精品解析：2026年浙江省金华市金东区初中学业水平考试适应性监测数学试卷

2026年初中学业水平考试适应性监测 数学试题卷 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，考试时间120分钟，满分120分． 2．答题前，请在答题卷的相应区域内填写、班级、姓名、考场号、座位号、以及准考证号等． 3．不能使用计算器． 4．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，注意试题序号与答题序号相对应． 卷 Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. 2026 C. D. 2. 金漪湖、金满湖、金澧湖，“三大湖”各具特色的玩法，让金东成为周边城市游客“微度假”的高频目的地。据统计，五一假期期间，全区全域旅游接待人次，同比增长，增速全市第一，数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在我国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点在反比例函数 的图像上，则k的值为 （ ） A. 6 B. C. D. 6. 我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，的值等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在五边形中，，，若已知五边形面积的情况下，要求阴影五角星的面积，只需知道下列哪个三角形的面积（ ） A. B. C. D. 卷 Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则a的取值范围是______． 12. 因式分解：____． 13. 随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包”的概率为________． 14. 如图，在菱形中，，点在边的延长线上，连接，交于点，连结，若，则__________（用含的式子表示）． 15. 如图，直线，直线交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，交于点、，若，，则的长为____________． 16. 如图，正方形的边长为4，点是正方形内一点，，点是的中点，当的值取最小时，的长为__________． 三、解答题（17～21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，为边上一点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 20. 近年来，各校积极响应教育部提出的“健康第一”理念，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．某校为了解九年级学生的近视率，在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题： 九年级部分学生视力情况频数分布表 分组 视力 频数 （1）本次调查的样本容量是______，组视力在扇形统计图中对应的圆心角度数为______． （2）此次抽样调查中，视力的中位数落在______组． （3）文件《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》中规定：裸眼视力大于为视力正常．已知该校九年级共有名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数． 21. 古希腊数学家丢番图（公元年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《原本》中，形如关于的方程图解法是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． （1）若，，求图中线段的长，并验证的长是方程的一个根． （2）小利同学在探究中发现：当，存在某种数量关系时，用该图解法解得方程的解是的倍，请你求出，间的这个数量关系． 22. 4月19日，2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松举行，上演了一场“人机大战”，如图1，102支赛队和万名跑者同场参赛，全程为21公里，小明和机器人“逍遥”一起参赛，因赛前临时检修，机器人“逍遥”比小明晚出发了小时，追上小明后休息了一段时间，继续以相同的速度跑步，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图2所示． （1）分别求出机器人“逍遥”和小明跑步的速度． （2）求图2中线段所在直线的函数表达式． （3）当机器人“逍遥”第二次追上小明时，他们距离终点的路程是多少？ 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）． （2）无论取任何实数，抛物线都经过一个定点，求该定点的坐标． （3）已知点和，若线段与抛物线只有一个交点，求的取值范围． 24. 如图1，是四边形的外接圆，． （1）求证：． （2）如图2，连接并延长，交于点，点关于的对称点落在上，连接、分别交于点、，已知的半径为5，，． ①求的面积． ②求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试适应性监测 数学试题卷 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，考试时间120分钟，满分120分． 2．答题前，请在答题卷的相应区域内填写、班级、姓名、考场号、座位号、以及准考证号等． 3．不能使用计算器． 4．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，注意试题序号与答题序号相对应． 卷 Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. 2026 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义直接推导即可得到结果． 【详解】解：∵相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 2. 金漪湖、金满湖、金澧湖，“三大湖”各具特色的玩法，让金东成为周边城市游客“微度假”的高频目的地。据统计，五一假期期间，全区全域旅游接待人次，同比增长，增速全市第一，数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：用科学记数法可表示为． 3. 在我国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵该立体图形是鼓，其侧面轮廓为向外凸出的曲线，上下底面互相平行， ∴从左面观察该立体图形，看到的图形上下边缘为水平线段，左右边缘为向外凸出的曲线，  ∴选项符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 若点在反比例函数 的图像上，则k的值为 （ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图像上的点的横纵坐标之积为，计算即可. 【详解】解：. 6. 我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，的值等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意易得，，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意可知： ①，②， 由①可知：，由②可知：， 把代入得：， ∴． 7. 如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由切线的性质定理可得，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8. 如图，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴． 9. 已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，利用开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较三个点的距离即可得到结果． 【详解】解：抛物线解析式为，其中二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 三个点的横坐标到对称轴的距离为：，，， ， ． 10. 如图，在五边形中，，，若已知五边形面积的情况下，要求阴影五角星的面积，只需知道下列哪个三角形的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线间的距离相等可得，然后根据面积的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴ ∴， ∴要求阴影五角星的面积，只需知道的面积即可． 卷 Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不等于零，即可求解． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 12. 因式分解：____． 【答案】． 【解析】 【分析】直接运用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式是解题关键． 13. 随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包”的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率计算. 