Hello, 各位同学，我是高中数学汤圆老师。那么这节视频课我们要讲的是导数的几何意义，也就是切线方程。但是我们是讲解的是切点或斜率已知的情况，相对来说比较基础。首先我们要先明白一个问题，就是对于这个导数来说，FX在X0这1处的导数值等于什么？它其实所等价的就是指FX在什么呢？在这个X等于X0这1处的切线的斜率。好，这个是大家必须要明白的，知道吧？所以我们导数最重要的一个作用就是我们可以求FX任意一点处切线斜率它到底是多少。好，既然我们知道这个几何意义之后，那切线方程如何去进行求解呢？在这里比方说如果说让我们去求解X0FX0这一处的切线方程，那首先我们第一步应该干嘛？应该先求导。那么求完导之后，第二步计算斜率，也就是说K就等于F1撇X0，那么斜率有了，点也有了。最后我们直接通过点斜式，也就是Y减去FX0等于F1撇X0再乘上X减X0，那么我们就可以把这个是切线的方程给它计算出来。好，就这三个步骤没有特别复杂的东西，所以本节课就抓住偶数的几何意义，就是这一点处的切线斜率的这样一个值就可以了。好，那接下来我们直接来看题目。首先看例一这个问题，他说FX图像在P点，也就是2Y这一处的切线是L让我们算F2和F1P2是多少。首先我们先看这个F1P2，F1P2说白了就是指这条切线的斜率。那么对于这条切线来说，它经过04这个点，也经过40这个点，所以它的斜率其实可以口算出来，就应该等于负一对不对？而且这个切线的方程我们其实也可以去计算出来的。那么这个切线方程其实就是X加Y等于四呗，对吧？X加Y等于4。好，那现在大家请看F1撇2，那不就应该是这一点处切线的斜率吗？因为这条直线就是我们这个FXP点这一处的切线方程。好，那现在F1撇二等于负一之后，那这里的二是多少呢？因为FX的表达式没有，但是切点不光在这个曲线上，也在直线上。所以我们只需要令X等于2，就可以把这个纵坐标算出来了。所以纵坐标Y就等于多少？等于2，所以最后2加负一等于几？等于一。答案选择D选项非常简单。我们再来看下边这个曲线，Y等于3分之1，X3次方减去2X加3，再点13分之4处的切线的倾斜角是多少？那你要算切线倾斜角，那我不就需要知道这个切线的斜率，对不对？根据几何意义，首先我们先求导，Y一撇等于X平方减去2对吧？我们为了要去计算斜率K它就应该等于导函数在X等于一这一处的这样一个值。那么我们直接把一代入的话，它就是一减2等于-1-1等于tangent阿尔法。因为对于倾斜角来说，它的范围是在零到派左闭右开这个区间。那tangent阿法等于负一的话，你这个阿尔法等于多少？只能是4分之3派，所以答案选择D选项。这个也过。我们再来看例三这个问题，曲线FX等于X平方乘上ln x加一减去2分之1X在它的图像在EFE处的切线斜率是多少？好，又是老生常谈的问题。先求导FEPX等于前面的导数2X乘上ln x然后再加上后边的导数乘上X平方，那么一是常数就没有了，最后再减去一个2分之1就可以了。所以FEPX就是2X乘上ln x加上X最后再减去2分之1。那在这里为了要算这个斜率的话，K就等于什么？F1撇E对不对？K等于F1撇E的话，我们把E带进去，那就是2E加E再减去一个2分之1，所以最终的结果就是3E减去2分之1，这不就可以了吗？也非常简单。所以已知切点或者说已知斜率的问题，其实都是非常简单的问题。我们再来看一下例四这个问题，他说曲线Y等于X43次方加AX在X等于一处的切线与直线Y等于4X加3平行。那请想一下，既然与这条直线平行，那不就说明什么？说明在X等于一这一处，它的切线斜率不就是4，对吧？因为在我们这个坐标系当中，两条直线平行斜率必然是相等。所以接下来我们直接算Y1撇等于3，X平方加上一个A现在我们直接把X等于一代入，那我们得到3加A等于4，所以A等于一好也非常简单，不做过多解释。例五这个问题，已知曲线FX等于E的X次方除以X加A在X等于一这一处的切线斜率等于4分之1，问我们A等于多少？