陕西西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三下学期第十一次适应性训练数学试卷（含答案）

参考答案 1.A2.C3.A4.D5.B6.A7.A8.C9.AC10.BD11.C 12.60 32 14. 3-2W2 2 15.ac=5: 3 (2)4 【详解】(1)2a-b=2 ccosB,，由正弦定理得2sinA-sinB=2 sinCcosB, sinA sin -(B+C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, 所以2 sinBcosC+2 cosBsinC-sinB=2 sinCcosB,即2 sinBcosC-sinB=0, 1 因为Be(0,π)，所以sinB>0,故2cosC-1=0,即cosC= 又C∈(0，π)，所以C= 3 (2)由(1)知，C=π， 3 又CD为∠ACB的平分线，故∠ACD=∠BCD=T 6 其中CD=2W5,由三角形面积公式得SA4co=2 AC.CDsinZACD=1x4x2x-2 SABCD =BC-CDsinZBCD 2a-25×1=5 2s2a, Sme-AC.BCsinLACB-x4a.a 1 2 2 显然Sc=Scm+Sm,即V5a=2V5+5 a, 2 解得a=4. 16.(1) 20 27 (2)答案见解析 【详解】(1)记“甲最终以2：1获胜”为事件A,记“甲最终以2：0获胜”为事件B,“甲最终获胜” 为事件C,于是C=AUB,A与B为互斥事件， 由于P=Cp-n-p分P=p- 则P(C)=PA)+P(B)=3p2-2P=20 71 20 即甲最终获胜的概率为 27 (2)由(1)可知，P(C)=P(A)+P(B)=3P2-2P3, 若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则X可取3，-2， PX=3)=P(C)=3p2-2p3,PX=-2)=1-3p2+2p3, 则X的分布列为： X 3 -2 p 3p2-2p3 1-3p2+2p 则E(X)=9p2-6p3-2+6p2-4p3=-10p3+15p2-2, 若选用方案二，记甲最终获得积分为Y分，则Y可取1,0， PY=1)=P(C)=3p2-2p3P(Y=0)=1-3p2+2p3, 则Y的分布列为： 1 0 P 3p2-2p 1-3p2+2p3 则E(Y)=3p2-2p3, 所以E0x)-8m=-8p+12n2-2=-4p-}2p-2p-1. 由于0<p<1,则2p2-2p-1=2pp-1)-1<0, 1 于是p=二时，两种方案都可以选， 2 当0<p<时，EX)<EY),应该选第二种方案， 2 2<p<1时，E(X)>E(Y),应该选第一种方案。 17.(1)证明见解析 (2)10 5 【详解】(1)证明：取AC的中点O,连接OB,OM,AC, 因为M是AA的中点，所以OM1∥A,C, 又因为三棱柱ABC-AB,C的所有棱长都是2， 所以四边形ACCA为菱形，所以AC⊥AC,所以AC,⊥OM, 因为AC,⊥BM,且OM∩BM=M,OM,BMc平面BOM,所以AC,⊥平面BOM, 又因为OBc平面BOM,所以AC,⊥OB, 在等边△ABC中，因为O为AC的中点，所以AC⊥OB, 又因为AC∩AC=A,且AC,AC,c平面ACCA,所以OB⊥平面ACCA, 因为OBC平面ABC,所以平面ACCA⊥平面ABC. (2)解：连接AO,因为三棱柱ABC-ABC的所有棱长都为2，且∠AAC=60°， 可得△AAC为等边三角形，且O为AC的中点，所以AO⊥AC, 由(1)知：平面ACCA⊥平面ABC,平面ACC,A∩平面ABC=AC, 且A,Oc平面ACC,A,所以AO⊥平面ABC, 所以OB,OC,OA两两垂直，以O为坐标原点，以OB,OC,OA所在的直线分别为x轴，y轴和z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， Z A M 则0(0,0,0)，B(V3,0,0),A0,-1,0)，A(0,0,3),C(0,2,3),C(01,0) 所以AB=(3,1,0),AA=(0,1,V3), 设平面A8,4的法向量为元=k,2》,则n:B=V5x+y=0 i·AA=y+V3z=0 取x=1,可得y=-3,z=1,所以元=(1，-√3，)， 因为CB,=CB+CC=(5,-1,0)+(01,√5)=（√5,0，V3), 设CB,与平面ABB,4所成的角为0，则sin0=cos(a,C瓜= nCB 2W5√10 CB V6×V5 所以CB,与平面ABB,4所成的角的正弦值为V 5 x2.y2 18.(1)+ =1; 42 2)6= 2， 证明见解析；i) 2 【详解】(1)由题可知，Va2+b2=V6,SAow= 6.25 3 -ab, 2 即02+=6 解得 a=2 ab=2√2 b=√2 则椭烟：+ 4+2 1. (2)(1)①若直线AB的斜率不存在，设点A(x1,),B(x1,-》), 则SA0AB= 2=K=反，义为手+手=1.可解得=反，=1 42 由对称性，不妨取x=V2,片=1，即4(V2,1),B(V2,-1), 此时kk2= 方后子根4，这 ②若直线AB的斜率存在，可设直线AB:y=x+m,点A(x1,y),B(x2,y2), y=kx+m 联立直线AB与椭圆BE+=1整理得(2k2+r+4kmx+2m2-4=0, 一=1 42 而△=(4km)2-4(2k2+1）(2m2-4)=8(4k2-m2+2)>0,得4k2>m2-2, 根据韦达定理且直线OA,OB的斜率均存在，有x,+x2=- 4km 2m2-4 2k2+1 ,xx2=2k+1 ≠0，则m2≠2， 到55-小m+-4-分25am25. 2k2+1 得m2(4k2-m2+2)=(2k2+1)2, 整理得m4-(4k2+2)m2+(2k2+1)2=[m2-(2k2+1)2]=0, 则m=22+1,因m2≠2，故+2 1 kk =kor +m)(ks+m)m)+m Xx2 xX2 xX2 -4km =k2+mk.- +m2 m2-4k2_2k2+1-4k2_-2k2+1_1 2m2-42m2-42m2-42(2k2+1）-44k2-22 2k2+1 综上所述，k6=子得证 (ii)①若直线AB的斜率不存在，由(i)可知，A(√2,1)，B(2,-1),则P(√2,0)， 此时SAOPe= 21= 2 2 B ②若直线AB的斜率存在，由题可知，直线0Qy=x,P5十立，乃+业 2’2 B 片+%=+x,)+2m=462m+46m+2m。2m 2k+12k2+12K2+,故P 2km m 2k2+1'2k2+1 1+2k 又因为m2=2k2+1≥1，故P 2k1 ,点P到直线OQ的距离d= m mm √2 1+2k m 11+2k √22m 由对称性，不妨假设m>0,则m=√2k2+1,因此 11+2k14k2+4k+2-11 .4k-1 SAOPQ 2V2k2+12V 2k2+1 =2V2+2+ 1=-1,测k=牛，则2+站-2+0 2k2+1 1+02=2+ 8t t2+2t+9 8+1 要使得面积最大，则t>0,2+ 4-1=2+8 -=3, 2k2+1t+2+ 9 ≤2+8 9 2t+2 当且仅当1=3.即k=1时，等号成立，则S0m的最大值为5 综上所述，因为5、V ,故△OPQ面积的最大值为 22 2 19.(1)答案见解析； (2)1: (3)证明见解析. 【详解】(1)当n=0时， ①当m≤0时，f'(x)>0,f(x)在(-o,+0)上单调递增： ②当m>0时，由f'(x)=0,得x=lnm, x∈(-o,lnm)时，f'(x)<0,f(x)单调递减. x∈(nm,+oo)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 综上， m≤0时，f(x)在(-0，+oo)上为增函数： m>0时，f(x)在(-oo,lnm）上为减函数，在(lnm,+oo)上为增函数. (2)当m=n时，f(x)=e-m(x+sinx), 因xe0,,≥0恒成立，所以f0, 即f5)=e2-m(5+1)≥0，m≤e2 ≈1.87， +1 2 所以正整数m的最大值为1. 下证m=1时，f(x)=e-x-sinx≥0在(0，π)上恒成立. 设h(x)=e*-x-1,xe(0,π)， 则h'(x)=e-1>0,h(x)在(0，π)上单调递增，h(x)>h(0)=0,即e-x>1, 所以f(x)=e-x-sinx>1-sinx,又sinx≤1， 所以f(x)>1-sinx≥0，即f(x)=e-x-sinx>0恒成立. 所以正整数m的最大值为1. (3)由题意设x为f(x)的零点(x。>0),则e-x。-nsinx。=0, 即mx,+nsinx。-e=0,则点M(m,n)在直线x,+ysinxo-e=0上， 所以Vm2+n2≥ e =,即m2+n2≥。 e2x Vxo +sinxo Γx+sin2x 当xe(0,1]时，设g(x)=x-sinx,所以g'(x)=1-cosx≥0，则g(x)在(0,1]上单调递增， 所以g(x)>g(0)=0,所以x>sinx>0,又xe(1,+o)时，sin2x≤1<x2, 所以x0>0时，sin2x<x6,则m2+n2≥ “e +sin 令k)=g,x∈(0，+m),则k)=e6r-D Y x2 x∈(0,1)时，k'(x)<0,k(x)单调递减；x∈(1，+o0)时，k'(x)>0,k(x)单调递增， 所以20=e,即9之e,所以m+>空之c. 2(x2 陕西西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三下学期第十一次模考数学试题 一、单选题 1．已知集合，，则=（ ） A． B． C． D． 2．已知数据1，2，3，a，8的分位数是7，则实数=（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．直线被圆所截得的弦长为（ ） A．1 B． C． D．2 4．等差数列的前项和为，且，，则=（ ） A．45 B．49 C．56 D．63 5．已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则=（ ） A． B． C． D．1 6．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件是“AI模型筛选出候选分子”，事件是“AI模型筛选出候选分子”．已知，，，则=（ ） A． B． C． D． 7．记函数的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则=（ ） A．1 B． C． D．3 8．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段与交于点，若，的面积相等，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A． B．的实部为 C． D．若，时，若为偶数，则复数为纯虚数 10．设函数，则（ ） A．是偶函数 B． C．在区间上单调递增 D．为的极小值点 三、单选题 11．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（ ） A． B．数列为等比数列 C． D． 四、填空题 12．的二项展开式中的系数是______．（用数字作答） 13．已知，为锐角，若，，则=______； 14．已知抛物线的焦点为，其准线与坐标轴交于点．为上一点，的平分线与轴交于点，则点纵坐标的最大值为______． 五、解答题 15．在中，内角、、所对的边分别为、、．已知． （1）求角； （2）若，点在边上，为的平分线，且，求边长的值． 16．甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． （1）当时，求甲最终获胜的概率； （2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得-2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 17．如图，三棱柱的所有棱长都为，，是的中点，． （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 18．已知椭圆，分别为的上顶点、右顶点，，坐标原点到直线的距离为． （1）求的方程． （2）若A，B为上不同的两点，的面积为，直线，的斜率均存在且分别为，． （i）证明：为定值； （ii）设为线段的中点，点，求面积的最大值． 19．已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，若在上恒成立，求正整数的最大值； （3）若在上有零点，求证：． （参考数据：，，） 学科网（北京）股份有限公司 $