期末复习专题01 等差数列及其求和【考点突破+强化训练】2025-2026学年高二数学人教B版选择性必修第三册

专题01 等差数列及其求和 考点一 等差数列的基本量计算 考点二 利用等差数列的性质计算 考点三 等差数列的单调性及其应用 考点四 等差数列片段和的性质及应用 考点五 前n项和与n的比所组成的等差数列 考点六 两个等差数列的前n项和之比问题 考点七 等差数列奇数项或偶数项的和 考点八 等差数列前n项和的最值以及求参数 考点九 含绝对值的等差数列前n项和 考点十 等差数列的简单应用 考点一 等差数列的基本量计算 1．在等差数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出等差数列的公差，再结合求解即可. 【详解】由题意可知，等差数列的公差为， 故. 2．已知等差数列的公差d>0，若，，则公差d等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】已知等差数列的公差，若，则， 又因为，解得或， 由于公差，因此，则，故B正确. 3．已知等差数列满足，，则第10项的值为_____． 【答案】 【分析】先根据等差数列的两项求出公差和首项，再代入通项公式计算第10项即可. 【详解】设等差数列的公差为，，通项公式为. 由已知条件列方程： ， 两式作差得，解得， 代入得. 因此. 4．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．3 B．0 C． D．6 【答案】C 【分析】由等差数列前项和性质，和等差数列通项公式列出等式求解即可. 【详解】由等差数列性质得：， 所以， ，， ． 故选：C 5．已知等差数列的前n项和为，则______． 【答案】1 【分析】设出首项和公差，结合题意建立方程组，求解首项即可. 【详解】设首项为，公差为，且， 可得，解得. 故答案为：1 6．在等差数列中， (1)已知，求和； (2)已知，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列通项公式和前项和公式求得首项和公差即可求解； （2）由等差数列下标和的性质及求和公式即可求解. 【详解】（1），解得． ， ． （2） 考点二 利用等差数列的性质计算 7．已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】数列为等差数列，所以，得 又有，得.所以等差数列的公差， 则. 8．设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质和通项公式求解. 【详解】因为，所以 ，即， 即根据等差数列性质得到，， 所以，即，则，即， 因为，所以， 即， 将代入得到， 因为，两边除以得到， ，故选项A正确. 9．已知等差数列满足，则（    ） A．82 B．41 C．83 D．84 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，则， 得，即. 10．已知等差数列满足，则（   ） A． B．14 C． D．21 【答案】B 【详解】由等差数列满足，得， 所以，所以. 11．记为等差数列的前项和，，则（    ） A．10 B．44 C．52 D．62 【答案】C 【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算求解. 【详解】因为为等差数列，且， 所以，即得， 则. 故选：C. 12．记为等差数列的前项和，若，，则______. 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式列方程求出首项、公差，再由等差数列的求和公式得解. 【详解】设等差数列的公差为， 则由，可得，， 解得， 所以， 故答案为： 考点三 等差数列的单调性及其应用 13．（多选）若数列的通项公式是，则（   ） A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列的前项和有最大值 D．数列的前项和无最小值 【答案】AB 【分析】由，计算即可判断A；求出，利用配方法得：，即可判断数列是递增数列；由，得数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增，即可判断C D. 【详解】数列的通项公式是， 令，得， 是数列的第49项，故A正确； ， 在时递增， 故数列是递增数列，故B正确； 数列的通项公式是， ， ， ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， 数列的前项和没有最大值，故C错误； ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， ， 数列的前项和有最小值，故D错误． 故选：AB 14．设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】作差法得到，若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案. 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 15．（多选）已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是单调递减数列 B．若，则是单调递增数列 C．是单调递增数列 D．是单调递增数列 【答案】BCD 【分析】取，结合数列单调性的定义可判断A选项；利用数列单调性的定义可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，不妨取，则，且对任意的，， 但，，此时数列不单调，A错； 对于B选项，若，由于，故数列是单调递增数列，B对； 对于C选项，对任意的，由于，故数列是单调递增数列，C对； 对于D选项，对任意的，， 因为，所以，故数列是单调递增数列，D对. 故选：BCD. 16．设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】化简得到，分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】为等差数列， 则， 对应的二次函数为， 故当时，函数有最小值，对应的数列有最小值， 当数列有最小值时，则二次函数开口向上，所以， 故是充分必要条件． 17．与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 【答案】 【分析】根据等差数列的性质，是以13为首项，14为公差的等差数列，再结合函数的单调性判断最小项. 【详解】是以13为首项，14为公差的等差数列，. 令， 根据在上单调递减，上单调递减， 又时，，时，，最小值为. 18．设等差数列的前n项和为，且（），若，则（   ） A．的最大项是 B．的最小项是 C．的最大项是 D．的最小项是 【答案】D 【分析】由已知不等式推出公差，再结合得出且，从而判断出前项和的最小项为. 【详解】， 对于等差数列，，代入得：， 又因为，代入化简可得：， 对所有成立，故公差； 因为，数列递增，故，由，且； 因此：当时，，当时，； 前项和在由负转正时取得最小值，即是最小项. 故选：D 考点四 等差数列片段和的性质及应用 19．已知等差数列的前项和为，若，，则__________． 【答案】 33 【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 20．设等差数列的前项和为，且，，则__________. 【答案】34 【分析】由等差数列的片段和性质可得. 【详解】由等差数列的性质可得成等差数列， 因为，，所以， . 21．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．15 B． C． D．7 【答案】C 【分析】使用等差数列前项和的性质成等差数列表示未知量，进而求解即可. 【详解】设，，则， ，，成等差数列，， 即，解得，所以. 22．在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列前项和的性质可知，，也成等差数列，结合等差中项求解即可. 【详解】在等差数列中，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列. 所以，即， 解得. 23．设是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．8 B．10 C．14 D．18 【答案】D 【分析】利用等差数列前项和的性质或基本量法均可求解. 【详解】方法一：因为是等差数列，前项和是， 所以仍成等差数列， 由，知 ，， 所以成等差数列，所以，解得. 方法二：设等差数列的首项为，公差为， 则， 所以，得，解得， 所以， 故选：D. 24．已知等差数列的前项和为，且，，则_____． 【答案】 【分析】根据等差数列的前项和为，所以成等差数列，代入数据即可求解. 【详解】因为等差数列的前项和为， 所以，，，成等差数列， 所以，解得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 考点五 前n项和与n的比所组成的等差数列 25．设数列满足，是前项和，且，，则（   ） A．1013 B． C．1012 D．1011 【答案】A 【详解】由题意，， 则数列为等差数列，设公差为，，， 即，，则，则， 则，所以，（常数），则也为等差数列． 则数列的公差为，所以，所以. 26．（多选）已知正项等差数列的前项和为，，公差为，若，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意得出关于的等式，再结合可求得的值，可判断A选项；由可判断B选项；求出的表达式，利用裂项求和法可判断C选项；求出的表达式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为正项等差数列的前项和为，，公差为，若， ， ， ， 由，则，整理可得， 即，解得或， 根据题意可知，解得，故，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，， 所以， 所以，C对； 对于D选项，，则，D对. 27．在等差数列中，，其前项和为，若，则（   ） A．-24 B．-12 C．12 D．24 【答案】C 【分析】由题意可得是以-10为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到结果. 【详解】在等差数列中，，其前项和为，则是首项为-10的等差数列， 设其公差为，因为，所以 ， 所以 ， ， 即. 28．已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则_____. 【答案】 【分析】根据等差数列性质，可得数列为等差数列，求出其公差和首项，利用等差数列前项和公式求解. 【详解】根据等差数列性质，数列为等差数列，设其公差为. 因为，， ，又，， . 故答案为：. 29．（多选）等差数列前项和为，，，则（   ） A．数列的公差为 B． C． D． 【答案】AB 【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的求和公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列通项公式和求和公式逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 对于A选项，数列的公差为，A对； 对于B选项，，，则，B对； 对于C选项，， ，，故，C错； 对于D选项，，所以，D错. 故选：AB. 30．已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列． ，， 则数列的公差，首项为， ，． 故选：B． 考点六 两个等差数列的前n项和之比问题 31．设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因此， 因为， 因此， 所以原式化简为， 而，所以原式为， 而因为，所以， 则，， 代入得，， 而已知， 设，(为非零常数)，，， 所以. 32．设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据等差数列下标和的性质以及前项和公式求得正确答案. 【详解】因为为等差数列， 所以. 33．设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的前n项和公式设，再利用关系即可求解. 【详解】∵，又因为等差数列的前项和分别为， 则设 ∴. 34．设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的前n项和公式设，，，再利用关系即可求解. 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且， 可设，，， 所以. 35．设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为， 所以． 36．若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件设，，再利用和之间的关系即可求出. 【详解】因为，由已知条件不妨设， 所以. 故选：D. 考点七 等差数列奇数项或偶数项的和 37．在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，由奇数项之和与公差可求出偶数项之和，两者相加即为该数列前100项的和. 【详解】因为， 所以 故选：B. 38．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．10 B．19 C．21 D．29 【答案】B 【分析】设项数为，则，再利用等差中项的性质和等差数列的求和公式化简，然后计算可得. 【详解】设项数为， 则， . 此数列共有19项. 故选：B 39．已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为______． 【答案】56 【分析】只需根据等差数列前项和性质求得的值，再结合等差数列性质即可求解. 【详解】当为偶数时，由题意可知， 所以，所以， 此时，解得， ，解得， 则． 故答案为：56. 40．一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为（   ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【分析】由题中条件及等差数列的性质可得：，两式相减即可求解. 【详解】由题中条件及等差数列的性质可知：， 所以. 故选：C. 41．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数. 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 42．已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是______. 【答案】 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列奇数项与偶数项之间的关系进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列的项奇数项之和为140，偶数项之和为120， 所以有， 故答案为： 考点八 等差数列前n项和的最值以及求参数 43．（多选）首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【分析】根据条件可得，结合，利用二次函数性质求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 故，又，所以， 所以， 而，所以n取值是6或7时，取最大. 44．（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递增数列 B． C． D．的最大值为 【答案】ABC 【详解】因为，故，故B正确； 因为，所以，即等差数列为递增数列，故A正确； 因为，故C正确； 因为时，，当时，，所以的最小值为，故D错误. 45．已知公差为d的等差数列的前n项和为，，是中的唯一最大项，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是的唯一最大项，说明数列前8项和最大，且第9项开始和递减，然后由等差数列通项公式解不等式组即可求解. 【详解】由是中的唯一最大项可得：，即， 代入，解得. 46．在等差数列中，前n项和为，已知，，求当n取何值时，取得最大值． 【答案】 【详解】∵，∴， 所以， ∴时，取得最大值． 47．（多选）已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（    ） A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】由，，得，，推得公差，进而可得最大项为，判断出ABD的对错；再根据，可判断C错误． 【详解】由，，得， 所以等差数列的公差, 所以等差数列是递减的等差数列，则最大项为，故A正确，B错误， 又因为得且公差,所以当时，，估D正确； ，所以，故C错误； 48．已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等差数列的通项公式表示出，再结合前项和取得最大值的条件，得到关于公差的不等式组，进而求解的取值范围. 【详解】因为是首项的等差数列，所以， 因为当且仅当时，的前项和取得最大值，则且， 当时：，则，所以， 当时：，则，所以， 综上，， 即公差的取值范围是. 考点九 含绝对值的等差数列前n项和 49．已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项和． (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意求解和，再根据等差数列定义求解通项公式； （2）计算前6项为正项，后4项为负项，再结合等差数列求和公式求解即可; （3）结合等差数列求和公式分类讨论和时数列的求和公式即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由，得，即， 由，得，即， 联立，解得，故， 所以. （2）由（1）知，若，解得， 故时，，时，， 所以， 又因为 所以数列的前10项和为. （3）由（2）知故，时，， 所以； 当时，， 所以 综上所述. 50．记为等差数列的前项和，已知． (1)求和的通项公式； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得，即可求得和的通项公式； （2），当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为． （2）由（1）知，，则， 由，得， 则当时，，当时，， 故 ． 51．在等差数列中， (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，进一步求出首项，代入通项公式计算即可； （2）讨论时，，时，前3项取相反数求和，从第4项开始直接用原数列求和，利用等差数列求和公式计算即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为. 因为在等差数列中，， 所以，解得. 所以的通项公式为. （2）令，解得，令，解得. 当时，，则. 此时. 当时， 因此，的前项和 52．数列的前项和， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系进行求解即可； （2）含绝对值的数列前项和，需先确定数列正负分界点，再分段讨论. 【详解】（1）当时，， 又当时，满足， 故的通项公式为； （2）由（1）知，当时，；当时，； 所以当时，； 当时， ； 故 53．在等差数列中，，，求（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出数列的通项公式，化简的表达式，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以， 故， 所以 . 故选：C. 54．在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程求出和，即可得通项和前项和； （2）利用绝对值的性质，分和两类情况求和即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得； ， 则， ； （2）数列的前n项和， 由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上，. 考点十 等差数列的简单应用 55．某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（    ）TFLOPS. A．29 B．32 C．35 D．38 【答案】C 【分析】前10秒每秒算力构成等差数列，利用已知的第3秒算力和前6秒总算力列方程求解首项与公差，再计算第10秒的算力即为最大算力。 【详解】由题意知，前10秒每秒的算力构成等差数列， 设等差数列的公差为，首项为，且最大算力为，10秒后算力保持不变. 则，， 联立解得，. 所以最大算力，单位为TFLOPS. 56．某大学届毕业生小张向银行贷款元用于自主创业，并跟银行约定按照“等额本金还款法”分年进行还贷，贷款的年利率为，则小张第年的还款金额为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】A 【分析】在“等额本金还款法”下，每年偿还的本金是固定的，但利息会随着剩余本金的减少而减少。这导致每年的总还款额构成一个等差数列，根据题意算出首项和公差即可求解. 【详解】设第一年的还款金额为， 由于第一年要还本金元以及利息元，因此万元， 由于每年都会偿还万元的本金，因此每年的利息会比上一年减少元，即万元， 因此，这个等差数列的公差万元， 因此，这个等差数列的通项公式为， 则第三年的还款金额为万元，故A正确. 57．为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演．队形被设计成一个由多个同心圆组成的图案．从最内圈开始，逐圈向外增加队员．最内圈（第1圈）站了12名同学，为了方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人．若这次团体操表演总共动用了300名同学，则这个队形的圈数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由题意得每一圈的人数构成等差数列，结合等差数列前项和的公式即可求解. 【详解】每一圈的人数构成首项，公差的等差数列，其前项和， 则，解得（负值舍去）． 58．《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把个面包分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总和及题目条件列方程组求解即可. 【详解】设人所得面包数为递增等差数列，首项（即最小的一份）为所求，公差. 因为份总和为，由等差数列前项和公式， 化简得 ①， 较大的三份为后三项，较小的两份为前两项， 由题意， 代入通项公式展开得， 化简得②， 把②代入①得，即，解得. 因此最小的一份为. 59．Wanye老师和张宏老师为了身体健康，报名参加了“”APP的行走打卡送大米的活动.第一天两位老师所走的步数相同，此后Wanye老师每天都比前一天多走700步，张宏老师每天所走的步数不变.若张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同，则Wanye老师第7天走__________步. 【答案】14700 【详解】设Wanye老师第天所走的步数为，则张宏老师前七天每天所走的步数都为， 由已知Wanye老师第二天到第七天所走的步数分别为， 因为张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同， 所以 所以 故， 所以Wanye老师第七天所走的步数为. 60．孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县．经济的发展带动了市民对住房的需求．假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市新建住房的面积开始大于820万平方米的年份为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】C 【详解】设从2019年开始，该市每年新建住房面积为万平方米． 由题意可知是等差数列，首项，公差， 所以， 令，解得，由于，则， ，所以该市在2028年新建住房面积开始大于820万平方米． 1．在等差数列中，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【详解】在等差数列中，若，则，解得： 2．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】B 【分析】设出等差数列的首项和公差，然后利用求和公式列方程组求出首项和公差从而得解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题知，解得， 从而. 故选：B 3．设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意及等差数列的片段和性质，设，从而求出，，进而即可得到答案． 【详解】由等差数列的片段和性质知，，，，···是等差数列， 由，不妨设，则， 所以，，，，···，依次为，，，，···， 所以， 所以． 4．已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 【答案】C 【分析】根据是等差数列的前项和，推得数列是等差数列，利用基本量运算即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以数列是等差数列. 又，， 则数列的公差，首项为， 所以，. 5．已知等差数列的公差为d，前n项和为．记甲：，乙：存在最小值，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】应用等差数列求和公式结合充分必要条件定义计算判断求解. 【详解】当时，，是开口朝上的抛物线上的离散的点的纵坐标，一定有最小值； 当且时，也有最小值. 因此，甲是乙的充分条件但不是必要条件. 6．已知等差数列，满足，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（    ） A．4052 B．4051 C．4050 D．4049 【答案】B 【分析】根据等差数列的下标性质、前n项和公式进行求解判断即可. 【详解】因为数列的前n项和有最大值， 所以该等差数列的公差，且该等差数列是递减数列， 由， 所以数列前项均为正数，从第项起均为负数， 所以当时，有最大值且为正值， 又因为， ， 所以当时，取最小正值. 7．（多选）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A．数列是递减数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】ACD 【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到，，，，从而对选项一一判断，得到答案. 【详解】对于ABD选项，设的公差为， ，故， ，故，所以， 由于，故，，即是递减数列，A正确，B错误，D正确； C选项，由于是递减数列，，，故当取得最大值时，，C正确. 故选：ACD. 8．（多选）首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】BC 【分析】根据条件，可得，结合条件，分析可得，即可得答案. 【详解】，, 故，又， 所以， 则当时，， 当时，． 故当或6时，最大． 故选：BC 9．（多选）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论正确的是（   ） A． B．此人第三天行走了一百二十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人有连续的三天共行走了四百零五里 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意，设此人第一天走里，第天走里，为等差数列，，，数列的前项和为， 所以， 所以，解得，故A正确； 所以，所以（里），故B正确； 因为，（里）， 所以（里），故C正确； 设连续三天为，，，所以（里），即（里）， 所以（里），解得，故D错误. 故选：ABC. 10．（多选）已知数列满足，其前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．数列是单调递减数列 B．中的最大项只有 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据数列的通项公式知数列为等差数列，进而分析数列的性质依次判断各项的正误. 【详解】由题可知，数列为等差数列，首项，公差， A，公差，则数列是单调递减数列，A正确； B，当时，当时，则中的最大项为或，B错误； C，，，C正确； D，当时，当时， ，D正确. 故选：ACD 11．设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 【答案】 【分析】利用等差数列前项和性质可得、，利用等差中项性质可得，即可得，代入计算即可得解. 【详解】，同理可得， 则. 12．已知等差数列中，，则__________． 【答案】7 【详解】因为为等差数列， 则，解得， 因为，故． 13．若等差数列满足：，，其中为数列前项的和，则使得的的最大值为_____． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的基本性质推导得出，再利用等差数列的求和公式以及等差数列的通项公式可得出关于的不等式，即可解得的最大值. 【详解】设等差数列的公差为，由，可得， 所以，故， 所以， 由得，即， 将代入得， 因为，所以，解得， 故的最大值为． 故答案为：. 14．已知等差数列的公差为，前项和为，若，，则的值为____. 【答案】 【分析】根据题意，再整理并解方程即可得答案. 【详解】因为等差数列的公差为，前项和为，满足，， 所以，即，解得， 所以的值为. 故答案为： 15．等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于________． 【答案】 【分析】利用等差数列的基本性质以及等差数列的求和公式可得出，即可求得的值. 【详解】因为等差数列共有项， 所有奇数项之和为， 所有偶数项之和为， 所以，，解得. 故答案为：. 16．已知数列满足，，记数列的前项和为，若，则__________. 【答案】16 【分析】根据递推关系式求得数列{}的奇数项是首项为1，公差为﹣3的等差数列，偶数项是首项为﹣4，公差为﹣3的等差数列，进而求出其2n项的和，即可求解结论． 【详解】数列满足， ，且， ， 数列的奇数项是首项为1，公差为的等差数列， 偶数项是首项为，公差为的等差数列， (负值舍去)， ，此时n无正整数解， 若，则， 故答案为：16. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 等差数列及其求和 考点一 等差数列的基本量计算 考点二 利用等差数列的性质计算 考点三 等差数列的单调性及其应用 考点四 等差数列片段和的性质及应用 考点五 前n项和与n的比所组成的等差数列 考点六 两个等差数列的前n项和之比问题 考点七 等差数列奇数项或偶数项的和 考点八 等差数列前n项和的最值以及求参数 考点九 含绝对值的等差数列前n项和 考点十 等差数列的简单应用 考点一 等差数列的基本量计算 1．在等差数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的公差d>0，若，，则公差d等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知等差数列满足，，则第10项的值为_____． 4．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．3 B．0 C． D．6 5．已知等差数列的前n项和为，则______． 6．在等差数列中， (1)已知，求和； (2)已知，求． 考点二 利用等差数列的性质计算 7．已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 9．已知等差数列满足，则（    ） A．82 B．41 C．83 D．84 10．已知等差数列满足，则（   ） A． B．14 C． D．21 11．记为等差数列的前项和，，则（    ） A．10 B．44 C．52 D．62 12．记为等差数列的前项和，若，，则______. 考点三 等差数列的单调性及其应用 13．（多选）若数列的通项公式是，则（   ） A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列的前项和有最大值 D．数列的前项和无最小值 14．设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（多选）已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是单调递减数列 B．若，则是单调递增数列 C．是单调递增数列 D．是单调递增数列 16．设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 17．与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 18．设等差数列的前n项和为，且（），若，则（   ） A．的最大项是 B．的最小项是 C．的最大项是 D．的最小项是 考点四 等差数列片段和的性质及应用 19．已知等差数列的前项和为，若，，则__________． 20．设等差数列的前项和为，且，，则__________. 21．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．15 B． C． D．7 22．在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 23．设是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．8 B．10 C．14 D．18 24．已知等差数列的前项和为，且，，则_____． 考点五 前n项和与n的比所组成的等差数列 25．设数列满足，是前项和，且，，则（   ） A．1013 B． C．1012 D．1011 26．（多选）已知正项等差数列的前项和为，，公差为，若，则（    ） A．或 B． C． D． 27．在等差数列中，，其前项和为，若，则（   ） A．-24 B．-12 C．12 D．24 28．已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则_____. 29．（多选）等差数列前项和为，，，则（   ） A．数列的公差为 B． C． D． 30．已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 考点六 两个等差数列的前n项和之比问题 31．设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 32．设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 33．设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 34．设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 35．设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 36．若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（   ） A． B． C． D． 考点七 等差数列奇数项或偶数项的和 37．在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 38．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．10 B．19 C．21 D．29 39．已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为______． 40．一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为（   ） A．31 B．30 C．29 D．28 41．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 42．已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是______. 考点八 等差数列前n项和的最值以及求参数 43．（多选）首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 44．（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递增数列 B． C． D．的最大值为 45．已知公差为d的等差数列的前n项和为，，是中的唯一最大项，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 46．在等差数列中，前n项和为，已知，，求当n取何值时，取得最大值． 47．（多选）已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（    ） A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大 C． D．当时， 48．已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点九 含绝对值的等差数列前n项和 49．已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项和． (3)求数列的前项和. 50．记为等差数列的前项和，已知． (1)求和的通项公式； (2)求． 51．在等差数列中， (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 52．数列的前项和， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 53．在等差数列中，，，求（   ） A． B． C． D． 54．在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 考点十 等差数列的简单应用 55．某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（    ）TFLOPS. A．29 B．32 C．35 D．38 56．某大学届毕业生小张向银行贷款元用于自主创业，并跟银行约定按照“等额本金还款法”分年进行还贷，贷款的年利率为，则小张第年的还款金额为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 57．为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演．队形被设计成一个由多个同心圆组成的图案．从最内圈开始，逐圈向外增加队员．最内圈（第1圈）站了12名同学，为了方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人．若这次团体操表演总共动用了300名同学，则这个队形的圈数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 58．《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把个面包分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（   ） A． B． C． D． 59．Wanye老师和张宏老师为了身体健康，报名参加了“”APP的行走打卡送大米的活动.第一天两位老师所走的步数相同，此后Wanye老师每天都比前一天多走700步，张宏老师每天所走的步数不变.若张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同，则Wanye老师第7天走__________步. 60．孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县．经济的发展带动了市民对住房的需求．假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市新建住房的面积开始大于820万平方米的年份为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 1．在等差数列中，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 2．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 3．设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 5．已知等差数列的公差为d，前n项和为．记甲：，乙：存在最小值，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6．已知等差数列，满足，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（    ） A．4052 B．4051 C．4050 D．4049 7．（多选）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A．数列是递减数列 B． C．当取得最大值时， D． 8．（多选）首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（多选）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论正确的是（   ） A． B．此人第三天行走了一百二十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人有连续的三天共行走了四百零五里 10．（多选）已知数列满足，其前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．数列是单调递减数列 B．中的最大项只有 C． D． 11．设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 12．已知等差数列中，，则__________． 13．若等差数列满足：，，其中为数列前项的和，则使得的的最大值为_____． 14．已知等差数列的公差为，前项和为，若，，则的值为____. 15．等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于________． 16．已知数列满足，，记数列的前项和为，若，则__________. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $