11.6角平分线 同步自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.6角平分线》同步自主达标测试题，通过基础巩固、中档应用、综合探究三层设计，系统覆盖角平分线性质与判定，培养几何直观、推理能力及创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固（单选/填空）|角平分线性质、判定、尺规作图等单一知识点|图形辨析题占比60%，强化数学眼光观察能力| |中档应用（填空/解答）|性质与全等、面积计算等知识综合|结合坐标与面积计算，提升数学语言表达能力| |综合探究（解答）|动态问题、多步推理证明等跨情境应用|含3道探究性问题，发展推理意识与创新思维|

2025-2026学年鲁教版（五四制)七年级数学下册《11.6角平分线》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1.两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M,则点M一定在() B A.∠A的平分线上 B.∠ABC外角的平分线上 C.BC边的垂直平分线上 D.∠ACB外角的平分线上 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=20°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD 的度数为() 20 B 米D A.30° B.40° c.50° D.60 3.如图，△ABC中，∠BAC=90°，BC=5,AC=3,AB=4,点D是∠ABC, ∠ACB的角平分线的交点，则点D到BC的距离为() A D C A.1 B.2 C.3 D.3.5 4.如图，OM是∠AOB的平分线，点P在OM上，PC⊥OB于点C,且PC=4,如果D 是射线OA上一动点，那么PD的最小值是() A 0 D M B A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,BD=AD,E为边AB的中点，DF⊥AC于点 F,若DE=4,AC=7,则△ACD的面积为() E D A.18 B.16 c.14 D.12 6.如图，在△ABC中，∠A=72°，∠C=46°，D是AC上一点，连接BD,DE⊥AB 于点E,DF⊥BC于点F.若DE=DF,则∠DBF的度数为() A E A.20° B.25° C.31° D.35° 7.如图，在△ABC中，∠ACB>90°，△ABC的面积为18，AB=9,BD平分∠ABC E,F分别是BD,BC上的动点，则CE+EF的最小值为() B A.4 B.6 C.7 D.9 8.如图，在四边形ABCD中，∠D=∠C=90°，∠ABC的平分线与∠BAD的平分线 交于点E,且点E恰好在边CD上.若四边形ABCD的面积为40，CE=4,则AB的长为 () A B C A.9 B.10 C.12 D.26 二、填空题（满分24分） 9.点P(2m+4,m-1)在第四象限的角平分线上，则点P的坐标为 10.如图所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,若ON=5cm, 则OM长为 B M C 11.己知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,且AB=AC+CD,若 BD=5,CD=2,则AB=· D 12.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,BE⊥AD交AD的延 长线于点E,DF⊥AB交AB于点R若BF=BE,AC=4,DF=3,则AE的长为一· F B 13.如图，在△ABC中，AC=8,BC=6,AB=10.利用尺规在BA,BC上分别截取 BE,BE,使BE=BF:分别以E,F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两或在 ∠CBA内交于点G;作射线BG交AC于点D.则∠C度，AD= D 14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E, 点E刚好落在BC上，若BC=6,则点E到边AD的距离为一· D 15.如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P,作PE⊥DB于E, PF⊥AC于F,则BE+PFPB 16.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点O,BF⊥AC, 垂足为点F,现给出以下结论： ①点O在∠BAC的角平分线上： ②∠EBO-∠DCO=∠ODC-∠BEO: ③∠DBF=1 ∠ABC 4 ④若AB=3BC,则AD=3DC. 4 其中正确的是 (写出所有正确结论的序号) 三、解答题（满分72分） 17.(8分)如图，已知∠AOB,点M在射线OB上，请用尺规作图法在∠AOB的内部 找一点P,使得点P到边OA、OB的距离相等，且点P到点O和点M的距离相等.（不写 作法，保留作图痕迹) B 18.(8分)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,DE⊥AB于点 E,DF⊥BC于点F A B (1)若∠ABC=40°，∠ACB=70°，求∠BDC的度数： 2)若DE=2,BC=9,求△BCD的面积 19.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，若过点D作DF⊥AB, 垂足为F,点E在AC上，DE=BD,CE=FB. E C B D (1)求证：AD平分∠BAC; (2)请你判断AE,AF,BF之间的数量关系，并说明理由. 20.(9分)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD,BE相交于 点P,过P作PF⊥AD,交BC的延长线于点F,交AC于点H. E H D (1)求∠APB的度数： 2)△ABP与△FBP全等吗？请浇明理由： 3)若AH=5,BD=2,则AB= 21.(9分)如图1，在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD, DA⊥AB,点E在CD的延长线上，∠BAC=∠DAE. 图1 图2 (1)求证：∠BCA=∠E: (2)如图2，若∠ACD=∠E,AF是△ABC的边BC上的高，AF=2,求CE的长， 22.(10分)在△ABC中，AB=AC,在△ABC的外部作等边三角形△ACD,E为AC 的中点，连接DE并延长交BC于点F,连接BD, D A A 图1 图2 (1)如果∠BAC=100°，求∠BDF的度数： (2)连接AF,交BD于点P,如果△ABF是等腰三角形，求∠BPF的度数.（直接写出度 数) (3)在图中画出∠ACB的平分线，交AB于点M,交EF于点N,连接BN.如果BN=DN, 求证：MB=MN 23.(10分)在学习了角的平分线的性质之后，小明同学做了如下的实验：画 ∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC.把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上， 使三角尺的两条直角边分别与OA,OB相交于点E,F. 图① 图② 图③ (1)若PE⊥OA,PF⊥OB(如图①)，小明发现PE=PF,请帮小明证明： (2)把三角尺绕点P旋转至如图②所示的位置，小明发现PE与PF仍然相等，请帮小明证明； (3)聪明好学的小明接着进行了如下探究：画∠AOB=50°，并画∠AOB的平分线OC, 在OC上任取一点P,作∠EPF=130°.∠EPF的两边分别与OA,OB相交于E,F两 点（如图③），小明发现PE与PF仍然相等，请帮小明证明 24.(10分)在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，连接DE、CD,EF⊥CD于 F,且DF=CF D E E E H D B G G 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：DE=CE; (2)如图2，若∠AED=∠ABC,EG⊥BC于G,连接BE交CD于H,求证： ∠ABE=∠CBE: (3)如图3，在(2)的条件下，若BC=6CG,DH=4,求HF的长. 参考答案 1.解：如图，作射线BM,设两直角三角板中落在AB延长线的直角顶点为G,落在BC边 上的直角顶点为H, G 由题意得MG=MH,且MG⊥AB,MH⊥BC, ∴.BM平分∠GBC,即点M在∠ABC外角的平分线上. 故选：B. 2.解：，AB=AC,∠A=20, ∠ACB=180°-20°=800 2 由图中尺规作图的痕迹，可知CD平分∠ACB, :∠BCD=号∠ACB=40. 3.解：如图所示，过点D作DE、DF、DG分别垂直于AC,AB、BC,垂足分别为 E、F、G,连接AD F E D B G ,∠ABC,∠ACB的角平分线交于点D, .DE=DF=DG. SAABC=SAABD+SABD+SAACD AC.DE+AB-DF+BC.DG-AB.AC. AC+AB+BC)DG-6, .6DG=6, DG=1, ∴.点D到BC的距离为1， 故选：A. 4.解：过点P作PE⊥OA于点E, M B .OM是∠AOB的平分线，PC⊥OB,PE⊥OA, ∴.PE=PC=4, ,点D是OA上的动点， .由垂线段最短可知，当点D与点E重合时，PD有最小值，最小值为4. 故选：C 5.解：，∠BAC,BD=AD,E为边AB的中点， DE⊥AB ,AD平分∠BAC, .DF=DE=4, AC=7, =1AC×DF=14 :.SAACD2 故选：C· 6.C 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关 键.先利用三角形内角和定理可得∠ABC=62°，再利用角平分线的性质定理的逆定理 可得BD平分∠ABC,然后利用角平分线的定义进行计算即可解答 【详解】解：.·∠A=72°，∠C=46°， ∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-72°-46°=62°， .·DE⊥AB,DF⊥BC,DE=DF, ∴.BD平分∠ABC ∠DBF<ABC=}x×62-31 2 故选：C 7.A 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CE+EF的最小值转化为CP； 过点C作CP⊥AB于点P,交BD于点E,过点E作EF⊥BC于点F,则CP即为CE+EF 的最小值，再根据三角形的面积公式求出CP的长，即为CE+EF的最小值， 【详解】解：如图所示，过点C作CP⊥AB于点P,交BD于点E,过点E作EF⊥BC于 点F, ,BD平分∠ABC,CP⊥AB,EF⊥BC, .PE=EF, :.CP=CE+PE=CE+EF,此时CE+EF的值最小， ,△ABC的面积为18，AB=9, ÷x9xcp=1B。 .CP=4, 即CE+EF的最小值为4， 故选：A. 8.B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质，过点E作EF⊥AB于 点F,根据角平分线的性质得出EF=ED,EF=EC=4,证明 Rt△BEC≌Rt△BEF HL,得出SABEC=SAB,同理得出S△AD=S△AEF,根据 SAABE=S△AEr+S△BEFF 5en×40=20,5 2 =AB×EF,求出结果即可. 【详解】解：过点E作EF⊥AB于点F,如图所示： B :∠D=∠C=90°， .ED⊥AD,EC⊥BC ,AE平分∠BAD,BE平分∠ABC, ∴.EF=ED,EF=EC=4, .BE=BE, ∴.Rt△BEC≌Rt△BEF HL, ∴.SABEC=S△BEF, 同理得：Rt△AED≌Rt△AEF HL, ∴.S△AED=S△AEF, S。e=5a际+5Er5eAn号×40=20. 2 2 :SaE=号AB×EE, 2 ×奶×4=20. 解得：AB=10, 故选：B. 9.(2,-2) 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系的性质，根 2m+4>0 据点在第四象限， 则 m-1<0 根据点P在第四象限的角平分线上，则 2m+4=m-1,解出m,即可 【详解】，点P2m+4,m-1在第四象限， .2m+4>0 (m-1<0 ,点P在第四象限的角平分线上， .2m+4=m-1, .2m+4=-m-1, 解得：m=-1, .P2,-2. 故答案为：2，-2. 10.5cm/5厘米 【分析】本题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.根据角平分线 的性质即可得出结论. 【详解】解：如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M,ON⊥AB于N .∴.OM=ON .ON=5cm ∴.OM=5cm 故答案为：5cm, 时 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形判定与性质，作DM⊥AB,DN⊥AC, 垂足分别为M、N,借助面积得出AB:AC=5:2,在AB上截取AE=AC,连接DE,证出 CD=DE,列出方程并解方程即可解决. 【详解】解：作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N, A M E B .AD平分∠BAC, .DM=DN. .BD=5,CD=2, .SAADB:SAADC=5:2, 2AB·DM “AC-DN 2 .AB:AC=5:2, 在AB上截取AE=AC,连接DE, ,∠DAE=∠DAC,AD=AD, .△ADE≌△ADC, ∴CD=DE AB=AC+CD,AB=AE+BE ∴.BE=DE=CD=2 设AC=2x,则AB=5X, .2+2x=5x, 2 解得：x= ..AC= 3 :AB=AC+CD=4+2=10 故答案为： 10 3 12.8 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关 性质是解题的关键。 根据角平分线的性质可CD=DF=3,利用勾股定理求出AD,再证明 Rt△BFD≌Rt△BED,可得.DE=DF=3,即可求出AE的长. 【详解】解：，AD平分∠BAC,∠C=90°，DF⊥AB, ..CD=DF=3; ÷AD=VAC2+CD=4+3=5 .BE⊥AD .∠E=∠BFD=90°： 在Rt△BFD和Rt△BED中， BF=BE BD=BD .Rt△BFD≌Rt△BED(HL), ∴.DE=DF=3, ∴.AE=AD+DE=5+3=8. 故答案为：8。 13. 90 5 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，掌握作角平分线的方法，角 平分线的性质，勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键. 根据勾股定理的逆定理可求出△ABC是直角三角形，求出∠C=90°；过点D作 DG⊥AB,根据角平分线的性质，勾股定理可求出AD的值. 【详解】解：，AB=100,AC2=64,BC2=36, ..AB2=AC2+BC2, ∴△ABC是直角三角形， ∠C=90: 根据作图可得BD是角平分线，如图所示，过点D作DG⊥AB于点G, .DC=DG. 又BD=BD .Rt△BCD≌Rt△BGD HL, ..BC=BG=6. .AG=AB-BG=10-6=4. 设CD=DG=X,则AD=AC-CD=8-X, 在Rt△ADG中，AD=DG2+AG2, 8-x=x2+42 解得，X=3, .AD=5: 故答案为：90,5 14.3 【分析】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握以上知识点 过点E作EF⊥AD交AD于点F,根据角平分线的性质得到EF=BE,EF=CE,得到 BE=CE,然后由BC=6求解即可. 【详解】如图所示，过点E作EF⊥AD交AD于点F :∠BAD与∠ADC的平分线交于点E,EF⊥AD,∠B=∠C=90 .EF=BE,EF=CE ∴.BE=CE BC=BE+CE=6 ∴.BE=CE=3 .EF=BE=CE=3」 ∴.点E到边AD的距离为3. 故答案为：3。 15.>/大于 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形三边关系的应用，先根据角平分线的性 质得出PE=PF,再根据三角形三边关系得出BE+PE>PB,即可得出结果. 【详解】解：：AP平分∠CAD,PE⊥DB,PF⊥AC, ..PE=PF, .BE+PF=BE+PE. ..BE+PE>PB, .BE+PF>PB. 故答案为：> 16.①②④ 【分析】本题考查了三角形内角和以及角平分线的性质，根据平分线的定义得证①是正确 的：运用三角形内角和的性质列式换算，得证②是正确的：根据等面积法以及角平分线的 性质得出④是正确的，据此即可作答 【详解】解：，∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点O, .点O在∠BAC的角平分线上（三角形的三条角平分线会交于一点O) 故①是正确的： 在△EOB,△DOC中， 则∠EBO+∠BEO+∠EOB=180°=∠ODC+∠DCO+∠DOC .∵∠EOB=∠DOC ∴.∠EBO+∠BEO=∠ODC+∠DCO 则∠EBO-∠DCO=∠ODC-∠BEO 故②是正确的： ,∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点O, ∠DBA=3∠ABC ,BF⊥AC ∴.∠A+∠ABF=∠ADB+∠FBD=90 ,∠A,∠ADB的大小关系未知 .∠ABF,∠FBD的大小关系未知 则∠DBF三4上ABC不一定成立 故③是错误的： 如图：过点D分别作DN⊥AB,DM⊥BC 4 E B M :BD是∠ABC的角平分线，且DN⊥AB,DM⊥BC ∴.DN=DM :AB-子BC,Sax=号BGxMD,SmAB×ND 4 2 SASAAUD 4 Sc=DGx,Sam-DA× .AD=3DC 4 故④是正确的； 故答案为：①②④ 17.见解析 【分析】作OM的垂直平分线，∠AOB的角平分线，两线交点即为所求 【详解】解：如图，作OM的垂直平分线，∠AOB的角平分线，两线交点P即为所求. ○ B 18.(1)∠BDC=125° (2)9 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，角平分线的性质，熟练掌握角 平分线的性质，是解题的关键： (1)根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，进行求解即可 (2)角平分线的性质，得到DE=DF,再利用三角形的面积公式进行计算即可， 【详解】(1)解：，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,∠ABC=40°，∠ACB=70°， ∠DBP=3∠ABC=20,∠DCB=号∠ACB=35, .∠BDC=180°-∠DBF-∠DCF=125°： (2)解：，BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F, .DE=DF=2. SANO-BC DF=号x9x2=9. 2 19.(1)见解析 (2)AE+BF=AF,理由见解析 【分析】(1)先运用HL证明Rt△CDE≌Rt△FDB可得CD=DF,再根据角平分线的 判定定理即可证明结论： (2)先运用HL证明Rt△ACD≌Rt△AFD可得AC=AF,再根据线段的和差以及等量 代换即可证明结论 【详解】(1)证明：，DF⊥AB, .∠AFD=∠BFD=90°， .∠C=∠BFD=90°， .CE=FB,DE=BD .Rt△CDE≌Rt△FDB HL, ..CD=DF, ,∠C=∠BFD=90°， .AD平分∠BAC. (2)解：AE+BF=AF,理由如下： 在Rt△ACD与Rt△AFD中，CD=FD,AD=AD, .Rt△ACD≌Rt△AFD HL, ..AC=AF ∴.AE+EC=AC=AF, AE+BF=AF」 20.(1)135° (2)全等，理由见详解 (3)7 【分析】本题考查了解直角三角形，角平分线的定义，三角形内角和定理及全等三角形的 判定与性质. (1)利用直角三角形两锐角和为90°与角平分线定义，推导∠PAB+∠PBA的度数，再 用三角形内角和求∠APB: (2)通过角的等量关系找到全等条件，用“ASA”判定全等： (3)通过构造全等三角形，将AH、BD转化为AB上的线段，利用“线段和”求解. 【详解】(1)解：，∠ACB=90°， .∠CAB+∠CBA=90, ,AD,BE是△ABC的角平分线， ∠PAB=∠CAB,∠PBA3∠CBA, :∠PAB+∠PBA=|∠CAB+∠CBA=45, .∴∠APB=180°-45°=135°， (2)解：△ABP≌△FBP, 理由：，∠ACB=90°， ∴.∠CAB+∠CBA=90° ,AD,BE是△ABC的角平分线， ∠PAB=∠CAB,∠PBA=1∠CBA, 3 :∠PAB+∠PBA=|∠CAB+∠CBA=45°， 2 .∠APB=180°-45°=135°， .∠BPD=45°， FP⊥AD, .∠FPB=90°+45°=135， .∠APB=∠FPB, ,BE平分∠ABC, .∠ABP=∠FBP, 在△ABP和△FBP中， ∠ABP=∠FBP BP=BP ∠APB=∠FPB ∴.△ABP≌△FBPASA」 (3)解：如图，延长FP交AB于点N, ,AD平分∠BAC, ∴.∠HAP=∠NAP, 在△APH和△APN, ∠HAP=∠NAP AP=AP ∠APH=∠APN=90 ∴.△APH≌△APN ASA, .AN=AH=5, :∠APB=∠FPB,∠APN=∠FPD, .∠BPD=∠BPN, 在△BPD和△BPN中， ∠BPD=∠BPN BP=BP ∠DBP=∠NBP .△BPD≌△BPN ASA, .BN=BD=2, .AB=AN+BN=5+2=7. 故答案为：7. 21.(1)见解析 (2)CE=4 【分析】(1)先证明∠ABC=∠ADE,再证明△ABC≌△ADE(ASA),从而可得 ∠BCA=∠E; (2)先证明CA平分∠BCD,再根据角平分线的性质求出AM,然后根据 △ABC≌△ADE,得出AC=AE,从而可根据三线合一得出AM平分∠CAE,进而可 说明∠CAM=∠EAM=45°，从而可得△AMC,△AME均为等腰直角三角形，于是有 CM=AM=ME=2,从而可求得CE 【详解】(1)证明：，∠ABC+么ADC=180°，∠ADE+∠ADC=180°， .