四川省眉山冠城实验学校2025-2026学年高一下学期人教A版数学周测9　空间直线、平面的垂直

**基本信息** 聚焦空间直线与平面垂直，通过正方体折叠、鳖臑模型等情境，结合新课标真题改编，实现基础概念辨析（如单选1面面垂直条件）与综合能力（如解答题15二面角计算）的梯度考查，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|6/30|面面垂直条件、正方体折叠后异面直线关系|基础概念辨析，如第1题考查充要条件判断| |多项选择题|3/18|线面垂直性质、正方体中平行垂直判断|多角度考查空间垂直关系，如第8题结合正方体综合判断| |填空题|3/15|鳖臑模型、二面角计算、翻折问题|文化传承与空间转化，如第10题引用《九章算术》鳖臑| |解答题|3/37|异面直线角、线面垂直证明、二面角计算|综合应用与真题关联，如第15题改编自新课标全国Ⅰ卷|

周测9　空间直线、平面的垂直 (时间：75分钟　分值：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D，E为原正方体的顶点，则在原来的正方体中 A.AB∥CD B.AB与CD相交 C.AB⊥CD D.AB与CD所成的角为60° 3.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在四面体AEFH中必有 A.HG⊥△AEF所在平面 B.AG⊥△EFH所在平面 C.HF⊥△AEF所在平面 D.AH⊥△EFH所在平面 4.刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面角的角度用弧度制).例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为2π-3×=π.若正四棱锥S-ABCD的侧面与底面所成二面角的正切值为，则四棱锥S-ABCD在顶点S处的曲率为 A. B.π C. D. 5.在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=BC=4，平面α经过AC的中点E，并且与BC垂直，则α截此三棱锥所得的截面面积的最大值为 A. B. C. D. 6.如图，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则直线BD与平面ABEF所成角的正弦值为 A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列说法中正确的有 A.垂直于同一个平面的两条直线平行 B.过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直 C.直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 D.如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面结论正确的是 A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD C.平面ACC1A1⊥平面CB1D1 D.异面直线AD与CB1所成的角为60° 9.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则 A.直线MN与直线AC所成的角是 B.直线MN与平面ACC1A1所成的角是 C.二面角M-AB-C的平面角是 D.平面BMN截正方体所得的截面面积为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 10.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”A-BCD中，AB⊥平面BCD，侧棱AB=2，在底面△BCD中，∠BCD=90°，BC=4，CD=2，M为AD的中点，则异面直线CM与AB所成角的余弦值为　　　　　　.  11.如图，二面角α-l-β的大小为60°，A∈α，B∈β，点A，B在棱l上的射影分别是A1，B1，若AA1=1，BB1=2，A1B1=2，则AB的长度为　　　　　　　　.  12.如图，已知在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，M为边BC的中点，将△ABM，△CDM分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为　　　　.  四、解答题(本题共3小题，共37分) 13.(12分)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (1)求异面直线A1C1与B1C所成角的大小；(6分) (2)若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：A1C1⊥EF.(6分) 14.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AC与BD交于点O，PA⊥平面ABCD，且PA=2. (1)求证：BD⊥平面PAC；(5分) (2)求PD与平面PAC所成角的大小.(7分) 15.(13分)(2024·新课标全国Ⅰ)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=. (1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；(6分) (2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD.(7分) 参考答案 1.答案　B 解析　当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件. 2.答案　D 解析　将展开图还原成正方体如图，连接DE， ∵AB∥DE，∴∠CDE是AB与CD所成的角， ∵CD=DE=CE，∴∠CDE=60°， ∴在原来的正方体中AB与CD所成的角为60°. 3.答案　D 解析　∵AD⊥DF，AB⊥BE， ∴AH⊥HF，AH⊥HE. 又∵HE∩HF=H，HE，HF⊂平面EFH， ∴AH⊥平面EFH. 4.答案　D 解析　如图，在正四棱锥S-ABCD中，连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接SO，则SO⊥平面ABCD， 取BC的中点M，连接OM，SM， 则由正四棱锥的结构特征可知OM⊥BC，SM⊥BC，所以∠SMO为侧面SBC与底面ABCD所成二面角的平面角， 设AB=BC=a，则OM=，在Rt△SOM中，tan∠SMO==， 所以SO=OM=a，又OB=a，所以SB==a， 所以正四棱锥S-ABCD的每个侧面均为正三角形，所以顶点S的每个面角均为， 故正四棱锥S-ABCD在顶点S处的曲率为2π-4×=. 5.答案　D 解析　取BC靠近C的四等分点F，CD的中点G，连接EF，EG，FG(图略). 由AB=AC，可知EF⊥BC， 同理可知GF⊥BC，又EF∩GF=F，EF，GF⊂平面EFG，所以BC⊥平面EFG， 所以平面α即为平面EFG， 又因为AB=AC=BD=CD=BC=4， 所以EF=FG=， 所以α截此三棱锥所得的截面面积为 S△EFG=EF·FG·sin∠EFG=sin∠EFG， 当∠EFG=90°时，S△EFG取得最大值. 6.答案　C 解析　由题意得，平面ABCD∩平面ABEF=AB，且DA⊥AB，FA⊥AB， ∴∠DAF为平面ABCD和平面ABEF所成的二面角的平面角，即∠DAF=60°，则△DAF为等边三角形， 设AF=2， 又DA∩AF=A，DF，AF⊂平面DAF，∴AB⊥平面DAF， 取AF的中点M，连接DM，∴DM⊥AF， 又DM⊂平面DAF，则DM⊥AB， 又AB∩AF=A，AB，AF⊂平面ABEF，∴DM⊥平面ABEF， ∴∠DBM为直线BD与平面ABEF所成的角， DB==2，DM==， 在Rt△DMB中， sin∠DBM===. 7.答案　AB 解析　垂直于同一个平面的两条直线是平行的，A正确； 过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直，B正确； 如图1，直线上有两点到平面的距离相等，该直线与平面相交，C错误； 如果直线垂直于平面内的无数条直线，如图2直线m(不与平面垂直)，在平面内有一条直线n且m⊥n， 显然，平面内存在无数条直线与n平行，则m垂直于平面内无数条直线，但直线m和平面不垂直，D错误. 8.答案　ABC 解析　对于A，因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1， 所以BD∥平面CB1D1，A正确； 对于B，因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以BD⊥AC，且CC1⊥BD， 又AC∩CC1=C，AC，CC1⊂平面ACC1，所以BD⊥平面ACC1，又AC1⊂平面ACC1， 所以BD⊥AC1，B正确； 对于C，由上可知BD⊥平面ACC1， 又BD∥B1D1，所以B1D1⊥平面ACC1， 又B1D1⊂平面CB1D1， 则平面ACC1A1⊥平面CB1D1，C正确； 对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角，为45°，D错误. 9.答案　ACD 解析　对于A，如图，连接MN，AC，CD1，AD1，因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥CD1，所以直线MN与AC所成的角即为直线CD1与AC所成的角，又因为△ACD1是等边三角形，所以直线CD1与AC所成的角为，故直线MN与AC所成的角是，故A正确； 对于B，由A项分析知，MN∥CD1，所以直线CD1与平面ACC1A1所成的角即为直线MN与平面ACC1A1所成的角，如图，连接B1D1交A1C1于点E，连接EC，由正方体ABCD-A1B1C1D1，可得CC1⊥平面A1B1C1D1，又B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，又A1C1⊥B1D1，A1C1∩CC1=C1，A1C1，CC1⊂平面ACC1A1，所以B1D1⊥平面ACC1A1，所以∠ECD1为直线CD1与平面ACC1A1所成的角，又sin∠ECD1==，0<∠ECD1<，所以∠ECD1=，故B错误； 对于C，因为AB⊥平面ADD1A1，所以∠D1AD为二面角M-AB-C的平面角，所以二面角M-AB-C的平面角是，故C正确； 对于D，如图，连接A1B，A1M，BN，MN，CD1，因为A1B∥CD1，CD1∥MN，所以A1B∥MN， 所以平面BMN截正方体所得的截面为梯形A1BNM，且MN=，A1B=，A1M=BN==，所以梯形的高为=，所以截面面积为××=，故D正确. 10.答案　 解析　设N是BD的中点，连接CN，MN，由于M是AD的中点，所以MN∥AB，MN=AB，因为AB⊥平面BCD，所以MN⊥平面BCD，由于CN⊂平面BCD，所以MN⊥CN，则∠CMN是异面直线CM与AB所成的角，在Rt△BCD中，CN=BD=×=，在Rt△CMN中，CM==，所以cos∠CMN==. 11.答案　 解析　如图所示，过A1在平面β内作A1N⊥A1B1，过B作BN∥A1B1交A1N于N，连接AN， ∵二面角α-l-β的大小为60°，A1A⊥A1B1，A1N⊥A1B1， ∴∠AA1N=60°， 易得A1B1⊥平面AA1N，∴BN⊥平面AA1N， ∴A1N=BB1=2，AA1=1， 在△A1AN中，由余弦定理可得 AN2=12+22-2×1×2×=3， 在Rt△ABN中， BN=A1B1=2， ∴AB2=AN2+BN2=7，∴AB=. 12.答案　 解析　因为四边形ABCD为矩形， 所以MP⊥AP，MP⊥DP， 因为AP∩DP=P，AP，DP⊂平面ADP， 所以MP⊥平面ADP，即点M到平面ADP的距离为MP=2， 因为PA=PD=CD=AB=3，AD=4， 所以S△ADP=×4×=2， S△ADM=×4×3=6， 设点P到平面MAD的距离为h， 又V三棱锥P-AMD=V三棱锥M-APD， 所以×6h=×2×2，解得h=. 13.(1)解　如图，连接AC，AB1，由几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1， 从而直线AC与B1C所成的角即为异面直线A1C1与B1C所成的角， 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB1=AC=B1C，可知∠B1CA=60°. 故异面直线A1C1与B1C所成角的大小为60°. (2)证明　如图，连接BD，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD， 因为EF为△ABD的中位线，所以EF∥BD. 所以AC⊥EF， 又AC∥A1C1，所以A1C1⊥EF. 14.(1)证明　因为四边形ABCD是正方形， 所以AC⊥BD， 又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD， 因为PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. (2)解　连接OP，如图所示，由(1)知BD⊥平面PAC，所以∠DPO为PD与平面PAC所成的角， 因为AB=PA=2，且四边形ABCD为正方形，所以OA=OD=， 所以OP==， 在Rt△POD中，tan∠DPO===， 所以∠DPO=，即PD与平面PAC所成角的大小为. 15.(1)证明　因为PA⊥平面ABCD， 而AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥AD， 又AD⊥PB，PB∩PA=P， PB，PA⊂平面PAB， 所以AD⊥平面PAB， 而AB⊂平面PAB， 所以AD⊥AB. 因为BC2+AB2=AC2， 所以BC⊥AB， 根据平面知识可知AD∥BC， 又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC. (2)解　如图所示，过点D作DE⊥AC于点E， 再过点E作EF⊥CP于点F，连接DF， 因为PA⊥平面ABCD， PA⊂平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABCD， 又平面PAC∩平面ABCD=AC， DE⊂平面ABCD， 所以DE⊥平面PAC， 因为CP⊂平面PAC，所以DE⊥CP， 又EF⊥CP，EF∩DE=E， EF，DE⊂平面DEF， 所以CP⊥平面DEF， 所以DF⊥CP， 根据二面角的定义可知， ∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角， 即sin∠DFE=， 即tan∠DFE=. 因为AD⊥DC，设AD=x，0<x<2， 则DC=， 由等面积法可得，DE=， 又CE==， 而△EFC为等腰直角三角形， 所以EF=， 又DE⊥平面PAC，EF⊂平面PAC， 所以DE⊥EF， 故tan∠DFE===， 解得x=，即AD=. 学科网（北京）股份有限公司 $