明及其应用 11.如图，△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点D, CE⊥AB于点E,BD和CE交于点O,AO的 延长线交BC于点F,则图中全等的直角三 角形有 对 0 12.如图，AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°，点D是 EF上一点，AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点 F,AE=CF.求证：Rt△ADE≌Rt△CDF 13.如图，已知AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥ AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F.求证：CE=DF 119 练测考七年级数学下册LJ 14.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，延长AB 至点E,使AE=AC,过点E作EF⊥AC于点F, EF交BC于点G. (1)求证：BE=CF (2)若∠E=40°，求∠AGB的度数. 120 素养培优 15.在△ABC中，AB=AC,DE是过点A的直线， BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E. (1)若点B,C在DE的同侧（如图1所示）， 且AD=CE.求证：AB⊥AC (2)若点B,C在DE的两侧（如图2所示）， 且AD=CE,其他条件不变，AB与AC仍垂直 吗？若是，请给出证明；若不是，请说明 理由. D 图1 图2(2)如图，连接BD :在等边三角形ABC中，D是AC的 中点， ÷.LDBC=2 LABC=2 ×60°=30° 由(1)知，∠E=30°， .∠DBC=∠E=30°，.DB=DE. 又DM⊥BC,.M是BE的中点. 15.（1)证明：.△ABC是等边三角形 .∠A=∠B=∠C=60°. .MP⊥AB,MN⊥BC,PN⊥AC, .·.∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°. ∴.∠PMB=∠MNC=∠NPA, .∠NPM=∠PMW=∠MNP, .△PMN是等边三角形. (2)解：：△PMN是等边三角形，.PM=MW 在Rt△BPM中 .∠B=60°，BP=2cm .∴.∠PMB=30°，.∴.BM=2PB=4cm. 在△MPB和△NMC中， ∠B=∠C,∠PMB=∠MNC,PM=MN, ∴.△MPB≌△NMC(AAS),∴.CM=PB=2cm, .BC=BM+CM=4+2=6(cm), .等边三角形ABC的边长为6cm. 培优专题十构造含30°角的直角三角形 的方法 1.C2.23.15海里 4.解：如图，过点C作CD⊥AP于点D, 连接BD. ·,:∠APC=60°， ∴.∠PCD=90°-60°=30°， ∴.PC=2PD. 又.PC=2PB,.PB=PD n=∠APG 2×60=30, ∠PCD=∠PBD,∴BD=CD. .∠ABC=45°， ∴.∠ABD=∠ABC-∠PBD=45°-30°=15. 又.∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°， .∴.∠ABD=∠BAP, ∴.AD=BD,.AD=CD ∴.∠DAC=∠DCA=90°÷2=45°， .∴∠ACB=∠DCA+∠PCD=45°+30°=75° 5.5cm6.2 7.解：(1).：∠B=∠D=90°，∠A=60°，∠B+∠D+∠BCD+ ∠A=360°， ∴.∠BCD=360°-90°-90°-60°=120°. (2)如图，延长BC交AD的延长线于点E,作 BF⊥AD于点F 在Rt△ABE中， .∠A=60°，AB=4,∠E=30°， ..AE=2AB=8 在Rt△ABF中，∠A=60°，∴.∠ABF=30°， 人60°4` 六AF=2AB=2, ..AD的取值范围为2<AD<8. 4直角三角形 第1课时勾股定理及其逆定理 1.C2.B3.18 4.证明：在Rt△AMN和Rt△BMN中 ·.·AN2=AM2-MN2,BN2=BM2-MN2 ..AN2-BN2=AM-BM2 'AM是△ABC的中线，.CM=BM. 在Rt△ACM中，·AM-CM=AC2 .AN2-BN2=AM2-BM2=AM2-CM2=AC2 5.C6.45°7.58.C9.③④ 1037成61D12c1B30149.6 15.证明：∠A=90°，AC=AB=4, .∠ACB=∠ABC=45. 在Rt△ABC中， AC=AB=4, .BC2=AC2+AB2=42+42=32. 在△CDB中，.·CD=2,BD=6. .CD2+BC2=4+32=36,BD2=36. .CD2+BC2=BD2,∠BCD=90° .∠ACD=∠BCD-∠ACB=90°-45°=45°. 微专题11利用勾股定理求解折叠问题 1.C2.A3.3cm 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.D3.B4.HΠ 5.证明：.BE=CF, .BE+EF=CF+EF,BF=CE .∠A=∠D=90°， .△ABF与△DCE都为直角三角形 在Rt△ABF和Rt△DCE中. .·BF=CE,AB=DC, ∴.Rt△ABF≌Rt△DCE(HL), .∠AFB=∠DEC,.OE=OF .△OEF是等腰三角形. 6.证明：，CE⊥AB,DF⊥AB, .∠AEC=∠BFD=90°、 ∴.△ACE和△BDF都是直角三角形. ·,·AF=BE, .AF-EF=BE-EF,AE=BF 在Rt△ACE和RI△BDF中， AC=BD.AE=BF. ..Rt△ACE≌Rt△BDF(HL), .∠A=∠B,∴.AC∥BD 7.证明：.D是BC的中点，.BD=CD. ·DE⊥AB,DF⊥AC, ..