∠ABC=∠ADE 在△ABC与△ADE中， ∠BAC=∠DAE, AB=AD, ∠ABC=∠ADE, .△ABC≌△ADE(ASA) ∴.∠BCA=∠E. (2)过点A作AM⊥CE,垂足为M. M 由(1)知，∠BCA=∠E, ∠ACD=∠E, .∠ACD=∠BCA. ∴.CA平分∠BCD .AM⊥CE,AF⊥CF,AF=2, ∴.AM=AF=2 由(1)知，△ABC≌△ADE, ..AC=AE. :AM⊥CE ∴.AM平分∠CAE,∠AMC=∠AME=90°， .∠CAM=∠EAM. .DA⊥AB, .∠BAD=90°， .∠BAC=∠DAE, ∴.∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC=∠BAD=90°， .∠CAM=∠EAM=45° ,∠AMC=∠AME=90° ∴.△AMC,△AME均为等腰直角三角形， ∴.CM=AM=ME=2, ∴.CE=CM+ME=4. 【点睛】本题考查了同（等）角的余（补）角相等的应用，全等的性质和ASA(AAS)综合( ASA或者AAS),角平分线的性质定理，三线合一等知识点，解题关键是掌握上述知识 点并能运用来求解， 22.(1)∠BDF=20° 2)78或60 (3)见解析 【分析】(1)分别求出∠ADF,∠ADB,根据∠BDF=∠ADF-∠ADB计算即可； (2)设∠ACB=∠ABC=Q,根据三角形内角和求出∠BAC=180°-2a,根据垂直平 分线的性质得到AF=CF,根据等边对等角求出∠FAC=C,根据三角形内角和求出 ∠BAF=180°-3a,根据三角形外角的性质得到∠AFB=2Q,同(1)求出AD=AB, 则∠ADB=∠ABD=a-30°，根据三角形外角的性质得到∠BPF=150°-2a,根据 等腰三角形的定义分三种情况作答即可； (3)根据要求画出图形即可；设∠ACM=∠BCM=a,由AB=AC推出 ∠ABC=∠ACB=2a,可得∠NAC=∠NCA=a,∠DAN=60°+a,证明 △ABN≌△ADN|SSS,推出∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+a, ∠BAC=60°+2a,在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，构建方程 求出a,再证明∠MNB=∠MBN,即可解答. 【详解】(1)解：，△ACD是等边三角形， ∴.∠CAD=∠ADC=60°，AD=AC, .E为AC的中点， ∠ADE=7∠ADC=300, .AB=AC. .AD=AB. ∴.∠ADB=∠ABD, ,∠BAC=100°， ∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°， ·∠ADB=∠ABD=180°-160 =10°， 2 .∠BDF=∠ADF-∠ADB=30°-10°=20°： （2)解：如图1， 万 图1 设∠ACB=∠ABC=C,则∠BAC=180°-2a, 由DF垂直平分AC得AF=CF, 则∠AC=a, .∠BAF=180°-3a,∠AFB=2a, ,△ACD是等边三角形， .AD=AC,∠CAD=60 .AD=AB,∠BAD=180°-2a+60°=240°-2a ,∠ADB=∠ABD=a-30°， .∠BPF=∠ABP+∠BAP=150°-2a, ,△ABF是等腰三角形，分三种情况： 当AB=AF时，a=2Q,解得a=0,不成立； 当AB=BF时，180°-3a=2a,解得a=36°，此时∠BPF=150°-2×36°=78°： 当AF=BF时，180°-3a=c,解得Q=45°，此时∠BPF=150°-2×45°=60°： (3)解：如图2，CM是∠ACB的平分线： 图2 证明：连接AN, .CM平分∠ACB, 设∠ACM=∠BCM=a, ..AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB=a+a=2a ,△ACD是等边三角形，E为AC的中点， .DN⊥AC, .DN是AC的垂直平分线， ∴.NA=NC, ∴.∠NAC=∠NCA=a, ∴.∠DAN=60°+a, 在△ABN和△ADN中， AB=AD BN=DN AN=AN .△ABN≌△ADN SSS, .∠ABN=∠ADN=30°， ∴.∠BAN=∠DAN=60°+a, .∠BAC=60°+2a, ..AB=AC, .∠ABC=ACB=2a, ,在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°， .60°+2a+2a+2a=180°， ∴.6a=120°， .a=20°， .∠ABC=2a=40° .∠NBC=∠ABC-∠ABN=40°-30°=10° ∴.∠MNB=∠NBC+∠NCB=10°+20°=30°， :∠ABN=30 ∴.∠MNB=∠ABN, ∴.MB=MN. 23.(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】(1)由角平分线的性质可证明PE=PF: (2)作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N,根据角平分线的性质定理得PM=PN,再 证明△PME≌△PNF,可得PE=PF; (3)在OF上取一点G,使OG=OE,连接PG,先证明△POG≌△POE,可得 ∠OGP=∠OEP,PG=PE,再由同角的补角相等证明∠PGF=∠PFG,则PG=PF, 得PE=PF」 【详解】(1)证明：，OC平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB, ..PE=PE (2)证明：如图②，作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N, .OC平分∠AOB B ∴.PM=PN 图② .:∠OMP=ㄥONP=∠MON=90°， .∠MPN=90° ∠EPF=90, ∴.∠MPE=∠NPF=90°-∠EPN. 在△PME与△PNF中， ∠PME=∠PNF PM=PN ∠MPE=∠NPF .△PME≌△PNF ASA, ..PE=PF (3)证明：在OF上取一点G,使OG=OE,连接PG, A 图③ ,OC平分∠AOB, ∴.∠POG=∠POE. 又.OP=OP, .△POG≌△POESAS, .∠OGP=∠OEP,PG=PE, .∠PGF+∠OEP=∠PGF+∠OGP=180° ,:∠AOB=50°，∠EPF=130°，且∠AOB+∠EPF+∠PFG+∠OEP=360°， ∴.∠PFG+∠OEP=180°， ∴.∠PGF=∠PFG, ∴.PG=PF, ∴.PE=PF 【点睛】此题是几何变换综合题，考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等 腰三角形的判定与性质、四边形的内角和、线段相等的证明等知识与方法，解题的关键是 正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形 24.(1)见解析 (2)见解析 (3)HF=1 【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质进行证明即可： (2)证明△EMD≌△EGCAAS,推出EM=EG,再利用角平分线的性质定理解决 问题即可. (3)如图3中，过点B作BN⊥CD于N,过点E作EM⊥AB于M,过点H作HQ⊥BC 于Q,HP⊥AB于P.利用面积法证明DH:CH=2:3,求出CH,CF,可得结论 【详解】(1)证明：，EF⊥CD,DF=CF, ∴.EF垂直平分CD, ..DE=CE; (2)证明：如图，过点E作EM⊥AB于M, M .EG⊥BC .∴.∠EMD=∠EGC=90°， :∠AED+∠DEC=180°，∠AED=∠ABC, .∴.∠ABC+∠DEC=180°， .'∠ABC+∠BCE+∠DEC+∠BDE=360, .∴.∠BCE+∠BDE=180°， .'∠ADE+∠BDE=180°， ∴.∠ADE=∠BCE, 在△EMD和△EGC中， EMD=∠EGC=90° ∠ADE=∠BCE ED=EC ∴.△EMD≌△EGCAAS, .'EM=EG .EM⊥AB,EG⊥BC, .∴.BE平分∠ABC, ∴.∠ABE=∠CBE (3)解：如图，过点B作BN⊥CD于N,过点E作EM⊥AB于M,过点H作HQ⊥BC 于Q,HP⊥AB于P. M NH E ·.'△EMD≌△EGC ∴.DM=GC,EM=EG, 在Rt△BEM和Rt△BEG中 BE=BE EM=EG' .∴.Rt△BEM≌Rt△BEG HL, ∴.BM=BG, .'BC=6CG. .BD=BM-DM=BG-CG=BC-2CG=4CG, .BH平分∠ABC,HP⊥AB,HQ⊥BC, ∴.HP=HQ 55,csBD-Pnci0=4:6=2:3. SW:5AcDH-BN:CH.BN. 1 ∴.DH:CH=2:3, .DH=4, ∴.CH=6, .CD=DH+CH=4+6=10, ∴CF=1CD=5, 2 .HF=CH-CF=6-5=1.