专题10 空间直线、平面的平行垂直关系5种常考题型总结-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题10 空间直线、平面的平行垂直关系5种常考题型总结 题型概览 题型01直线与平面平行 题型02平面与平面平行 题型03直线与直线垂直 题型04直线与平面垂直 题型05平面与平面垂直 ( 题型01 ) 直线与平面平行 1．（2024春•屏山县校级期中）如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，为侧棱上的点． （1）若，要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（请写出必要作图说明） （2）若，在线段上是否存在一点，使直线平面？如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段的长． 2．（2024春•仁寿县校级期中）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）设平面平面，求证：． 3．（2024春•屏山县校级期中）如图，在四棱锥，底面是矩形，平面，，分别是，的中点．求证： （1）平面； （2）平面． 4．（2024春•射洪市校级期中）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，，分别是棱，的中点，平面与平面交于，求证： （1）平面； （2）． 5．（2014春•隆昌县校级期中）如图：在正方体中，为棱的中点 （1）求证：平面 （2）求证：． ( 题型02 ) 平面与平面平行 6．（2023秋•市中区校级期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为，、、分别为、、的中点． （1）求证：平面平面； （2）求证：． 7．（2022秋•船山区校级期中）已知正方体—的棱长为2，点、在正方体的表面上运动，分别满足：，平面，设点、的运动轨迹的长度分别为、，则 　　． 8．（2022秋•峨眉山市校级期中）棱长为2的正方体中，是棱的中点，过、、作正方体的截面，则截面的面积是　　． 9．（2020秋•东兴区校级期中）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求证：为的中点． 10．（2022秋•威远县校级期中）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积． 11．（2022秋•仁寿县校级期中）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）设为棱上的中点，求证：平面平面． 12．（2021秋•东坡区校级期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． （1）求证：若是棱的中点，则平面平面； （2）求三棱锥的体积． ( 题型03 ) 直线与直线垂直 13．（2024秋•四川校级期中）已知三棱柱中，侧面底面，则“”是“ “的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2024秋•渠县校级期中）如图所示，是四边形所在平面外的一点，四边形是且边长为的菱形，△为正三角形，其所在平面垂直于底面，为的中点．求证： （1）平面； （2）． 15．（2023春•渠县校级期中）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法中不正确的是　　 A．平面 B． C．直线与平面所成的角为 D．异面直线与所成的角为 16．（2023春•涪城区校级期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，，平面，于．给出下列四个结论： ①； ②平面； ③平面； ④． 其中正确的选项是 　　． ( 题型04 ) 直线与平面垂直 17．（2024春•隆昌县校级期中）如图：直三棱柱中，，．为的中点，点在上且． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积． 18．（2023秋•东坡区校级期中）如图，已知四棱锥中，是的中点，平面，为等边三角形，，． （1）求证：平面． （2）求证：平面． 19．（2022秋•仁寿县校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在的平面垂直于底面． （1）若为边的中点，求证：平面； （2）若为边的中点，能否在棱上找一点，使得平面？并证明你的结论． 20．（2022秋•大竹县校级期中）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，． （1）证明：平面； （2）求证：平面平面． 21．（2022秋•射洪市校级期中）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，，，分别是和的中点．求证： （1）平面； （2）平面． ( 题型0 5 ) 平面与平面垂直 22．（2022春•贡井区校级期中）设，是两个不同的平面，是直线，且，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既充分也不必要条件 23．（2023春•嘉陵区校级期中）在四棱锥中，，，平面，，分别为，的中点，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小． 24．（2023秋•阆中市校级期中）空间四边形的各边及对角线长度都相等，、、分别是、、的中点，下列四个结论中不成立的是　　 A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 25．（2022秋•船山区校级期中）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求证：平面平面． （多选）1．（2023秋•市中区校级期中）如图，在正方体中，，，分别为，，的中点，则以下结论正确的是　　 A． B．平面平面 C．平面 D．异面直线与所成角的余弦值是 2．（2023秋•市中区校级期中）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2． （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2024秋•仁寿县期中）如图，长方体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，为棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成的角． 4．（2024秋•威远县校级期中）如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 空间直线、平面的平行垂直关系5种常考题型总结 题型概览 题型01直线与平面平行 题型02平面与平面平行 题型03直线与直线垂直 题型04直线与平面垂直 题型05平面与平面垂直 ( 题型01 ) 直线与平面平行 1．（2024春•屏山县校级期中）如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，为侧棱上的点． （1）若，要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（请写出必要作图说明） （2）若，在线段上是否存在一点，使直线平面？如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段的长． 【解析】（1）因为，所以为的中点， 作，交于，则为的中点，连接，， 则，由题意知四边形为平行四边形，则， 故，即，，，共面， 故要经过点和棱将木料锯开，在木料表面沿线段，，画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点，使直线平面， 连接并延长交于，连接， 因为平面，平面，平面平面， 故，则， 由题意知四边形为正方形，故， 则，即假设成立， 故在线段上存在一点，使直线平面，此时； 由于，，故，故， 中，，则 ， 即，而，， 故，则． 2．（2024春•仁寿县校级期中）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）设平面平面，求证：． 【解析】（1）连接，交于点，连接， 是平行四边形，为中点， 为侧棱的中点，． 且平面，平面，平面． （2）为平行四边形，，平面， 平面，平面． 又平面平面，平面， ． 3．（2024春•屏山县校级期中）如图，在四棱锥，底面是矩形，平面，，分别是，的中点．求证： （1）平面； （2）平面． 【解析】（1）证明：，分别是，中点， ， 又平面，平面， 平面． （2）证明：平面，平面， ， 又是矩形， ，又，，平面， 平面． 4．（2024春•射洪市校级期中）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，，分别是棱，的中点，平面与平面交于，求证： （1）平面； （2）． 【解析】证明：（1）如图，取的中点，连接，． ，分别是，的中点， ． 平面，平面， 平面． 是的中点，四边形是平行四边形， ． 又平面，平面， 平面． ， 平面平面． 平面， 平面． （2）平面平面， 且平面平面， 平面平面 5．（2014春•隆昌县校级期中）如图：在正方体中，为棱的中点 （1）求证：平面 （2）求证：． 【解析】证明：（1）连接交于，连． 因为为正方形对角线的交点， 所长为、的中点． 在中，、分别为、的中点， 所以． 又平面，所以平面． （2）由正方形的性质可得 又由正方体的几何特征可得：平面 又平面 又 平面 平面 ( 题型02 ) 平面与平面平行 6．（2023秋•市中区校级期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为，、、分别为、、的中点． （1）求证：平面平面； （2）求证：． 【解析】证明：（1）因为、、分别为、、的中点， 底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理可得平面， 所以平面平面； （2）， 平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以． 7．（2022秋•船山区校级期中）已知正方体—的棱长为2，点、在正方体的表面上运动，分别满足：，平面，设点、的运动轨迹的长度分别为、，则 　　． 【解析】点、在正方体的表面上运动，由，则的轨迹为半径为2的球与正方体表面的交线， 即3个半径为2的圆弧，故． 正方体中，，，，， 、平面，、平面，故平面平面， 当在△上时，即满足平面且在正方体的表面上，故， 故． 故答案为：． 8．（2022秋•峨眉山市校级期中）棱长为2的正方体中，是棱的中点，过、、作正方体的截面，则截面的面积是　　． 【解析】如图，由面面平行的性质知截面与平面的交线是△的中位线，所以截面是梯形， 易求其面积为． 9．（2020秋•东兴区校级期中）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求证：为的中点． 【解析】证明：（1）如图， ，分别为，的中点，， 平面，平面，平面， 又，分别为，的中点，， 又，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面， 又， 平面平面； （2）平面平面，平面平面， 平面与平面有公共点，则有经过的直线，设交， 则，得， 为的中点，为的中点． 10．（2022秋•威远县校级期中）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积． 【解析】（1）证明：如图所示，连接， 由为的中位线，可得， 由平面，平面，可得平面； 由为的中位线，可得， 由平面，平面，可得平面， 又，，面，可得平面平面； （2）取的中点，连接，，显然，， 所以为平行四边形，可得，， 取的中点，连接，，显然，， 所以为平行四边形，可得，， 综上，截面为平行四边形，又， 所以截面为菱形，截面的面积为． 11．（2022秋•仁寿县校级期中）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）设为棱上的中点，求证：平面平面． 【解析】证明：（1）在四棱柱中，连接，如图， 因，分别是，的中点，则有， 又平面，平面， 所以平面； （2）是中点，使得平面平面，理由如下： 取的中点，连接，，而是的中点，于是得， 而平面，平面， 从而得平面， 由（1）知平面， ，且、平面， 因此，平面平面， 所以当是的中点时，平面平面． 12．（2021秋•东坡区校级期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． （1）求证：若是棱的中点，则平面平面； （2）求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：取的中点，连接，． ，，分别是，，的中点， ，且，． ，且，，且， 四边形为平行四边形， ． 连接，，是棱的中点，， ，， 平面平面． （2），，，． 三棱锥为： ． ( 题型03 ) 直线与直线垂直 13．（2024秋•四川校级期中）已知三棱柱中，侧面底面，则“”是“ “的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】三棱柱中，侧面底面， 由，推导不出，充分性不成立， 由面面垂直的性质得，，必要性成立， “”是“ “的必要而不充分条件． 故选：． 14．（2024秋•渠县校级期中）如图所示，是四边形所在平面外的一点，四边形是且边长为的菱形，△为正三角形，其所在平面垂直于底面，为的中点．求证： （1）平面； （2）． 【解析】（1）四边形是且边长为的菱形， 所以△为等边三角形，又为的中点， 所以， 又因为面面，面，面面， 所以平面； （2）△为正三角形，为的中点． 所以，又，，面，面， 所以面，又因为面， 所以． 15．（2023春•渠县校级期中）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法中不正确的是　　 A．平面 B． C．直线与平面所成的角为 D．异面直线与所成的角为 【解析】在正方体中，取棱，中点，，连接，，， 因为，分别为，的中点， 则，， 因此四边形为平行四边形，则，平面，平面，所以平面，正确； 因为平面，则，所以，正确； 显然平面，则是与平面所成的角，又，， 有，由于，所以直线与平面所成的角为，错误； 因为，，则是异面直线与所成的角，显然，正确． 故选：． 16．（2023春•涪城区校级期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，，平面，于．给出下列四个结论： ①； ②平面； ③平面； ④． 其中正确的选项是 　　． 【解析】在中，，，， 可得， 即有，可得； 由平面，可得， 而，可得平面； 由平面，可得， 而，又， 可得平面，即有． 故答案为：①②③④． ( 题型04 ) 直线与平面垂直 17．（2024春•隆昌县校级期中）如图：直三棱柱中，，．为的中点，点在上且． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积． 【解析】（Ⅰ）在直三棱柱中，，， 为等腰直角三角形，， 为的中点，， 又， ，即为的中点， ． 又，， 平面． （Ⅱ）平面， 是三棱锥的高，且． ， ． 又． 三棱锥的体积为1． 18．（2023秋•东坡区校级期中）如图，已知四棱锥中，是的中点，平面，为等边三角形，，． （1）求证：平面． （2）求证：平面． 【解析】证明：（1）取中点，连接，， 在中，，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面． （2）为等边三角形，是的中点，， 平面，平面，， 又，平面， 由（1）知，平面． 19．（2022秋•仁寿县校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在的平面垂直于底面． （1）若为边的中点，求证：平面； （2）若为边的中点，能否在棱上找一点，使得平面？并证明你的结论． 【解析】（1）证明：在底面菱形中，，为边的中点， 所以，所以，又平面平面，平面平面， 所以平面． （2）连接，，，设交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面，所以， 由于底面为菱形，为的中点，所以，所以， 由，可得， 所以存在点为棱上靠近的三等分点，可使平面． 20．（2022秋•大竹县校级期中）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，． （1）证明：平面； （2）求证：平面平面． 【解析】证明：（1）连接交于点，连接， 因为平面，且，平面， 所以，； 因为在正方形中，，， 所以平面，且平面，故； 在正方形中，因为，所以， 在△中，因为，所以， 因为平面，且，且， 所以四边形为正方形，则， 又平面，且平面，且， 所以平面； （2）由已知得，，则，又， 所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面，同理平面，又， 且平面，平面， 所以平面平面． 21．（2022秋•射洪市校级期中）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，，，分别是和的中点．求证： （1）平面； （2）平面． 【解析】证明：（1）是正三角形，垂直于平面， ，分别是和的中点． ，平面． （2）是正三角形，和都垂直于平面， 且，，，分别是和的中点． ，，且， ，且， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面． ( 题型0 5 ) 平面与平面垂直 22．（2022春•贡井区校级期中）设，是两个不同的平面，是直线，且，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既充分也不必要条件 【解析】，则“” “”，反之不成立，可能与相交不垂直． ，则“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 23．（2023春•嘉陵区校级期中）在四棱锥中，，，平面，，分别为，的中点，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小． 【解析】（1）证明：设，可得， 在直角三角形中，， 所以是等腰三角形， 又是的中点，可得， 由平面，， 是斜线在平面上的射影， 由三垂线定理可得， 由于是的中位线，可得， 所以， 又，所以平面， 又平面， 可得平面平面； （2）取的中点，连接，取的中点，连接，， 由，平面，可得平面， 又，，可得， 因为是斜线在平面上的射影， 由三垂线定理可得， 所以是二面角的平面角， 二面角的平面角与互补． 在中，，，， 可得， 在直角三角形中，，， 可得， 即有， 则二面角的大小为． 24．（2023秋•阆中市校级期中）空间四边形的各边及对角线长度都相等，、、分别是、、的中点，下列四个结论中不成立的是　　 A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【解析】空间四边形的各边及对角线长度都相等， 、、、分别是、、、的中点， ，又平面，平面， 平面，故正确； ，，， 平面，故正确； ，，， 平面， 平面， 平面平面，故正确． 故选：． 25．（2022秋•船山区校级期中）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求证：平面平面． 【解析】证明：（1）因为平面，所以， 因为底面是菱形，所以， 因为，，平面， 所以平面． （2）因为底面是菱形且， 所以为正三角形，所以， 因为，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，所以平面， 因为平面， 所以平面平面． （多选）1．（2023秋•市中区校级期中）如图，在正方体中，，，分别为，，的中点，则以下结论正确的是　　 A． B．平面平面 C．平面 D．异面直线与所成角的余弦值是 【解析】对于，连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，而平面，所以， 所以在△中，与不垂直，所以，不垂直，故不正确； 对于，连接，，因为，分别为，的中点， 所以，所以四点，，，共面， 所以平面平面，故正确； 对于，连接，则且，又且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面，故正确； 对于，连接，易知，异面直线与所成角即直线与所成角，即， 设正方体的棱长为2，所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值是，故错误． 故选：． 2．（2023秋•市中区校级期中）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2． （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）解：为正三角形，为中点， ， 又平面平面，平面平面， 平面， 又平面， ， 为二面角的平面角， ， 又，， 底面为正方形． 又易得， 四棱的体积． （2）证明：由（1）知，平面，平面， ， 在正方形中，易知， ， 而， ， ， ， 平面， 平面， ． （3）解：设，连接，． 平面． 为直线与平面所成的角， 可求得，，， ， 又，， ， 直线与平面所成角的正弦值为． 3．（2024秋•仁寿县期中）如图，长方体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，为棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成的角． 【解析】证明：（1）由题意可知，底面是边长为1的正方形，侧棱，为棱的中点， ， ， ， ， ， 又， 平面， 平面， 平面平面． 解：（2）由（1）可知平面，因此为直线与平面所成的角的余角， 在中，，， ， ， 从而直线与平面所成的角为． 4．（2024秋•威远县校级期中）如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． 【解析】证明：（1）因为，分别为棱，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为为圆的直径，所以． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 由（1）知，所以平面，又平面， 所以平面平面． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$