根据概率公式计算即可. 【详解】解：∵小赵选择AI软件，一共有种等可能的结果，其中选择“豆包”的结果有种， ∴小赵选择“豆包”的概率为. 14. 如图，在菱形中，，点在边的延长线上，连接，交于点，连结，若，则__________（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，则有，然后根据三角形内角和及外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15. 如图，直线，直线交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，交于点、，若，，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由题意易得，，然后根据平行线的性质及圆周角定理可得，进而根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的长为． 16. 如图，正方形的边长为4，点是正方形内一点，，点是的中点，当的值取最小时，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点M，连接，由题意易得，则有，，然后可得，则有，根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当点A、E、M三点共线时取最小值，如图，过点E作，进而问题可求解． 【详解】解：取的中点M，连接，如图所示： ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， ∴，， ∵，点是的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当点A、E、M三点共线时取最小值，如图，过点E作， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（17～21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据完全平方公式，单项式乘多项式法则进行展开，再合并同类项，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在中，为边上一点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 20. 近年来，各校积极响应教育部提出的“健康第一”理念，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．某校为了解九年级学生的近视率，在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题： 九年级部分学生视力情况频数分布表 分组 视力 频数 （1）本次调查的样本容量是______，组视力在扇形统计图中对应的圆心角度数为______． （2）此次抽样调查中，视力的中位数落在______组． （3）文件《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》中规定：裸眼视力大于为视力正常．已知该校九年级共有名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数． 【答案】（1）， （2）C （3）估计全校九年级学生中视力正常的人数为人 【解析】 【分析】（1）因为C组频数为，且C组占样本容量的，所以用C组频数除以对应百分比即可得到样本容量；计算B组圆心角度数时，用B组频数除以样本容量得到B组占比，再乘以即可； （2）确定中位数所在组时，先将样本数据按视力分组从小到大排序，计算样本容量的中间位置，再依次累加各组频数，找到中间位置对应的组别； （3）用样本容量减去其余各组的频数之和可求的值，估计视力正常人数时，先计算样本中视力大于的人数占样本容量的比例，再乘以九年级总人数即可． 【小问1详解】 解：∵C组频数为，对应占比40%， ∴样本容量为：， ∵ B组频数为， ∴对应扇形圆心角为：． 【小问2详解】 解：∵样本容量为， ∴中位数是排序后第、个数据的平均数， 其中组共8人，组共人，组共人， ∴第、个数据都落在组． 【小问3详解】 解：∵规定裸眼视力大于为正常，对应分组和， 组频数：， ∴样本中视力正常的总频数为，占样本的比例为， ∴估计九年级1300名学生中视力正常的人数为： 人， 答：估计全校九年级学生中视力正常的人数为人． 21. 古希腊数学家丢番图（公元年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《原本》中，形如关于的方程图解法是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． （1）若，，求图中线段的长，并验证的长是方程的一个根． （2）小利同学在探究中发现：当，存在某种数量关系时，用该图解法解得方程的解是的倍，请你求出，间的这个数量关系． 【答案】（1）； 证明：当时，， 的长是方程的一个根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得、、的长，由勾股定理可得的长，根据线段和差关系可得的长，将的长代入方程验证即可； （2）根据已知可表示出、、的长，由勾股定理列等式整理即可得到，间的数量关系． 【小问1详解】 解：若，，则，， ， ； 证明略； 【小问2详解】 解：由题意得，， ， ， 在中，由勾股定理得，， 即， 整理得， ， ，， ． 22. 4月19日，2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松举行，上演了一场“人机大战”，如图1，102支赛队和万名跑者同场参赛，全程为21公里，小明和机器人“逍遥”一起参赛，因赛前临时检修，机器人“逍遥”比小明晚出发了小时，追上小明后休息了一段时间，继续以相同的速度跑步，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图2所示． （1）分别求出机器人“逍遥”和小明跑步的速度． （2）求图2中线段所在直线的函数表达式． （3）当机器人“逍遥”第二次追上小明时，他们距离终点的路程是多少？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合函数图象先求出小明的速度，据此得到机器人的跑步时间，根据速度路程时间求解即可； （2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小明的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：小明的速度：， 机器人“逍遥”的速度：，， ； 【小问2详解】 解：，， 设线段的函数表达式为 把和代入， 得 解得， ； 【小问3详解】 解：设小明的函数解析式为， 把点代入，得， ， 联立得， 解得，， 离终点的路程为． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）． （2）无论取任何实数，抛物线都经过一个定点，求该定点的坐标． （3）已知点和，若线段与抛物线只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）定点坐标 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式进行求解即可； （2）由题意可把抛物线变形为，然后根据过定点问题进行求解即可； （3）由（2）可知：抛物线过定点，然后根据题意可分当抛物线的顶点坐标为时，当抛物线过点时，当抛物线过点时，进而分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：由抛物线可知：对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由抛物线可变形得：， ∵无论取任何实数，抛物线都经过一个定点， ∴，即， ∴， ∴该抛物线过定点； 【小问3详解】 解：由（2）可知：抛物线过定点， ∴该定点在点和之间， ∴当抛物线的顶点坐标为时，满足与线段只有一个交点，此时； 当抛物线过点时，此时抛物线与线段有两个交点，则有：， 解得：， ∴当时，抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线过点时，此时抛物线与线段有两个交点，则有， 解得：， ∴当时，抛物线与线段只有一个交点； 综上所述：当线段与抛物线只有一个交点，则的取值范围为或或． 24. 如图1，是四边形的外接圆，． （1）求证：． （2）如图2，连接并延长，交于点，点关于的对称点落在上，连接、分别交于点、，已知的半径为5，，． ①求的面积． ②求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，然后根据平行线的判定定理可进行求证； （2）①延长，交于点，连接，过点作，由题意易得，则有，然后可得，设，则有，，进而可得，则问题可求解； ②分别过点作，，连接，交于点，，由①可知：，，然后可得，进而根据三角函数可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①延长，交于点，连接，过点作，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则有，， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②分别过点作，，连接，交于点，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由①可知：，， ∵， ∴， 由可设， ∴在中，由勾股定理可得，解得：（负根舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由轴对称的性质可知：，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $