Hello, 各位同学，我是高中数学汤圆老师。那么这节视频课我们要讲的是切线应用当中曲线上的点到定直线，或者是说到定点距离，它的最大值最小值的问题。在这里我们首先强调一下，第一个就是曲线上的点到定点的距离。那么如何去算出它的最大值、最小值？其实在这里我们只需要去使用两点之间的距离公式就可以了。比方说如果说给了大家一个函数Y等于FX那么现在如果说让我们去计算Y等于FX这个曲线上到什么呢？P点X0Y0这个定点之间距离什么时候最大，什么时候最小的话，那么我们最终可以把它转换成一个函数的思想去进行求解。在这里我们其实可以假设这个曲线上的动点叫做X一以及什么FX一好，那么接下来我们怎么办呢？我们只需要使用两点间距离公式D它的平方是不是应该等于X1减去X0它的平方，然后再加上FX1减去Y零这个东西的平方。因为在这里，大家请想X0Y0肯定是一个常数，题目当中一定会告诉你的。所以我们只需要把接下来这个D平方的这个表达式看成一个关于X1的函数，求这个函数的最大值最小值就可以了。好，这是一个。第二个问题，就是曲线上的点到并直线的距离什么时候最大，什么时候最小。那么在这里我们就可以通过数形结合的思想，利用平移去计算出两个平行线之间的距离就可以了。好，为什么呢？大家请看我画一个图。首先比方说有这样一条曲线，好，这个曲线大概是这个样子的那如果说他要去计算曲线上的点到这样一条定直线之间的距离怎么办呢？我们就可以把这条直线去进行平移，平移到与我们这个曲线相切的时候。那么一旦平移到与这个曲线相切的时候，此时两条平行线之间的距离就是什么？就是我们这个曲线上的点到我们这个定直线最短的距离。那么此时这个点就应该是这个切点，我们假设叫做P点就OK了。好，各位同学能明白了吧？那么接下来我们直接来看问题。首先大家请看第一个题目，它说M点是10，N点是这个曲线上的点。问我们MN的最小值是多少？那他所考察的就是曲线上的点到定点之间距离最大最小的问题。所以在这里我们不妨假设这个曲线上的点叫做M点以及E的M次方。横坐标是M纵坐标就是E的M次方。那接下来大家请看MN的最小值，对吧？好，那么我们使用两点之间的距离公式。在这里我们直接把这个距离给它平方，我们不要这个根号，那现在D平方它就应该等于M减一这个东西的平方，再加上E的2M次方。大家现在请看，对于这个距离来说，最终它是不是就变成了一个关于M的这样一个函数。那么我们不妨假设这个函数叫做FM好，现在我们把FM给它化简一下，FM最终就等于E的2M次方加上一个M平方，减去2M再加上一个一。现在对它进行求导，F1撇M等于两倍的E的2M次方，再加上一个2M再减去一个二。现在大家请看，对这个导函数F1撇M来说，两倍的E的2M次方是单增的，2M也是单增的。所以F1撇M它本质上就是一个单调递增的函数。那它既然是单调递增的函数，大家再请看一个问题，F1撇零是不是正好等于2加0，再减二等于0，对不对？那说明什么问题？说明我们把这个FEPM的图像大致给大家画一下，反正是单调递增与我们这个横轴的交点，它的这个坐标一定是什么？在零这一处，零的左边是负值，零的右边是正值。那就说明对于FM来说，负无穷到零它一定是单调递减的，零到正无穷它一定是单调递增的。那么先减再增说明它就有最小值，最小值在哪里取？一定是在零这一处取得。所以最终对于FM来说，它的最小值就是在零处取得。那么我们直接把零带进去。好，F0等于多少？等于1加0减0再加一等于2，对不对？好，但是这个结果不是最终的结果，因为我们现在算的是D平方的最小值。那最终你要算这个D的最小值的话，开个根号不就可以了，所以最终MN的最小值就应该是B选项根号2。好，各位同学应该听明白了吧？好，这样一个思路其实并不是特别难，但是要求大家在这个计算最值的过程当中不要出错。那么我们再来看第二个问题，第二个问题就属于到定值线的问题了。他说曲线Y等于ln 2X减一上的点，到这个直线2X减Y加三等于0，它的最短距离是多少？首先我们可以先大致画一下ln 2X减一的图像，它明显是一个单调递增的函数，对不对？好，我们大致画一下，它既然是一个单调递增的函数，那对于这个2X减Y加3来说，它其实就是Y等于2X加3好Y等于2X加3的话是一个单调递增的这样一条直线。那按照我们刚刚的这样一个思想，我们怎么办？我们把这条直线去进行平移，平移到与我们这个曲线相切。那么平移到相切的时候，大家请看一个问题，两条平行线之间的距离就应该是曲线上的点到这条直线的什么最短距离，而且这个点就应该是这个切点，对不对？那现在的问题就来了，就是我们如何去计算出这条切线的方程，成为了最主要的一个目标。那怎么计算呢？其实很简单，你们想一下这条切线它的斜率其实已经知道了，那不就是K等于二吗？那既然是K等于二的话，好，那现在我们对这个曲线去进行求导。首先大家请看Y等于ln 2X减1，它是一个复合函数内函数T等于2X再减1，Y函数就是Y等于ln t现在内函数求完导之后的结果就是2Y函数求完导之后的结果就是T分之一。然后把两者相乘之后，最终Y一撇就应该是T分之2。但是我们要把T再换成X所以最终的结果就是2X减1分之2。那现在我们直接令导函数等于二就可以了。那么令导函数等于二之后，好，大家请看现在是不是可以把X解出来。那么我们就可以得到2X减一等于一，所以这里的X就等于一。那么X等于一之后，Y等于多少？那Y不就自然而然等于零了吗？也就是说说明这个切点的坐标其实就是什么？10对不对？那切点的坐标是10，其实我们都没有必要去计算这个切线的方程了。我们直接使用点到直线的距离公式不就可以了，对不对？我们要算的就是这个切点到这条直线的距离。好，那接下来我们一起来算一下D它就应该等于首先把10代入，那就是2加3，底下再除以根号下这个二的平方再加一的平方，那就再除以一个根号5。所以最终的结果就是根号五好，各位同学看明白了吗？所以对于这种曲线上的点到定直线距离问题的时候，我们采用这种数形结合平移的思想就可以给它做出来。所以这道题答案选择A选项。我们再接着来看最后一个问题，相对来说，最后一个问题就比前面两个稍微复杂一点，它毕竟作为一个小题的压轴题。我们来看一下，他说实数AB满足2A方减去五倍log a减B等于0，其中C属于R问我们这个根号下A减C的平方加上一个B加C的平方，它的最小值是多少？在这里有很多同学看到这道题无从下手。其实你们首先想一个问题，我黄色笔所标注的这个部分长得像什么东西？他长得是不是就像距离，对不对？所以在这里我们可以把这个东西给它改写一下，我们把它写成什么呢？首先A减C的平方我们不动它，后边我们把它写成B减去负C整体的平方。为什么我们要这么写？因为我们要想把这个公式往两点间距离公式这样一个几何意义上去凑。那么大家请看我一旦这么写完之后，它就相当于是AB这个点与什么C负C这个点两点之间连线所形成的距离。首先对于AB来说，它肯定是一个动点，那么AB所满足的关系是在这里。也就是说我们可以把AB看成是一个函数，也就是说B现在就等于2A方减去五倍ln a如果说你还看不明白的话，那么现在我们可以把它看成是Y等于2X平方减去五倍的ln x好，那对于AB这个点来说，它就一定在这个函数图像上。那对于这个C负C而言，大家请想它是不是一定就在Y等于负X这样一条直线上，对不对？所以最终的问题是不是就转换成了这个曲线上的任意一个点到我们这条直线的距离。但是我们要算的是什么？最小值对不对？好，那怎么办？来我们随便画一个图，我们直接把这个曲线给它画出来。好，你不用画的特别标准，我们只要能了解清楚它其中的大概意思就可以了。那现在对于这个Y等于负。X来说，我把这个图重新画一下，对于这个Y等于负X来说，它就是一个经过原点的这样一条直线。那现在我们再去使用平移的方式来平移到这条直线与这个曲线相切的这样一种情况。好，我们把它平移到相切的情况，最终这个距离的最小值就是两个平行线之间的这样一个什么距离，对不对？好，大家请看你在平移的过程当中，斜率是不会发生任何改变的，那么这条切线的斜率仍然是等于负一。那现在我们直接对这个函数去进行求导，我们把这个什么横坐标，也就是说切点的横坐标给它计算出来不就可以了吗？好，那现在我们对它进行求导，Y一撇就等于4X再减去一个X分之5，我们直接令它等于负一好，没有问题。那现在怎么办？解这个方程，4X平方减去一个五等于负X所以我们得出4X平方加上一个X再减去一个五等于0，对不对？那对于这样一个东西来说，我们直接因式分解不就可以了吗？1乘4，这里我们就把它分解成负一再乘上一个五，交叉相乘再相加，正好是中间的正一。所以最终它可以分解成X减一再乘上4X加五等于0。但是大家要明白一个问题，对于这个函数来说，大家请看这个函数的定义域一定是X大于零的，所以你这个X肯定不能取负值。那也就是说这里X只能等于几？只能等于一。那么X等于一的话，Y等于多少呢？我们再来算一下，Y就等于2减0等于2，所以切点的坐标就是12。切点的坐标算出来之后，其实我们最终只要去计算这个切点到这条直线的距离不就可以了吗？那么我们直接使用什么？这个点到直线的距离公式，这个Y等于负X我们把它改写一下，写成X加Y等于0。所以最终D它就应该等于这里1加2，底下再除以根号2就可以了。所以最终的结果就变成三比上根号2，答案就是2分之3倍根号2，所以最终答案选择C选项。各位同学听明白了吗？好，所以大家请看啊，通过我们三个题目，我们就轻轻松松把这个问题给解决了。最后稍微做一个总结，如果说算的是到定点的距离，我们直接使用两点间距离公式转换成一个函数求最大值最小值的过程。如果说是到定直线怎么办？通过平移蒜切点到原有的这样一条直线的距离，那么这个距离就是最小值。好，本节课所有的内容到此就结束了。最后感谢各位同学的观看，我是高中数学汤圆老师，后续持续给大家带来精品好课。