陕西西北工业大学附属中学2026届高三第14次适应性训练数学试卷

2026届第14次适应性训练 高三数学 …:: 去管3区4 一、单选题：本题共8个小题，每题5分，共40分 1.若复数z=i(3一S),则复数z在复平面内所对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设集合A={xx2-3x-4<0，B={x2>1,则AnB=（) A.(-l,+oo） B.(-1,4) C.(0,4) D.(4,+o) 3.已知a,b,c∈R,使a>b成立的一个充分不必要条件是( A.a+c>b+c B. A、b C.a2>b2 D.ac2>bc2 4.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2,4，对角面面积为9√2，则该棱台的体积为() A.28 B.272 C.282 D.74 3 5.己知a=(0,),6=(1)若向量a+6在向量a方向上的投影向量为2a,则k=（） 1 A.-1 B. C.1 D. 2 已知双进线，C:片虹Q>0,b>0的左，右焦点分别为，乃，1为C的海近线 上一点，满足AE⊥AF,且AF=2AF,则双曲线C的离心率为() 4 5 5 A.2 B. C. D 3 3 7.一条直线与函数y=lnx和y=e的图象分别相切于点P(x,y)和点2(x,y),则 (:-1)(:2+1)的值为（ A.2 B.-2 C. D.- 2 8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，函数8(x)=(x-1)f(x)的图象关于点(1,0)对称， 且满足g()=4,则觉/()=() A.2 B.-4 C.2026 D.4052 二.多项选则题：本题共3个小题，每题6分，共18分小六答法 9.下列结论正确的是() 原2 “有：i学 A.若随机变量X~ B 4, 则E(X)=3 款% B. 己知随机变量5服从正态分布N(2,o2),P(1<5≤2)=0.2，则P(传>3)=02 C.一组数据经过分析、计算，得x=-1,y=8,y关于x的经验回归方程为)=-3x+à， 则a=5 若随机件4B满是：P()-P(@倒=子，AUB-。,则事件A与B相互独立 D. 6 10.已知函数f(x)=cos2 (0<p<π)图像的一条对称轴是x= 5π 则() 2 12 :: A.f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)图像的一个对称中心为 124 若函数y=fo9(@>0)在0，上单调递减，则0G0 11.等比数列{an}满足a=1,公比为9，其前n项和为Sn,数列{b,}满足bn=3an-Sn, .则下列说法正确的有(，) A.9=1时，{b}为等差数列 B.q=2时，{，}中任意两项的差均不为0 C.不存在9，使得{也}为常数列 D.不存在9，使得{bn-2}为等比数列 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分 12.已知a>0,二项式 a x+ 展开式中所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为 13.已知抛物线C:x2=2py(p>0)上的一点N(x,3)到焦点F的距离为4，.P为C上一动 点，2为圆M(x-3)}+(y+3)}=4上一动点，则点P到直线：y=-卫的距离与Pg之 和的最小值为 14.一个不透明袋子里装有除了颜色其他无区别的2个白球和3个黑球，从中不放回地每 次取出1个球，直到所有白球被取出记取球次数为X,则X的数学期望E(X)= 2 四、解答题：本题共5个小题，共7门分病。位： 15.(13分)为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙 两所学校共抽取120名学生.通过测验得到如下数据：甲校50名学生中有10名学生的数学 成绩优秀；乙校70名学生中有10名学生的数学成绩优秀根据抽样数据的分析，得到不完 整抽样数据2×2列联表，单位：人 数学成绩 学校 合计 不优秀 优秀 甲校 10 50 乙校 10 70 合计 (1)完成2×2列联表，依据小概率值心=0.1的x2独立性检验，能否据此推断两校学生的数 学成绩优秀率有差异？ (2)已知甲、乙两所学校利用AI自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化 数据如下：甲校数学不优秀学生成绩有效转化为优秀的概率为，乙校数学不优秀学生成 绩有效转化为优秀的概率为)若从甲、乙两所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方 式抽出1名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该学生数学成绩有效转化为优秀 的概率. 参考公式与数据： X2= n(ad-bc)2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.1 0:05 0.01 0.005 0.001 七a 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinC=3sinB,△ABC 的面积为3V562. (1)求A: (2)若A为钝角，且△ABC的周长为2W13+8,求b 2言·螺 是 17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC=60°，E, F分别是AB,PD的中点. (I)求证；EF/1平面PBC; 众。 (2)若PC⊥AB,PC=√6，PB=2, 求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值 4。 817分)已知题C:专+Q>b>0)的离心率为5且过蓝 直线I交椭圆C于不同的两点M和N. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线1的斜率为1，且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，求直线1的方程； 2 (3)已知点P 若点A是椭圆的右顶点，M和N两点都在x轴上方，且 ∠APM=∠OPN,证明直线I过定点，并求出该定点坐标， 19.(17分)已知f(x)=xe,g(x)=lnx+x+a(a∈R) (1)求f(x)的单调区间： (2)若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根x,x2. (i)求a的取值范围； 1 ()若f云)f西) >k恒成立，求实数k的取值范围：.：”，”数学参考答案 一、单选题：本题共8个小题，每题5分，共40分.多选题：共3个小题，每题6分 1.A2.C3.D4.A5.B6.D7.B8.A9.ACD10.AD11.ABD 7.【洋解】因为f()=nx,g()=e,所以”（四）=g(=e,则y=nx在点P(x.)处的切线 方程为y-n=(x-x),即y=x+nx-1:y=e在点Q(x)处的切线方程为：y-e=e(x-x), 即y=ex+e(1-x),由已知x 由=e得x=e,故n-1=lne9-1=--1, nx-l=e(1-x) 故-61=1-x,解得x=5 名所以化-)=-1=2 x+1 +1，因此 任+)（=之.改苦案为：数选 8.【详解】函数g(x)=(x-1)f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)=-g(2-x),即 (x-1)f(x)=(x-1)f(2-x),则当x≠1时f()=f(2-x),又f()=f(2-1),f(x)=f(2-x) 对任意xeR恒成立①，又f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)=-f(-x)②，则f(2-x)=-f(-x) 即f(2+x)=-f(x),则f(4+x)=-f(2+x),得f(4+x)=f(x),即4是f(x)的一个周期， 由②可得，f(0)=0:由①可得，f(0)=f(2)=0:因g(-1)=-2f(-1)=2f(1)=4,则f()=2, 则f(-)=-f(1)=-2,则f(0)+f(2)+f(3)+f(4)=f()+f(2)+f(-1)+f(0) =2+0-2+0=0,则觉f内=f0+了②)=2+0=2.故选A k=l 1l.【详解】已知等比数列{an}满足a,=1,公比为q,其前n项和为Sn,数列{b}满足b.=3a。-Sn, 对于A,当9=1时，an=1,Sn=n,代入bn的表达式得bn=3an-Sm=3×1-n=3-n, 6-克-[+-6月小.因先}是等差数列故A正确：对于B,当g时，4目”， :代入品的我达式得6=a8=3日2-固4 -2=2”-2, 1- 由于y=2是单调递减的，因此数列{b,}不存在相同的项，即{b,}中任意两项的差均不为0，故B正确： 3 132x 2 -2,代入b,的表达式得 。版得得：3号小2.医光存在子线得为数 牧C错误：对于D,由bn=3a,-Sn,且a,=q1,当q=1时，a,=1,S,=n,代入bn的表达式得 6=30,-,=x1-n=3-m,6,-2=1-1,显然不是等比数列：当q1时，3，=- 1-q 则6，=3如，-3，=3×g-,得6，-2=3×g1二4-2=-2(g-. 1-4 1-q1-q 当g=氵时，由C选项可知6，=2，此时6，-2=0，则数列6，-2为零数列，不是等比数列，不符合条件， 2 当4+时，要使，-2为等比数列，则 2 b,-2 =k对任意n∈N恒成立，其中k是一个常数， 3-24(g-0 而么21g -1=大，解得g(g-)=1-k,当且仅当g=k=1时恒藏立，不将合条件， -229g-）9 1-g 因此不存在9，使得{b-2}为等比数列，故D正确。 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分 12.15 13.3 14.4 四、解答题本题共5个小题，共77分 15.(13分)(1)零假设为H。：两校学生的数学成绩优秀率无差异.根据列联表数据，计算得到 X-120x40x1060x10:120x(200-2共<2706=根据小率值a=01的X独立性检验. 50×70×100×20 50×70×100×2035 没有充分证据推断H。不成立，因此可以认为H。成立，即认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异. (2)设事件A=“利用AI自习室帮助该学生且数学成绩能有效转化”，事件B=“该学生来自甲校”， 事件8=“该学生来自乙按”，则P(B)号P2)房且P(B)号P(),则 0=八9)Pa）-P国)P4a)子计品。所以该学生数学减镜有效转化的餐率为 30 16.(15分)(1)因为sinC=3sinB,由正弦定理得c=36.由△4BC的面积S=bcsin4= 2 4 得sin4=3565 因为4∈(0，π)，所以A=或2” 2c 2 33 2因为4为纯角，由1)知4-号自余弦定G2=6+c2-2kc0s1=分+96-28：36 -2 =13b2, 得a=V13b.又a+b+c=√13b+4b=2N13+8,所以b=2. 2 17.(15分)(1)取PC的中点为G,连接FG,BG.点F,G分别是PD,PC的中点，：FG是△PDC 的中位线，即FG/CD,FC=CD,在菱形ABCD中，BE/CD. BE=二CDFG/BE,即四边形FGBE为平行四边形，则EF/IBG, i t 又BG∈平面PBC,EF庄平面PBC,.EFI/平面PBC· (2)连接PE,CE,AB⊥PC,AB⊥CE,PC∩CE=C, D PCc平面PCE,CEc平面PCE,，:ABL平面PCE, 又PEc平面PCE,AB⊥PE,PE=VPB2-BE2=V5,又CE=5,则PC=PE+CE=6, 所以PE⊥CE.即直线AB,CE,PE两两垂直如图，以E为坐标原点建立空间直角坐标系， 则P(0,0,5),0.-1,0),B(0,1,0),C(5.0,0),D(V5.-2,0).PA=(0.-1,-V3),PB=(0.l.-3), PC=(N5,0,-V5),PD=(5.-2,-5).设平面P4D的法向量为=(：，)，平面PBC的法向量为 n=(6),由 =0海5：=0 ·PB=0,为-5=0， 取n=(1V5,-1).由 nPD=05x-2y-3:=0 次元-0得x5=0 取元=1.N5.1).设平面P4D与平面PBC所成角为6，则cos8=cos,) 3 3 阿5x55 即平面P4D与平面PBC所成角的余弦值为 v②，v6 3 18.(17分)(1)因为椭圆C的离心率为5，且过点 则a=2c, 2 =1' 又d=6+c2,解得d2=4,6=3,所以椭圆C的方程 2 +=1: 3 (2)因为直线l的斜率为1，故设直线l的方程为y=x+m,设M(x,y),N(x,), [y=x+m 8m ，消去y整理得7x2+8mx+4m2-12=0,则x+x2=- 7,5=4m2-12 7 43 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，则A4M.AN=0,所以(x一2)(：-2)+y2=0, 即(：-2)(x3-2)+(x+m)(:+m)=0,整理得2x3+(m-2)(+x)+4+m2=0, 2 所以2义4-2m-2x80+4+m=0,即7m+6m+40,密得m=2藏m7 7 因为△=64m2-4×7×(4m2-12)=16(21-3m2)>0.显然当m=-2或m=-2时，成立，所以直 7 线1的方程为x-y-2=0或：7x-7y-2=0. (3)当直线I的斜率不存在时，直线1与椭圆C交于不同的两点分布在x轴两侧，不合题意.所以直线！ 的斜率存在，设直线1的方程为y=+m.设M(,),V(x,), 4 由子方=1得6+4k)x+8km+4m-12=0.所以 v=kx+m -8k7m -4m-l2.因为∠APM=∠0PN,所以 +6=3+4W·6=3+4 kw+ky=0,即。2 + 2 -0,多理得2-m号6+）-智=0，化得m=6。 2, 3 所以直线1的方程为y=x-6k=k(x-6),所以直线1过定点(60). 19.(17分)1)f(x)定义域为R,f(x)=(x+I)e,当x<-1时，f(x)<0,f(x)单调递减：当x>-1 时，f"(x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)单调递减区间为(-x,-1),单调递增区间为(-1，+x) (2)(i)方程f(x)=g(x)等价于xe-lnx-x=a(x>0), 设h()=e-nx-x,问题转化为y=)与y=a有两个交点，H()=(x+)e-1-1=(x+)e-I 0时.+0.令o)=e-士0()=e+宁>0，所以p)在0+)上学词道，且付) <0<p(1), 故存在难一无行满足e的=，即n=-,并且当0<x<%时，分)<0，当x>无时，国>0， 所以h()在(0，)单调递减，在(，+∞)单调递增，h(x)=h(x,)=,e-n,-=1,又因为x→0 和x→+0时，h(x)→+0，所以当a>1时方程有两个不等实根.故a的取值范围为(1，+). (ii)原方程变形得：xe=ln(e)+a,设t=xe=f(x),则方程变为t-lnt=a,设两根为 4=f(x),=f(x),则 1+1=1+1 f(x)f(x)44: ,且满足4-4=ln4-n12,不妨设4>42，下面证明 >n4,-n,令行 V =m(m>1),则不等式变形为m-↓-2nm>0,令h(m）=m-是-21nm(m>, m h(m）=1+1-2-m2-2m+1_m-1 mm >0,所以h(m)在(L.+o)上单调递增，所以h(m)>1-}21nl=0, 即不等式>n4-n成立，变形可得瓜<-=1， t,1, Int,-Int, 11 故k的取值范围为(-℃，2] 4