精品解析：2025年浙江省金华市金东区九年级中考二模数学试卷

2025年初中学业水平考试适应性监测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题卷上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题卷相应位置上． 3．本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题卷上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下列投影中，属于中心投影的是（ ） A. B. C. D. 4. 若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点P(﹣2，6)，则k的值是( ) A. ﹣3 B. 3 C. 12 D. ﹣12 5. 将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 是的直径，点、为上的两点，，的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加，现有糯米斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（ ） A. B. C. D. 8. 把正方形按如图方式切割成由四个全等的直角三角形（， ， ，）和小正方形，连结，交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 是半圆的直径，点在半圆上，是半圆的切线，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在 中， ，，、分别是边 和上的动点，且始终保持 ，连结 ，，则 的最小值是（ ） A. 11 B. C. D. 8 卷Ⅱ 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 12. 一个不透明的袋子中装有2个红球、4个黑球，这些球除颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是_____． 13. 在中，，若，则_____． 14. 方程组的解是_____． 15. 如图，在锐角 中，，将 绕点逆时针旋转度，得到，点和点的对应点分别为点和点，当点落在 上时，恰有，则_____． 16. 将一个矩形按如图所示方式分割成三个相似的直角三角形，按面积从大到小的顺序分别记为，，．将，叠合，得到图1，阴影部分的三角形面积记为；将，叠合，得到图2，阴影部分的四边形面积记为．若，则该矩形的长和宽之比为_____． 三、简答题（本大题共有8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在的正方形网格中， 的顶点，，都在网格的格点上． （1）请仅用一把无刻度的直尺画出等腰（为格点）； （2）请仅用一把无刻度的直尺画出的角平分线，并加以证明． 20. 如图，在四边形中，，，点E，F分别是，中点，连接、 ． （1）求证：四边形 是平行四边形： （2）若，求 的长． 21. 春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，相关话题讨论持续火热．某校为了培养学生对人工智能的学习兴趣，丰富学生的视野，计划组织学生进行“人工智能知识竞赛”．王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，让他们进行了十次模拟答题，并绘制了如下的成绩统计图和统计表： 甲、乙成绩统计表 平均成绩（分） 中位数（分） 方差（分2） 甲 96 8.6 乙 96 96 （1）求与的值； （2）若乙第11次模拟答题的成绩为96分，则乙成绩的方差将_____（填“变大”、“变小"或“不变”）． （3）假如你是王老师，你会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由． 22. 某地举行机器人跑步比赛，机器人甲和乙以相同的速度同时同地同向出发，在行进30分钟时，两机器人均因机器过热发生故障．机器人甲立即停止行进，服务团队对其进行模块更换优化算法，分钟后修复完成，行进速度提升了：针对机器人乙，服务团队则让其在降低速度 的情况下继续行进自然降温，在机器人甲修复完成时，机器人乙立即恢复正常速度．比赛过程中机器人行进路程（米）与时间（分钟）的函数关系如图所示． （1）求机器人乙出发时的速度； （2）求直线的函数表达式； （3）当机器人甲到达终点时，求机器人乙到终点的路程． 23. 已知二次函数 （，为常数且 ）的图象经过，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式． （2）函数图象上有两个点，． ①当，时，求的最大值． ②若，时，存在，求的取值范围． 24. 如图1，在中，，过，，三点的交于点，连接． （1）求证：为等边三角形． （2）如图2，连接，分别交和于点，，若， ． ①求的长； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试适应性监测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题卷上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题卷相应位置上． 3．本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题卷上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：， ∴最小的数是； 故选A． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据负整数指数幂的意义解答即可．本题考查了负整数指数幂的意义，掌握（，n为正整数）是解题的关键． 【详解】解∶． 故选∶D． 3. 下列投影中，属于中心投影的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心投影的定义解答即可． 本题考查了中心投影的定义，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 【详解】解：A.是平行投影，不符合题意； B.是中心投影，符合题意； C.是平行投影，不符合题意； D.是平行投影，不符合题意． 故选：B． 4. 若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点P(﹣2，6)，则k的值是( ) A. ﹣3 B. 3 C. 12 D. ﹣12 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点P(﹣2，6)，从而可以求得k的值. 【详解】解：∵反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点P(﹣2，6)， ∴，得k＝﹣12， 故选D． 【点睛】本题考查的是反比例函数，熟练掌握反比例函数是解题的关键. 5. 将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律进行解答即可． 【详解】解：二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为， 故选：D． 6. 如图，是 的直径，点、为 上的两点，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，注意：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两锐角互余． 根据圆周角定理得出 ，，再根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵是 的直径， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选：B． 7. 在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加，现有糯米斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列一元一次不等式，根据做成清明粿质量超过20斤，列出不等式即可． 【详解】解：由题意，可列出不等式为：； 故选C． 8. 把正方形按如图方式切割成由四个全等的直角三角形（， ， ，）和小正方形，连结，交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得四边形是正方形，，根据 得到，列比例式计算解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得四边形是正方形， ， 由 得， ∴， ∴， 故． 故选：A． 9. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，是半圆的切线，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的定义，三角形内角和定理等知识，连接，由圆周角定理得出，由角的和差关系得出，由切线的定义得出，由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半圆的切线， ∴， ∴， 故选：C 10. 如图，在中， ，，、分别是边和上的动点，且始终保持 ，连结，，则 的最小值是（ ） A. 11 B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，过B作并截取，过A作于E，过D作于F，证明，得出，则，故当、、三点共线时， 取最小值为，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，证明，得出，，最后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过B作并截取，过A作于E，过D作于F， ∴， ∵ ，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时， 取最小值为， ∵ ，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即 的最小值是， 故选：B． 卷Ⅱ 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握是解题的关键． 根据提公因式法分解因式，根据题意直接提取公因式即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 12. 一个不透明的袋子中装有2个红球、4个黑球，这些球除颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据简单概率公式计算概率即可． 本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：一共有6种等可能性，其中摸到红球的可能性有2种， 故摸到红球的概率是． 故答案为： 13. 在中，，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据，得到，勾股定理得到，再根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：设直角三角形的三个内角对应的三边为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 方程组的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法求出方程组的解即可． 【详解】解： 把①代入②，得：，解得； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解是； 故答案为：． 15. 如图，在锐角中，，将绕点逆时针旋转度，得到，点和点的对应点分别为点和点，当点落在上时，恰有，则_____． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据旋转得到，等边对等角求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 16. 将一个矩形按如图所示方式分割成三个相似的直角三角形，按面积从大到小的顺序分别记为，，．将，叠合，得到图1，阴影部分的三角形面积记为；将，叠合，得到图2，阴影部分的四边形面积记为．若，则该矩形的长和宽之比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；设，由题意易得，则有，设图1中与交于一点E，过点E作，垂足为F，然后可得，则有，，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可得如图， ∵四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，即， 设图1中与交于一点E，过点E作，垂足为F，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴， ∴该矩形的长和宽之比为； 故答案为． 三、简答题（本大题共有8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，涉及二次根式性质化简、零指数幂运算、绝对值运算，先分别由二次根式性质化简、零指数幂运算、绝对值运算计算，再由有理数加减运算求解即可得到答案．熟练掌握二次根式性质化简、零指数幂运算、绝对值运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值，先利用多项式乘以多项式法则和单项式乘以多项式法则计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 19. 如图，在的正方形网格中，的顶点，，都在网格的格点上． （1）请仅用一把无刻度的直尺画出等腰（为格点）； （2）请仅用一把无刻度的直尺画出的角平分线，并加以证明． 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2）如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的定义，三线合一，熟练掌握等腰三角形三线合一，是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，进而取格点，使即可； （2）取的中点，连接，交于点，根据三线合一，即可得到平分； 【小问1详解】 解：由勾股定理，得： ； ∴， 故为等腰三角形； 【小问2详解】 由（1）知：为等腰三角形，， ∵为的中点， ∴平分 ，即：平分． 20. 如图，在四边形中，，，点E，F分别是，中点，连接、． （1）求证：四边形 是平行四边形： （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线，掌握平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线是解题的关键； （1）根据对边平行且相等即可得证； （2）连接，根据勾股定理求出 ，再根据三角形的中位线即可得解． 【小问1详解】 证明：∵ ， ， E是中点， ， ∴ ， ∵， ∴四边形 是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接， ， ， ，， ∴ ， ∵点E，F分别是，中点， ∴ ​​​​​​​． 21. 春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，相关话题讨论持续火热．某校为了培养学生对人工智能的学习兴趣，丰富学生的视野，计划组织学生进行“人工智能知识竞赛”．王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，让他们进行了十次模拟答题，并绘制了如下的成绩统计图和统计表： 甲、乙成绩统计表 平均成绩（分） 中位数（分） 方差（分2） 甲 96 8.6 乙 96 96 （1）求与的值； （2）若乙第11次模拟答题的成绩为96分，则乙成绩的方差将_____（填“变大”、“变小"或“不变”）． （3）假如你是王老师，你会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由． 【答案】（1） ， （2）变小 （3） 选择乙去参加比赛，理由如下：甲和乙的平均数相同，甲的方差大于乙的方差，乙成绩比较稳定， ∴应该选择乙去参加比赛． 【解析】 【分析】此题考查了中位数、方差、平均数等统计量、方差的意义、折线统计图等知识，准确求解相关统计量是关键． （1）利用中位数和方差定义进行解答即可； （2）计算出变化后的方差，与原方差比较即可得到答案； （3）根据方差和平均数等统计量的意义进行解答即可． 【小问1详解】 解：甲的成绩从小到大排列如下：91,92,94,95,95,97,98,99,99,100 ∴甲的中位数 乙的成绩从小到大排列如下：94,95,95, 96,96, 96,96,97, 97,98 乙的方差 故答案为： ， 【小问2详解】 若乙第11次模拟答题的成绩为96分，则 乙成绩的平均数仍然为 ， 乙成绩的方差为 ∵ ， ∴乙成绩的方差将变小， 故答案为：变小 【小问3详解】 略 22. 某地举行机器人跑步比赛，机器人甲和乙以相同的速度同时同地同向出发，在行进30分钟时，两机器人均因机器过热发生故障．机器人甲立即停止行进，服务团队对其进行模块更换优化算法，分钟后修复完成，行进速度提升了：针对机器人乙，服务团队则让其在降低速度 的情况下继续行进自然降温，在机器人甲修复完成时，机器人乙立即恢复正常速度．比赛过程中机器人行进路程（米）与时间（分钟）的函数关系如图所示． （1）求机器人乙出发时的速度； （2）求直线的函数表达式； （3）当机器人甲到达终点时，求机器人乙到终点的路程． 【答案】（1）100 （2） （3）机器人乙到终点的路程为 米 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象中获取信息解决问题，一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握速度计算公式求出甲和乙的速度． （1）根据速度等于路程除以时间即可解答； （2）根据题意求出m的值，得到，利用待定系数法即可求解； （3）根据题意：段甲的速度为米/分，点，求出机器人甲到达终点的时间，即可解答． 【小问1详解】 解：（米/分）， 【小问2详解】 解：根据题意：， 解得：， ， 设直线的函数表达式为， 则， 解得：， 则直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：根据题意：段甲的速度为（米/分）， 则点， 机器人甲到达终点的时间为：（分）， 机器人乙到终点的路程为：（米）， 答：机器人乙到终点的路程为 米． 23. 已知二次函数 （，为常数且 ）的图象经过，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式． （2）函数图象上有两个点，． ①当，时，求的最大值． ②若，时，存在，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的最值等知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①分别求出最大值和最小值，即可求出答案；②根据题意列出不等式组进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数 （，为常数且 ）的图象经过，对称轴为直线． ∴， 得 【小问2详解】 ①∵ ∵ ， ∴抛物线开口向下， 当 时，y随着x的增大而增大，当 时，y随着x的增大而减小， ∴当时，当时，最大为3， 当，当时，最小为， ∴最大为 ②时； 时； 时； 时； ， 解得； 24. 如图1，在中，，过，，三点的 交于点，连接． （1）求证：为等边三角形． （2）如图2，连接，分别交和 于点，，若， ． ①求的长； ②求的值． 【答案】（1） 证明：∵在中，， ∴， ∵过，，三点的 交于点， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）平行四边形的对角相等，得到，圆内接四边形推出 ，进而得到为等边三角形即可； （2）①过点作，在中求出的长，在中，利用勾股定理求出的长即可；②证明，求出的长，再证明，求出 的长，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①过点作， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，平行四边形的性质，圆内接四边形，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $