四川省眉山冠城实验学校2025-2026学年高一下学期人教A版数学周测6　阶段滚动卷(二)

**基本信息** 融合文化传承与真题导向，梯度覆盖复数、向量、解三角形等核心知识，强化数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数模、向量垂直、解三角形正弦定理|第6题改编2024全国甲卷真题，强化考点衔接| |多选|3/18|向量共线、复数性质、《数书九章》三斜求积术|第11题结合古代数学典籍，体现文化传承| |填空|3/15|复数运算、向量模、折扇动态几何问题|第14题以传统工艺品为情境，培养空间观念| |解答|5/77|复数综合、向量与解三角形、运动追及应用、三角函数与向量交汇|第17题航海追及问题，发展数学建模与运算能力；第19题结合三角函数最值与角平分线，提升逻辑推理素养|

周测6　阶段滚动卷(二) (时间：120分钟　分值：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.若复数z满足(2+i)z=4-(1+i)2(其中i是虚数单位)，则|z|等于 A.2 B.4 C. D.2 2.已知向量a为单位向量，b=(1，1)，且(a+b)⊥(-2a+b)，则a与b的夹角为 A. B. C. D. 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=30°，a=，c=3，则等于 A.2 B. C.2 D. 4.如图，△ABC外接圆的圆心为O，AB=2，AC=，BC=3，则·的值为 A. B. C.2 D.3 5.某船在海面上航行至A处，测得山顶P位于其正西方向且仰角为45°，该船继续沿南偏东30°的方向航行5百米至B处，测得山顶P的仰角为30°，则该山顶高于海面 A.2.5百米 B.5百米 C.5 百米 D.5 百米 6.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=，b2=ac，则sin A+sin C等于 A. B. C. D. 7.过△ABC的中线AD的中点E作直线PQ分别交AB，AC于P，Q两点，若=m，=n，则+等于 A.4 B. C.3 D.1 8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若4ccos B=4a+b，且△ABC的面积为2，则3a2+c2的最小值为 A.84 B.72 C.64 D.56 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知向量a=(-6，3)，b=(1，t)，则 A.当a+b=(-5，4)时，t=1 B.当a⊥b时，t=- C.当a与b的夹角为锐角时，t的取值范围为(2，+∞) D.当t=3时，a在b上的投影向量为 10.已知z1，z2∈C，下列说法错误的是 A.若z1=i+i2+i3+…+i2 023，则z1∈R B.若z1+z2>0，则z1= C.若|z1-z2|=0，则z1=z2 D.若z1=3-4i，|z2-z1|=3，则|z2|的最大值为6 11.《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边a，b，c，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S=.现有△ABC满足sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶，且△ABC的面积S=6，请运用上述公式判断下列结论正确的是 A.△ABC的周长为10+2 B.△ABC三个内角A，B，C满足2C=A+B C.△ABC外接圆的直径为 D.△ABC的中线CD的长为3 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.设i是虚数单位，复数z=a+bi(a，b∈R)，若z2=4+2i，则ab=　　　　.  13.已知向量a，b共线，且|a|=2|b|=2，则|a+b|=　　　　　　　　　.  14.折扇(图1)是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形OCD为一把折扇展开后的平面图，其中∠COD=，OC=OD=1，M是弧CD上的动点(包括端点)，其中E，F分别是OC，OD的中点，则·的取值范围为　　　　　　.  四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知复数z1=(a+i)2，z2=4-3i，其中a∈R. (1)若z1=iz2，求a的值；(6分) (2)若是纯虚数，求a的值.(7分) 16.(15分)已知向量a与b的夹角为45°，且|a|=1，|2a-b|=. (1)求|b|的值；(7分) (2)在△ABC中，=a，=b，且=2，求·.(8分) 17.(15分)如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时5 km的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市25 km，且与海岸距离为15 km的海上B处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员. (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？(8分) (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角.(7分) 18.(17分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知asin C+ccos A=c，A为锐角. (1)求A；(8分) (2)在①△ABC的面积为2；②·=12；③|+|=||这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并回答问题. 问题：若a=2，b>c，　　　　，求b，c的值.(9分)  注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 19.(17分)已知向量m=(sin x，1)，n=.令函数f(x)=(m+n)·m. (1)求函数f(x)的最大值；(7分) (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于D.其中，函数值f(C)恰好为函数f(x)的最大值，且此时CD=f(C)，求3a+b的最小值.(10分) 参考答案 1.答案　A 解析　依题意得z===-i，故|z|==2. 2.答案　D 解析　因为|a|=1，|b|=，又因为(a+b)⊥(-2a+b)，所以(a+b)·(-2a+b)=0，即-2a2-a·b+b2=0， 从而a·b=0，即a⊥b，所以a与b的夹角为. 3.答案　C 解析　在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，即b2=()2+32-2×3×，解得b=. 在△ABC中，由正弦定理得a=2Rsin A，b=2Rsin B，R为△ABC外接圆的半径. 则==2R===2. 4.答案　A 解析　取BC的中点D，连接AD，OD， 则OD⊥BC，=+)，=-， 所以·=(+)·=·+· =·=+)·(-)=-)=×[-22]=. 5.答案　B 解析　如图所示，设△ABC所在平面为海平面， 山顶高于海面的距离为PC，设PC=h，由题意，PC⊥AC，PC⊥BC，∠PAC=45°，∠PBC=30°，∠CAB=120°， 所以AC==h，BC==h， 在△ABC中，AB=5，∠CAB=120°，由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos 120°， 即(h)2=h2+52-2×h×5×，即2h2-5h-25=0，解得h=5或h=-2.5(舍去)， 所以该山顶高于海面5百米. 6.答案　C 解析　因为B=，b2=ac， 则由正弦定理得sin Asin C=sin2B=. 由余弦定理可得， b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac， 即a2+c2=ac， 根据正弦定理得 sin2A+sin2C=sin Asin C=， 所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=， 因为A，C为三角形内角，则sin A+sin C>0， 则sin A+sin C=. 7.答案　B 解析　由4ccos B=4a+b及正弦定理可得 4sin Ccos B=4sin A+sin B， ∴4sin Ccos B=4sin(B+C)+sin B， 即4sin Bcos C+sin B=0，又sin B>0， 故cos C=-，故sin C=， 由S△ABC=absin C=2，解得ab=16， 由余弦定理可得3a2+c2=3a2+a2+b2-2abcos C=4a2+b2+8≥4ab+8=72， 当且仅当b=2a=4时，等号成立，故3a2+c2的最小值为72. 8.答案　A 解析　由D为BC的中点可知， =+)， 设=λ，0<λ<1， 则=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ， ∵=m，=n， ∴=(1-λ)m+λn. ∵==+)， 且与不共线， ∴解得 ∴+=4. 9.答案　ACD 解析　对于A，由a+b=(-5，t+3)=(-5，4)，可得t=1，故A正确；对于B，当a⊥b时，a·b=-6+3t=0，解得t=2，故B错误；对于C，a与b的夹角为锐角等价于解得t>2且t≠-，即t的取值范围为(2，+∞)，故C正确；对于D，当t=3时，b=(1，3)，a·b=3，|b|=，则a在b上的投影向量为·b=b=，故D正确. 10.答案　BD 解析　对于A，因为i4k+1=i，i4k+2=-1，i4k+3=-i，i4k+4=1，k∈N， 所以z1=i+i2+i3+…+i2 023=i-1-i=-1∈R，故A正确； 对于B，当z1=1，z2=2时，z1+z2=3>0，此时=2≠z1，故B错误； 对于C，若|z1-z2|=0，则z1-z2=0，所以z1=z2，故C正确； 对于D，由|z2-z1|=3可知，复数z2在复平面内对应的点的轨迹为以M(3，-4)为圆心，3为半径的圆，记为圆M，如图，|z2|表示圆M上的点到原点O的距离，又|OM|==5， 所以|z2|的最大值为5+3=8，故D错误. 11.答案　ABC 解析　由正弦定理可得a∶b∶c=2∶3∶. 设a=2m，b=3m，c=m(m>0)， ∴S==m2=6， 解得m=2(负值舍去)， ∴△ABC的周长为a+b+c=4+6+2=10+2，故A正确； 由余弦定理得 cos C===， ∵C∈(0，π)， ∴C=. ∵A+B+C=π， ∴A+B=， ∴2C=A+B，故B正确； 由正弦定理知，△ABC外接圆的直径 2R===，故C正确； 由∠BDC+∠ADC=π及余弦定理得+=0，化简得a2+b2=c2+2CD2， 即CD2=×=19， ∴CD=，故D错误. 12.答案　1 解析　∵复数z=a+bi(a，b∈R)， ∴z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi=4+2i， ∴2ab=2， ∴ab=1. 13.答案　1或3 解析　由向量a，b共线，可知向量a，b可能同向、可能反向，当向量a，b同向时，由|a|=2|b|=2，则|a+b|=|2b+b|=3；当向量a，b反向时，由|a|=2|b|=2，则|a+b|=|-2b+b|=1，即|a+b|等于1或3. 14.答案　 解析　以O为原点，直线OC为x轴建立平面直角坐标系，连接MO， 则E，F，设∠MOC=θ，0≤θ≤，则M(cos θ，sin θ)， =，=， 因此·=+(-sin θ) =cos2θ+sin2θ-sin θ-cos θ-=-sin，0≤θ≤， 而≤θ+≤，则≤sin≤1，所以≤·≤， 即·的取值范围为. 15解　(1)∵z1=(a+i)2，z2=4-3i，z1=iz2， ∴(a+i)2=i(4-3i)，即a2-1+2ai=3+4i，从而解得a=2， ∴a的值为2. (2)===， ∵是纯虚数，∴解得a=2或a=-. ∴a的值为2或-. 16解　 (1)因为|2a-b|=， 即4|a|2-4|a||b|cos 45°+|b|2=10， 故|b|2-2|b|-6=0， 解得|b|=3(|b|=-舍去). (2)因为=2，故=+=+=+-)=+， 故·=·(-) =-+-·=-a2+b2-a·b =-×12+×-×1×3× =. 17解　(1)设小艇以v km/h的速度从B处出发，沿BC方向，t h后与运动员在C处相遇，过B作AC的垂线BD，如图所示，则BD=15，AB=25，得AD=20，则sin∠BAC==，cos∠BAC==.在△ABC中，AB=25，AC=5t，BC=vt， 由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC， 即v2t2=252+(5t)2-2×25×5t×， 整理得v2=-+25=625+9. 当=，即t=时，v2取得最小值9，即vmin=3， 所以小艇至少以3 km/h的速度行驶才能追上这位运动员. (2)当v=3时， 在△ABC中，AB=25，AC=5×=，BC=3×=， 由余弦定理，得cos∠ABC===0， 所以∠ABC=90°， 所以小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角为90°. 18解　 (1)∵asin C+ccos A=c， ∴sin Asin C+sin Ccos A=sin C， ∵C∈(0，π)，∴sin C>0，∴sin A+cos A=， ∴2sin=，即sin=， 又A为锐角， ∴A+∈， ∴A+=，即A=. (2)选①△ABC的面积为2， ∴bcsin A=2， ∴bc=8，又a2=b2+c2-2bccos A， ∴22=b2+c2-2bc×， 即4=(b+c)2-2bc-2bc×， ∴b+c=4+2，又b>c， ∴b=4，c=2. 选②·=12， ∴bccos A=12，即bc=8， 又a2=b2+c2-2bccos A， ∴22=b2+c2-2bc×， 即4=(b+c)2-2bc-2bc×， ∴b+c=4+2，又b>c， ∴b=4，c=2. 选③|+|=||， ∴=， ∴·=0，即B=， 又A=，a=2， 由正弦定理得b=4，c=2. 19.解　(1)∵m=(sin x，1)，n=， ∴m+n=， ∴f(x)=sin x(sin x+cos x)+ =sin 2x+sin xcos x+ =+sin 2x+=sin+1， ∴f(x)的最大值为2. (2)由f(C)恰好为函数f(x)的最大值可得 f(C)=sin+1=2， 即sin=1， ∵0<C<π，故-<2C-<， 故2C-=，故C=， ∴CD=f(C)=2. ∵S△ACD+S△BCD=S△ACB， 故×CD×bsin +×CD×asin =absin ， 整理得b+a=ab，所以+=. 故3a+b=(3a+b) =≥(4+2)=4+， 当且仅当b=a时，等号成立， 故3a+b的最小值为4+. 学科网（北京）股份有限公司 $