好，同样的我们先求导F1撇X等于上边的导数E的X次方乘上X加A然后再加上下，再减去下边的导数一乘上E的X次方，底下再除以X加A整体的平方。那么现在我们只需要把一给它代入F1撇一等于E乘上一加A再减去一个E底下就是一加A整体的什么平方。好，那现在化简完之后，它的结果就是A乘上一，底下再除以一加A整体的平方。现在它等于多少？等于4分之1对吧？那等于4分之1的话，那大家请看你这个A其实就可以求解出来了，是不是？那A是多少？大家请看A明显就是一，口算都可以计算出最终的这样一个结果，是不是？但是我们来计算一下，4A等于这个一加A整体的平方，所以A方减2A再加一等于0，所以我们可以得到A减一整体平方等于0，所以A等于一结束。好，再来看下边这个问题。例6，若曲线Y等于X3次方减X平方，在点P处的切线L与Y等于负，X垂直。如果说与这条直线垂直的话，说明这个切线的斜率等于一。因为两条相互垂直的线，它们的斜率之积等于负一对吧？好，所以在这里我们来看一下这个切线L的方程是多少。首先我们先对它进行求导，Y一撇等于3X平方，再减去一个2X关键是这个P点的横纵坐标是多少。现在我们既然知道在这个P点这一处切线斜率是一，那我直接令导函数等于一不就可以了吗？我们不就可以把这个横坐标算出来了吗？所以就是3X平方减去2X再减一等于0，因式分解1乘3-1乘一交叉相乘再相加正好是中间的-2。所以最后我们可以得出X减1乘上3X加一等于0。所以最后我们可以计算出来X等于一或者是X等于-3分之1，对不对？那现在你既然有两个值的话，那最终的情况也是有两个，对不对？好，首先我们先算X等于一的情况，如果X等于一的时候，此时这个Y它就应该等于0，对不对？Y就应该等于0。好，那么我们直接使用点斜式Y减0等于一再乘上X减1。所以第一条它的这个切线方程就是Y等于X减1。那么第二个就是X等于-3分之1的时候，此时对于Y来说，它就是负的27分之1，再减去一个9分之1，所以这个结果就是负的27分之4对吧？那坐标我们算完之后，接下来我们直接怎么办？直接使用点斜式Y减去负的27分之4，那就是Y加上27分之4等于这个一乘上X减-3分之1，那就是X加3分之1。所以最后这个结果就是Y等于X这个3分之1是27分之27分之9对吧？那么27分之9减掉这个27分之4，还剩下27分之5，所以最终的答案两个。好，例六也比较简单。那么各位同学我们再来看一下例7，这是一道高考题，这是高考压轴题的第一小问。所以我跟大家说一个问题，就算碰到压轴题你也不要怕，最起码有一半的分你是可以得到的。你就好比这个问题，他说函数对吧？FX表达式已经给了大家A倍的E的X减1次方减去ln x加ln a当A等于E的时候，求曲线Y等于FX在1F1处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积是多少。首先我们先把A等于E代入，对于FX来说，它就变成了E的X次方减去ln x再加上一个一好。那么得到这样一个函数之后，先求导，F1撇X等于E的X次方减去X分之一。我们先算斜率，F1撇一就等于一减一对不对？这就是斜率。我们再把纵坐标算出来，F1它就等于1加1，对吧？F1就等于1加1。现在我们直接使用点斜式Y减去1加1等于一减一再乘上一个X减一好，那么现在大家请看Y就等于1减1倍的X减去这个一减一再加上一个一加1，所以最后我们得出Y就等于1减1倍的X减一加一没有了，加一再加一那就是加2，那横纵坐标不就可以算了吧，是不是？我们首先先令X等于0，那在这里我们得出Y等于2。好，这是第一个坐标，这个坐标就是02。然后我们再令Y等于0，我们令Y等于零之后，我们可以得出一减1乘上X等于-2。所以在这里X就等于2除以1减1，那明显是一个什么？是不是一个负值对吧？所以最后你这个围成的三角形面积S那就是2分之1底乘高，那就是2分之1乘2，再乘上一个2除以一一减一的绝对值，那不就是一减1，对吧？