期末复习专题04 数列求和【考点突破+强化训练】2025-2026学年高二数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 系统覆盖数列求和八大方法，以题型为载体构建从基础公式到综合应用的递进式训练体系，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式法求和|6题|等差等比求和公式直接应用|基础公式是其他方法的运算基础| |倒序相加法|6题|利用函数对称性或数列首尾配对|体现对称思想在数列中的应用| |错位相减法|6题|等差×等比数列求和的标准步骤|融合等差等比性质与代数变形| |分组求和法|6题|通项分解为可求和数列的和|体现化整为零的转化思想| |并项求和法|6题|相邻项合并简化运算|针对正负交替或周期数列| |裂项相消法|6题|分式通项拆分为差式抵消|培养代数变形与推理意识| |含奇偶项的求和|6题|分奇偶项讨论或构造新数列|体现分类讨论的数学思维| |其他方法|8题|综合应用与创新题型|整合多种方法解决复杂问题|

专题04 数列求和 考点一 公式法求和 考点二 倒序相加法求和 考点三 错位相减法求和 考点四 分组求和法 考点五 并项求和法 考点六 裂项相消法求和 考点七 含奇偶项的求和 考点八 数列求和的其他方法 考点一 公式法求和 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．39 D．78 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质“若，则”求出即可求解. 【详解】因为是等差数列，所以， 而，所以，解得. 所以. 2．已知是等差数列，且，则数列前12项和（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质和前项和公式求解. 【详解】由等差数列的性质可知：， 因此：， 所以得，由等差数列前项和公式可得： . 3．在数列中，若，，则它的前项和__________ ． 【答案】 【详解】由，得， 则数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以. 4．在等比数列，则数列的前5项之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列通项公式求得首项和公比，再由求和公式即可求解. 【详解】设等比数列公比为，首项为，根据通项公式， 由已知条件得： ​ ②÷①消去公共项得 ​，解得， 将代入①，得 ，解得， 则 . 5．等比数列中，，，其前项和为，若是，的等差中项，则的值为________． 【答案】63 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 由及是，的等差中项，得，则， 所以. 6．设等比数列的前项和为，公比为．若，，则__________． 【答案】120 【分析】方法一：利用等比数列前项和的分段性质求解；方法二：用等比数列求和公式求解. 【详解】方法一： 等比数列中，仍成等比数列，公比为， ，，则， 所以， ， 所以, ， 所以. 方法二： ， 代入，, . 考点二 倒序相加法求和 7．推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得．( ) 【答案】正确 【分析】略 【详解】设， 由于，所以 ， 两式相加可得，即. 能使用倒序求和法. 8．已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)，bn (2) 【分析】（1）需先根据数列前项和公式求的通项公式，再利用函数性质及倒序相加法求的通项公式； （2）先得出的表达式，再用错位相减法求前项和. 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得 ，. （2）由（1），可得， 则 两式相减， 可得 ∴. 9．若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【答案】D 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 10．已知函数的定义域为，其导函数满足，且，，则______. 【答案】/ 【分析】由题意，则有，所以函数为常函数，则，设，结合，解得，即，倒序相加的关系式，即可求得的通项公式. 【详解】因为，即， 令，则， 所以函数为常函数，则，即（为常数）， 因为，令，得，所以， 即， 所以①， ②， 得： ， 即，所以， 故答案为：. 11．已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 【答案】A 【分析】先根据韦达定理得到，再利用等比数列的性质得到，最后利用倒序相加法求和. 【详解】由题设及韦达定理，得， 由等比数列性质，得， 设， 所以， 则， 得， 所以. 故选：A 12．设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为______. 【答案】13 【分析】根据函数解析式推出，再利用倒序相加法即可求得答案. 【详解】由，因， 则 . 故答案为：13. 考点三 错位相减法求和 13．已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解； （2）根据条件和（1）可得，再利用错位相减法，即可求解. 【详解】（1）因为①，则②， 由①②得到，即， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. （2）由（1）知，又，所以， 则③， ④， 由③④得到， 所以. 14．设数列满足． (1)证明：为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）化简应用裂项及迭代得出通项，再应用等差数列通项公式计算证明； （2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】（1）由得： ， 所以，                                 所以，即得，                         由等差数列的定义知：数列为以3为首项，4为公差的等差数列 ； （2）由（1）知：， 所以  ，                                  所以， 所以，           所以， 所以； 15．数列满足，，且． (1)证明是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）对给定递推式变形构造目标数列证明其为等比数列； （2）利用(1)中等比数列结论构造等差数列求出通项即可； （3）根据通项等差乘等比的结构用错位相减法求前n项和. 【详解】（1）已知 ， 移项可得 ， 又 ，，则 ， 因此 为常数， 故 是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得 ， 两边同除以得， 因此是首项为，公差为的等差数列， 故，即知. （3）由（2）知， 所以 ，① 两边同乘3得 ，② ①-②得： ， ， 所以 ， 解得. 16．已知等差数列及其前项和满足，.数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）先用等差数列通项和求和公式,由已知条件解出首项与公差,得到通项；再由的连乘积公式通过相邻项相除得到. （2）将表示为,用错位相减法求和：先写出和,两式相减后得到等比数列求和,化简即得. 【详解】（1）数列是等差数列，设公差为， 因为，所以， 又，，解得，， 所以. 当时，，因为 所以， 当时，由题设得，满足上式，所以. （2）由（1）可知，，所以， 所以，① 所以，② ①-②可得， 所以. 17．已知数列满足，． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，结合等比数列定义即可得证； （2）借助分组求和法、错位相减法与等差数列求和公式计算即可得. 【详解】（1）， 由，故，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得，即， 则， 令，数列的前项和为， 则， 则， 则 ， 则， 故. 18．已知数列的前n项和为，，当时，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合前n项和与第n项的关系及等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）数列的前n项和为，当时，，而， 则，依题意，因此， 所以数列是等差数列. （2）数列是以为首项，为公差的等差数列，则，， 则， 因此， 两式相减得 所以． 考点四 分组求和法 19．已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式． （2）结合题意利用分组求和法与错位相减法求和即可. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为， 等比数列的公比为，，则 解得， 所以数列的通项公式，的通项公式为. （2）由题意得， 则数列的前项和 ， 设， 则， 则 ， 所以，所以. 20．在数列中，， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义（为常数）证明； （2）由（1）可得的通项公式，再用错位相减法和等差数列求和公式分别求和. 【详解】（1）                     所以数列是公差为3的等差数列． （2）由题得，由（1）可得所以                                             记  ①， 所以   ②， ①-②得 则                         所以 21．在等差数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为为等差数列，故，故， 设等差数列的公差为，则， 故，故. （2）由题设有，故， 故 . 22．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足. (1)求和的通项公式； (2)记，求的前项和及的最小值. 【答案】(1)， (2)，的最小值为 【分析】（1）根据等差数列和等比数列定义由已知条件列方程，解得公差、公比及首项即可写出数列和的通项公式； （2）由（1）可得，采用分组求和法，结合等差、等比数列求和公式可得，通过分析的单调性求得的最小值. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 由题知，解得，则， 所以； 由题知，解得，则， 所以. （2）由（1）知， . 当时， 易知为递增数列， 当时，，即； 当时，，即； 所以， 即当时，取得最小值. 23．设数列{}的通项公式是其前项和为，则=______ 【答案】240 【详解】由题意得 . 24．已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）通过对已知递推公式两边取倒数构造出目标等比数列求得其通项，进而解出原数列的通项公式； （2）将通项化简后拆分为两部分，对“等差数列乘以等比数列”结构的部分运用错位相减法，最后将两部分结果相加即可. 【详解】（1）因为，所以. 所以，则. 因为，所以， 所以数列是首项和公比均为的等比数列. 所以，所以. （2）由（1）得，所以，所以. 所以 . 设， 则， ， ， ， 所以. 考点五 并项求和法 25．已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前100项的和. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组求解出和，然后写出的通项公式. （2）先根据题目条件求出，然后写出数列的通项公式，再利用并项求和法求出. 【详解】（1）记等差数列的公差为， 成等比数列， ，即， 整理得. 又，即，联立解得或. 当，此时；当，此时. （2）由（1）以及数列为递增数列可得. ，. . 26．在公差不为0的等差数列中，已知成等比数列， . (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足 ，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，得到和，联立方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得，求得的表达式，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为 ，所以，即，即 又因为成等比数列，所以，即，即， 联立方程组，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以 ， 因为，， 可得，， 所以，所以数列的前2n项的和为． 27．已知数列的前n项和为，满足，公差大于零的等差数列满足为与的等比中项． (1)求数列和的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用，由求首项，再作差推出为等比数列得通项，再设等差数列公差为正数，由和等比中项列方程求出，进而得到通项. （2）把拆为与两部分，分别用等比数列求和、相邻两项分组求和算出前20项和，相加即得. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，由及，得，解得 所以. 设等差数列的公差为， 则 所以． （2）当时，， ． 28．已知为数列的前n项和，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明：当时，， 整理得，所以， 所以， 因为，所以， 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列． (2) 【分析】(1)通过和的关系表示出后构造的形式并证明其为等比数列. (2)表示出后分类讨论并通过分组求和求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，则，所以， ①当n为偶数时， ； ②当n为奇数时，可得； 综上：． 29．已知数列的前项和为．．，则（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，利用分组求和法列式求解. 【详解】依题意，，则， 又，则， ，由， 得，所以. 30．已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，其中. (1)求公差及的值； (2)设数列，数列的前项和为，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列的性质结合二倍角的余弦公式计算可得； （2）由等差数列的基本量法求出通项后结合正弦函数的周期性可得. 【详解】（1）由题可知：，， 故 ， 公差，所以， 即，又因为，所以， 故，即． （2）由（1）可知，等差数列的通项公式为：， 又因为，所以， 在中，，所以， 即是周期为4的周期函数，            所以当时，，当时，， 当时，，当时，，其中， 所以每4项一组，每组和为： ，    前8项刚好分为2组，故. 考点六 裂项相消法求和 31．已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，联立已知条件，，求出首项和公差，进而写出通项公式； （2）先由求出前项和，再将数列通项裂项为，通过裂项相消求出的表达式，最后解不等式，得到的最小值． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 因为，， 所以，解得，， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）得，， 所以， 所以 ， 因为，所以， 化简得， 又，解得， 所以的最小值为． 32．已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：对任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等比中项的性质求解即可. （2）求出，利用裂项相消法求出，进一步证明即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则． 由成等比数列，得． 展开得，化简得，即． 因为，所以，于是． （2）由（1）知，则． 又，所以． 于是． 故对任意，都有. 33．已知数列满足，且． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前n项和为，数列满足，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）通过变形给定的递推公式，构造出目标数列相邻两项的比值为常数，从而证明其为等比数列； （2）将第一问得出的等式两边同除以构造出等差数列，进而推导出的通项公式； （3）运用裂项相消法求出及的表达式后，采用反证法并利用整数方程两边的奇偶性矛盾来完成证明. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以，那么， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）知，等式两边同时除以，得， 设，则，且， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 即，故． （3）由， 则， 故． 所以， 假设数列中存在不同的三项构成等差数列， 则，即，两边同时乘以得到， 因为，所以，，故上述等式左边为偶数，右边为奇数，等式不成立． 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 34．已知数列中，． (1)求； (2)设，证明：数列是等比数列； (3)记，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）依次将代入递推关系式中计算即可； （2）由得到，再根据等比数列的定义证明即可； （3）由（2）得到的解析式，进而得到及的解析式，再根据裂项相消法求出数列的前项和为，即可得证. 【详解】（1）在数列中，已知， 则，； （2）由可得， 则，又因为， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列； （3）由（2）可得，解得， 则 ， 所以． 35．记等差数列的前项和为，数列也是等差数列，且两数列的公差均为. (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题得，， 所以， 因为是公差为的等差数列， 所以， 因此， 两边平方可得， 即，解得， 所以. （2）由(1)可得， 所以， 因此. 36．已知正项数列的前n项积为，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前200项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用可得即可求证； （2）化简得即可求出. 【详解】（1）由，得，则，                当时，则，得，                      所以数列是以4为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）得，， 则，                 所以         ， 所以． 考点七 含奇偶项的求和 37．已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足（），求的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对于数列，利用与的关系，通过和两种情况求出通项公式；对于数列，根据已知条件求出首项和公比，进而得到通项公式； （2）对于数列，根据的奇偶性分别求和，再将结果相加得到前项和即可. 【详解】（1）因为①，时，②． 由①-②得， 所以，则， 因为，所以， 因为，．则为首项1，公差1的等差数列， 所以， 因为，，则公比，， 所以． （2）当为偶数时， ， 当为奇数时，是偶数， 则， 把偶数公式中替换成： 则， 所以 38．数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1) ，或. (2) 【分析】（1）分别设出的公差、公比，再根据通项公式求解即可. （2）根据（1）问的结果以及等比、等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为. 则，得. 又，则，得， 代入，得，因此. 设等比数列的首项为，公比为. 由，，所以， 两式相减得，联立得，解得或. 若，代入得， 因此. 若，则，因此. 综上，，或. （2）因为，所以. 由的定义，前项中包含个奇数项和个偶数项，分组求和： 奇数项和（），该数列是首项为，公差为的等差数列， 末项为，所以和为. 偶数项和（），该数列是首项为，公比为的等比数列，共项， 所以和为. 因此，整理得. 39．若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】（1）将变形后可得，据此可求的通项，再结合累加法可求的通项； （2）利用分组求和法可求； （3）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为，故， 故，所以为常数列， 而，故，故即. 故，所以， 由累加法可得，而， 故，而，故. （2）, 当为偶数时，. 当为奇数时，. 故. （3）当为奇数时，，当为偶数时，， 而， 令， 则， 故， 故 ， 故. 而，则， 故， 故， 故. 40．已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)数列为单调递增数列，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用递推公式先求数列的前几项，再求的前3项即可. （2）根据所给递推公式，判断数列的结构特征，再判断其单调性. （3）分别求出数列偶数项的和与奇数项的和，再相加即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以. 由， 所以. 所以. 41．已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前2n项和； 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证，进而求解； （2）由（1）得，进而得，即可求，又得，进而求，利用分组求和即可求解. 【详解】（1）由题意得： ， 又，所以， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以； （2）由（1）有，所以， 所以， 又，所以 所以 ， 所以 . 42．已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足 （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）设，问是否存在正整数，使得，若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，所有的值为大于或等于的偶数，理由见解析 【分析】（1）应用计算得出通项公式； （2）（ⅰ）分奇偶应用分组求和结合等差数列求和公式及等比数列求和公式计算求解； （ⅱ）分为奇数和偶数两种情况讨论，通过作差法判断数列的单调性，进而求出满足的的取值范围. 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，， ． （2）（ⅰ）由（1）知， 所以 ①当为偶数， ②当为奇数， （ⅱ）①当为偶数时，， ， 故当为偶数时，单调递增， ， 故当为偶数且时，； ②当为奇数，， ，故当为奇数时，单调递减， ，当为奇数时，（舍）， 综上，当为偶数且时，. 考点八 数列求和的其他方法 43．等差数列和等比数列满足，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知：①；②，使．设为数列中同时满足条件①和②的所有的项的和，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差公差为、等比公比为，利用求出，再由结合得，写出两个数列通项. （2）由限定，再由整理出的表达式，筛选使为正整数的，对应项求和得. 【详解】（1）由等差数列和等比数列满足，，，且， 设的公差为，的公比为，可得 将代入，解得，由，则取， 故，． （2）由，，令， 由于，， 故，即，，使，故令， 则，由于， ， ， 故可以看出当时，成立， 故 44．已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列的定义证明； （2）数列中奇数项与偶数项分别构成等差数列，根据等差数列前项和公式计算求解； （3）结合（2）利用通项列举出两个数列相同的项，即可计算求解数列的前20项中余下项的和. 【详解】（1）数列满足，， 设，则， 有， 所以， 所以数列是首项为3，公差为3的等差数列，即数列为等差数列； （2）由（1）可知，， 设，同理可证数列是首项为12，公差为9的等差数列，即， 当时，前项包含个奇数项和个偶数项； 所以， 将代入可得， 当时， ， 将代入可得， 所以； （3）由（2）可知，列举出数列的前20项为： 奇数项：， 偶数项：， 相同的项为：， 数列的前20项中余下项的和为. 45．社区公益募捐设置“爱心抽卡”环节，由甲、乙两位市民参与，规则如下：现有编号为1~8的8张公益卡，公益卡除编号不同外，其余都相同．第一阶段先由甲从这8张公益卡中随机抽取1张，若甲抽到的公益卡编号为1，则甲获得公益纪念徽章，抽卡结束；若甲抽到其他编号（记为）的公益卡，则甲将此卡放回，并从乙开始两人轮流有放回地进行第二阶段的抽卡（每次抽取1张），直至一人抽到编号为或1的公益卡时结束．若在第二阶段抽卡中有一人抽到的公益卡编号为，则甲获得公益纪念徽章；有一人抽到的公益卡编号为1，则乙获得公益纪念徽章．设在进入第二阶段抽卡的情况下，甲获得公益纪念徽章的概率为，乙获得公益纪念徽章的概率为． (1)求的值； (2)求甲获得公益纪念徽章的概率； (3)若该环节甲获得公益纪念徽章，则甲捐180元作为爱心捐助，乙捐60元作为爱心捐助；若该环节乙获得公益纪念徽章，则甲捐100元作为爱心捐助，乙捐188元作为爱心捐助．求该环节甲、乙捐的款额之和的数学期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别分析进入第二阶段后，每一轮甲获胜的概率，再通过无穷等比数列求和即可解题； （2）由互斥事件和事件概率公式即可求解； （3）通过（2）确定X取每一值时的概率，结合期望计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意：进入第二阶段后，每次抽卡：抽到1（乙获胜）概率为​，抽到（甲获胜）概率为， 抽到其他卡（继续抽卡）概率为​， 甲获胜的情况是： 第一轮乙抽到或乙抽到其它卡，甲抽到， 第一轮都未抽到，第二轮乙抽到或乙抽到其它卡，甲抽到， 前两轮都未抽到，第三轮乙抽到或乙抽到其它卡，甲抽到， 故甲获胜概率：可表示为无穷等比数列和： ， 又甲获胜和乙获胜为对立事件， 故乙获胜概率​； （2）甲获胜分两类： ① 第一阶段直接抽到1，概率​； ② 第一阶段未抽到1（概率​），进入第二阶段后甲获胜（概率​）； 故甲获得公益纪念徽章的概率； （3）由题意甲获胜时，，此时概率为； 乙获胜时，，此时概率； 故. 46．已知有穷数列，的项数均为，，若对任意，都有（规定），则称数列，是“相关数列”． 记数列的前项和为，． (1)时，已知数列，，判断数列和是否为“相关数列”，并说明理由； (2)数列，是“相关数列”，证明：对任意，都有，这里表示和中较小的数； (3)求最小的整数，使得存在“相关数列”，，满足． 【答案】(1)是相关数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3)64 【分析】（1）通过对新定义数列的理解与应用，逐一代入验证； （2）利用裂项相消消去中间项，再由绝对值不等式的性质、前项和的定义与变形推出证明； （3）通过化简求和式，构造最优数列，再计算和式并解不等式，最后验证临界值. 【详解】（1）由题知，， 而“相关数列”要求：对任意， 则逐一验证： 当时，成立； 当时，成立； 当时，成立。 可得数列是相关数列. （2）已知数列是相关数列，即 得到 由，得， 对到求和，, ,又，故, 同理，对到，有 对到求和，, ,又， 因此, 综上， （3）令，且， 当且仅当时，取得最大值， 代入化简得 ， 若，即， 解得，故最小整数. 47．已知数列的通项公式，在每相邻两项之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（    ） A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】A 【分析】利用列举法分析数列，由此求得正确答案. 【详解】由题可知，数列各项依次为：， 当时，， 当时，， 所以成立的的最小值为35. 故选：A. 48．定义：函数图像上不同的三点，，．它们的横坐标依次成等差数列，且函数在点处的切线斜率恒小于直线的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数． (1)讨论函数的极值； (2)若函数是其定义域上的“等差偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，．其前项和为，试证明：． 【答案】(1)若，函数无极值；若，函数的极小值为，无极大值 (2) (3)证明：当时，，， 设，求导得， 当时，，则在内单调递增， ， ，符合题意， 构造函数，求导得， 在内单调递增，则， 当时，， ，即， ， ，即， ． 【分析】（1）对函数求导，分，两种情况讨论函数的单调性，从而得出相应的极值； （2）根据题给定义列出关于和点的斜率表达式，进而列出不等式，构造函数并求导，判断函数单调性，最后利用函数单调性解不等式求出实数的取值范围； （3）根据题给条件得出与的关系式，构造函数，根据函数单调性得出的取值范围，再次构造函数，利用函数单调性得出缩放关系，最后结合等比数列前项和公式计算． 【详解】（1）函数的定义域为，求导得：， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值； 当时，令，解得，，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 函数在处取得极小值，极小值为：，且函数无极大值． 综上，若，函数无极值；若，函数的极小值为，无极大值． （2）设三点的横坐标成等差数列，且满足， 则，，， 函数在点处的切线斜率恒小于直线的斜率， ，化简得，即， 令，则，代入可得，即 令，求导得恒成立， 在内单调递减，，即， ，解得， 实数的取值范围为： （3）略 49．如图，已知实数，曲线与直线的交点为（异于原点），在曲线上取一点，过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，接着过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，如此下去，可以得到点，，，．设点的坐标为，． (1)试用表示，并证明； (2)求证：，且； (3)当，时，求证：． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据点是直线和曲线的交点，联立方程组，把点的坐标代入，解出参数和的关系； （2）由题意先证明，再根据数学归纳法证明，根据题意得，设出，依据此条件证明，即可证明原命题； （3）由，得出和之间的关系，根据曲线方程，求出，再根据放缩法证明不等式恒成立. 【详解】（1）点的坐标满足方程组，所以， 解得，故， 因为，所以，故. （2）由已知，，， 即，， 所以， 因为，，所以. 下面用数学归纳法证明. （i）当时，成立； （ii）假设当时，有成立， 则当时，， 所以， 所以当时命题也成立， 由（i）（ii）知成立. （3）当时，，， ，， 所以， 因为，所以当时，由（2）知， 所以有， 又因为，， 所以，， 故有. 50．已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 【答案】(1) (2)681 【分析】（1）利用已知递推公式变形，再结合等差数列的性质可得； （2）先分析的整数部分， 再分区间求和可得. 【详解】（1）由可得， 又，所以，即是以3为公差的等差数列， 又，得，， 所以，解得，故， 所以. （2）由（1）可得， 又 所以， 所以. 1．已知数列的前n项和为，且，，则的值为（    ） A．300 B．270 C．207 D．171 【答案】D 【分析】根据给定的递推公式求出数列的通项公式，再利用并项求和法，结合等比数列前n项和公式求解. 【详解】在数列中，由，得， 因此，即，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， ，所以 . 2．已知等差数列中，其前项和为，则（     ） A．185 B．190 C．195 D．200 【答案】C 【详解】. 3．已知函数且，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得（   ） A．1012.5 B．1013 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】先计算，利用倒序相加法即可求解. 【详解】由，所以， 令， ， 所以， 所以，即， 故选：C. 4．已知数列为递增的等比数列，其前n项和为，已知，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项的概念和等比数列的基本性质，列出方程组，求出公比，写出等比数列通项公式即可； （2）根据等差数列的性质求出，进而求出数列的通项公式，再根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）设数列公比为，由题意可得，， 可得，解得， 所以， 化简得，解得或， 因为数列为递增数列，所以，则. （2）由题意可得，则， 设数列的前n项和为， 则， 即， 两式作差得， . 5．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前n项和． 【答案】(1) 证明见解析； (2) . 【分析】（1）由递推公式构造相关数列，再利用等比数列定义可完成证明； （2）由（1）结合错位相减法，分组求和法可得答案. 【详解】（1）因，则， 从而，则是以为首项，公比为2的等比数列； （2）由（1）可得：，则， 从而 ， 设，则， 从而， 又， 则. 6．已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，求导，再结合题意可得，利用与的关系求解； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设二次函数，则，得 所以 由点均在函数的图像上，则 当时，， 当时， 符合上式， （2）由（1）知 所以 7．在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义，求出，再利用累加法求通项即可； （2）对进行放缩，再利用裂项相消法求和，即可完成证明． 【详解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时，． 综上，． 8．记数列的前n项和为，已知． (1)求； (2)记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用数列的前n项和与第n项的关系求出通项公式. （2）利用裂项相消法求和即可推理得证. 【详解】（1）在数列中，， 当时，，而，满足上式， 所以. （2）依题意，， 则 ，而， 所以. 9．设数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系求出数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）当时，， 当时，， 时，也适合， 所以 （2）由（1）知，， 所以， 所以 10．已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 【答案】(1)当时，，解得， 当时，，， 所以，化简得 ①， ，化简得   ②， ①-②得，化简得， 所以数列是以1为首项的等差数列. (2)600. 【分析】（1）由与，构造出条件所给出的模型，直接判断等差数列； （2）由数列所给出的形式判断数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，通过分组求和直接求出的前20项的和. 【详解】（1）略 （2） 由（1）可知，数列是以1为首项的等差数列，，公差为2， 所以， 因为， 所以， 所以 . 11．已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) (3)2116 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的基本概念，以及等差数列前项和公式，求出数列通项公式的基本参数，写出通项公式即可； （2）根据数列的通项公式，利用裂项相消法和分组求和发可求； （3）根据等比数列的项和公式，判定数列的前2026项的组成，进而求出前2026项和. 【详解】（1）设等差数列公差为，所以， 因为，解得，则， 所以， 所以，解得， 因为，所以数列公比，则. （2）由（1）可知， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 数列的前2n项中有个奇数项，个偶数项， 所以， 可得， 即. （3）数列的项为， 在之前有数列的项个，有个1， 则之前有项， 当时，即之前有项，之后有个， 即数列的前2026项有数列的前项，和个， 所以数列的前2026项的和为. 12．已知数列的前项和，设数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2026项和. 【答案】(1)， (2) (3)2646 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）借助裂项相消法计算即可得； （3）计算可得到的项数，则可得时，共有项，则最后10项都为，再借助分组求和法与等差数列求和公式计算即可得前2026项和. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，，符合上式，故； 由，则， 则时，有， 故，即； 当时，，符合上式，故； （2）， 则； （3）：，1，，，，，3，3，3，，…，，…， 从到共有项， 所以，当时，， . 13．已知数列满足：，，n∈N*. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求n的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)50 【分析】（1）由递推公式得到，结合等比数列的定义即可得证. （2）由（1）可得，利用分组求和法求出，结合和单调性求解即可. 【详解】（1）由，得，即， 又， 所以数列为等比数列，首项为，公比为. （2）由（1）知，，所以， 所以. 由，得，即. 易知是递增数列， 令，，， 所以， 所以. 14．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为所有不小于的偶数 【分析】（1）先由时求首项，再用推导通项，最后验证是否满足该式，得到。 （2）先根据的分段定义，将分为为偶数、奇数两类，分别写出表达式；再通过相邻项比值判断单调性，计算关键项的数值，得出仅当为偶数且时，． 【详解】（1）当时，， 当时， ， 因为也满足，所以． （2）①当时，， 所以， 所以当时，为递增数列， 又当时，， 当时，， 当时，， 故存在正整数，使得． ②当时，， 所以， 因为，所以， 所以当时，为递减数列，所以， 故不存在正整数，使得． 综上，存在满足条件的正整数，其取值为所有不小于的偶数． 15．一般地，设函数在上连续，用分点将分成n个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上任取一点，作和式.如果无限接近于0(亦即)时，上述和式无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数在上的定积分，记.当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与x轴所围成的曲边梯形的面积.如果是上的连续函数，且，那么. (1)求； (2)如果在上连续，可设函数，当时，若恒成立，求实数m的取值范围； (3)若数列{an}满足，利用定积分的几何意义，证明 【答案】(1) (2) (3)是由曲线，直线及x轴所围成的曲边梯形的面积， 是图一中阴影所示的各矩形的面积和， 不等式左边得证. 是图二中阴影所示的各矩形的面积和， 不等式右边得证. . 【分析】（1）根据基本函数的导数，结合定积分的定义即可计算； （2）构造函数，利用导数求解函数的单调性，结合分类讨论即可求解； （3）利用定积分的几何意义,证明即可． 【详解】（1）. （2）当时，恒成立， 即当时，恒成立. 令，则 当时，，在上单调递增， 又，在上恒成立， 当时，恒成立； 当时，对，有， 在上单调递减，， 当时，存在，使，不恒成立. 综上可知，，实数的取值范围为. （3）略 16．在正方形轨道的顶点A处有一个机器人，它每次移动会以的概率顺时针移动到轨道上相邻的顶点，或以的概率逆时针移动到轨道上相邻的顶点． (1)若，设机器人移动次后在顶点A的概率为． （i）求； （ii）求． (2)设机器人首次回到顶点A所移动的次数为随机变量，证明：对任意为定值． 【答案】(1)（i），；（ii） (2)证明见解析. 【分析】（1）（i）根据题意求出，移动2次回到顶点有两种可能：或者， 从而求出.（ii）求出当为奇数时；当机器人移动偶数次时，只能在顶点或顶点处，因为在顶点处的概率为，所以在顶点处的概率为，想要移动次到达顶点，只有两种方案：①移动次时在顶点，然后再移动2步回到顶点；②移动次时在顶点，然后再移动2步回到顶点．从而求出，利用等比数列的通项公式求出，从而得解； （2）设机器人在顶点时记为状态1，在顶点时记为状态2，在顶点时记为状态3，从状态首次回到顶点的移动次数的数学期望记为．根据题意得到，从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到，从而得到，从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到，从而得到从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到，从而得到，通过计算求出，与无关，从而得到结论. 【详解】（1）假设为顺时针顺序． （i）机器人移动1次只能到顶点或顶点处，所以， 移动2次回到顶点有两种可能：或者， 所以. （ii）注意到机器人移动奇数次，只能在顶点或顶点处，所以当为奇数时，； 当机器人移动偶数次时，只能在顶点或顶点处，因为在顶点处的概率为， 所以在顶点处的概率为，想要移动次到达顶点，只有两种方案： ①移动次时在顶点，然后再移动2步回到顶点； ②移动次时在顶点，然后再移动2步回到顶点． ， ，是等比数列，公比， 首项为，利用等比数列的通项公式得到， 由（i）知，代入得为偶数， 综上，可得. （2）设机器人在顶点时记为状态1，在顶点时记为状态2，在顶点时记为状态3， 从状态首次回到顶点的移动次数的数学期望记为． 初始从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到，．① 从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到， ．② 从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到， ．③ 从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到， ．④ ①+②+③+④可得， 得，与无关， 对任意为定值，都等于4. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列求和 考点一 公式法求和 考点二 倒序相加法求和 考点三 错位相减法求和 考点四 分组求和法 考点五 并项求和法 考点六 裂项相消法求和 考点七 含奇偶项的求和 考点八 数列求和的其他方法 考点一 公式法求和 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．39 D．78 2．已知是等差数列，且，则数列前12项和（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 3．在数列中，若，，则它的前项和__________ ． 4．在等比数列，则数列的前5项之和为（    ） A． B． C． D． 5．等比数列中，，，其前项和为，若是，的等差中项，则的值为________． 6．设等比数列的前项和为，公比为．若，，则__________． 考点二 倒序相加法求和 7．推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得．( ) 8．已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 9．若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 10．已知函数的定义域为，其导函数满足，且，，则______. 11．已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 12．设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为______. 考点三 错位相减法求和 13．已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记的前项和为，求. 14．设数列满足． (1)证明：为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 15．数列满足，，且． (1)证明是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 16．已知等差数列及其前项和满足，.数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 17．已知数列满足，． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 18．已知数列的前n项和为，，当时，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 考点四 分组求和法 19．已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 20．在数列中，， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和． 21．在等差数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 22．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足. (1)求和的通项公式； (2)记，求的前项和及的最小值. 23．设数列{}的通项公式是其前项和为，则=______ 24．已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 考点五 并项求和法 25．已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前100项的和. 26．在公差不为0的等差数列中，已知成等比数列， . (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足 ，求数列的前项和. 27．已知数列的前n项和为，满足，公差大于零的等差数列满足为与的等比中项． (1)求数列和的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求． 28．已知为数列的前n项和，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和． 29．已知数列的前项和为．．，则（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 30．已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，其中. (1)求公差及的值； (2)设数列，数列的前项和为，求． 考点六 裂项相消法求和 31．已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 32．已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：对任意，都有． 33．已知数列满足，且． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前n项和为，数列满足，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 34．已知数列中，． (1)求； (2)设，证明：数列是等比数列； (3)记，数列的前项和为，求证：． 35．记等差数列的前项和为，数列也是等差数列，且两数列的公差均为. (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 36．已知正项数列的前n项积为，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前200项和． 考点七 含奇偶项的求和 37．已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足（），求的前项和． 38．数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 39．若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 40．已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 41．已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前2n项和； 42．已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足 （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）设，问是否存在正整数，使得，若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由． 考点八 数列求和的其他方法 43．等差数列和等比数列满足，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知：①；②，使．设为数列中同时满足条件①和②的所有的项的和，求的值． 44．已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和． 45．社区公益募捐设置“爱心抽卡”环节，由甲、乙两位市民参与，规则如下：现有编号为1~8的8张公益卡，公益卡除编号不同外，其余都相同．第一阶段先由甲从这8张公益卡中随机抽取1张，若甲抽到的公益卡编号为1，则甲获得公益纪念徽章，抽卡结束；若甲抽到其他编号（记为）的公益卡，则甲将此卡放回，并从乙开始两人轮流有放回地进行第二阶段的抽卡（每次抽取1张），直至一人抽到编号为或1的公益卡时结束．若在第二阶段抽卡中有一人抽到的公益卡编号为，则甲获得公益纪念徽章；有一人抽到的公益卡编号为1，则乙获得公益纪念徽章．设在进入第二阶段抽卡的情况下，甲获得公益纪念徽章的概率为，乙获得公益纪念徽章的概率为． (1)求的值； (2)求甲获得公益纪念徽章的概率； (3)若该环节甲获得公益纪念徽章，则甲捐180元作为爱心捐助，乙捐60元作为爱心捐助；若该环节乙获得公益纪念徽章，则甲捐100元作为爱心捐助，乙捐188元作为爱心捐助．求该环节甲、乙捐的款额之和的数学期望． 46．已知有穷数列，的项数均为，，若对任意，都有（规定），则称数列，是“相关数列”． 记数列的前项和为，． (1)时，已知数列，，判断数列和是否为“相关数列”，并说明理由； (2)数列，是“相关数列”，证明：对任意，都有，这里表示和中较小的数； (3)求最小的整数，使得存在“相关数列”，，满足． 47．已知数列的通项公式，在每相邻两项之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（    ） A．35 B．36 C．37 D．38 48．定义：函数图像上不同的三点，，．它们的横坐标依次成等差数列，且函数在点处的切线斜率恒小于直线的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数． (1)讨论函数的极值； (2)若函数是其定义域上的“等差偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，．其前项和为，试证明：． 49．如图，已知实数，曲线与直线的交点为（异于原点），在曲线上取一点，过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，接着过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，如此下去，可以得到点，，，．设点的坐标为，． (1)试用表示，并证明； (2)求证：，且； (3)当，时，求证：． 50．已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 1．已知数列的前n项和为，且，，则的值为（    ） A．300 B．270 C．207 D．171 2．已知等差数列中，其前项和为，则（     ） A．185 B．190 C．195 D．200 3．已知函数且，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得（   ） A．1012.5 B．1013 C．2025 D．2026 4．已知数列为递增的等比数列，其前n项和为，已知，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前n项和. 5．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前n项和． 6．已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 7．在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 8．记数列的前n项和为，已知． (1)求； (2)记数列的前n项和为，证明：． 9．设数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 10．已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 11．已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 12．已知数列的前项和，设数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2026项和. 13．已知数列满足：，，n∈N*. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求n的最大值. 14．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 15．一般地，设函数在上连续，用分点将分成n个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上任取一点，作和式.如果无限接近于0(亦即)时，上述和式无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数在上的定积分，记.当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与x轴所围成的曲边梯形的面积.如果是上的连续函数，且，那么. (1)求； (2)如果在上连续，可设函数，当时，若恒成立，求实数m的取值范围； (3)若数列{an}满足，利用定积分的几何意义，证明 16．在正方形轨道的顶点A处有一个机器人，它每次移动会以的概率顺时针移动到轨道上相邻的顶点，或以的概率逆时针移动到轨道上相邻的顶点． (1)若，设机器人移动次后在顶点A的概率为． （i）求； （ii）求． (2)设机器人首次回到顶点A所移动的次数为随机变量，证明：对任意为定值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $