命题大赛 浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学期末模拟试卷（二）（人教A版）

**基本信息** 整合高考真题与原创情境题，如田忌赛马策略分析、乒乓球比赛概率计算，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、函数、解三角形|含2022新高考真题，第8题以田忌赛马为情境考查策略优化| |多选题|3/18|三角函数性质、立体几何|第11题定义“k倍增区间”，考查创新理解能力| |填空题|3/15|向量投影、分层抽样|结合分层抽样实际问题，考查数据处理| |解答题|5/77|体积计算、解三角形开放题、概率探究|第16题开放选择条件，第19题以乒乓球比赛为情境探究概率计算|

浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学期末模拟试卷 考试范围：人教A版必修第一册，必修第二册 考生须知： 1.本卷考试分值为150分，考试时间为120分钟， 2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息， 3.请将答案正确填写在答题卡上。 第I卷（选择题）（共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（原创）已知，则其共轭复数模长为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 5．（2026·安徽合肥·三模）如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·四川广元·三模）某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（   ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A．45.8 B．140.8 C．176 D．183.2 7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 8．（探究题、新情境题）（原创）田忌赛马的故事一直为人所津津乐道，共体现了博弈的魅力.已知甲有三匹马，乙有三匹马，这些马之间比赛获胜的概率如下表所示.甲和乙进行三轮赛马游戏，每轮比赛甲和乙各选择一匹马比拼胜负，且每匹马至多进行两轮比赛，最终胜的轮数多的人获胜.在比赛之前，甲和乙先根据下表采用最优的选马策略选出所有参赛的马，并确定它们的参赛顺序，有下列两个命题： ①若，甲最优的选马策略为让马出战一次，马出战两次； ②若，，三轮游戏结束后，甲赢的概率为. 马与马对弈时，马获胜的概率 则下列说法正确的是（   ） A．命题①正确，命题②错误 B．命题①错误，命题②正确 C．命题①错误，命题②错误 D．命题①正确，命题②正确 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．（原创）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在上单调递减 B．若，则的最小值为2 C．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象与关于轴对称，则的最小值为6 D．若在上无零点，则的取值范围为 10．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 11．（新定义题）（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数在区间上是增函数，且当时，，则称为的“k倍增区间”，则（   ） A．为的“1倍增区间” B．二次函数存在“3倍增区间” C．函数存在“1倍增区间” D．若函数存在“1倍增区间”，则m的取值范围是 第II卷（非选择题）（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 13．（25-26高二·全国·暑假作业）某高中在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 跑步 登山 其中，全校参与登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次活动的满意程度，按比例分配的分层随机抽样方法从中抽取一个200人的样本进行调查，则样本中参与跑步的人数为________，从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________． 14．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，在圆柱中，轴截面是正方形，C在圆O的圆周上，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（24-25高一下·浙江·阶段检测）如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. (1)计算该模型的体积.（结果精确到） (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 16．（开放题）（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 17．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：；(2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 19．（探究题、新情境题）（24-25高一下·浙江宁波·期末）乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值； (2)若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”. （i）求； （ii）直接写出. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学期末考试模拟卷 整体难度：适中 考试范围：集合与常用逻辑用语,复数,函数与导数,三角函数与解三角形,空间向量与立体几何,计数原理与概率统计,平面向量 试卷题型 题型 数量 单选题 8 多选题 3 填空题 3 解答题 5 试卷难度 难度 题数 容易 3 适中 12 困难 4 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、选择题 1 0.85 交集的概念及运算 2 0.75 复数的除法运算；求复数的模；复数的相等 3 0.85 已知分段函数的值求参数或自变量 4 0.65 正弦定理边角互化的应用；二倍角的正弦公式；余弦定理解三角形；二倍角的余弦公式 5 0.65 球的表面积的有关计算；圆柱表面积的有关计算 6 0.65 计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；估计总体的方差、标准差 7 0.4 比较指数幂的大小；比较对数式的大小；用导数判断或证明已知函数的单调性 8 0.15 独立事件的乘法公式 二、多选题 9 0.4 辅助角公式；求图象变化前（后）的解析式；利用正弦型函数的单调性求参数；根据函数零点的个数求参数范围 10 0.55 求点面距离；求线面角；求异面直线所成的角 11 0.5 函数新定义；求函数的单调区间；利用函数单调性求最值或值域 三、填空题 12 0.75 向量垂直的坐标表示；求投影向量 13 0.75 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 14 0.7 求异面直线所成的角 四、解答题 15 0.85 圆柱表面积的有关计算；锥体体积的有关计算 16 0.65 正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形 17 0.65 求线面角；证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直 18 0.65 抽象函数的定义域；函数基本性质的综合应用；定义法判断或证明函数的单调性；根据函数的单调性解不等式 19 0.4 独立事件的乘法公式；互斥事件的概率加法公式 知识点分析 序号 知识点 对应题号 1 集合与常用逻辑用语 1 2 复数 2 3 函数与导数 3,7,9,11,18 4 三角函数与解三角形 4,9,16 5 空间向量与立体几何 5,10,14,15,17 6 计数原理与概率统计 6,8,13,19 7 平面向量 12 难度分布 容易 适中 困难 15.79 63.16 21.05 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学期末模拟试卷（参考答案及详解详细） 考试范围：人教A版必修第一册，必修第二册 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 评分标准：(不选，多选，错选均不得分） 题号 1 2 3 4 答案 D C B D 题号 5 6 7 8 答案 D B C A 1．D 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故，故选：D 2．C 【难度】0.75 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数的除法运算 【分析】设复数，通过对已知等式变形，结合复数的运算、复数相等或模的运算性质求解即可. 【详解】由有意义，可知. 设复数，， 则， ，所以，解得或. 当时，则为实数，此时方程，即，无实根. 故，因此，解得或（舍去），即. 3．B 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 4．D 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】根据，结合二倍角公式及正弦定理求出，再由余弦定理求出或，讨论舍去即可求出答案. 【详解】由，得，所以. 由余弦定理，得，解得或. 若，则，得，又由且，得， 所以，与矛盾；若，由余弦定理得， 又，且， 所以，符合题意．综上所述，. 5．D 【难度】0.65 【知识点】圆柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】结合球和圆柱的表面积公式求解. 【详解】如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r 由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有，故，所以剩余几何体的表面积为. 6．B 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、估计总体的方差、标准差 【分析】求出平均数后，利用所给方差公式计算即可得. 【详解】这50个苹果的平均数， 则方差 . 7．C 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以，故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以，故选：C. 8．A 【难度】0.15 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】为获得胜利，甲、乙会优先选择对阵所有对手平均胜率更高的马匹参赛. 【详解】对于命题①，若，赢的概率高于和， 所以甲优先选择对阵所有对手胜率更高的马匹参赛， 尽可能多出战，但最多出战两次，所以让出战两次，又因为赢的概率高于，所以马出战一次，故①正确； 对于命题②，若，， 胜率表为： 甲方较优的参赛马应为一次、两次；乙方为了降低甲胜率，应取两次、一次. 这时不管怎么排顺序，甲三轮单场胜率只会出现两类情况： 一种是.则甲至少赢两轮的概率为另一种是. 则甲至少赢两轮的概率为 这两个值都不是，如果把双方的出战顺序也按随机来计算，概率会是，也不是. 故命题②错误. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 评分标准：(不选，错选均不得分）（选对一个选项得2分，选对两个选项得4分，选对三个选项得6分） 题号 9 10 11 答案 BCD ACD ABD 9．BCD 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式 【分析】对于A，根据正弦型函数的单调性判断即可；对于B，根据，得到或，，判断即可；对于C，根据图像的平移变换结合所得图象与关于轴对称，得到，，判断即可；对于D，根据在上无零点，列方程组求解即可. 【详解】. 对于A，若，，当时，， 又在上单调递增，故A错误. 对于B，若，则，即， 所以或，，即或，， 又，所以的最小值为2，故B正确. 对于C，将函数的图象向右平移个单位，得到. 因为与关于轴对称，所以， 所以或，， 即，或，， 又，所以的最小值为6，故C正确. 对于D，若在上无零点，则，， 解得，. 又，当时，；当时，； 当时，，此时无解， 故若在上无零点，则的取值范围为，D正确. 10．ACD 【难度】0.55 【知识点】求异面直线所成的角、求点面距离、求线面角 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值. 【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确；    因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 11．ABD 【难度】0.5 【知识点】求函数的单调区间、利用函数单调性求最值或值域、函数新定义 【分析】根据 “倍增区间” 的定义，对每个选项：先判断函数在候选区间上的单调性；再联立求解区间端点，验证值域是否为；结合方程根的存在性与单调性，最终判断选项正误. 【详解】对于A：函数在单调递增，值域为，即，是的“1倍增区间”，A正确； 对于B：函数，其单调增区间是， 取，则在单调递增，值域为，即， 即二次函数存在“3倍增区间”，B正确； 对于C：在和单调递增，若存在“1倍增区间”，则 因为方程，即无实根，所以方程组无解，故不存在“1倍增区间”， C错误； 对于D：函数在单调递增，若存在“1倍增区间”，则，令，则， 方程组有解，即方程，也即在有两个不同的实根， 令，则，解得，D正确. 【点睛】利用单调性转化为方程有两异根问题，数形结合判别根的分布. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 【难度】0.75 【知识点】向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】根据列方程求得，根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】由于，所以，解得， 所以，所以在方向上的投影向量的坐标为. 13．120；36（第一个空2分，第二个空3分） 【难度】0.75 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【详解】根据题意可知，样本中参与跑步的人数为， 所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为． 14．/0.7 【难度】0.7 【知识点】求异面直线所成的角 【详解】如图，设圆O的半径为r，延长BA至点D，使， 连接，CD，AC，则，， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 则或其补角为异面直线与所成的角， 因为，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分）（其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15．(1) (2)（元） 【难度】0.85 【知识点】圆柱表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解； （2）求出该模型的表面积，进而可得出答案. 【详解】（1）设圆锥的高为，由题意得圆锥母线为10cm，则，....2分 ；.............................................................................5分 （2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，.................................7分 圆锥侧面积为.，...........................................11分 故总费用为（元）.................................................................................13分 16．(1)6 (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解； （2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面积法求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解. 【详解】（1）因为，所以，...........................3分 由正弦定理有，解得；...................................................6分 （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在；(若选①不得分） 若选②，，由有，.........................................8分 由正弦定理得,所以，..............................................................................................10分 所以由余弦定理得,........................11分 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即，..........................................13分 所以边上的高；...............................................................................................15分 若选③，的面积是，则，...................8分 解得，由余弦定理可得,............11分 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，..............................................................................................13分 即............................................................................................................................15分 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.64 【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由题意可得平面，进而可得，又，进而可得平面，可证结论； （2）由（1）可证，利用已知计算可得，可得，利用线面垂直的判定定理可证结论； （3）由（2）得为直线与平面所成的角，计算求解即可. 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得................................1分 在正三棱柱中，可得平面，又平面， 所以..............................................................................................................................3分 因为，且平面，所以平面，...........................5分 又因为平面，所以..............................................................................6分 （2）由（1）得平面，因平面，则...........................7分 又，则， ，所以，可得，..........9分 因平面，故平面..................................................11分 （3）由（2）得平面，所以为直线与平面所成的角............12分 又，所以，...................................................14分 所以直线与平面所成角的正弦值为................................................................15分 18．(1)证明见解析 (2)单调递增 (3) 【难度】0.68 【知识点】抽象函数的定义域、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数单调性解不等式 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）由题可知，所以，.......................3分 因为，又， 所以，所以当时，；.............................6分 （2）任取，则，又， 所以，所以在上的单调递增；...............................10分 （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且，....................12分 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ，............................................13分 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得，所以的取值范围为...............................................17分 19．(1) (2)（i）；（ii），. 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）记表示打第个球是甲胜，由题意可得，求解即可. （2）（i），为奇数；，为偶数，根据，，，互斥，各球的结果相互独立，计算可得结论；（ii）与（i）类似可得结论. 【详解】（1）记表示打第个球是甲胜，.............................................................................1分 两人又打了2个球比赛结束且甲获胜即，各球的结果相互独立， ，，，..............................4分 （2）（i），为奇数；，为偶数. ....................................................................6分 ，，，互斥，各球的结果相互独立. ..................................................8分 ..................................................9分 ................................................10分 ................................................11分 ...................................13分 （ii），.......................................17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $