期末备考09——统计基础知识与基本方法梳理 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版数学必修二期末备考09 统计基础知识梳理及方法梳理 知识梳理： 一、全面调查(普查)、抽样调查 1.全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查.总体：调查对象的全体.个体：组成总体的每一个调查对象. 2.抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.样本：从总体中抽取的那部分个体.样本量：样本中包含的个体数. 二、简单随机抽样 1.(1)简单随机抽样的概念 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本。 放回简单随机抽样：如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等， 不放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等. 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样. (2)（不放回）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的. ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作. ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算. ④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性. 2．两种常见的简单随机抽样方法 1.抽签法：把总体中的个个体编号，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为的样本. 2.随机数法 (1)用随机试验生成随机数 (2)用信息技术生成随机数：①用计算器生成随机数；②用电子表格软件生成随机数；③用R统计软件生成随机数. (3)两种抽样方法的优缺点 3．总体平均数与样本平均数 1.总体平均数：一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，则称为总体均值，又称总体平均数. 2.样本平均数：如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，则称为样本均值，又称样本平均数. 三、分层随机抽样 1．分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即： ①； ②. (4)分层随机抽样的步骤 ①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层. ②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比. ③定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为总体中第i层所包含的个体数)，使得各ni之和为n. ④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本. (5)分层随机抽样的特点 ①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体； ②分成的各层互不重叠； ③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量; ④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法. 2．分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，第1层、第2层的样本平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为，则. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用估计总体平均数. 又，所以. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 四、频率分布直方图 1.（1）频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 第一步，求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差.第二步，决定组距与组数，组距＝ 第三步，将数据分组，通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间.第四步，列频率分布表，计算各小组的频率，作出频率分布表. 第五步，画频率分布直方图 (2)频率分布直方图的特征 ①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势；②从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据表示为频率分布直方图后，原有的数据信息就丢失③直方图中各小长方形的面积之和为1.④直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积． 3. 总体百分位数的估计 (1)概念：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)求解步骤：计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 4．频率分布直方图中的统计参数 (1)频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用中点近似代替. (2)频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.若x1，x2，…，xn的平均数为，那么的平均数为.  5．总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则总体方差. ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为，其中Yi出现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体方差为.总体标准差：. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+∞).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. (4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差和方差分别是 s＝ ， s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]， 标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． (5)标准差和方差的一些结论 若取值x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2. 二、方法梳理 1、百分位数的计算出错 例、某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50，，55，45，.已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 【解题方法】 求百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 2、平均数、方差的等数字特征的性质问题 例、已知一组样本数据（）的平均数为，方差为，则（    ） A．，，…，的平均数为 B．，，…，的方差为 C．，，…，的25%分位数为 D．，，…，的极差为 例、数据的平均数为，方差，现在增加两个数据和，则这组新数据的标准差为（    ） A． B． C． D． 【解题方法】 有关平均数的一些结论： ①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 ③如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为 ④如果一组数的方差为，则一组数的方差为； ⑤如果一组数的方差为，则一组数的方差为． 3、分层随机抽样中平均数与方差的计算 例、某校高二共有5000名学生，其中男生2600人，女生2400人．为分析某次数学成绩（总分150分），应用等可能的抽样方法随抽取100名学生，计算得到男生的平均分为108分，方差为6；女生的平均分为83分，方差为9． (1)若已知男、女样本量按比例分配，求所抽取的样本总平均分和总方差； (2)若男、女样本量分别为，，所抽取的样本总平均分为分，总方差为，求，． 【解题方法】 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2．以分两层抽样的情况为例，假设第一层有m个数分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为．则＝，＝，＝，＝． (1)则＝＋； (2)s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}． 4、频率分布直方图的绘制 从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组（单位：分）及各组的频数如下：，2；，3；，10；，15；，12；，8． (1)列出样本的频率分布表（含累积频率）； (2)画出频率分布直方图： (3)估计成绩在分的学生比例． 【解题方法】 绘制频率分布直方图的基本步骤： ①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差； ②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且； ③将数据分组：通常对组内数值所在左闭右开区间，最后一组取闭区间； 也可以将样本数据多取一位小数分组． ④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率． ⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图． 5、频率分布直方图中数字特征的计算 例、（多选）某校高二年级第一次月考后，为分析该年级1200名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（   ） A． B．估计该年级学生物理成绩在70分及以上的学生人数为600人 C．估计该年级学生物理成绩的众数为75 D．估计该年级学生物理成绩的中位数为72.6 【解题方法】 1、频率分布直方图中的“平均数”：因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． 2、频率分布直方图中的“中位数”：根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也就有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值。 3、频率分布直方图中的“众数”：根据众数的意义，在频率分布直方图中最高矩形中的某个（些）点的横坐标为这组数据的众数。一般用中点近似值代替． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版数学必修二期末备考09 统计基础知识梳理及方法梳理 知识梳理： 一、全面调查(普查)、抽样调查 1.全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查.总体：调查对象的全体.个体：组成总体的每一个调查对象. 2.抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.样本：从总体中抽取的那部分个体.样本量：样本中包含的个体数. 二、简单随机抽样 1.(1)简单随机抽样的概念 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本。 放回简单随机抽样：如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等， 不放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等. 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样. (2)（不放回）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的. ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作. ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算. ④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性. 2．两种常见的简单随机抽样方法 1.抽签法：把总体中的个个体编号，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为的样本. 2.随机数法 (1)用随机试验生成随机数 (2)用信息技术生成随机数：①用计算器生成随机数；②用电子表格软件生成随机数；③用R统计软件生成随机数. (3)两种抽样方法的优缺点 3．总体平均数与样本平均数 1.总体平均数：一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，则称为总体均值，又称总体平均数. 2.样本平均数：如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，则称为样本均值，又称样本平均数. 三、分层随机抽样 1．分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即： ①； ②. (4)分层随机抽样的步骤 ①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层. ②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比. ③定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为总体中第i层所包含的个体数)，使得各ni之和为n. ④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本. (5)分层随机抽样的特点 ①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体； ②分成的各层互不重叠； ③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量; ④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法. 2．分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，第1层、第2层的样本平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为，则. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用估计总体平均数. 又，所以. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 四、频率分布直方图 1.（1）频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 第一步，求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差.第二步，决定组距与组数，组距＝ 第三步，将数据分组，通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间.第四步，列频率分布表，计算各小组的频率，作出频率分布表. 第五步，画频率分布直方图 (2)频率分布直方图的特征 ①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势；②从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据表示为频率分布直方图后，原有的数据信息就丢失③直方图中各小长方形的面积之和为1.④直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积． 3. 总体百分位数的估计 (1)概念：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)求解步骤：计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 4．频率分布直方图中的统计参数 (1)频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用中点近似代替. (2)频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.若x1，x2，…，xn的平均数为，那么的平均数为.  5．总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则总体方差. ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为，其中Yi出现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体方差为.总体标准差：. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+∞).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. (4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差和方差分别是 s＝ ， s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]， 标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． (5)标准差和方差的一些结论 若取值x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2. 二、方法梳理 1、百分位数的计算出错 例、某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50，，55，45，.已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】D 【分析】结合题意得到，再对取值范围进行分类讨论，最后结合总体百分位数的估计求解最大值即可. 【详解】由题意得，解得，不妨设，则，而当时，，此时从小到大的排列顺序为，45，50，55，，而，故第40百分位数，矛盾，当时，，此时从小到大的排列顺序为45，，50，，55，此时，得，于是，此时，可知第70百分位数是，故D正确. 【解题方法】 求百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 2、平均数、方差的等数字特征的性质问题 例、已知一组样本数据（）的平均数为，方差为，则（    ） A．，，…，的平均数为 B．，，…，的方差为 C．，，…，的25%分位数为 D．，，…，的极差为 【答案】C 【分析】设方差为，则，，即可判断AB，根据百分位数的定义即可判断C，利用极差的定义即可判断D. 【详解】对于A：，，…，的平均数为，故A错误；对于B：，，…，的方差为，故B错误； 对于C：由，所以，，…，的25%分位数为，故C正确；对于D：，，…，的极差为，故D错误.故选：C. 例、数据的平均数为，方差，现在增加两个数据和，则这组新数据的标准差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均数的计算公式求出新数据的平均数，再根据方差的计算公式求出新数据的方差，最后根据标准差与方差的关系求出新数据的标准差. 【详解】数据的平均数为，方差即， 则数据，，的平均数为，方差标准差为．故选B． 【解题方法】 ①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 ③如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为 ④如果一组数的方差为，则一组数的方差为； ⑤如果一组数的方差为，则一组数的方差为． 3、分层随机抽样中平均数与方差的计算 例、某校高二共有5000名学生，其中男生2600人，女生2400人．为分析某次数学成绩（总分150分），应用等可能的抽样方法随抽取100名学生，计算得到男生的平均分为108分，方差为6；女生的平均分为83分，方差为9． (1)若已知男、女样本量按比例分配，求所抽取的样本总平均分和总方差； (2)若男、女样本量分别为，，所抽取的样本总平均分为分，总方差为，求，． 【答案】(1)（分），；(2) 【分析】（1）按照分层抽样得到抽取的男女人数，求出总平均分，代入公式求出总方差； （2）根据整体方差公式得到方程组，求出答案. 【详解】（1）由已知，按分层抽样，抽取男生（人），女生（人），故该样本的总平均分为（分）， 总方差为：． 。 （2）由已知，， 解这个方程组，得. 【解题方法】 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2．以分两层抽样的情况为例，假设第一层有m个数分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为．则＝，＝，＝，＝． (1)则＝＋； (2)s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}． 4、频率分布直方图的绘制 从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组（单位：分）及各组的频数如下：，2；，3；，10；，15；，12；，8． (1)列出样本的频率分布表（含累积频率）； (2)画出频率分布直方图： (3)估计成绩在分的学生比例． 【答案】(1)分布表见解析；(2)直方图见解析；(3) 【分析】（1）频率分布表的四列应该依次为分组、频数、频率、累积频率，依据条件绘制即可； （2）由题意，频率分布直方图的组距为10，横轴为分组，纵轴为频率组距，依据条件绘制即可； （3）先计算学生成绩在分的频率，由频率估计学生比例即可. 【详解】（1）频率分布表如下： （2）频率分布直方图如图所示． （3）学生成绩在分的频率为，所以估计成绩在分的学生比例为. 【解题方法】 绘制频率分布直方图的基本步骤： ①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差； ②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且； ③将数据分组：通常对组内数值所在左闭右开区间，最后一组取闭区间； 也可以将样本数据多取一位小数分组． ④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率． ⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图． 5、频率分布直方图中数字特征的计算 例、（多选）某校高二年级第一次月考后，为分析该年级1200名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（   ） A． B．估计该年级学生物理成绩在70分及以上的学生人数为600人 C．估计该年级学生物理成绩的众数为75 D．估计该年级学生物理成绩的中位数为72.6 【答案】AC 【详解】对于A：因为在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1，所以，解得，故A正确；对于B：估计该年级学生物理成绩在70分及以上的学生人数为，故B错误； 对于C：频率分布直方图中，众数是最高矩形所对应的区间中点，最高矩形是，所以中点为75，故C正确；对于D：设中位数为，前两组的频率为，前三组的频率为，因此中位数位于区间内，即，解得，故D错误. 【解题方法】 1、频率分布直方图中的“平均数”：因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． 2、频率分布直方图中的“中位数”：根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也就有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值。 3、频率分布直方图中的“众数”：根据众数的意义，在频率分布直方图中最高矩形中的某个（些）点的横坐标为这组数据的众数。一般用中点近似值代替． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $