期末复习专题03 数列通项的求法【考点突破+强化训练】2025-2026学年高二数学人教B版选择性必修第三册

专题03 数列通项的求法 考点一 观察法 考点二 累加法 考点三 累乘法 考点四 利用an与Sn的关系求通项 考点五 利用构造法解an＋1＝pan＋q型通项 考点六 利用构造法解an＋1＝pan＋qn型通项 考点七 利用构造法解an＋1＝pan＋f(n)型通项 考点八 利用构造法解an＋1＝型通项 考点九 利用构造法解三项型通项 考点一 观察法 1．已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 2．已知数列0，，，，…，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 3．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 5．数列的的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 6．（多选）数列，…的通项公式可以为（   ） A． B． C． D． 考点二 累加法 7．已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第_____项. 8．若在数列中，，则（    ） A．9 B．1 C．10 D． 9．已知数列满足，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 10．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 11．在数列中，，，则________. 12．在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 考点三 累乘法 13．已知，，求数列的通项． 14．在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 15．若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 16．已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 17．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 18．已知正项数列满足，则_______. 考点四 利用an与Sn的关系求通项 19．已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 20．若数列的前项和为，则通项公式___________ 21．已知数列满足：（为正整数），则______. 22．已知正项数列的前项和为，且，则（   ） A．4047 B．4044 C．4042 D．4045 23．若数列的前n项和为，则（    ） A． B．3n C． D． 24．在数列中，，前项和，求数列的通项公式. 考点五 利用构造法解an＋1＝pan＋q型通项 25．已知数列中，，，则________． 26．在数列中，，，则数列的通项公式为___________． 27．已知数列满足，且，则的通项公式为______. 28．已知数列满足，，则该数列的通项公式______． 29．若数列满足，，则（    ） A．466 B．1024 C．2044 D．4048 30．已知数列中，，则的值为（  ） A．15 B．30 C．31 D．57 考点六 利用构造法解an＋1＝pan＋qn型通项 31．已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 32．（多选）已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 33．（多选）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 34．已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 35．在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 36．设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 考点七 利用构造法解an＋1＝pan＋f(n)型通项 37．已知数列满足，且，则______． 38．已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 39．已知数列中，，则数列的通项公式______． 40．已知，当时，，则的通项公式为___________ 41．已知数列满足，则______． 42．已知数列满足，且，，则数列的通项公式为______. 考点八 利用构造法解an＋1＝型通项 43．已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 44．已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 45．已知数列满足：，，则(    ) A． B． C． D． 46．已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 47．已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 48．已知数列满足，且． (1)求的通项公式； 考点九 利用构造法解三项型通项 49．已知数列满足：，，，求数列通项公式. 50．已知数列满足，，，则的通项公式为______. 51．设数列的前n项和为，若，且．则________；________． 52．已知数列满足，且，求数列的通项公式． 53．已知数列中，，求． 54．在数列中，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； 1．数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，，则的个位数字为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 4．数列的前n项和，且，，则（   ） A．52 B．53 C．54 D．55 5．若数列的前项和为，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 8．已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 9．设数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．31 C．47 D．63 10．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 11．已知数列{an}的前n项和为 则 _________. 12．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式________；________. 13．在数列中，，则______． 14．已知数列的前项和为，若，且，则______． 15．数列满足，则数列的通项公式为______． 16．已知数列满足，，设，则____________；的最小值为____________. 17．已知数列中，，，若，则数列的前项和_______. 18．已知数列满足，且，则__________；令，若的前n项和为，则__________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数列通项的求法 考点一 观察法 考点二 累加法 考点三 累乘法 考点四 利用an与Sn的关系求通项 考点五 利用构造法解an＋1＝pan＋q型通项 考点六 利用构造法解an＋1＝pan＋qn型通项 考点七 利用构造法解an＋1＝pan＋f(n)型通项 考点八 利用构造法解an＋1＝型通项 考点九 利用构造法解三项型通项 考点一 观察法 1．已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时代入各选项检验即可. 【详解】当时， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B可以是； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故ACD错误，B正确. 2．已知数列0，，，，…，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，观察可得该数列的通项公式可以为 3．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】注意到四项的分子均为，分母均为，可得通项公式. 4．已知数列，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过逐项验证即可判断. 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，错误， 对于D，，符合，故正确. 5．数列的的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列各项分子、分母特征，即可找出规律，求出通项公式. 【详解】将写成，所以该数列各项分子为，是以为首项和公比的等比数列，分母为，是以为首项,以为公差的等差数列， 所以此数列的一个通项公式为，故C正确. 6．（多选）数列，…的通项公式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由于该数列的奇数项为负，偶数项为正， 故数列，…各项的符号可以用或表示，不能用， 又各项分母分别为，，，，…，故该数列各项的分母为， 故排除B选项，AC正确； 又该数列的奇数项为负，偶数项为正，也可用分段函数的形式表示，即，D正确. 考点二 累加法 7．已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第_____项. 【答案】8 【详解】由两边同时除以可得，移项得：，其中，令，则有，当时，将代入上式： ，，……，. 将以上个等式两边分别相加得：，右边中间项全部抵消，剩下，由得：，所以. ，，由， 即， 解得，又因为，所以，则数列的最大项为第8项. 8．若在数列中，，则（    ） A．9 B．1 C．10 D． 【答案】B 【分析】用累加法结合对数运算即可求解. 【详解】由题意得， ， …， ， 以上各式相加得． 9．已知数列满足，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 故选：D 10．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，利用累加法求出，则. 【详解】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D 11．在数列中，，，则________. 【答案】5 【分析】根据累加法即可求解. 【详解】由可得， 故， ， ……, , 相加可得， 故答案为：5 12．在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用累加法运算求解即可结果. 【详解】由题得， 即，，， 将上面5个式子两端分别相加得 ， 且，所以. 故选：A. 考点三 累乘法 13．已知，，求数列的通项． 【答案】 【分析】通过累乘法来求数列的通项公式. 【详解】已知， 则， ， 已知，由， 故数列的通项为：. 14．在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【答案】D 【分析】根据已知递推公式得出相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式，最后根据通项公式判断数列类型，进而求出前100项的和． 【详解】因为，所以， 当时，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即， 又，所以， 所以． 故选：D. 15．若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 【答案】D 【分析】由已知条件变形可得，然后累乘法可得，即可求出. 【详解】由，得， ， . 故选：D. 16．已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，利用累乘法得到，故，利用裂项相消法求和得到答案． 【详解】由题意,易知，由变形为，故， 所以 ， 因为，所以，故， 所以． 故选：C 17．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累乘法计算出答案. 【详解】 故选：B 18．已知正项数列满足，则_______. 【答案】 【分析】由递推公式可得，再由累乘法即可求得结果. 【详解】由可得， 由累乘可得. 故答案为： 考点四 利用an与Sn的关系求通项 19．已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 【答案】 【分析】通过与作差求出的通项，并在最后讨论该数列是否分段. 【详解】当时，. 当时，. 此时时， 所以. 20．若数列的前项和为，则通项公式___________ 【答案】 【详解】当，， 当时，，符合上式， 所以 21．已知数列满足：（为正整数），则______. 【答案】 【详解】当时，， ， 当时，， 两式相减得，可得， 代入，得 故时不满足此式， 所以 22．已知正项数列的前项和为，且，则（   ） A．4047 B．4044 C．4042 D．4045 【答案】A 【分析】由求解可以得到为等差数列，将代入即可. 【详解】①， ∴当时，②， ①-②可得， ， ，，， ∴当时，，解得， 是首项为1，公差为2的等差数列，则， 于是有． 23．若数列的前n项和为，则（    ） A． B．3n C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 则，化简得， 则，即， 因为，解得， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即. 24．在数列中，，前项和，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】当时，推导出，然后利用累乘法求解即可. 【详解】数列中，，前项和，且， 当时，，整理可得. 所以，，，，， 将以上个式子的等号两端分别相乘，得到. 又因为，所以. 也满足，故对任意的，. 考点五 利用构造法解an＋1＝pan＋q型通项 25．已知数列中，，，则________． 【答案】 【分析】由递推公式构造，通过等比数列通项公式即可求解； 【详解】由， 可得：， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以， 所以， 故答案为： 26．在数列中，，，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【分析】由，构造等比数列，求得数列的通项公式，从而求得数列的通项公式. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以. 所以数列的通项公式为． 故答案为:． 27．已知数列满足，且，则的通项公式为______. 【答案】 【分析】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可. 【详解】设，即，所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故答案为： 28．已知数列满足，，则该数列的通项公式______． 【答案】 【分析】构造数列，数列为等比数列，求出，进而求出. 【详解】因为，所以，则数列时以为首项 公比为的等比数列，故，所以. 29．若数列满足，，则（    ） A．466 B．1024 C．2044 D．4048 【答案】C 【详解】由题设，且， 所以是首项、公比均为2的等比数列，则， 所以，则. 30．已知数列中，，则的值为（  ） A．15 B．30 C．31 D．57 【答案】C 【分析】利用数列的递推式构造等比数列，写出其通项公式，代入计算即得. 【详解】由可得， 即数列构成首项为2，公比为2的等比数列， 故，则， 故. 故选：C. 考点六 利用构造法解an＋1＝pan＋qn型通项 31．已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 【答案】 【分析】通过对递推公式变形，构造出等差数列来求解数列的通项公式. 【详解】对两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列， 故，得． 32．（多选）已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据递推关系代入即可求解AC，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和法，结合等比求和公式求解判断BD. 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，故C错误； 由B选项可得，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 33．（多选）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 34．已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解. 【详解】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 35．在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过参变分离将转化为，再利用递推公式，求出数列的通项，分为奇数和偶数讨论求得的最大值即可得答案. 【详解】由，得，，又， 所以， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即. 由，得， 当为奇数时，为递增数列， 所以，即. 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以. 所以. 故选：C. 36．设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后还原得到原数列通项． 【详解】因为，两边同时除以，得． 令，则，两边同时加上，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以． 故选：D． 考点七 利用构造法解an＋1＝pan＋f(n)型通项 37．已知数列满足，且，则______． 【答案】 【详解】设，即， 和比较可得，则， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以． 38．已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 【答案】 【分析】由构造法可得是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到结果. 【详解】 又 是以2为首项，2为公比的等比数列 ， . 故答案为：. 39．已知数列中，，则数列的通项公式______． 【答案】 【分析】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为： 40．已知，当时，，则的通项公式为___________ 【答案】 【分析】由题意设，展开后对照已知列方程组求出，再结合等比数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 41．已知数列满足，则______． 【答案】 【分析】解法一，由待定系数法可得答案；解法二，由得，两式相减再利用待定系数法构造可得答案；解法三，由得再递推可得答案． 【详解】解法一 由，可设， 其中为常数，整理得， 故，得， 所以． 又，所以是各项均为0的常数列， 故，即； 解法二  由，得， 两式相减得． 令，则， 则，又， 所以，即，又， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以； 解法三  由得， 即，，…， ， 所以， 所以，所以． 当时也符合上式． 综上所述，． 故答案为：. 42．已知数列满足，且，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】法一：设、，结合递推关系得到，再根据已知得，进一步有，利用等比数列的定义写出通项公式；法二：由递推关系得，讨论的奇偶性写出通项公式即可. 【详解】法一：因为，所以. 设，则，所以. 设，则. 因为，，所以，， 所以，即，即，所以. 因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，. 法二：因为，所以， 由，，得，， 所以数列的奇数项是首项为2，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列， 当为奇数时，，即； 当为偶数时，，即. 综上，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：由递推关系式求数列通项公式的方法， 方法 适用类型 要点 累加法 变形为，利用求解.注意根据累加法求出之后，要检验时是否成立. 累乘法 变形为，利用求解.注意根据累乘法求出之后，要检验时是否成立. 构造法 （且，，） 变形为（其中，，可用待定系数法求），可得以为公比的等比数列的通项公式，进而可求得. 取倒数法 （是常数，） 变形为.①若，则是等差数列，且公差为，可用公式法求通项；②若，则转化为型，再利用构造法求解. 考点八 利用构造法解an＋1＝型通项 43．已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，利用取倒数及构造法求出通项公式即可. 【详解】由，得，，则， 而，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，， 因此，所以． 故选：C 44．已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，得解. 【详解】由得：， 又，数列是以1为首项，为公差的等差数列， ， ，， ， 故选：D． 45．已知数列满足：，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合已知条件，对取倒数，然后构造等比数列即可求解. 【详解】由题意，，即，故， 又因为，所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 从而，解得. 故选：C. 46．已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 47．已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】通过已知条件构造数列，得到数列数列为等差数列，求出数列通项公式，进而求出数列的通项公式即可求解. 【详解】因为，，则有， 故数列是以1为首项，公差的等差数列，故， 所以，则. 故选：C. 48．已知数列满足，且． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）首先取倒数，然后构造等比数列，利用等比数列通项公式求解即可； 【详解】（1）因为，所以， 故，又，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，解得， 所以数列的通项公式为； 考点九 利用构造法解三项型通项 49．已知数列满足：，，，求数列通项公式. 【答案】 【分析】根据递推关系式，可令，解出两根； 方法一：根据方程两根可构造两个等比数列和，结合两个等比数列通项公式，可消元求得通项； 方法二：根据方程两根可构造通项公式的一般形式，代入，解方程组即可求得通项. 【详解】方法一（构造两个等比数列）：令，解得：或， ， 又，， 数列是以为首项，为公比的等比数列；数列是以为首项，为公比的等比数列； …①；…②； ①②得：，化简得：. 方法二（特征根法）：，，； 令，解得：或， 故令，代入得， 解得：，. 50．已知数列满足，，，则的通项公式为______. 【答案】 【分析】将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可； 【详解】由, 得，且， 故数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 故， 所以， 设，则，又， 所以数列的所有项均为0，即， 所以. 故答案为：. 51．设数列的前n项和为，若，且．则________；________． 【答案】 【分析】由递推式代入已知条件求出，由递推式求出的周期，进而求出一个周期内的和，从而求出． 【详解】已知，， 令，则，解得； 由递推式①可得②， 由②减去①得，即， 数列是周期为3的周期数列； ，一个周期内的和为， ， ． 52．已知数列满足，且，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】将条件变为，根据等比数列的定义，可证是以3为首项，3为公比的等比数列，可得，变形可得，根据等比数列的定义，可证是以为首项，为公比的等比数列，整理计算，即可得答案. 【详解】因为， 所以，即， 又， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 左右同除得：， 所以，即， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则，所以. 53．已知数列中，，求． 【答案】 【分析】由已知可得，令，可得，从而得数列是等比数列，求得，即有，即可得是等比数列，求出其首项和公比，可得，即可得． 【详解】解：因为， 所以， 令， 则， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 所以，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 即， 所以． 54．在数列中，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； 【答案】(1)证明见解析，； 【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等比数列的定义推理得证；再利用构造法求出通项公式. 【详解】（1）在数列中，由，得，而， 是以9为首项，3为公比的等比数列； 因此，即，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式是. 1．数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分子：，规律为. 分母：，规律为. 所以通项可以为 2．已知数列满足，，则的个位数字为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】由题设，则， 令，得，则， ， 显然也满足上式， ，则，显然个位数字为2. 3．已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，利用累乘法得到，故，利用裂项相消法求和得到答案. 【详解】由题意易知， 由变形为，故， 所以 ， 因为，所以，故， 所以. 故选：C 4．数列的前n项和，且，，则（   ） A．52 B．53 C．54 D．55 【答案】C 【分析】应用得出等比数列，再应用通项公式得出，进而得出，最后应用等差数列求和公式计算求解. 【详解】数列的前n项和，且， 令时，，所以， 所以当，， 所以，即得， 即，所以是以1为首项以2为公比的等比数列， 所以，所以 ， 则 . 5．若数列的前项和为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据递推关系式可构造出，从而证得数列为等比数列；根据等比数列通项公式、求和公式，采用分组求和法可求得结果. 【详解】，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，， . 6．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数列递推公式推出数列是等差数列，求出数列的通项，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，所以， 所以． 7．已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 【答案】A 【分析】结合题意得到数列的通项公式，最后求解即可. 【详解】因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 令，得． 8．已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可. 【详解】设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故选：C. 9．设数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．31 C．47 D．63 【答案】C 【分析】根据题意，当时，，两式相减化简得到，得到数列是等比数列，求得，即可求解. 【详解】因为数列的前项和为，且， 所以当时，， 两式相减得，即， 可得， 当时，可得，即，解得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，所以. 故选：C. 10．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 11．已知数列{an}的前n项和为 则 _________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用的关系变形给定等式，再利用构造法求出通项即可. 【详解】数列{an}的前n项和为，， 由，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，所以. 12．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式________；________. 【答案】 574 【分析】整理可得，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，即可得的通项公式，再利用分组求和结合等差、等比数列求和公式求解. 【详解】因为，， 则，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，即， 可得 ， 所以. 故答案为：；. 13．在数列中，，则______． 【答案】 【分析】利用构造法构造数列，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以数列是一个等比数列， 所以， 所以． 故答案为：． 14．已知数列的前项和为，若，且，则______． 【答案】 【分析】构造数列，证明该数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式. 【详解】由， 即，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以． 故答案为： 15．数列满足，则数列的通项公式为______． 【答案】 【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得. 【详解】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 16．已知数列满足，，设，则____________；的最小值为____________. 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列求出，进而求出及其的最小值. 【详解】由，得，而，则， 因此数列是首项为，公差为2的等差数列，， ，所以当时，取得最小值. 故答案为：； 17．已知数列中，，，若，则数列的前项和_______. 【答案】 【分析】根据条件，先构造等比数列求出，再由得，从而可求和. 【详解】由，有， ，两式相除得到， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，则， 所以， 所以. 故答案为：. 18．已知数列满足，且，则__________；令，若的前n项和为，则__________． 【答案】 【分析】先利用构造法证得是等比数列，从而求得，再利用倒数法得到，从而利用裂项求和法即可得解. 【详解】由，可得，即， 两边取以4为底的对数得， 又， 则数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； 由，得， 则，得， 故， 所以 . 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是通过观察法与倒数法得到，从而得解. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $