精品解析：陕西西安市碑林区西北工业大学附属中学2026届第十三次适应性训练高三数学试题

2026届第十三次适应性训练 高三数学 一、选择题：本题共8个小题，每题5分，共40分 1. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】因为复数，则，所以. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不等式可化为， 故不等式的解集为 ，又， 所以. 3. 记为等差数列的前项和．若，则 （ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以 ，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 4. 圆锥 的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的底面半径r，再利用圆锥的侧面积公式即可得出结果. 【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面为等边三角形， 所以圆锥的母线长，，解得， 所以圆锥的侧面积为. 5. 若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（ ） A. -1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的平移变换原则以及正弦函数的中心对称点求出，再由正弦函数的单调性即可求解. 【详解】的图象向右平移个长度单位可得 ， 因为是此函数的对称中心点， 则， 解得，， 又因为， 所以当时， ， 所以， 因为，则， 所以， 所以在上的最小值为. 故选：C 6. 若非零向量、满足，且向量与向量的夹角是，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作，，则，利用正弦定理可求出 的大小，即可求出的值. 【详解】若非零向量、满足，且向量与向量的夹角是， 作，，则，如下图所示： 向量与向量的夹角等于， 由正弦定理可得，即，可得， 所以，，即，即，故. 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】用待定系数法或配方法求解即可 【详解】易知 左右式子相等，对应系数相等，则， 解得，即 8. 已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】判断的图象关于直线对称，再求证和的周期均为4即可求解. 【详解】由， 令，得， 所以的图象关于直线对称，所以. 将换为代入得. 又，因此， 即，则①， 所以， 对①两边求导得，故， 故和的周期均为4， 于是，. 在中，取得. 在中取得， 所以. 二、多项选择题：本题共3个小题，每题6分，共18分 9. 已知，，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对数函数的性质判断A的真假；利用指数函数的性质判断B的真假；利用基本不等式判断CD的真假. 【详解】对A：因为，，所以，所以 ，故A错误； 对B：因为 ，所以，故B正确； 对C：因为，当且仅当即，时取等号.故C正确； 对D：因为，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数越接近0，则成对样本数据的线性相关性越强 B. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 C. 某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 D. 随机变量的方差，期望，则 【答案】BC 【解析】 【详解】A：两个相关变量的线性相关系数越接近0，这两个变量的相关性越弱，则A错误； B：该组数据共8个数据，又， 因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即，因此B正确； C：易知全班50个学生的数学成绩的平均值为， 因此方差为，即C正确. D：因为，由方差，期望 ， 可得，即D错误. 11. 声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（ ） A. 在区间上有3个零点 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】令求出零点判断A，根据反例判断B，利用判断C，结合导数求最值判断D. 【详解】对于A，令，则，即， 故或，而，故，故A正确； 对于B，， 此时，， ，故的最小正周期不为，故B错误； 对于C， ， 故的图象关于点中心对称，故C正确； 对于D，， 因为， 故为周期函数，且周期为， 设，则 ， 令，则或或或或或， 当或或或时，， 当或或时，， 故在，，，上均为增函数， 在，，上均为减函数， 而，， ，， 故，故D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分 12. 已知圆的圆心在第一象限，且在直线上，圆与抛物线的准线和轴都相切，则圆的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可设圆心为，，由于圆与抛物线的准线和轴都相切，由直线与圆相切的性质，得出圆的半径，求出圆心和半径，可得圆的标准方程． 【详解】解：圆的圆心在第一象限，且在直线上， 故可设圆心为，， 圆与抛物线的准线和轴都相切， 故圆的半径， 解得：，或（舍去）， 故圆的圆心为，半径为2， 则圆的方程为：. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查求圆的标准方程的方法，还涉及抛物线的性质和直线和圆的位置关系的应用． 13. 若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”.已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. 【答案】19 【解析】 【详解】因为数列是“和谐数列”，且， 所以共有6项，且. 若，，，各项全为0，则满足条件的数列只有1个； 若，，，有2项为0，1项为1，1项为， 则满足条件的数列的个数为； 若，，，有2项为1，2项为， 则满足条件的数列的个数为 ，所以的个数为. 14. 若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用 将原不等式变形，结合重要不等式 进行求解，推得 ，并验证该范围恒成立，求得实数的取值范围即可. 【详解】因为，所以原不等式转化为， 将 代入，得：，整理得：， 设，则，令，可得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以对任意 ， 所以，当且仅当 时，等号成立， 当 时，， 不等式变为：， 因为 ，所以必须满足：，即 ， 当 时，原不等式为：，即：， 令 ，则不等式化为 ，显然恒成立， 当且仅当 （即 ）时取等号， 当 时，在 （即 ）处，左边为 ，右边为 ，不等式不成立， 所以实数 的取值范围为 . 四、解答题：本题共5个小题，共77分 15. 随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（用分别表示2021年，2022年，…，2025年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 15 21 55 72.6 （1）请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； （2）现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值． （参考公式：） 【答案】（1）； （2）的分布列为： 0 1 2 3 均值． 【解析】 【分析】(1)代入回归直线方程的计算公式计算回归直线方程； (2)根据题意可以看出服从超几何分布，根据超几何分布的概率计算公式可得到的分布列及均值． 【小问1详解】 由题意可得：；； 故； ； 则关于的回归直线方程为：． 【小问2详解】 由题意知，随机变量的取值为：0，1，2，3；则： ； ； ； 故的分布列为： 0 1 2 3 所以随机变量的均值． 16. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求 的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以 ，，则， 可得，所以，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 17. 如图所示的几何体中，四边形为正方形，为等腰梯形，，平面 平面． （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 如图，取△ABC的AB边中点为G，连接CG，则BC=BG， 又∵∠ABC=60°，∴△BCG是等边三角形， ∴GC=GB=GA，故G是△ABC外接圆圆心，∴AC⊥BC． ∵平面 平面，平面 平面=AC，BC平面ABCD， ∴平面，∵AE，∴． （2）． 【解析】 【分析】(1)证明BC⊥AC，再根据面面垂直的性质得平面，由此即可得； (2)平面，则可以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间直角坐标系，设BC=1，求出A、B、C、D、E的坐标，求出和平面ABFE的法向量，根据向量夹角即可求与平面所成角． 【小问1详解】 如图，取△ABC的AB边中点为G，连接CG，则BC=BG， 又∵∠ABC=60°，∴△BCG是等边三角形， ∴GC=GB=GA，故G是△ABC外接圆圆心，∴AC⊥BC． ∵平面 平面，平面 平面=AC，BC平面ABCD， ∴平面，∵AE，∴． 【小问2详解】 如图建立平面直角坐标系， 设，则， ∵平面 平面，∴点E在底面的投影落在直线上， 设，由得， 解得，∴， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 设与平面所成角为θ，则． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上， 轴，且． （1）求的方程； （2）过点的直线交于不同的两点于点， ①求面积的最大值； ②判断直线 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）① ；② 过定点 . 【解析】 【分析】（1）先由焦点得 ，建立 ；再利用 轴，将点横坐标代入椭圆，联立方程组，求出的解，得到椭圆方程； （2）①设直线 ，联立椭圆得一元二次方程，由韦达定理写出、；将面积转化为，换元后用均值不等式求最值，得最大值即可； ②由得，写出直线 方程，令求；代入并结合韦达定理化简，消去参数后得，即可得到直线 的定点. 【小问1详解】 因为椭圆 ，焦点， ， 由 轴，点的横坐标为，代入椭圆方程：，， 联立方程组：，解得， ∴椭圆的方程为： . 【小问2详解】 由（1）知点 ， 为直线 ，由 ，得 ， 设直线 的方程为 ，， 则联立：， 消元得：， ，所以 由韦达定理： ①， 则， 令，则，所以， 由均值不等式，当且仅当 时取等号， ②直线 过点 和，方程为： 令，得：， 将 代入：， 由韦达定理得 ， 代入化简：， ∴直线 恒过定点. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，证明：当 时， ； （3）若存在 ，使 成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 令 ，则 ． 因为，所以当变化时， 的变化情况如下表： 0 增 极大值 减 所以 ． 由 ，可知在 上单调递减， 所以 . （3） . 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2）求出，令 ，利用导数可证 ，从而可得的单调性，故可证 ； （3）原不等式有解即为存在 ，使成立， ，就、结合导数分类讨论可求参数的取值范围. 【小问1详解】 时，，所以，故 所以曲线 在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，存在 ，使 成立， 即存在 ，使成立， 即 成立． 令 ， 则 ． ①当时，在 上 ，故 在 单调递增， 所以 ，不合题意． ②当时，令 ． 因为 ，所以在 单调递增， 又因为 ， 所以存在 ，使 ． 所以当变化时， 的变化情况如下表： 0 0 减 极小值 增 ，取 ，故 在 上有解， 综上，的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届第十三次适应性训练 高三数学 一、选择题：本题共8个小题，每题5分，共40分 1. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前项和．若，则 （ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 4. 圆锥 的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（ ） A. -1 B. C. D. 6. 若非零向量、满足，且向量与向量的夹角是，则 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. -2 8. 已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 二、多项选择题：本题共3个小题，每题6分，共18分 9. 已知，，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数越接近0，则成对样本数据的线性相关性越强 B. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 C. 某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 D. 随机变量的方差，期望，则 11. 声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（ ） A. 在区间上有3个零点 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分 12. 已知圆的圆心在第一象限，且在直线上，圆与抛物线的准线和轴都相切，则圆的方程为______. 13. 若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”.已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. 14. 若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分 15. 随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（用分别表示2021年，2022年，…，2025年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 15 21 55 72.6 （1）请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； （2）现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值． （参考公式：） 16. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求 的取值范围. 17. 如图所示的几何体中，四边形为正方形，为等腰梯形，，平面 平面． （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上， 轴，且． （1）求的方程； （2）过点的直线交于不同的两点于点， ①求面积的最大值； ②判断直线 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，证明：当 时， ； （3）若存在 ，使 成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $