专题11 空间直线与平面的垂直问题4种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题11 空间直线与平面的垂直问题4种常考题型总结 题型概览 题型 01 垂直关系的判定 题型 02 线线垂直的证明 题型 03 线面垂直的证明 题型 04 面面垂直的证明 ( 题型01 ) 垂直关系的判定 1．（2024春•青羊区校级期末）如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论不正确的是　　 A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 2．（2024春•青羊区校级期末）已知两条不同的直线，，三个不同的平面，，，则下列说法正确的是　　 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 （多选）3．（2024春•四川期末）已知平面，，，直线，，则下列命题正确的是　　 A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，则 ( 题型02 ) 线线垂直的证明 4．（2024春•攀枝花期末）如图，在正方形中，点、分别是、的中点，将、分别沿、折起，使，两点重合于，连接，． （1）求证：； （2）点是上一点，若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 5．（2024春•成都期末）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，是棱的中点，是棱上的动点． （1）求证：平面； （2）求证：． 6．（2024春•峨眉山市校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，分别为，的中点，且． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 7．（2023春•宜宾期末）如图，在几何体中，平面平面，四边形是平行四边形，，． （1）求证：； （2）若，，，为上一动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． ( 题型03 ) 线面垂直的证明 8．（2024春•成都期末）如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点．从条件①②中选择一个作为已知，①；②． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 9．（2024春•成华区校级期末）如图，斜三棱柱中，，四边形是菱形，为中点，平面，点到平面的距离为与的距离为2． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若，分别为，的中点，求此斜三棱柱被平面所截的截面面积． 10．（2023春•温江区校级期末）如图四边形是矩形，平面，，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 11．（2021春•宜宾期末）如图，已知直三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）若为等腰直角三角形，，且．求证：平面． 12．（2020春•温江区期末）已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面是正三角形且垂直于面，是中点． （1）求证：面； （2）求证：平面． ( 题型04 ) 面面垂直的证明 13．（2023春•叙州区校级期末）如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，点为侧棱上一点． （1）若，求证：平面； （2）若，求证：平面平面． 14．（2024春•成都期末）在平行四边形中，，，，，分别为，的中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥 ． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 15．（2024春•凉山州期末）如图，四棱锥的底面是边长为3的菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，求二面角的正切值． 16．（2024春•成都期末）如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，为和的交点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 17．（2024春•眉山期末）如图，在斜三棱柱中，，等腰的斜边，在底面上的投影恰为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求的长； （3）求二面角的余弦值． 18．（2023春•遂宁期末）如图，为等腰三角形，且，平面，，，点为的中点．求证： （1）平面； （2）平面平面． 19．（2023春•锦江区校级期末）如图所示，在中，，四边形是正方形，平面底面，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； 20．（2022春•宜宾期末）如图，正方形的边长为1，，平面平面，直线与平面所成角的正切值为． （1）若，分别是，的中点，求证：平面； （2）求证：平面平面． 21．（2024春•南充期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是与的交点，平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值． 1．（2024春•宜宾期末）如图，在三棱柱中，，，，，为的中点，平面． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 2．（2024春•成都期末）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，平面平面，为线段的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正切值； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 3．（2023春•青羊区校级期末）如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点．求证： （1）平面； （2）平面平面． 4．（2023春•成华区期末）如图，已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）记直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，求的余弦值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 空间直线与平面的垂直问题4种常考题型总结 题型概览 题型 01 垂直关系的判定 题型 02 线线垂直的证明 题型 03 线面垂直的证明 题型 04 面面垂直的证明 ( 题型01 ) 垂直关系的判定 1．（2024春•青羊区校级期末）如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论不正确的是　　 A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【解析】是圆的直径，，垂直于圆所在的平面， 因为平面，所以平面平面，所以正确； 中，由选项可知平面，所以， 为圆周上不与点，重合的点， 所以，， 所以平面，所以正确； 中，因为于，于， 由选项分析，可得平面， 所以，， 所以平面，而平面， 所以，而， 所以平面，所以正确； 中，由选项的分析，无法判断是否与，垂直， 所以无法判断面与平面是否垂直，所以不正确． 故选：． 2．（2024春•青羊区校级期末）已知两条不同的直线，，三个不同的平面，，，则下列说法正确的是　　 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解析】对于，如图，，，此时，故错误； 对于，如图，，，，此时，异面，故错误； 对于，若，，则，故正确； 对于，如图，，，此时，故错误． 故选：． （多选）3．（2024春•四川期末）已知平面，，，直线，，则下列命题正确的是　　 A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解析】选项：若，，，则或与异面，所以错误； 选项：若，，，，则由平面与平面垂直的性质可得，所以正确； 选项：若，，则，可能平行，相交或垂直，所以错误； 选项：若，，则在内可找到的平行线使得，所以由可得，所以正确． 故选：． ( 题型02 ) 线线垂直的证明 4．（2024春•攀枝花期末）如图，在正方形中，点、分别是、的中点，将、分别沿、折起，使，两点重合于，连接，． （1）求证：； （2）点是上一点，若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：在正方形中，连接，，，则， 因为点、分别是、的中点， 所以，所以， 因为，，， ，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． （2）解：由（1）平面，所以为直线与平面所成角， 所以， 令，，则，， 所以， 设，连接， 由（1）知平面， 因为平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 因为为的中点，，所以为等腰三角形， 所以， 因为， 所以， 所以，，， 在中，由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为． 5．（2024春•成都期末）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，是棱的中点，是棱上的动点． （1）求证：平面； （2）求证：． 【解析】证明：（1）连接，交于，连接，在正方体中，可知为的中点， 因为为的中点，所以， 而平面，平面， 所以平面； （2）连接，因为，底面，底面， 所以，而， 所以平面， 因为为棱上的动点，即平面， 所以． 6．（2024春•峨眉山市校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，分别为，的中点，且． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：因为四边形是矩形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以； （2）解：因为四边形是矩形，所以，， 因为平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 由（1）得平面，平面， 而， 所以三棱锥的体积； （3）解：过点作于点，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 由已知可得， 由得， 所以在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为． 7．（2023春•宜宾期末）如图，在几何体中，平面平面，四边形是平行四边形，，． （1）求证：； （2）若，，，为上一动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【解析】证明：（1）因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以． 解：（2）取与的中点分别为，，连接，，，， 过作交于点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 因为，，，，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，，又因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，同理可得平面， 又因为，平面，， 所以平面平面， 所以与平面所成角即为与平面所成角， 当与重合时，与重合，此时与平面所成角为0， 当与重合时，与重合，此时与平面所成角最大， 所以线面角的最大为直线与平面所成角， 即线面角的最大为直线与平面所成角， 因为，所以， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以，在中，，， 所以，在中，， 所以，， 因为，记点到平面的距离为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦为， 所以与平面所成角的正弦的范围是． ( 题型03 ) 线面垂直的证明 8．（2024春•成都期末）如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点．从条件①②中选择一个作为已知，①；②． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【解析】（1）证明：选择条件①：， 由平面，且、平面，知，， ，，，平面， 平面， 平面， ， 过点作于，则四边形是正方形，， ，， ，即， ，，， 又，平面． 选择条件②：， 过点作，交于点， ，四边形为平行四边形，，， ， ，，即，，， ， ，即， 由平面，且平面，知， ，， 又，平面． （2）解：由平面，且平面，知， ，， 由（1）知， ，平面， 平面，平面平面， 点到平面的距离等价于的底边上的高， 由勾股定理知，， 在中，由余弦定理知，， ， ， 点到平面的距离为． （3）解：过点作于点，则， 由（2）知平面， 平面， 平面平面， 在平面上的投影落在上， 直线与平面所成角为，则， ， 在中，， ， 或， 故线段的长为或． 9．（2024春•成华区校级期末）如图，斜三棱柱中，，四边形是菱形，为中点，平面，点到平面的距离为与的距离为2． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若，分别为，的中点，求此斜三棱柱被平面所截的截面面积． 【解析】（1）证明：因为平面，平面， 故， 又由，即， ，平面，平面， 因此平面； （2）解：由于菱形，且为的垂直平分线， 因此可知△和△均为等边三角形， 由平面，平面，可得， 可得是矩形， 此时作，，连接，，， 由题知，，平面，可得， ，平面，平面， 因此平面， 因此由题知，平面， 所以，， 因此为与平面所成角， 在△中，，由矩形可知， 由于，在等边三角形中， 可以解得，为中点，， 所以，在中，， △中，， 因此， 所以与平面所成角的正弦值为； （3）解：延长，交于点，连接，交于，连接， 如图， 故四边形即为所得截面， 由（2）可知菱形的边长为2，矩形中，， 平行四边形中，， 在△中，由于，由余弦定理可得， 由于，为中点， 因此，此时有， 在直角△中，为的三等分点， 因此△中，由余弦定理可得， 所以可以计算得， 设截面面积为，由于， 有． 因此此斜三棱柱被平面所截的截面面积为． 10．（2023春•温江区校级期末）如图四边形是矩形，平面，，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【解析】证明：（1）因为平面，平面，所以， 因为，，、平面， 所以平面． （2）连接交于点，连接，所以点为中点， 因为点为线段的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． 11．（2021春•宜宾期末）如图，已知直三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）若为等腰直角三角形，，且．求证：平面． 【解析】证明：（1）取的中点，连接，， 由为的中位线，可得，， 由，， 所以，， 可得四边形为平行四边形，， 平面，平面， 所以平面； （2）由为等腰直角三角形，可得， 由平面，可得， 所以平面， 由平面，可得， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 而，所以， 可得， 而，所以平面． 12．（2020春•温江区期末）已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面是正三角形且垂直于面，是中点． （1）求证：面； （2）求证：平面． 【解析】证明：（1）取的中点，连接、， 是中点，，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 面． （2）面面，面面，， 面， 平面，， 等边三角形，为的中点，， 又，、平面，平面， ，平面． ( 题型04 ) 面面垂直的证明 13．（2023春•叙州区校级期末）如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，点为侧棱上一点． （1）若，求证：平面； （2）若，求证：平面平面． 【解析】证明：（1）设，的交点为，连， 底面为菱形，为中点， 又，，（5分） 且平面，平面， 平面．（7分） （2）底面为菱形，， 底面，，平面， ， ，平面， 又平面，平面平面．（14分） 14．（2024春•成都期末）在平行四边形中，，，，，分别为，的中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥 ． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接，， 因为平行四边形中，，，，，分别为，的中点， 可得，且， ，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）证明：因为二面角为直二面角，，，， 在原四边形中，，即，， 所以，， 所以平面， 而平面，所以， 在原四边形中，可得，， 所以平面，而平面， 所以平面平面； （3）解：在原四边形中，，， 可得，为的中点，所以，且， 由（2）可得平面，而平面， 所以，而， 所以平面，所以为与平面所成的角， 在原四边形中，可得，，， 在中，由余弦定理可得， 所以． 即与平面所成角的正弦值为． 15．（2024春•凉山州期末）如图，四棱锥的底面是边长为3的菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，求二面角的正切值． 【解析】（1）证明：设，连接，因为底面为菱形， 所以为的中点，， 又，所以， ，平面，， 所以平面．又平面， 所以平面平面． （2）在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，，平面，所以平面， 过点作交于点，连接， 又平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在中，， 因为，所以， 因为，所以，， 在中，， 又平面，平面，所以， 所以， 所以二面角的正切值为1． 16．（2024春•成都期末）如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，为和的交点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【解析】（1）证明：连接， 四边形是菱形， 是的中点，又是的中点， ，又平面，平面， 平面； （2）平面，平面， ， 四边形是菱形，， 又平面，平面，， 平面，又平面， 平面平面． 17．（2024春•眉山期末）如图，在斜三棱柱中，，等腰的斜边，在底面上的投影恰为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求的长； （3）求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：设中点为， 因为在底面上的投影恰为的中点，即平面， 且平面， 所以平面平面， （2）因为平面平面，且平面平面，， 可得平面， 由平面，则， 且，，，平面， 可得平面， 由平面，可得， 可知为菱形，即， 因为等腰的斜边，则， 可得，， 在直角△中，，可知， 即△为等边三角形，所以． （3）过点作于点，连接，可知， 因为平面，平面，则， 且，，，平面，则平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为， 因为，可得， 所以二面角的余弦值为． 18．（2023春•遂宁期末）如图，为等腰三角形，且，平面，，，点为的中点．求证： （1）平面； （2）平面平面． 【解析】证明：（1）取的中点，连接，． 又因为点为的中点，所以为的中位线， 所以，， 因为，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为为等腰三角形，且，又点为的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，所以平面， 由（1）知，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又平面即是平面， 所以平面平面． 19．（2023春•锦江区校级期末）如图所示，在中，，四边形是正方形，平面底面，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； 【解析】证明：（1）连接，四边形为正方形， ，且是的中点， 是的中点，． 又平面，平面， 平面． （2）四边形为正方形，． 又平面平面，平面平面，平面， 平面， ．， ． 又，，平面， 平面． 平面， 平面平面． 20．（2022春•宜宾期末）如图，正方形的边长为1，，平面平面，直线与平面所成角的正切值为． （1）若，分别是，的中点，求证：平面； （2）求证：平面平面． 【解析】证明：（1）取中点，连接，， ，分别是，的中点，正方形的边长为1， ，， ，， 平面平面， 平面，平面； （2）正方形的边长为1，，平面平面， 直线与平面所成角的正切值为， ， 是直线与平面所成角，且， ，，， ，平面， 平面，平面平面． 21．（2024春•南充期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是与的交点，平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值． 【解析】（1）证明：连接，在平行四边形中， 为与的交点， 为的中点，又为的中点，， 又平面，平面， 平面． （2）证明：平面，平面，， 在中，，，又，， 因为，平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面． （3）取的中点，连接，， 为的中点， ，且 由平面，得平面， 是直线与平面所成的角， ，，，， 在中，， ，从而， 在中，， 直线与平面所成角的正切值为． 1．（2024春•宜宾期末）如图，在三棱柱中，，，，，为的中点，平面． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【解析】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为，， 所以， 又因为， 所以平面； （2）取中点，连接，，则，且， 所以四边形是平行四边形， 因为，，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面， 作于，则平面， 连接，则为直线与平面所成的角， 由，，，知， 又由（1）知平面， 所以，， ， 则， 由于，所以， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 2．（2024春•成都期末）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，平面平面，为线段的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正切值； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：是边长为2的正三角形，为中点， ，且平面， 又平面平面，平面平面 平面， 又平面，； （2）由（1）知，， 为二面角的平面角， 底面为正方形，， 在中，，， ； （3）取中点，连接，， 为中点，， 是异面直线与所成的角（或其补角）， 由（1）知，平面，平面，， 底面是正方形，， ，平面， 平面，， 在中，，，， 在中，，，， 在中，，， ， 异面直线与所成的角的余弦值为． 3．（2023春•青羊区校级期末）如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点．求证： （1）平面； （2）平面平面． 【解析】证明：（1）取线段的中点，连接，． 又是的中点，可得为的中位线，可得，且． 由四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，可得平面； （2）平面． 是直角梯形， 设，由． ，又， 平面， 平面， 平面平面． 4．（2023春•成华区期末）如图，已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）记直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，求的余弦值． 【解析】证明：（Ⅰ）因为为正方体，所以四边形为正方形， 因为，分别为，的中点，所以， 又因为，，所以， 所以， 所以， 又易知平面，平面， 所以， 又，平面，且， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． 解：（Ⅱ）设，交点为点，连接，如下图所示： 由（Ⅰ）可知平面， 直线与平面所成角即为， 直线与平面所成角即为， 所以即为， 因为正方体的棱长为2，，分别为，的中点， 所以易知，，， 在△中，根据余弦定理可得， 所以的余弦值为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$