四川省眉山冠城实验学校2025-2026学年高一下学期人教A版数学周测4　平面向量的应用

**基本信息** 聚焦平面向量应用，通过物理做功、渔船作业等真实情境与梯度设计，检测解三角形及向量工具的综合运用，培养推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|6/30|正弦定理、余弦定理|第2题结合力做功，体现向量数量积的现实应用| |多项选择|3/18|三角形边角关系、投影向量|第8题以渔船方位为情境，考查解三角形的实际建模| |填空|3/15|三角形面积、最值问题|第12题含两空，从基础计算到取值范围，梯度明显| |解答题|3/37|综合定理应用、三角恒等变换|第15题结合锐角三角形条件求最值，与高考解三角形综合题命题趋势一致|

周测4　平面向量的应用 (时间：75分钟　分值：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=8，B=30°，C=105°，则b等于 A. B.4 C.4 D.4 2.一物体在力F的作用下，由点A(4，-2)移动到点B(5，4).已知F=(3，2)，则F对该物体所做的功为 A.-15 B.15 C.28 D.-28 3.在△ABC中，若sin2A=sin2B+sin Bsin C+sin2C，则A等于 A.30° B.60° C.120° D.150° 4.若△ABC的周长为15，面积为5，B=，则AC等于 A. B.6 C. D.7 5.在△ABC中，若a2+b2-c2=ab，且sin C=2sin Acos B，那么△ABC一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tan A=，且B为钝角，则sin A+sin C的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，b=3，c=2，则 A.sin A∶sin B∶sin C=∶3∶2 B.A= C.△ABC的面积为 D.·<0 8.如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北60°方向，C在B的东偏北30°方向，B在A的正东方向，已知A，B相距(-1)a n mile，B，C相距a n mile，则 A.D在C的北偏西60°方向 B.D在C的北偏西30°方向 C.D，C相距a n mile D.D，C相距a n mile 9.黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比.在顶角为∠BAC的黄金△ABC中，D为边BC上的中点，则 A.cos∠BAC= B.cos 342°= C.在上的投影向量为 D.= 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 10.如图，在△ABC中，已知点D在边BC上，AD⊥AC，sin ∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为　　　　.  11.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，a=2，且(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C，则△ABC面积的最大值为　　　　　　　.  12.在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于　　　　，AC的取值范围为　　　　.  四、解答题(本题共3小题，共37分) 13.(12分)如图，在平面四边形ABCD中，∠ACB与∠D互补，cos∠ACB=，AC=BC=2，AB=4AD. (1)求AB的长；(5分) (2)求sin∠ACD的值.(7分) 14.(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2a-b)sin A+(2b-a)sin B=2csin C. (1)求C；(6分) (2)若tan A=，求sin(2A-C)的值.(6分) 15.(13分)记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，bcos B=sin 2B. (1)求A；(6分) (2)求(-1)b+c的最大值.(7分) 参考答案 1.答案　D 解析　因为B=30°，C=105°，所以A=45°， 因为=，所以b===4. 2.答案　B 解析　由题意得=(1，6)，则F对该物体所做的功为1×3+6×2=15. 3.答案　D 解析　设内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ∵sin2A=sin2B+sin Bsin C+sin2C， ∴由正弦定理得a2=b2+bc+c2，∴cos A==-，又0°<A<180°，∴A=150°. 4.答案　A 解析　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a+b+c=15， 由三角形面积为5，且B=，得S△ABC=acsin B=5，解得ac=20， 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B=(15-b)2-2×20-2×20×， 解得 b=，即AC=. 5.答案　D 解析　因为a2+b2-c2=ab，所以由余弦定理可得cos C===， 因为C∈(0，π)，所以C=. 又由sin C=2sin Acos B，得sin(A+B)=2sin Acos B， 所以sin Acos B+cos Asin B=2sin Acos B，所以sin(A-B)=0， 因为A和B是三角形的内角，所以A-B=0，即A=B， 又因为C=，所以A=B=C=，所以△ABC是等边三角形. 6.答案　A 解析　由tan A=以及正弦定理得==，所以sin B=cos A， 即sin B=sin，又B为钝角，且+A∈，所以B=+A， C=π-(A+B)=-2A>0⇒A∈， 所以sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+，因为A∈，所以0<sin A<， 因此<-2+≤， 即sin A+sin C的取值范围是. 7.答案　ACD 解析　对于A，由正弦定理得，sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=∶3∶2，故A正确；对于B，由余弦定理得，cos A===，又0<A<π，所以A=，故B错误；对于C，由B项知，A=，所以S△ABC=bcsin A=×3×2×=，故C正确；对于D，因为与的夹角为π-A=，所以·=||·||cos=-||·||<0，故D正确. 8.答案　BC 解析　如图所示，∠DAB=45°，∠DBE=60°，∠DBC=∠CBE=30°，∠ADB=15°，又sin 15°=sin(45°-30°)=，所以在△ABD中，由正弦定理得=，解得BD=2a， 在△BDC中，由余弦定理得DC2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC=a2，所以DC2+BC2=BD2，则∠C=90°，所以D在C的北偏西30°方向，且D，C相距a n mile. 9.答案　ABD 解析　对于A，依题意可设AB=AC=2，则BC=-1， 则由余弦定理得cos∠BAC==，A正确； 对于B，设∠BAC=θ，则θ+2θ+2θ=180°，解得θ=36°，则∠DAC=18°， 所以cos∠DAC=cos 18°=cos(360°-18°)=cos 342°=，B正确； 对于C，如图，过B作BE⊥AC，垂足为E， 则在上的投影向量为=·cos∠BAC=，C错误； 对于D，=tan 2θ=tan 72°，==tan(27°+45°)=tan 72°，D正确. 10.答案　 解析　设∠BAD=θ，则sin∠BAC=sin(θ+90°)=cos θ，所以cos θ=，在△ABD中，由余弦定理得cos θ==，解得BD=. 11.答案　 解析　因为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C，根据正弦定理可知(a+b)(a-b)=(c-b)c，即b2+c2-a2=bc， 由余弦定理可知cos A==，又A∈(0，π)，故A=，又因为a=2，所以b2+c2-4=bc，4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc(当且仅当b=c时取等号)，即bc≤4，所以S△ABC=bcsin A≤×4×=，即△ABC面积的最大值为. 12.答案　2　(，) 解析　由正弦定理得=，所以AC==， 所以===2， 所以AC=2cos A，因为△ABC为锐角三角形，所以<A<， 所以AC的取值范围是(，). 13.解　(1)由题意知，在△ABC中，根据余弦定理得AB2=BC2+AC2-2AC·BCcos∠ACB =+-2×2×2×=16，解得AB=4. (2)∵AB=4且AB=4AD，∴AD=1， 又∠ACB与∠D互补，则cos D=-cos∠ACB=-， ∴sin D==， 在△ACD中，由正弦定理得=， ∴sin∠ACD===. 14.解　(1)∵(2a-b)sin A+(2b-a)sin B=2csin C， ∴(2a-b)a+(2b-a)b=2c2，即a2+b2-c2=ab， ∴cos C==， ∵0<C<π，∴C=. (2)由tan A=，可得cos A=，sin A=，∴sin 2A=2sin Acos A=，cos 2A=2cos2A-1=， ∴sin(2A-C)=sin 2Acos C-cos 2Asin C=×-×=. 15.解　(1)因为bcos B=sin 2B，所以bcos B=2sin Bcos B. 又△ABC为锐角三角形，故cos B>0，则=2=. 因为a=2，所以sin A=. 又A∈，故A=. (2)由正弦定理得===2， 则b=2sin B，c=2sin C. 由(1)知A=，则C=-B. 所以(-1)b+c=2-1)sin B+4sin C=(2-2)sin B+4sin =2sin B+2cos B=4sin， 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<B<， 所以<B+<， 所以当B+=，即B=时，(-1)b+c取得最大值4. 学科网（北京）股份有限公司 $