好，所以最终的结果就是2除以一减一好结束也非常简单，对不对？好，再接着看下边的例八这个问题。好，相对来说这个题目它可能就是在切线的基础之上考察了一些三角函数的知识，也不是说特别难。大家请看啊，他说直线L与曲线Y等于sine x相切于A点，这个A点就是阿尔法sine阿尔法。阿尔法是在0到2分之派，并且直线与曲线Y等于sine x图像交于点BB点的坐标是贝塔sine贝塔。若阿尔法减贝塔等于派，则tangent阿尔法等于多少？好，为了方便大家理解，我们给大家画出这个三角函数的图像。好，我们来画一下，大家在画图的时候一定要画标准，一定要像汤圆老师这样画的非常标准。那么我们画出这个一个周期的图像之后，比方说我们先画出这个什么切线可以吧？那在这里切点我们是知道的，也就是说在这里这个点就是阿尔法sine阿尔法与这个曲线交于另外一个点，这个点就是点BB点的坐标就是贝塔sine贝塔。好，这个是A点，这个是B点。首先大家请看，我们在算这条直线斜率的时候，我们首先可以通过什么定义法。也就是说你两个坐标都知道了，那么我们直接使用两个点的坐标把这个斜率算出来。最终它可以表示成sine阿尔法减去sine贝塔，底下再除以阿尔法减贝塔，阿尔法减贝塔正好就是趴好，这是第一种方式，我们算这个斜率。第二种方式我们算这个斜率的话，可以通过求导的方式。比方说在这里我们对Y求导，Y一撇就是cosine x所以在这里斜率也等于cos阿尔法对吧？好，那接下来你看tine阿尔法怎么算，那不就涉及到的是三角函数的知识吗？我们首先把派乘过去sine阿尔法减去这里的贝塔，我们把它换成什么？换成这个阿尔法减派，那就是sine阿尔法减去sine阿尔法减派等于派倍的cosine阿尔法。接下来我们可以使用诱导公式，首先sine阿尔法减派就是负的sine派减阿尔法，对吧？那sine派减阿尔法正好就是sine阿尔法。所以左边你化简出来的结果就是两倍sine阿尔法，那右边就是派乘上cosine阿尔法。所以最终三琴阿尔法等于多少？等于二分之派结束。所以大家请看也不难，是不是？好，我们再来看最后一个问题，这个问题难度就稍微有点大了。大家请看已知函数FX等于E的X次方加上AX平方A除以2，若曲线Y等于FX在点P这一处的切线为L若直线L在Y轴上截距小于一则实数A的取值范围是多少？那你甭管三七二十一，直线L的方程你必须要算出来。所以首先我们先把这个FM先给它表示出来，那你最起码纵坐标要有，对不对？FM就是E的M次方加上AM平方，然后我们还要算斜率。那你对它求导之后，F1撇X就是E的X次方再加上2AX好，E的X次方加上2AX所以对于这条直线的斜率来说，K就是E的M次方，再加上2AM对吧？点斜式不就可以把直线方程算出来了吗？Y减去E的M次方再加上一个AM平方等于E的M次方，加上2AM再乘上一个X减去这个M对吧？你方程有了你为了要算Y轴上的截距，那么我们只需要令X等于零就可以了。我们一旦令X等于零之后，这里的Y它就等于负ME的M次方减去2AM平方，加上E的M次方，再加上AM平方。所以化简完之后，这个截距Y它就应该是负的E负M乘上E的M次方加上E的M次方，最后再减去AM平方就可以了。你看这道题他说了这个截距要小于一，什么问题？也就是说当我这个M大于一的时候，我不管A取什么值，我这个截距都小于一。那最终它是不是就相当于变成了一个什么？叫做恒成立的问题，对不对？我们可以把M看成是什么？变量，A看成是参数，那最终就变成了这个表答是恒小于一。那么关于恒成立的问题，我觉得最好的一个方式，你可以通过分餐去进行求解。大家请看，现在不就变成了AM平方大于负M乘上E的M次方，加上E的M次方再减1。那也就是说A大于好，把这个M平方除过去，负M乘上E的M次方加上E的M次方减1，底下再除以M平方不就可以了吗？那A大于右边这个表达式，我们只需要大于右边这个表达式的最大值就可以了。好，我们假设令右边这个M的表达式叫做GM。但是我跟大家说一个问题，如果说大家直接通过导数的方式去求它在一到正无穷上的最大值非常难求。那么在这里有一个小小的技巧，这个技巧是什么呢？我们首先看一下，对于这个GM来说，我们来看一下上边这个分子，上面这个分子是负M乘上E的M次方对吧？然后加上E的M次方，那我不妨把这个E的M次方提取出来，剩下的就是一减M然后再减去一个一，底下是M平方。那么我们想一下，对于这道题来说，E的M次方乘上一减M如果说这边要是能有一个M平方就好了，为什么？因为如果说一旦有一个M平方的话，M平方减1，你进行因式分解，它可以分解出M加1M减1，那我还可以再去进行因式分解，对不对？所以怎么办？所以在这里我们可以这样。好，有人说老师你是怎么想到的？好，我跟大家说我也不是一蹴而就，为什么呢？因为我一开始在算GM它的这个最值的时候不好算，所以我才想到了这个方法。我们现在令HM我直接把整个表达式加上一个一。我加上一个一之后，好，大家请看，这不就相当于分子上加上了一个M平方。那也就是说上边变成了E的M次方乘上一减M然后加上M平方再减1。我们把上边这个表达式因式分解，一的M次方乘上一减M再加上一个M加1乘以M减1，最后底下再除以这个M平方。所以现在我们上边再提取出来一个一减M就好了。我们提取出来一个一减M之后，前边剩下一个E的M次方，后边剩下的就是负M再减1，现在底下我们再除以这个M平方。好，那么大家请看你这里不是M大于一，你M大于一的话，那一减M是不是一定就是一个小于零的数，对不对？那么后边这个部分E的M次方减M再减1，它怎么办呢？好，如果说大家是第一次接触的话，我跟大家说有一个叫做切线放缩不等式，大家是必须要知道的。这个切线放缩不等式就是E的X次方大于等于X加1，E的X次方大于等于X加1，为什么呢？很简单，如果说我们把这个E的X次方的图像画出来，这个图大概是这个样子单调递增好，大概是这个样子单调递增好，渐进线是X轴，那这个X加一它的图像是什么呢？它的图像正好与E的X次方相切于零一这个点正好相切于零一这个点。所以E的X次方的函数图像永远都在Y等于X加一的上方。所以E的X次方大于等于X加1，而且在X等于0的时候取得等号。那么如果说你要去证明的话，也很好证明。我们直接令FX等于E的X次方减X再减1，那么斐一撇X它就等于E的X4次方减1，直接令它等于0。我们可以算出X等于0，那么E的X4次方减1。大家请想这个函数图像是不是应该是这个样子，单调递增对不对？与X轴交于原点对吧？零的左边是负值，零的右边是正值。所以在负无穷到0的时候，斐一撇X小于0，斐一撇X小于0，那就说明斐X单调递减。那么在零到正无穷的时候，匪撇X大于0，那就说明斐X单调递增。那么先减再增大，家想想最小值是不是就在零处取得，所以斐X的最小值就等于斐0，而斐零就等于1减0，再减一等于0。你最小值都算出来了，那不就说明E的X次方减X减一大于等于0。所以最后我们可以得出E的X4次方大于等于X加一这个切线放缩不等式哎也就算出来了，各位同学能明白吧？所以在这里大家请看E的M次方减M再减1，它一定是一个大于等于0的表达式。但是因为你这里的M是大于一的，它取不到0，那就说明什么？那就说明E的M次方减M减1，它是大于零的，它不能等于0。好，现在大家请看这个是负的，这个是正的，底下也是正的。所以对于HM来说，HM也就是GM再加1，它一定是小于零的表达式。它既然是小于零的那就说明GM小于负一。那么GM小于负一，它有最大的界限负一，但是它没有最大值，对不对？所以对于这里的A来说，A只需要大于等于最大的界限就可以了。所以最终A的范围A大于等于负一。这道题答案选择B选项。好，各位同学看明白了吗？那么有关于这个切线方程当中已知切点或斜率的问题，我们暂时就讲到这里。基本上就这么多题目，大家也看到了，整体的难度不是特别大。也就最后这个例子稍微难那么一丢丢。大家可以在我讲解完之后，自己再去尝试做一下。好，最后感谢各位同学的观看，我是高中数学汤圆老师，后续持续给大家带来精品好课。