期末复习专题02 等比数列及其求和【考点突破+强化训练】-2025-2026学年高二数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 围绕等比数列核心概念，通过七个递进考点系统覆盖从基本量计算到实际应用的全题型，突出性质与求和的逻辑关联，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等比数列的基本量计算|6题|涉及首项、公比、项数的方程求解|以定义为起点，构建基本量关系| |利用等比数列的性质计算|6题|中项性质、下标和性质的应用|从定义延伸至性质，简化运算| |等比数列的单调性及其应用|6题|单调性判断与最值问题|结合函数性质深化概念理解| |等比数列片段和的性质及应用|6题|连续片段和的比例关系|拓展求和公式的应用场景| |等比数列奇数项或偶数项的和|6题|奇偶项分离求和|分类讨论思想的具体体现| |等比数列前n项和的其他性质|6题|和的最值、不等关系证明|综合性质与求和公式的应用| |等比数列的简单应用|6题|分期付款、增长率等实际问题|体现模型意识，连接数学与现实|

专题02等比数列及其求和 考点汇总 考点一等比数列的基本量计算 考点二利用等比数列的性质计算 考点三等比数列的单调性及其应用 考点四 等比数列片段和的性质及应用 考点五等比数列奇数项或偶数项的和 考点六等比数列前n项和的其他性质 考点七等比数列的简单应用 考点突破 考点一等比数列的基本量计算 az+a 1.等比数列a,}的公比9≠1，且a,4,a成等差数列，则a+4的值() A.-2 B.-2 C. D.2 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式及等差中项求解即可 【详解】等比数列a,中，4=a9,4=a4,4≠0、 4,“,“成等差数列，所以24=4+4，即24 m2a1=a9+a9 因为，， 整理得9+g-2=0 解得9=-2或9=1 (舍去)· a,+a=a9+4-9+1- -2+1 1 所以4+449+a99+g(-2}+(-2)2 2.已知正项数 a满足g:0=1+log:a,且a,=8,则4+a（) 1/32 A.6 B.42 C.80 D.84 【答案】C 【分折】根据对数的运算性质，结合等比数列的定义，可得数列和，是以2为公比的等比数列，根据条件，代入求 ta 解，可得“的值，即可得数列'的通项公式，代入数据，即可得答案 0n1=1 10g2 an1=2 【详解】由题意1og,01-l1og,a。=L,所以2a。,则a。, 所以数列 “是以2为公比的等比数列，则=42 所以4,04，=424242=a22°=8 ，解得 9=22 所以9，=2221=2 a7=24=16,a,=2=64 ,则 所以 ,+a,=80 S2-S= 3.已知各项均为正数的等比数列{a}的前n项和为Sn,且2a+a,=4,则S: 【答案】256 【详解】因为数列a,为等比数列，且各项均为正数，设公比为9，所以4>0,9>0， 必 2as+as =az 2aq'+ag'=aq 得 即2g+q-1=0,解得9=2或-1（舍）， 5-5a 所以S4a,+a2+a,+a 1+a2+a3+a4 4.记5为正项等比数列a的前”项和，若5。=6，S,=738,则。（) A.24 B.30 C.36 D.48 【答案】B 【分析】设出等比数列的首项和公比，结合等比数列的求和公式计算 2/32 【详解】设正项等比数列a的首项为，公比为9g+), a0-g1）-6a0-g2）.3a,1-g2 则1-q ，1-q 1-q 因为g”=0-9)+g+9) 得9+9-72=0，解得9=8或9=-9c合去)，所以4=2。 则%a0g.40-gg165=0 1-9 1-9 5.已知数列{a}共有5项且都是正数该数列的前3项成等比数列，后3项成等差数列，数列{a}的前n项和为S, a2=2,a5=10,a4=S3, 则+a 【答案】8 2=2,a5=10,a4=S3 【详解】设后3项的公差为d,前3项的公比为q,由 可得，4=2,4=2q,4+2ad=10,2+2+2g=10-d, 2 0 2 所以专+2+2g=10-(65-9),即g-3+2=0: 解得9=1或9=2， q=1q=2 所以d=4或d=3. 9=1 当d=4时.4+a=2+10-d=2+10-4=8 当日et,4+a,名10-d=1+10-98 q=2, 9 所以 +a4=8 3/32 So= 6.设S为各项均为正数的等比数列{a,}的前n项和，若2a,=4,-4,则S, 【答案】 9 【分析】先利用等比数列通项公式化简已知等式求出公比9，再结合等比数列前项和公式化简所求比值后代入9 计算结果 【详解】设各项均为正数的等比数列a的公比为9，则9>0，首项4>0， 4=ag,4=a,4,所以由 因 2a,=4-a得 4，=a9-a9,又4>0， ，则整理得9-9-2=0 解得9=2或9=-1，又9>0，故9=2， a1-g） S6= 1-9_1-g6 =1+g3=1+23=9 则S,a1-g)1-g 1-9 考点二利用等比数列的性质计算 7.已知等比数列 的各项都是正数， a2a10=16 l0g2 a6= ,则 【答案】2 【分析】根据等比数列的下标和性质以及对数的计算公式即可求解 【详解】由等比数列的性质可知 l0g2 a=l0g2 azano=10g2 4=2 8.在等比数列 {a. 中，已知 24446=4a,a,4=8 则8440 【答案】128 【分析】使用等比数列的通项公式将条件转化为”和9的关系式，由此可求得9=2， ，进而即可求得 ,aa0的值 aa4=49.a9.a9 8 =q3= 【详解】设等比数列{an}的公比为q,由a,a,a。a,9a93ag 4,得q3=2, aadw-ad.aa-q 因为aa,a,aga9aq° ,所以asA,a10=a3aa,92=8×2=128 4/32 9.在等比数列a中， azasas=8 agdod,=27 ,则=() 2 4 4 A. B.9 C.3 D.3 【答案】D 【详解】已知04,44=844,4，=27 根据等比数列的性质可得，4= ，则444=a, ，解得92 a53=8 ,即 同理可得4，=0, 则4a4=a ，即%2=27 解得%3 在等比数列a中4，&，4成等比数列，根据等比中项的性质可得4=a4,。 a2224 04= 则 a633. 10. 在等比数列 a) ， a,41是方程+25x+169=0的两个解，则41=（) A.-13 B.±13 C.25 D.±25 【答案】A a5+a7=-225 【详解】由韦达定理得a,4,=169,得a<0,4,<0, 因为4a,=a2>0 所y,<0 由等比数列的性质得 i=a4,=169 9,得=-13 (正根舍去)· 1.已知公比大于1的等比数列a号，若44=1，g+a=12 则=（) 1 A. 121 B.11 C.23 D.121 【答案】D 【分析1利用等比数列性质转化=aa,结合韦达定理求出，4，再用道项公式求出 21 【详解】因为 a为等比数列。所以a4,=a4,=1, 5/32 又因为4+01=12 ,公比大于1，所以4>4，则4a是方程-12x+11=0 两个根， 且4=l41=11,即49°=11→q°=11，a1=a9”=a(g）=112=121 a2a16 12.在等比数列{a,中，4，as是方程x2+6x+2=0的两根，则4，的值为() A.-2 B-V2 c.2 D.5或2 【答案】B 【详解】等比数列a,的公比为q,因为，5是方程产+6x+2=0的根， 所以44=G=2,8+4,=6,又4=49,4=ag, 所以”、4、5同号，所以4<0.4<0，a<0, a,46-445-a2=a,=-2 则4，=-2，所以4,4，a 考点三等比数列的单调性及其应用 13.在等比数列a,中，“数列a递减”是a>a>a的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式和充分条件、必要条件的定义分析判断即可 【详解1当4>品>a时，设公比为9，则4>>0 若4>0，则>g>9,即0<g<1,此时，显然数列a,是递减数列。 ，则 若4<0.则1<g<￠，即9>1，此时，数列 n 也是递减数列， 反之，当数列0是递减数列时，显然4>4>4 放“数列口递减”是4>4>a”的充要条件。 6/32 14.已知等比数列a的公比为9，前”项和为S,则“9>1”是“数列 ,}单调递增”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D na,9=1 【详解】等比数列 的前项和，= a(1-g") ,9*1, n 1-q 当“g>1,若8<0时.则5= 1-9 因为>1，所以随者”的增大而增大，19随者”的增大而减小， 又8<0,1-9<0 所以S随若”的增大而减小， 即可得数}单调造诚，因此充分性不一定成立： 当数列{S}单调递增，若a>0,0<g<1,则S-9" 1-9 因为0<9<1 ,所以9随若”的增大而藏小，1一9随若”的增大而增大： 4>01-9>0 所以°”随着”的增大而增大， 即数列，单调道省，此时0<g<1, 所以“数列， 单调递增”推不出“g>1”,即必要性不成立， 因此“9>1”是“数列，单调递增”的既不充分也不必要条件 15.已知数列 是等比数列， a> 0,则“对任意的正整数”都有。，<a2”是“数列 . 是单调递增数列”的 () A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7/32 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义，分析求解，即可得答案 【详解】 :a,}是等比数列， a>0,an<an+2 .a9<a9.g(1-92）<0 对任意的正整数”都成立， ∴.q>0,1-q2<0.q>1 ~a,是等比数列，4>0a是单调递增数列，g>1, 小“对任意的正整数”都有2，<a,:”是a是单调递增数列的充分必要条件 16.（多选)在各项均为正数的等比数列 中，已知4=14.20，+30-2a,=0 数列前”项积为”，则() A {a,}是单调递减数列 B 《a,}是单调递增数列 C. {a} 中的项为整数的只有2个 D 工的最大值为 【答案】ACD 【分析】结合题意求出等比数列的通项公式，再逐项判断即可 【详解】设等比数列a,的公比为9g>0) 2a4+3a3-2a2=02a29+3a29-2a2=0 由 ，得 即2g2+3g-2=0,解得9=2或g=-2(舍去)， ,则A正确，B错误， 7 7 7 4 <1, 因为a=14,4,=7,4=2,a=4>1,4= Qa4月.所以当之3时，8不为家，房以C2 7 因为9=2，且4>14{人，所以工最大，D正确 8/32 17.已知数列{a,}为等比数列，a=100,公比9=2，若T,是数列{a,}的前n项积，则T取得最大值时n的值为 () A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C a 21 【分析】先求出{an}的通项公式，再根据当a1<1时，T,最大求解即可 1 【详解】因为数列{a,}为等比数列，a=100,公比9=2， -l 所以,100x an≥1 所以Tn=aa2a…an,当a1<1时，T最大， 100× ) 2 ≥1 即 100× 1) <1 2 ,解得： n∈N n=7 所以当n=7时，T最大 故选：C 18.设无穷等比数列 的公比为9，前”项积为，则工有最大值”是“1<g<0”的() A,充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义判断。 n(n-1) 【详解】充分性：Tn=aa2…an=a,a,9…a,a"=ag+2++m-=ag2 1n(n-1) 例如4=山9=2，则7，=（兮2，在n=1时，工取最大值，因此是不充分的， 9/32 必要性：当1<9<0。 时，对任意的无穷等比数列 an 者/1 ,必存在正整数”，使得>m时.a小k1n≤m时，≥1，所以”=m时，最大（若a,则 T=Tl是最大值)， 0,则厂是中的最大值，若<0，只要比较7前后的正项的大小即可得（注意化中正负项是两项 T >0 a{Tn} T<0 若 两项间隔的) 若A<1,则1，是递减数列.红：中第一个正项即为最大值， 因此是必要的， 所以应为必要不充分条件， 故选：B 考点四等比数列片段和的性质及应用 19.在等比数列 中，4+a,=254+a=50 则+4= () A.150 B.125 C.100 D.75 【答案】C 【分析】法一，利用等比数列通项公式求出9，进而可求解，法二，由 2,S4-82S6-S4 成等比数列，即可求解。 【详解】方法=：设等比数列0的公比为9，由4+a=25,4+a,=50, 得a0+9)=25.ag+)=50,所u9=2, 所以4+a=a49(1+9)=50g2=100 方法二：设等比数列a的前”项和为5， S2=a1+a2=25,S4-S2=a3+a4=50,S6-S4=a,+a6 则 且-9S-3 成等比数列， 所(a,+a,广=(a+a,a,+a）,解得4+a,=10, 10/32 20.已知等比数列a 的前”项和为3，且50=5,5m=25,则5wF（) A.80 B.100 C.105 D.125 【答案】C 【分析】结合等比数列前n项和的性质求解 【详解】易得包，的公比9*-1，则5，Sm-m,Sw5"成等比数列， 所以S0S2w=520S1o）=80,得Sn=5,0+80=105 S10 21. 设等比数列a的前”项和为5，公比为9.若5=3，分=3，则5 【答案】120 【分析】方法一：利用等比数列前项和的分段性质求解；方法二：用等比数列求和公式求解 【详解】方法一： S3,S6-S3,S,-S6,S2-Sg a 等比数列中， 仍成等比数列，公比为， S=3,9=3,则8-8=5g=3x3=9 所以8=3+9=12S-。=③。-S)9=9x3=27 ,=12+27=39 所以 S2-S,=(S,-S6)g3=27×3=81 所以：=39+81=120 方法二： a-g9)_40-9+g+g+g）-5,-+g+g+') 1-q 1-q 代入8=392=3 S2=3×1+3+32+3°)=3×(1+3+9+27)=3×40=120 11/32 2.设等比数列的前项和为5，者5=3。成=2 ,则4+a+a=() A.27 B.3 C.24 D.48 【答案】A 【详解1设等比数列a的公比为9neN。 者91 。=6a,=2S,=6S。=12 ,则 ,与 的题设矛盾，故91 3=a0-g- 根据等比数列前n项和公式可得 1-9 30,8=0g212 1-9 ②： 1-9 =1+q3=4 将②除以①，化简得1-93 ,解得93=3： 又4+a+a=ag+ag+a9=g(a+a+a,)=(g}3=32x3=27 23.已知公比不为1的等比数列a的前”项和S,若5=3,8，=-3，则。+a+a:F（） A.8 B.-8 C.16 D.-16 【答案】B 【分折】设出公比。根据等比数列3,8。一5。，8。-8的关系式进行求解，得到答案 【详解】设数列a,的公比为9g), S3;S6-S3;S-S6:S12-S9 显然 成等比数列，公比为9， =-8,所以8-8=-25 因为 S。-S3=a+4+a6=g2=-2 故Sa+a+a 所以5-8=g3,=48,则5=46，+8，=45-8=38， 又8=3.38=3 ,故 所以91 所以40+a+a2=S2-S,=(-2)S,=-8 12/32 24.设等比数列 的前项和为，已知4+4+4=2,4+a,+a,=6,则品（) a A.18 B.26 C.34 D.42 【答案】B 【分析】利用等比数列连续相同项数的和仍成等比数列的性质，分别求出三组连续三项的和，相加即可 【详解】由题 ,=a+a+a=2S6-S,=a4+a,+a6=6 S3 S6-S3 S9-S6 根据等比数列的性质， 成等比数列， 故5-8=位$=18 S6=S6-S3+S3=8 ,=26 所以 考点五等比数列奇数项或偶数项的和 25.若等比数列 {a.} S奇=255 Sg=-126 共有奇数项，且所有奇数项和 所有偶数项和 末项是192，则公 比9= 【答案】-2 【分析】由奇数项和5，得数项和S及末项*的关系式8=95。-a）,代入数据符126=925-192)， 再计算 求出公比 【详解】设等比数列有2n+l项，则奇数项有n+l项，偶数项有n项， 设公比为9，得到奇数项和为0+g+g++g)=25. 偶数项和为(9+9+g++g2-)=-126 所以9g1+g+g++g2产)=25g 即4g+g+g++920)+901=255g 可得：-126+192g=2559,解得9=-2. 故答案为：-2 13/32 26.已知一个项数为偶数的等比数列0，了所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则=（) A.2 B.-2 c.1 D.2或-2 【答案】D 【分析】设数列共有2n项，设所有奇数项之和为工，由肥意表来出5，和，利用产-求出公比g:再结合 a1a2=8 求出“即可 【详解】设首项为“，公比为9，数列共有2”项，则a 满足首项为，公比为9，项数为”项，设所有奇数 项之和为T, 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以9≠1， 所以Tn=a,+a3+…a2m-= a-(g）。a-g. 1-g2 2，S2n= 1-q a(1-q2")） 1-9 =3 故满足工a1-(g） ，解得 1-q 9=2 又4a,=82g=8 所以？2 故选：D 27.若等比数列0共有2项，其公比为2，共奇数项比贺数项和少10，则爱列血的所有项之和为 【答案】300 的奇数项之和为，偶数项之和为5”则=25.8+100=5，则阿求出5值，从 S52 【分析】设等比数列 而得出答案 S S? 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 14/32 1=a1+a3+a5+…+a2m1 则 S2=a2+a4+a6+…+a2n=q(a1+a3+a5+…+a2m-)=2S S+10=S.即5+100=25，解得 S1=100,S2=200 由题意可得： 00+200=300 故数列 的所有项之和是 故答案为：300 28.若等比数列 共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 项数为 【答案】 2 9 【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前项和公式列式计算即可得解. 【详解】在等比数列a,中，由5=4+9，得341=1+1704，解得9=2， 1-22m+1 设这个数列共有2n+1项，则=一2=341+170=51，解得n=4所以这个等比数列的项数为9 故答案为：2；9 29.已知等比数列 共有21项，其和为240，且（a+4++a)-(0,+a+…+a)=80 则公比9 【答案】2 ∫S奇=-80 【分析】根据题意可得S偶=-160，结合等比数列的性质运算求解. 【详解】设 奇=a1+a3+…+a2m-1,S偶=a2+a4+…+a2n [S奇+S偶=-240 S奇=-80 由题意可知： S奇-S偶=80，解得S属=-160， 9= S鹰=2 所以 S奇· 故答案为：2 30.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为() A.8 B.-2 C.4 D.2 15/32 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. S偶=2024，S奇=1012 【详解】由题意可知： 9=88=2 所以S奇· 故选：D. 考点六等比数列前n项和的其他性质 {an} 31.(多选)已知等比数列”的公比为q,前n项和为”， Sna+a,=3a,+a=24 ,则下列说法正确的是 () S6=9 A.9=2 B.S3 n(n+1) C.a,+ag+a=504 D.44,4…an1a,=22 【答案】AB 【分析】利用等比数列的基本量运算判断A,利用等比数列前项和公式判断B,利用等比数列的性质判断C,利 用等比数列的性质并结合等差数列的求和公式判断D即可 a,+a-9(a+a=g=8 【详解】对于A,由题意得a+a2a+a2 ,则9=2，故A正确： 对于B,由 ，可得8+2%=3 a+a2=3 4=1 ,解得 由等比数列前n现和公式初心-， -2-1_63 =9 得到S,2-17,故B正确： 对于C,由等比数列性质得3,3-8，又-8。 成等比数列， 3=7S6-S3=56S,-S6=56×8=448 且 ，得到 即4+a+4=S-S,=48 ,故C错误： 16/32 对于D,由等比数列性质得 n=a‘g"=2-l n(n-) 则a,a4,…ana,=2442+-a-2a=22，故D错误 故选：AB 32. 已知等比数列a, 的前”项和为5，若5 #Sn=3×2m1+元 则1 【答案】-6 【分析】法一：利用5求通项公式，结合等比数列的定义求参数值，法二：应用等比数列前项和公式求参数 值 n=3×2m1+ 【详解】（方法一）因为 antl=2 当m≥2时，0，=5，-S=3×2+元-(3×2”+2)=3-2”，可得a,=2,n≥2， 当”=1时，4=8=3x2+ =3×22 因为数列a,为等比数列，所以432+2，解得元=-6。 (方法二)者数列公比为9，当9=1， Sn=na1=3×21+ ,则 “不可能恒相等， 所以g≠1，则心， a-g）_a-4q=6-2"+2,所以元=-6 1-91-91-9 故答案为：-6， a24-1<0 33.设公比为q的等比数列{a}的前n项和为S,前n项积为T,且4>1，a224422s>1,a2s-1,则下列结 论正确的是() A.9>1 B.数列亿时无最大值 C. 7心是教列亿中的最大值 D S2024S2025>20242 【答案】D 17/32 【价折1分折得到0<g<1,当≤n≤2024时，a>1,当0≥2025时.0<a<,从而得到亿有最大值，最大 值为e.5e>2024.Ss>5>2024 得到D正确，ABC错误. a224-1>0 【详解】A选项，4>1，若9≥1，则对任意的n∈N,都有a,=49>1,则as-1,不合要求，A错误： BC法顶，若9<0，则a4saa9<0,与w>1引 矛盾，不合要求， a224-1<0 当0<9<1时，a202s=a20249<a2024,又a2025-1 所以2-1>0，as-1<0B即0>1as<1 ，即 又4e:a>1,故0>l0<as<1 ,故 满足要求， 故当1≤n≤2024时，a,>1, ，当”≥2025时0<0.<1 时， 故亿}有最大值，最大值为，BC错误： D选项，当1≤0≤2024时，0>1，当≥2025时.0<0，<1 时， 故5>2024.s>S>2024 所以5a5s>2024 ,D正确 故选：D a-1<0 34.设等比数列{a}的公比为9，其前n项和为S,前n项积为T,并且满足条件a>1,a,4>1,a-1,则 下列结论正确的是（填序号） 0<9<1 ① ②44，<1 ③“的最大值为 18/32 ④”的最大值为 【答案】①②③ 【分析】根据思意4>4，<1 ,再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可 a,-1<0 【详解】因为4>1,44>1,4-1， 所以4>a,1所y0<g<1 ，所以 ，故①正确 a,4,=a<1 故②正确： 又%>4<1 T ,所以“的最大值为，故③正确 因为4>1.0<g<1,所以植有品>0，所以无品大位，故③描误 故答案为：①②③ 35.(多选)下列说法正确的是() A,非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B.等比数列 {an} {a} 是递增数列，则a的公比9>1 C若数列a。 '的前”项和为=n+2n 则数列和 是等差数列 D.若a为等比数列，为其前”项和，则5，-及，-S,仍为等比数列任eN) 【答案】AC 【分析】根据数列中特殊常数列的性质，等比数列单调性的判断方法，利用前项和求出通项证明等差数列，和等 比数列前项和的性质，判断各选项正误 【详解】非零常数列，后一项减前一项是0，后一项除前一项是1，所以A正确. [a,>0a,<0 等比数列单调递增则由9>1或0<9<1，所以B错误 的 S.=n+2n 当”≥2neN时，=5-5=r+2n---2m-0=2n+1, 可知当 且9=3 符合等式，所以数列通项为，=2+】， ,则01-0，=2n+0+1-2n-1=2 所以是等差数列，所以C 19/32 正确 当g=-1,k为偶数时， s0--8a0g）.0-）a(g-g】 1-9 1-9 1-9 1-q 可知 Sk=0,S2k-Sk=0.S3k-S2k= 不满足等比数列各项不为0的要求，所以D错误。 故选：AC 36. 已知等比数列a,的前”项和为，若=4，则5的最小值为《) A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】D 【分折1利用5，S一，5成等比数列，倍助5，=4，可以把看成一个关于5的二次函数，从而可求最 小值 【详解】由题意知9，了-S,8,-心成等比数列，所以(S。-S,)广=S(代-5) 即(5。-4=46，-S),所以8，=S-4s+16)=4S-2+12] 当=2时， 取得最小值3 故选：D. 考点七等比数列的简单应用 37.小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元当年4月开始算分 期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清.每次还款数额相同，按复利计息，则每 月还款金额为 元. (最后结果保留3位有效数字，参考数据： (1+0.5%)°≈1.13) 【答案】86.9 【详解】设每月还款”元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带利总共为 000×(1+0.5%)25 元， x1+0.5%)24+x1+0.5%)23+…+x=2000(1+0.5%25 x[1-1+0.5%)25 可得1-1+0.5%) =20001+0.5%)25 20/32 x= 20001+0.5%25×0.5%=2000×1.13×0.5%≈86.9 整理得 (1+0.5%)25-1 1.13-1 38.小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算 分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清.每次还款数额相同，按复利计息，则每 (1+0.5%)25≈1.133 月还款金额为 元. (最后结果保留4位有效数字，参考数据： 【答案】85.19 【详解】设每期还款x元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带息总共为 000(01+0.5%)5 元， x1-(1+0.5%)25 则x1+0.5%)4+x1+0.5%)2+…+x=20001+0.5%)25，可 1-(1+0.5%) =2000(1+0.5%)}25, 整理可得 20001+0.5%)×0.5%≥2000×1,13×0.5%≈85.19 1+0.5%)5-1 1.133-1 所以每月还款金额为85.19元 39.某医院月初购买一台医疗设备价格为万元，实行分期付款（每月底付款），每期付款数相同，每月为一期， 如果按月利率8%，每月复利一次，若6个月付清，共付x万元，若12个月付清，共付y万元，则x、'满足 () A.x=y B.x<y C.x>y D.x≥y 【答案】B 【详解】设每期付款额为A,共付n期，月利率为0.008 则40+1.08+1.0082++1.008-）=a1+0008y,即4x-108 1-1.008 =a×1.008 则A=a×0.008x1.008 1.008”-1, 所以=6ai801o0s,y-12xa-008108 1.0086-1 1.0082-1 x_1.0086+1 所似)2x10S<1,故<y. 40.某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元， 以此类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金 万元. 【答案】126 21/32 1 【分析】设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成一个数列{a,},则a为全部资金，分析可知a1=20。-1, 可得出数列a,+2为等比数列，确定该数列的公比和首项，可得出a,的通项公式，根据4=0可 可求出的值， 即可得解 【详解】设全部资金和每次发放后资金的利下额度组成一个数列a,则“为全部资金， 第一名领走资金后剩a,则4，=24-1， 以此类推，a=20,-1,所以0h+2=2a,+2), 所以数列a,+2}是一个等比数列，公比为2，首项为4+2， 所4+2=(a+2,4=a+2[-2 ) 所以第6名领走资金后剩余为”，=(a+2)×2 -2=0,放4=126，即全部资金为126万元. 故答案为：126 41,为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧 车，替换车为电力型和混合动力型两种车型.今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车300辆：计 划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入辆.市政府根据人大代表 的建议，要求5年内完成全部更换，则a的最小值为 【答案】182 【分析】由题可知，每年投入的电力型公交车数量构成等比数列，每年投入的混合动力型公交车数量构成等差数 列因此从题中找到等比数列的首项和公比，及等差数列的首项和公差，根据等比数列的求和公式以及等差数列的 求和公式得到5年来投入的公交车数量和，列出不等式求解即可 3 【详解】依题意知，每年投入的电力型公交车数量组成首项为128，公比为1+50%=2的等比数列， 每年投入的混合动力型公交车数量组成首项为300，公差为a的等差数列， 22/32 128× 5×4 -300×5+ 则5年共投入的两类公交车共有 3 a 12 +300×5+ 5×4 所以 2 a≥5000，即 1 ，解得 ,因为 10a≥1812 a≥181.2 a∈N 所以a的最小值为182. 故答案为：182 42.银行一年定期储蓄存款年息为r,按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为4，按单利计算利息.银行为吸 收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应大于 【答案】[0+9-可 【分析】根据复利和单利的意义进行求解即可 【详解】设储户开始存入的款数为a,由题意得， a1+3q)>a1+r)3 9>3a+9- 故答案为：+-刂 强化训练 已知等差数列a5正项等出数列6满足a=2,4=2026,A62028则0gb4E 1 A.2 B.-1 c.2 1 D.1 【答案】C 【分析】由等差、等比数列的性质求解 【详解】由等若、等比数列的性质可知4a=+兰=1014,4=A=04。所以 2 og bolog14-1 23/32 2.已知数 a为正项等比数列，若4=16,4 1,则0=() 1 A.4 B.2 C.2 D.4 【答案】D 92=81 【详解】设等比数列的公比为9，则4,16，而数列{a,}为正项等比数列， 故9=4，故a,=a,9=4 3.已知等比数列 为1，之，4.&一若数清是8=e:8,且是与的等比巾项，则的为 () A.8 B.10 C.12 D.16 【答案】B {an 【详解】由题意得等比数列 的通项公式为0，=1×2=2.56=10g,2=n-1 又是与么的等比中项，所=64，即9=1x依-，解得k=10 4.已知等比数列{a,}满足4，+a,=1,a+a,=2,则a=（） A. B.8 c 64 17 5 D.64 【答案】A 9=马+0=1 【详解】设等比数列a,的公比为9，则a,+a,2. )3 由，+a,=1,得42+a2 5.已知AeN,数列a的前”顶和为5，若4=2,0=25，则4，=（) A.4×36 B.2×36 C.4×35+2 D.4×3 【答案】D 24/32 【分析】先根据数列等式进行变形化简确定数列 ,}从第二项起为公比为3的等比数列，从而利用等比数列通项 公式求解即可 【详解】由题意，当”=1日 时，4=24=4 当n≥2时，4=S.-S=0g-8 2-2,化简得a1=3a. 又92 不满足13， 所以数列 从第二项起为公比为3的等比数列，所以4=4×3=4×3 6.在等比数列 中，若4=2,4=6 则41=) A.18 B.36 C.54 D.60 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质。，=a.9 求解 a=q=3 【详解】设等比数列a}的公比为9，因为 所以a1=49=a,(g=6x32=54 故选：C 7.已知等比数列 的各项购为正数.数列么满足。=1g,么=18，么=12，剥数列 .}的前”项和的最大 值等于() A.126 B.130 C.132 D.134 【答案】C 【分析】先根据等比数列 {a. 及对数的运算性顺，可判断数列么为等差数列，进而求出通项公式，易判断前Ⅱ 项为正，第12项为0，所以前11项或前12项的和最大，利用等差数列的前n项和求出最大值即可 【详解】解：设等比数 a,的公比为9， 因为 g41-ga,=lg,三1g91g a 25/32 所以数列 }为等差数列： [b=b+2d=18 b=22 又因为b=18,b,=12,所以b,=b+5d=12,解得d=-2, 所以2，=么+-)d=-2n+24 当=-2n+24>0 ，”<12，则数列6 的前11项为正，第12项为0， 从第3项起，每项均为负，所以 =S0,且最大 又S,=11x22+10x11 ×(-2)-132,所以前n和的最大值为132 1 8.己知等比数列{a,}中，4，=4，a,=2,设数列{《-”a}的最大项为M,最小项为m'则M-m=() A.6 B.8 C.12 D.24 【答案】D 【分析】设等比数列0的公比为9，根据愿意求出“、9的值，可得出数 a,的通项公式，分析数列 《旷a,)奇数项和偶数项的单调性，可得出M、m的值，即可得解 a3=a92=4 a=16 1 1 【详解】设等比数列{a,}的公比为g·由a,=ag=2,解得9=2， 所以0，=49=16× 2 =2.a,=少2 当”为奇数时， （-1an=(-1).2"=-25-"<0 当”为偶数时， （-1)°an=(-1)°2-"=2-m>0 所以，数列《少a}的奇数项单调递增，偶数项单调递减。 故M=(旷a=8,m=(-0a=-16,M-m=24 故选：D. 26/32 9.已知等比数列a,的前”项和为5，若，=7S:=21,则。=（) A.49 B.56 C.105 D.112 【答案】A 【分析】利用等比数列前”项和连续等长片段的和仍为等比数列的性质，结合等比中项公式求解 18 S6,S12-S6,S18-S12 【详解】由等比数列的性质可知， 成等比数列 6=7S2=21mS2-S6=21-7=147,14,S8-21 已知 ,因此 ,即 为等比数列 根据等比中项性质可得： (S2-S6)2=S6(Sg-S2) 代入数值得 142=7×(1g-21) 计算得 96=7(S8-21) 解得49 10.已知等比数列a, 有2m+1项，9 =1 ,所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则”=(） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为 1+92+q+.+q2"=1+q(g+q3+q3++g2m-)= 5,偶数项为 9+q+q3++q2m-1=42 ,得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前项和的公式求出即可. 【详解】因为等比数列有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设公比为9， 得到奇数项为 +q2+q+.+g2=1+9(g+g3+g+.+g2)=85 偶数项为9+g+g+…+g21=42 整体代入得9=2 1-22m+1 所以前2n+1项的和为1二2=85+42=127，解得n=3 故选：B 1.等比数列a 的前”项和为5，若=3+14 ,则=() A.-12 B.-3 C.3 D.12 【答案】A 27/32 【分析】按9=1与9≠1两种情况分类讨论，根据等比数列前n项和公式进行求解即可 【详解】设等比数列的公比为9。当9时，=m,不合腿意： 当g≠1时，等比数列前n项和公式，= 0-4）-4g+82 1-91-q1 1-9 依题意Sn=3+t4-= Γ子+3，得：4+3=0，解得：1=-12 故选：A 12. 《多选)设等比数列口的公比为9，其前”项和为、，前”项之积为了，且满足4>1,0>1 02022-1 <0 a2-1,则下列结论中错误的是（) A9<0 B.a023a4-1>0 C m是数列}中的最大值 D S2023>S2022 【答案】AB 【分】由题设可得a-am-》<0,0a0=a。9>1,可符9>0，即可判断A根据9>1,9>0可 判断D:分析可得0<g<1,进面得到数列a为递减数列，进而得到4如>1,0<a如<1， ,即可判断CD. a2022-1 <0 【详解】由a23-1可得，(a222-1(a22-l)<0, 由2mam=心9>1 可得9>0 ,故A错误： 又因为4>1，且9>0，所以数列a为各项均为正数的等比数列，所以Sm>S,故D正确： 当92l时，因4>1，数列a为递增数列，则>1am>1 此时 e-aa-1>0,与a-ae-1<0矛盾，所u921不成立 28/32 当0<g<1时，数列a,}为递减数列，根据am-1a,m-)<0 有”a>10<a<小，则心是数列红中的最大值，被c正确 0<a2024<a2023<1 0202302024-1<0 而 则 故B错误 故选：AB 13.(多选)已知数列 a,b.} 分别是等差、等比数列，则必有() A. a5+07=412 B a6+a,+a20=3a1 C. bb2bis =b3b3b7 D. b+b2,b3+b4,b+b6 成等比数列 【答案】BC 【分析】根据等差数列以及等比数列的性质，即可根据选项逐一求解 【详解】对于A选项，若0，=2m-1,则4，+6=2,42=23 ,则 ,此时 ,+a4=a2不成立，A错误. 对于B选项，设公差为，则”，+4+a=3a+30d=3(a+10d)=34,B正确 对于C选项，由于等比数列中有 bbi9=b367 ≠0bb,h,=h,h,C正确。 ,且 ,故 对于D选项，当公比为时， b+b2=b3+b4=b+b。=0 +b2,b3+b,b3+b6 ，所以 不是等比数列，D错误 14.已知等比数列 共有32项，其公比9=3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 “的所有项之和是 【答案】120 【分析】设该数列奇数项之和为5、例数项之和为5，则可得：=35，S。-8=60。 S格 ，解出即可得。 【详解】设该数列奇数项之和为5、偶数项之和为 则5g=4+a,++aa=g(a+a++a1）=g54=3S 偶-S奇=3S奇-S奇=2S奇=60S奇=30S偶=3S奇=90 故 ，故 29/32 则数列a的所有项之和是5+S%=30+90=120 15.已知等比数列' 的前项和为S,S。=1.S=13S。 【答案】40 【分析】利用等比数列前”项和的分段性质： SoS,-S。,S。-SS。S成等比数列，结合等比中项列方程求出 该新数列公比为3，求解即可. 【详解1设等比数列a,}的公比为？(9-1，香则与已知矛盾)， S1o,S0-Sio,S30-S20,S40-S 仍皮等比数列，公比为9“， Sto=a S20-S1o=b S3o-S20=c 设 因为a,b,c成等比数列，所以b2=aC, 已知 30=a+b+c=13 代入a=l得+b+c=13, 即c=12-b,代 入=102-b）,解得b=3或6=4。 因为900 所以5o5。-5及-S5w- ”同号， S0=1> 因 0,所以b>0,即b=3, b 所以So,S0-So,S0-S2,S0-S0的公比为a3, 所以5-。。-5。-5就是 1,3,9,27 所以50-80=27.则Sw=S0+27=13+27=40 ，即 16.小张暑假期间到一家商场勤工俭学，该商场第1天支付40元，从第2天起，该商场每天支付的金额都是前一 天的1.2倍，小张工作了10天，则他领取的总报酬为 元.（参考数据：取1.20=6.19) 【答案】1038 【分析】直接根据等比数列求和公式求解即可. 30/32 【详解】该问避是一个等比数列求和的间匙，第1天的金额4=40元 元，公比9=12 1.20-1 工作天数n=10:则10天总报酬S0=40 =40×6.19-1=1038 1.2-1 1.2-1 故答案为：1038 17.已知正数数列 满足 n+1≥3an+2 ,且93 对n∈N 恒成立，则“的范围为 (0.8] 【答案】 【分析】利用数列的递推不等式，通过构造由递推特征得到通项特征，再由<3 求”的范围， 【详解】因为≥3a,+2,所以0+1≥3a+ 所以21≥3(a+1≥3产a2+1)2…≥3(4+1)） 因为a<3,所以3”(a+1)<3+1,即a1<9+, 3-对neN恒成立， 4<8+ 3对n∈N恒成立，因为8+3可>8，所以a≤8， 又因为a是正数数列，所以4>0， 0,8] ,所以的取值范围为 (0,8] 故答案为： 18.设数列 a. 是由正数组成的等比数列，公比9=2， 且4a4a0=20 那么44…0= 【答案】2/1024 【详解】把 4,4…a0按下标公差3分为三组，每组0项， .10 A=aa4a7…a2s,B=a2a5ag…a29,C=a3a6ay…a30 则ABC=2”, 已知数列口是由正数组成的等比数列，公比9=2，则B=42”, C=B20=A220 31/32 AB.C=A3.20=230 “术=L,数列a}是由正数组成的等比数列，故4=1， a24…a2g=B=A210=210 19.已知1,4,4，， ,100枸成正项等比数列、该数列的前”项的积为，。=87，则数列 }的通项 公式为b= 【答案】n 【分析】先利用等比数列通项公式得到公比的幂次关系，再将前+1项积用公比表示，结合对数运算性质化简得 到通项 【详解】设该正项等比数列的公比为9(9>0)，由题意可知数列共有n+2项， 首项为1，第”+2项为10，根据等比数列通项公式得： 100=1g+21=g1 n+) Tn1=1×a,×a×…×an=g°×g×gq2×…×g=g2, 将9=100代入上式：T1=(g*)2=1002=102)2=10, n=lgTn=lgl0”=n,neN 所以 等比数列o, 满足4+a=10,a,+a,=5,则4，=一：若=4a,40,则的最大值为 T 20. 【答案】 24n 64 【分析】由等比数列基本量求通项，利用数列单调性进行最大值计算求解 4+a== 【详解】设等比数列{an}公比为4，则a,+a2 ,即+g× =0=4=8,m4--2 .1 因为4=8，g=2,所以数列为递减数列且各项均为正，4>4>a>a=1>a>,T=a,aa,? 当ns4 Tn≤T4=64 T<64 T 时， :当n≥5 时， 且适统。所以当”减时了取最大值为4 32/32专题02等比数列及其求 考点汇总 考点一等比数列的基本量计算 考点二利用等比数列的性质计算 考点三等比数列的单调性及其应用 考点四等比数列片段和的性质及应用 考点五等比数列奇数项或偶数项的和 考点六等比数列前n项和的其他性质 考点七等比数列的简单应用 考点突破 考点一等比数列的基本量计算 1.等比数列(a,的公比g≠1，且a,4,4,成等差数列，则+0的值( a3+a, A.-2 B月 C. D.2 2.已知正项数列{an}满足log2an1=1+log2an,且a2a4a6=8,则a,+a。=( A.6 B.42 C.80 D.84 3.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且2a4+a,=a2, 4.记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6=6,S2,=73S,,则S12=( A.24 B.30 C.36 D.48 5.已知数列{αn}共有5项且都是正数.该数列的前3项成等比数列，后3项成 a2=2,a5=10,a4=S3,则a1+a4= 6。设又为各项均为正数的等比数列a,的前项和，若24，=a,-4,则 S 考点二利用等比数列的性质计算 7.已知等比数列{an}的各项都是正数，a2ao=16,则log2a6= 1/7 和 ) ) 则 S2-S= ) 等差数列，数列{an}的前n项和为Sn, 8.在等比数列{an}中，己知a2a4a6=4,a,a,a,=8，则asa,a1o= 9.在等比数列{an}中，a2a5ag=8,aa6ag=27,则a4=() D 10.在等比数列{an}中，a,a1,是方程x2+225x+169=0的两个解，则a1=() A.-13 B.±13 C.25 D.±25 11.已知公比大于1的等比数列{an},若aa,=11,a1+a1=12,则a21=（) 1 A.121 B.11 C.23 D.121 12.在等比数列{a,}中，a,as是方程x+6r+2=0的两根，则，a的值为() A.-2 B.√2 C.√2 D.√2或2 考点三等比数列的单调性及其应用 13.在等比数列{an}中，“数列{an}递减”是“a,>a2>a,”的() A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.已知等比数列{an}的公比为9，前n项和为Sn,则“g>1”是“数列{Sn}单调递增”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 l5.己知数列an}是等比数列，a,>0,则“对任意的正整数n都有an<a+2”是“数列{an}是单调递增数列的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 16.(多选)在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a,=14,2a4+3a,-2a2=0,数列前n项积为Tn,则() A.{an}是单调递减数列 B.{an}是单调递增数列 C.{an}中的项为整数的只有2个 D.T,的最大值为T 17.已知数列a,为等比数列，a=100,公比g=)若工是数列a,}的前项积，则工取得最大值时的值为() A.5 B.6 C.7 D.8 18.设无穷等比数列{an}的公比为9，前项积为Tn，,则“T,有最大值”是“-1<q<0”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 2/7 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点四等比数列片段和的性质及应用 19.在等比数列{an}中，a1+a2=25,a3+a4=50,则4+a6=() A.150 B.125 C.100 D.75 20.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S10=5,S22o=25,则S330=() A.80 B.100 C.105 D.125 21.设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为9.若S;=3,g3=3,则S2= 22.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=3,S6=12,则a,+ag+a,=() A.27 B.3 C.24 D.48 23.已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和Sn,若Sg=3,S6=-S,则ao+a1,+a12=() A.8 B.-8 C.16 D.-16 24.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a,+a2+a3=2,a4+a+a6=6,则S,=() A.18 B.26 C.34 D.42 考点五等比数列奇数项或偶数项的和 25.若等比数列{an}共有奇数项，且所有奇数项和S奇=255，所有偶数项和S=-126,末项是192，则公 比9= 26.已知一个项数为偶数的等比数列{an}所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则a,=() A.2 B.-2 C.-1 D.2或-2 27.若等比数列{a}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为 28.若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为， 项数为一， 29.己知等比数列an}共有2n项，其和为-240，且(a1+a,+…+a2m-1)-(a2+a,+…+a2n)=80,则公比g= 30.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为() A.8 B.-2 C.4 D.2 考点六等比数列前n项和的其他性质 31.（多选)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,a,+a2=3,a4+a=24,则下列说法正确的是() 3/7 A.9=2 B. S6=9 S C.a,+ag+a,=504 n(n+) D.aa,a,…an-1an=22 32.己知等比数列{a,}的前n项和为S,若Sn=3×21+元，则元=， 3.设公比为g的等比数列a,的前n项和为S,前n项积为Z,且a>1，,a4s>1,<0,则下列结 02025-1 论正确的是() A.9>1 B.数列{T}无最大值 C.To25是数列{Tn}中的最大值 D.S2024S2025>20242 34.设等比数列a,}的公比为9，其前项和为S,前项积为Z,并且满足条件a>1,4,4>1,马<0，则 as-1 下列结论正确的是（填序号） ①0<q<1 ②a,ay<1 ③工的最大值为T ④Sn的最大值为S, 35.(多选)下列说法正确的是() A.非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B.等比数列{an}是递增数列，则{an}的公比9>1 C.若数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n,则数列{an}是等差数列 D.若{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则S,Sk-S,Sk-S2k, 仍为等比数列(k∈N) 36.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S;=4,则S的最小值为() A.6 B.5 C.4 D.3 考点七等比数列的简单应用 37.小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分 期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清.每次还款数额相同，按复利计息，则每 月还款金额为元.（最后结果保留3位有效数字，参考数据：(1+0.5%）5≈1.13) 38.小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算 分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清.每次还款数额相同，按复利计息，则每 4/7 月还款金额为 元.（最后结果保留4位有效数字，参考数据：1+0.5%)25≈1.133) 39.某医院月初购买一台医疗设备价格为©万元，实行分期付款（每月底付款），每期付款数相同，每月为一期， 如果按月利率8%，每月复利一次，若6个月付清，共付x万元，若12个月付清，共付y万元，则x、y满足() A.x=y B.x<y C.x>y D.x≥y 40.某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以 此类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金 万元 41.为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧 车，替换车为电力型和混合动力型两种车型.今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车300辆；计 划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入α辆.市政府根据人大代表的 建议，要求5年内完成全部更换，则a的最小值为 42.银行一年定期储蓄存款年息为，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为9，按单利计算利息.银行为吸 收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么9的值应大于一· 强化训练 1.已知等差数列a,与正项等比数列b,满足4=2，as=2026,么=)bm=2028,则1og6o4=（) 2 B.-1 C.7 D.1 2.己知数列{an}为正项等比数列，若a=16,a=1,则a4=() A. B月 C.2 D.4 3.己知等比数列{an}为1,2,4,8，·若数列{bn}满足b,=log2an,且b4是b与b的等比中项，则k的值为() A.8 B.10 C.12 D.16 1 4.已知等比数列a,}满足a,+a4=1,4,+a=2,则a=（） B.g C.64 17 D.3 64 5.已知n∈N,数列{an}的前n项和为Sn,若a,=2,an=2Sn,则a,=() A.4×36 B.2×3 C.4×3+2 D.4×35 6.在等比数列{an}中，若a2=2,a5=6,则a1=() A.18 B.36 C.54 D.60 7.已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足bn=lgan,b=18,b。=12,则数列bn}的前n项和的最大值 5/7 等于() A.126 B.130 C.132 D.134 8。已知等比数列a,中，4=4,4=弓设数列-广a的最大项为M,最小项为m,则M-题=（) A.6 B.8 C.12 D.24 9.己知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6=7,S12=21,则S1g=（) A.49 B.56 C.105 D.112 10.已知等比数列{an}有2n+1项，a,=1,所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n=() A.2 B.3 C.4 D.5 11.等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=3+t.4”-,则t=() A.-12 B.-3 C.3 D.12 12.（多选)设等比数列{an}的公比为9，其前n项和为Sn,前n项之积为T,且满足a1>1,a2022·a2o23>1, 4222-1 2023-1 <0,则下列结论中错误的是() A.q<0 B.4202302024-1>0 C.To22是数列{Tn}中的最大值 D.S2023>S2022 13.(多选)已知数列an},{bn}分别是等差、等比数列，则必有() A.a5+a7=a12 B.a6+a7+a20=3a11 C.bb2b=b2b3b D.b,+b2,b+b4,b+b。成等比数列 14.已知等比数列{an}共有32项，其公比9=3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列a}的所有项之和是 15.已知等比数列{a}的前n项和为Sn,So=1,S0=13,S40=一 16.小张暑假期间到一家商场勤工俭学，该商场第1天支付40元，从第2天起，该商场每天支付的金额都是前一 天的1.2倍，小张工作了10天，则他领取的总报酬为 元.（参考数据：取1.210=6.19) 17.已知正数数列{an}满足an1≥3an+2,且an<3+对n∈N恒成立，则a,的范围为. 18.设数列{an}是由正数组成的等比数列，公比9=2，且a,a2a,…a0=20,那么a2a…a2g= 19.己知1，a,a2,,an,100构成正项等比数列，该数列的前n项的积为Tn,b,=lgT+1,则数列{bn}的通项 公式为b.= 6/7 20.等比数列{an}满足4+a3=10,a2+a4=5, 则a,=;若Tn=a42a…am,则T的最大值为 7/7