第11章三角形的证明及其应用 同步单元自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 鲁教版七年级下册三角形证明单元卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合劳动教育（如种菜情境）与实际问题（村庄路线），适配单元复习，培养推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|直角三角形判定、角平分线性质等|第3题结合角平分线与等腰三角形判定，考查几何直观| |填空题|9/24|反证法、勾股定理逆定理等|第10题以三角形菜地面积计算，体现应用意识| |解答题|8/72|全等证明、垂直平分线、动态探究等|第25题等边三角形动态探究，分特例-拓展-推广三层次，培养创新意识|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《第11章三角形的证明及其应用》 同步单元自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．的三边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的（      ） A． B． C． D． 2．在的内部取点P，使得点P到三边的距离相等，则，，均为的（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 3．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．已知一个等腰三角形一底角的度数为，则这个等腰三角形顶角的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，于点D．于点．，交于点．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，和都是等边三角形，且、、在同一条直线上，和交于，和交于点，和交于点，下列说法，①，②，③，④，⑤，正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（满分24分） 9．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”第一步应假设_______． 10．为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，实验中学分给各班级一块地，让学生学习种菜．八（1）班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，则三角形菜地的面积是________． 11．如图，中，，，于H，若，则__________． 12．如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算______． 13．如图，D，E分别是的中点，，垂足为D，，垂足为E，交于点F，若，则__________． 14．如图，，点，则点的坐标是__________． 15．如图，P是外的一点，交BA的延长线于点D，于点E，交的延长线于点F，连接，，，若，，则的度数为______． 16．如图，在中，的平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点，于点．若 ，则的长为______． 17．如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接．则当的度数为_______时，是等腰三角形． 三、解答题（满分72分） 18．（6分）如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在的内部找一点，使得点到边的距离相等，且点到点和点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 19．（8分）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 20．（8分）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 21．（8分）如图，平分，连接，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（8分）如图，在一条东西走向的公路l的一侧有一村庄P ，村庄P与公路l原来由两条笔直小路，相连接，其中，由于某种原因， 由村庄P到A的小路无法通行，现为方便村民运输农产品与出行，新建了一条公路（A， C， B在同一条直线上） ，测得， ，． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 23．（8分）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求的度数； (2)求证：点P在线段的垂直平分线上． 24．（8分）在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接、、，且，若是等腰三角形，， (1)求证． (2)求证． 25．（10分）综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：在等边三角形中，O是边的中点，D是射线上一点（不与点C，B重合），连接，作等边三角形（点E和点C在边的同侧），连接并延长交直线于点F，连接． 【特例分析】 (1)如图1，当点D与点O重合时，与之间的数量关系是______； 【拓展探究】 (2)如图2，当点D在线段上（不与端点重合）时，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【推广应用】 (3)当点D在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 参考答案 1．D 【详解】解：A、∵，即，符合勾股定理逆定理，∴是直角三角形，故不符合题意； B、∵，∴，∴是直角三角形，故不符合题意； C、∵，∴，∵，∴，即，∴是直角三角形，故不符合题意； D、由可设，∵， ∴，解得：，∴，∴不是直角三角形，故符合题意． 2．B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据“角内一点到角两边的距离相等，则该点在角平分线上”判断即可． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴，，均为的角平分线， 故选：B． 3．A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 4．A 【分析】本题根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为即可计算出顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，已知一底角为， ∴顶角度数为． 5．C 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，关键是先由及推出为等腰直角三角形，再通过角的关系证明，从而得到． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 在和中，，，， ∴， ∴． 故选：C． 6．A 【分析】根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为． 7．D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． A、证明是等腰直角三角形得，再证明，，进而可依据“”判定和全等得，，由此得等腰直角三角形，则； B、根据可依据“”判定和全等得，据此可对该结论进行判断； C、过点D作于点H，先证明和全等得，，再根据是等腰直角三角形得，进而得，据此可对该结论进行判断； D、根据点N在上，不一定是的中点得与不一定相等，再根据和全等得，由此得与不一定相等，据此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：A、∵于点D， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，交于点N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点M， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故选项A正确； B、∵于点D， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故选项B正确； C、过点D作于点H，如图所示： ∴， ∵于点M， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项C正确； D、∵点N在上，不一定是的中点， ∴与不一定相等， ∵， ∴， ∴与不一定相等，故选项D不正确． 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． 根据等边三角形的性质得到，，，证明，即可得到，①正确；根据得到，根据及平角的定义得到，证明即可得到，②正确；根据得到，进而求出，根据三角形外角的性质得到，作交于M，交于N，根据全等三角形对应边上的高相等得到，根据角平分线的判定定理得到平分，进而求出，③正确；截取，连接，证明，得到，进而证明是等边三角形，得到，即，⑤正确；无法判断，④错误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，作交于M，交于N， ， ∴平分， ∴，③正确； 如图，截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即，⑤正确； 根据现有条件无法判断，④错误； 故选：D． 9． 在三角形的三个内角中，最多有一个锐角 【分析】反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，只需对原命题的结论进行否定即可得到假设内容. 【详解】解：用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时， 第一步应假设原命题的结论不成立，即假设在三角形的三个内角中，最多有一个锐角. 10．7.5 【分析】根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用直角三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：. 该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和. 三角形菜地的面积为． 11．6 【分析】根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．/度 【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：，， ， 由作图得：是的角平分线，是的垂直平分线， ∴， ． 13．18 【分析】连接，根据垂直平分线的判定及性质可得为等边三角形，结合图形，利用等边三角形的性质及各角之间的关系可得，由所对的直角边是斜边的一半可得，结合图形即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵点D是中点且于点D， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵点E是中点且于点E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 在中， ， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 14． 【分析】过点作，过点B作，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点F，过点B作，交的延长线于点E． ∵点， ， ． ， ． 又， ． 又， ， ，， ， ∴点B的坐标为． 15．/74度 【分析】由，，，，可得，分别平分，，则，，则由，可得． 【详解】解：∵，，，， ∴，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 16． 【分析】连接、，根据角平分线的性质可得，根据线段垂直平分线的性质可得，利用 证明 ，得到，再证明 ，得到，即得，最后根据线段的和差关系解答即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 在 和中， ， ， ， ， ， ， ． 17． 或或 【分析】先证和为等边三角形，用证，推导出的三个内角，再分三种等腰情况列方程，求出的度数为、或． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ 即：， 在和中， ∴， ∴， ∵ ∴， ， 由三角形内角和得： 等腰三角形，分三种情况： 若：则，即，解得； 若：则，即，解得； 若：则，即，解得 综上，的度数为、或． 18．见解析 【分析】作的垂直平分线，的角平分线，两线交点即为所求. 【详解】解：如图，作的垂直平分线，的角平分线，两线交点即为所求. 19．(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴． （2）解：； 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 20．(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 21．(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）作交的延长线于点F，根据角平分线的性质定理证明，再证， ，即可证明； （2）由 得，再证 ，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作交的延长线于点F， ，，平分， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）解： ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 22．(1)是；理由见解析 (2)原来的路线的长为 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，得出，根据垂线段最短，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：是；理由如下： 在中， ∵，， ， 是直角三角形， ， ∵垂线段最短， ∴是从村庄P到l的最近路线； （2）解：设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 答：原来的路线的长为． 23．(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据线段垂直平分线的性质可得，则有，进而问题可求解； （2）连接、、，由题意易得，然后问题可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接、、， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 24．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质即可得出结论； （2）通过论证可得，结合 ，，即可得出结论. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴. 25．(1) (2)成立，理由见解析 (3)或或 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，求出和，即可得到结论； （2）根据等边三角形得到，证明，得到，证明，得到，即可得到结论； （3）分当点在线段上时，当点在线段上时，当点在线段的延长线上时三种情况进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 等边，点是的中点， ， 等边， ， ， ， ， ； （2）证明：上述结论仍然成立，证明如下： 和是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ； （3）解：①当点在线段上时，连接， 是等边三角形， ， 点是的中点， ， ， 由（2）同理知：， ； ②当点在线段上时， 由①知， 由（2）知， ， ； ③当点在线段的延长线上时，连接， 由①知， 由（2）知， ， ； 学科网（北京）股份有限公司 $