《11.5线段的垂直平分线》 同步测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 鲁教版五四制七年级数学下册《11.5线段的垂直平分线》同步练，含选择（8题）、填空（8题）、解答（9题），分层覆盖基础认知、性质应用及综合探究，梯度清晰。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|垂直平分线性质与判定|单选1-4直接考查性质应用，填空9-12强化概念辨析，培养抽象能力| |中档层|性质与等腰/等边三角形结合|单选5-7、解答17-20综合几何图形，需推理转化，发展推理意识| |提升层|动态问题与最值探究|单选8、解答24-25涉及动点、对称，需构建模型，体现创新意识与几何直观|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.5线段的垂直平分线》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（   ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处 2．如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 3．如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 4．如图，点O是三条边的垂直平分线的交点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，的边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若为等边三角形，且周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点、；②作直线交于点，连接．若，，，则的面积为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，交的垂直平分线于点F，则的周长是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，点E在边上，且，的垂直平分线分别交于点，，点P为直线上一动点，点F为边上一动点，当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题（满分24分） 9．如图，点为三边垂直平分线的交点，点到顶点的距离为，则_____cm． 10．如图，小杭在数学实践课上用直尺和圆规作图，设，根据尺规作图痕迹，则可求得______．（用含的代数式表示） 11．如图，在中，，，垂直平分交于点，，则______． 12．如图，在中，的垂直平分线与分别交于，则___________． 13．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E，若，，则的周长为______． 14．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，在上取一点，使得．若，则____°． 15．如图，，分别垂直平分，，垂足分别为，，且，，，连接．的度数为_____． 16．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是__________． 三、解答题（满分72分） 17．（6分）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 18．（6分）如图，在中，，，点F为线段上一点，连接，过点C作，交的延长线于点E，且． (1)尺规作图：过点B作的垂线，垂足为点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：点D为的中点． 证明：，， ． ， ． 在中，． __________． 在与中， ． ___________． ， ， 即点D为的中点． 19．（8分）如图，在等腰三角形中，，点，分别在边，上，且，连接，，交于点． (1)求证：； (2)求证：过点，的直线垂直平分线段． 20．（8分）如图，已知点是内的一点，，分别是点关于的对称点，连接，与分别相交于点，，已知． (1)求的周长； (2)连接，，若，判定的形状，并说明理由． 21．（8分）如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 22．（8分）如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 23．（8分）如图，已知在等腰直角三角形中，，平分，与相交于点，延长到，使， (1)延长交于，证明：垂直平分； (2)在（1）的条件下，若是边的中点，连接与相交于点．请猜想，，之间的数量关系 ． 24．（10分）已知在中，，点D在的外部，且． (1)如图1，若，设，求； (2)如图2，取中点F，证明：三边的垂直平分线交于点F； (3)如图3，点E在线段上，线段的垂直平分线交的延长线于点P．当线段与线段互相平分（两条线段交于一点，两条线段都被交点平分）时，证明：为直角三角形． 25．（10分）在学习《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段与角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． 【活动初探】（1）如图1，在中，，点D为中点，于点E，于点F，请直接写出与的数量关系：______． 【变式再探】（2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G，连接并延长，交于点D，求证：点D为中点． 【类比深探】（3）如图3，在中，，点D为中点，，点F为直线上一动点，点E为延长线上一动点，且满足，连接．补全图形，猜想并证明、、的数量关系． 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等成为解题的关键． 由发射塔到三个村庄的距离相等，即其在三边的垂直平分线的交点上，据此即可解答． 【详解】解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意； B．三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意； C．三角形高的交点为垂心，不符合题意； D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，符合题意． 故选D． 2．B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，根据垂直平分线的判定定理，逐一分析即可解题． 【详解】解： ，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． ∴不一定是等腰三角形， ∴A，C，D错误，B正确， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟练掌握该知识点是解题的关键． 由，，得到，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到结论． 【详解】解：， 而， ， ∴点在的垂直平分线上． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，由线段垂直平分线的性质推出，得到，，由三角形的外角性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：如图，点D是延长线上一点， ∵点O是各边垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的三边相等和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等边三角形的周长求出边长，再利用线段垂直平分线的性质得到线段相等，从而求出的长度． 【详解】解：∵为等边三角形，且周长为， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：． 6．B 【分析】本题主要考查尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得垂直平分，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 故选B． 7．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F， ∴，， ∴的周长是， 故选：C.． 8．B 【分析】本题考查了轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，正确找出的值最小时，点的位置是解题关键． 作点关于直线的对称点，连接，得出相等的线段，根据两点之间线段最短和垂线段最短确定点的位置，然后利用线段的和差以及含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接， 则， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点，，共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小， 即的值最小， ∵垂直平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 当的值最小时，的长为， 故选：B． 9．18 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键； 根据垂直平分线的性质可知即可得知三者相加的和． 【详解】解：∵点O为三边垂直平分线的交点 ∴ ∴ 故答案为：18 ． 10． 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握等边对等角和垂直平分线的性质是关键．根据垂直平分线的性质和等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ 故答案为： 11．3 【分析】本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形，根据中垂线的性质，得到，等边对等角结合三角形的外角的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分交于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：3． 12． 【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可推出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线与分别交于， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．28 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到为的垂直平分线． 根据作法可得，再由垂直平分线的画法可得为的垂直平分线，由此可得，再根据三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D， ∴， ∵以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 故答案为：28 ． 14．55 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：连接并延长交于G，由垂直平分线的性质可得，利用等边对等角可得，易得、，再证明可得，进而得到，由等边对等角可得，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接并延长交于G， ∵的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∴；， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 故答案为：55． 15． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角度的和差关系，掌握线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 先连接，利用垂直平分线性质得，再用证明，得，设，根据和列方程求解． 【详解】解：如图，连接，，． ，分别垂直平分，， ，， ． 在和中， ， ． 设，， 则，， ，即． 故答案为：． 16．14 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． 如图，连接，可得，从而可得，当在与的交点，即、、三点共线时，取最小值，由此可得结论． 【详解】解：如图，连接PC． ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为， 故答案为：14． 17．(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，则；由得，根据三角形内角和定理求出的度数，即可求解； （2）根据三角形的周长公式可得，推出；根据可得的周长，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∴cm， ∴， 又∵， ∴cm， ∵， ∴的周长． 18．(1)图见解析 (2)，， 【分析】（1）根据高线的作法作图即可； （2）根据垂直可得直角，再由等量代换可得，根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，由此可证明． 【详解】（1）解：以点B为圆心，长为半径画弧与交于两点， 分别以这两点为圆心以大于这两点间距离的为半径在两侧画弧相交， 连接两侧交点，必定经过B点，与相交于D点， 此时，如图， （2）证明：，， ． ， ． 在中，． ． 在与中， ． ． ， ， 即点D为的中点． 故答案为：，，． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）连接，根据全等三角形的性质得出，根据线段垂直平分线的判定可得出点在线段的垂直平分线上，同理得出点在线段的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）证明：，， ，， 又， ， ； （2）证明：连接， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 过点，的直线垂直平分线段． 20．(1) (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质可得，，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，，再结合角的和差运算可得，进而可结论． 【详解】（1）解：分别是点关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ， ， ， 的周长为； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 连接， 分别是点关于的对称点， 垂直平分垂直平分， ， ，， ， ， ， 又， ， 是等腰直角三角形． 21．(1)证明见解析 (2)的长为4 【分析】（1）运用垂直平分线的判定定理证明即可； （2）证明是等边三角形得，再证明可得到解答． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ， 点、点在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）解：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形， ． 由（1）可知垂直平分， ， ， ， ， ， ． 22．(1)的长为 (2)的度数为 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后根据的周长为进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵，分别垂直平分和， ，， ． ∵的周长为， ， ； （2）解：在中，， ， ，， ，， ． ， 即的度数为． 23．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）容易证明，则，结合对顶角相等可得，即．结合平分可证明，则，命题得证； （2）连接，由等腰三角形的性质可得垂直平分，则，由勾股定理可得，因此． 【详解】（1）证明：∵在等腰直角三角形中，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分； （2）解：如图，连接， ∵，是边的中点， ∴，即垂直平分， ∴， 由（1）可知，， 在中，， ∴． 24．(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由题意可知：，则，进而求得，由等腰三角形的性质可得，最后求得； （2）过点作，，由题意可知和都为等腰直角三角形，又因为，可得到点和点分别是和的中点，进而得出结论； （3）过点作，，由中心对称可知，，可证，可得，，由证得，得到，由证得，可得，即可求得结论． 【详解】（1）解： ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图所示，连接，过点作，， ，且为的中点， ，且和都为等腰直角三角形， 又，， 点和点分别是和的中点， 和分别是和的中垂线， 故三边的垂直平分线交于点． （3）证明：如图所示，过点作，， 线段的垂直平分线交的延长线于点， ， 点正好和点关于线段的中点对称， ，，且， ， ，， ，， ，且， ，且，， ， ，且， ， ， ，，， ， ， ， 即， 为直角三角形． 25． （1）（2）见详解；（3），证明见详解 【分析】本题考查轴对称图形，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半，掌握并熟练应用等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半等知识是解题的关键． （1）根据 “三线合一”，得平分，再根据角平分线的性质可得； （2）根据和等边三角形可得和，根据角之间的关系得到，进而得到，根据垂直平分线的判定可证垂直平分，则可证点D为中点； （3）过点F作交于点P，连接，根据等腰三角形和垂直平分线的性质，易证，则点P为中点，进而得到，再根据“直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半”，可得，，最后利用线段之间的和差关系和等量代换，可得． 【详解】（1）解：在中，，点D为中点， 平分， ，， ； 故答案为：； （2）证明： ， ， 和分别为等边三角形， ， ， ， ， 点G在的垂直平分线上， 又 点A在的垂直平分线上， 垂直平分， 点D为中点； （3）猜想：，理由如下： 如图3，过点F作交于点P，连接， 在中，，点D为中点， ，，即垂直平分， ， ， ， 又 ， 点P为中点，即， 在中，， ， 又 ，，， 在中，， ， 则， ， ， ， ． 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