△BED和△CFD都是直角三角形 在Rt△BED和Rt△CFD中， ·.·BD=CD,BE=CF, .Rt△BED≌Rt△CFD(HL),.∠B=∠C, ·.AB=AC,·.△ABC为等腰三角形. DE⊥AB,∠BDE=30°，.∠B=60°， .△ABC是等边三角形. 8.解：.DA⊥AB,EB⊥AB, .△ADC和△BEC为直角三角形. ,点C是路段AB的中点，.AC=BC. :小明和小红同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行 走，并同时到达D,E两地 .∴.CD=CE,.Rt△ADC≌Rt△BEC(HL), .'BE=AD=50 m. 答：小红到路段AB的距离是50m. 9.C10.9011.6 12.证明：如图，连接BD .·∠BAD=∠BCD=90° ,△ABD和△CBD都是直角三角形 在Rt△ABD和Rt△CBD中， BD=BD.AB=CB. .'.Rt△ABD≌Rt△CBD(HL), .AD=CD. .·AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F, ∴.△ADE和△CDF都是直角三角形 在Rt△ADE和Rt△CDF中. 'AD=CD,AE=CF,∴.Rt△ADE≌Rt△CDF(HL). 13.证明：·AC⊥BC,AD⊥BD, .△ABC和△BAD都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△BAD中， BC=AD,AB=BA. .∴.Rt△ABC≌Rt△BAD(HL), ∴.AC=BD,∠CAB=∠DBA ·.·CE⊥AB,DF⊥AB,.∠AEC=∠BFD=90° 在△ACE和△BDF中. .·∠CAE=∠DBF,∠AEC=∠BFD,AC=BD, '.△ACE≌△BDF(AAS), ·.CE=DF 14.(1)证明：·∠ABC=90°，EF⊥AC, .·.∠ABC=∠AFE=90° 在△AEF与△ACB中， .·∠EAF=∠CAB,∠AFE=∠ABC,AE=AC '.△AEF≌△ACB(AAS),.AF=AB, .AE-AB=AC-AF,..BE=CF. (2)解：在Rt△BEG中， .·∠BGE=90°-∠E=90°-40°=50°， .∠BGF=180°-50°=130. .△ABC≌△AFE,∴.AB=AF 在Rt△AGF和Rt△AGB中， .·AG=AG,AF=AB, .Rt△AGF≌Rt△AGB(HL), aLAG8=LAGf- -∠BGF=65. 15.(1)证明：BD⊥DE,CE⊥DE, .∴.∠ADB=∠AEC=90° (AB=CA. 在R△ABD和R△CAE中，AD=CE, .Rt△ABD≌Rt△CAE(HL), .∴∠DBA=∠EAC. ·.∠DAB+∠DBA=90° .∴.∠BAD+∠CAE=90°， ∴.∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE)=90°， ∴.AB⊥AC. (2)解：AB⊥AC.证明如下： 同(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE, ∴.∠DAB=∠ECA. .·∠CAE+∠ECA=90° .∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，AB⊥AC. 3 滚动练习五(1~4节) 1.D2.D3.③④①②4.65.20 6.∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=240° 7.解：∠BE0=∠CFO.理由如下： AB=AC,A5=号B,A=子4C, .∴.AE=AF 在△AOE和△AOF中， (AE=AF, OE=OF,∴.△AOE≌△AOF(SSS), A0=A0, .∠AEO=∠AFO,∴.∠BEO=∠CFO. 8.解：如图，过点A作AE⊥BD于点E. AB=AD=13 m,BD=10 m, BE=DE=之8D=5m 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE= √AB2-BE=√132-5=12(m) BC=8 m,CD=6 m,BD=10 m, 82+62=102, .BC2+CD2=BD2 .△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°， ESe$Am-S8)D·A北-)BC:CDE ×10x12- 1 2×8x6=60-24=36(m2), .100×36=3600(元). 答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元. 9.解：(1)如图1，过点A作AD⊥BC AB=AC=5 em,BC=8 em.BD=CD=BC=4 cm, .AD=√AB2-BD2=√/52-4=3(cm). B B D 图1 图2 (2)分两种情况： 如图1，当点P运动ts后有PA⊥AC时， 此时AP2=PD2+AD2=PC2-AC2, .PD2+32=(PD+4)2-52,.PD=2.25, .BP=4-2.25=1.75=0.251,.1=7. 如图2，当点P运动ts后有PA⊥AB时，同理可得PD= 2.25, .BP=4+2.25=6.25=0.25t,t=25. 综上所述，当点P运动7s或25s时，点P与顶点A的连线 PA与腰垂直. 10.解：(1)△ABC≌△EFD.理由如下： ,·∠ABC=90°，∠EFD=90°，AC⊥ED ∴.∠BAC+∠ACB=90°=∠BAC+∠EDF, ∴.∠ACB=∠EDF 在△ABC和△EFD中， ·∠ACB=∠EDF,∠ABC=∠EFD,AC=ED, .△ABC≌△EFD(AAS). (2)∠ACE=∠AEC.理由如下： 在△AEF和△DEF中， ∠AEF=∠DEF,EF=EF,∠EFA=∠EFD=90°，